北京市怀柔区高一年级上册期末考试数学试卷（含答案）

高一上学期期末考试数学试卷

数学

注意事项：

1.本试卷分第一部分选择题和第二部分非选择题两部分，共四页，满分150分，考试时间

120分钟.

2.试题所有答案必须书写在答题卡的对应位置.在试卷上作答无效.

3.考试结束后，考生应及时上传答案.

第一部分（选择题共40分）

一、选择题：共10道小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合

题目要求的一项.

1.已知集合"={°」23,4,5,6},集合8={-1,0,1,2,3},则图中阴影部分表示的集合为（）

A.{-1,0,1,2,3,4,5,6}B.{1,2,3)C.{0,1,2,3}D.{4,5,6}

2.若命题P：“玄€（O,+8）,lnx>l",则为。

A.3xe(-oo,0],lnx>lB.3xe(0,+oo),lnx<l

C.Vxe(0,+oo),lnx<lD.Vxe(0,+oo),lnx<l

3.下列函数既是奇函数又在区间（0,+8）上单调递增的是（）

32

A.=B./(x)=log2(x+l)C./(x)=xD./(x)=x+l

4.已知“，b,ceR,且a>b,则下列不等式一定成立的是()

A.同〉问B.a-c>b-cC.：D.a-c2>bc2

10

5.设”2,6=0.23,c=iog()25(则叫b,c的大小关系是()

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a

6.已知函数/(x)是定义在R上的偶函数，且当x>0时，/(x)=log2x,则/(-4)的值是()

A.2B.-2C——D—

22

7.某直播间从参与购物的人群中随机选出200人,并将这200人按年龄分组，得到的频率分布直方图如图所

示,则在这200人中年龄在［25,35）的人数〃及直方图中。值是（）

A.〃=35,。=0.032B.7?=35,a=0.32C./?=30,6/=0.035D.n=30,a=0.35

8.已知aeR,P：方程f+ax+l=0有实数解，［：2＜。＜3,则。是0的（）

A,充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分不必要条件

9.溶液酸碱度是通过产”计量的.尸”的计算公式为尸”=-ig［/r］,其中［，+］表示溶液中氢离子的

浓度，单位是摩尔/升.已知某品牌苏打水中氢离子的浓度为［”［=5x10-9摩尔/升，计算这种苏打水的

PH值.（精确到0.001）（参考数据：lg270.301）（）

A.8.699B.8.301C.7.699D.6.602

10.已知/（X—2）是偶函数，函数/（x）对任意王,々e（-8,-2］,且须都有二/（'）＞0

'Xr?

成立，且"0）=0,则/（x）〉0的解集是（）

A.（一”,一2）u（2,+e）B.（-2,2）C.（-oo,-4）U（0,+oo）D.（-4,0）

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题：共5道小题，每小题5分，共25分.

11.函数/（x）=log2（x-l）的定义域为.

12.某学校高一有280名学生，高二有200名学生，高三有120名学生，用分层抽样的方法从中抽取60名

学生对课后辅导的满意度进行调查，则从高一学生中应抽取人.

4

13.已知x＞—1,则x+——的最小值为_________.

X+1

14.已知函数/（x）=3”,则下列命题正确的有.（写出所有正确命题的编号）

①对于任意不，x2eR,都有/（%•々）=/（占）+/（%2）成立；

②对于任意占，x2eR,且引力/，都有包=〉0成立

AxXj-x2

③对于任意X[,xeR,且玉工々，都有2)>；"2)成立；

2八~)；，。

④存在实数。，使得对于任意实数x,都有/(x+a)=/("x)成立.

(-ox+l,x<a

15.已知函数/(x)=<2，当4=1时，则/[/(-2)]=；若函数g(x)=/(x)-a有

(x-2),x>a

三个零点，则实数。的取值范围是.

三、解答题：共6道小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.已知集合/={x|x2-x—2〈o},6={x|x»a}.

(1)当。=1时，求Q8,AcB，AuB：

(2)若Zc8=0,求实数4的取值范围.

17.为了庆祝神舟十四号成功返航，学校开展“航天知识”竞赛活动，甲乙两个班级的代表队同时回答一

道有关航天知识的问题，甲队答对此题的概率是一3，乙队答对此题的概率是2彳，假设每队答题正确与否是

43

相互独立的.

(1)求甲乙两队都答对此题的概率；

(2)求甲乙两队至少有一队答对此题的概率.

18.已知函数/(》)=2》2+bx+c(6,ceR)

(1)若不等式〃x)>0的解集为(-S,£|U(2,+OO),求/(x)的最小值；

(2)若/(—2)=/(4)且/(1)=—1,求方程/(x)=0两实根之差的绝对值.

19.已知函数/(x)=x-5,aeR,若/⑴=-1

(1)求。值；

(2)判断函数/(x)的奇偶性，并用定义给出证明；

(3)用定义证明/(x)在区间(0,+8)上单调递增.

20.为了庆祝神舟十四号成功返航，学校开展了“航天知识”讲座，为了解讲座效果，从高一甲乙两班的学

生中各随机抽取5名学生的测试成绩，这10名学生的测试成绩(百分制)的茎叶图如图所示.

乙

8779-

63868

6902

（1）若焉，，分别为甲、乙两班抽取的成绩的平均分，s',s：分别为甲、乙两班抽取的成绩的方

差，则焉/si，（填“才或“<”）

（2）若成绩在85分（含85分）以上为优秀，

（i）从甲班所抽取的5名学生中任取2名学生，则恰有1人成绩优秀的概率；

（ii）从甲、乙两班所抽取的成绩优秀学生中各取1人，则甲班选取的学生成绩不低于乙班选取的学生成

绩的概率.

21.己知函数/@）=琮苧是定义域为R的奇函数，且/⑴=g

（1）求实数。和6的值；并判断/,（x）在R上单调性；（不用写出单调性证明过程）

（2）若关于x的不等式/[（加+1）x2]+/[加x+（加―1）]20恒成立，求实数加的取值范围；

⑶对于任意的司4,3],存在々目1,3],使嚏“（々+2）4/（内）成立，求实数〃的取值范围.

参考答案

第一部分(选择题共40分)

一、选择题：共10道小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合

题目要求的一项.

1.【答案】C

【解析】

【分析】题中阴影部分表示的集合为4c8,求解即可.

【详解】因为集合4={0,1,2,3,4,5,6},集合8={-1,0,1,2,3},

而题中阴影部分表示的集合为,

则406={0,1,2,3}.

故选：C.

2.【答案】D

【解析】

【分析】利用存在量词命题的否定，直接写出「尸作答.

【详解】命题P：“*e(0,+8),InxNl”是存在量词命题，其否定是全称量词命题，

所以-J3为:Vxe(0,+oo),Inx<1.

故选：D

3.【答案】C

【解析】

【分析】利用奇函数的定义、由解析式直接判断单调性，逐项分析判断作答.

【详解】对于A,函数/'(x)=(；)'定义域为R,且在R上单调递减，A不是；

对于B,函数/(x)=log2(x+l)定义域为(―1,+。。)，定义域关于数0不对称，即/(x)=log2(x+l)不

是奇函数，B不是；

对于C,函数=定义域为R,且/(一力=(一劝3即函数是奇函数，

而函数/(X)=x3在R上单调递增，因此C是：

对于D,函数/(》)=/+1定义域为R,而/(-x)=(—x)2+l=/(x),即函数/(x)=Y+l不是奇函

数，D不是.

故选：C

4.【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，举例说明判断A,C,D；利用不等式的性质判断B作答.

【详解】a,b,CER,且。>6,

取。=1/=-2,则有|q|=l<2=|b|,工=1>_q=1，选项A,C都不正确；

a2b

由不等式性质知，不等式a-c>b-c1一定成立，B正确；

取c=0,则q.c,2=0=6•C），D不正确.

故选：B

5.【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数性质，再结合“媒介”数比较大小作答.

3

【详解】。=2°3>2°=1，0<0,2<0,2°=1>即0<6<1,c=log025<log021=0,

因此c<0<b<l<a,即D正确.

故选：D

6.【答案】A

【解析】

【分析】根据给定条件，利用偶函数的性质结合对数运算作答.

【详解】因为函数“X）是定义在R上的偶函数，且当x>0时，/（x）=log2x,

所以"-4）=/（4）=1幅4=2.

故选：A

7.【答案】C

【解析】

【分析】求出频率直方图中年龄在［25,35）的频率，根据频率即可求出人数，根据频率分布直方图中,小矩形

面积和为1,列出等式解出。即可.

【详解】解:由图知,年龄在［25,35）的小矩形的面积为：

0.015x10=0.15,

即年龄在［25,35）的频率为0.15,

所以年龄在［25,35）的人数〃=0.15x200=30,

由频率分布直方图的小矩形面积和为1可得：

0.01x10+0.015x10+ax10+0.03x10+0.01x10=1,

解得：a=0.035.

故选:c

8.【答案】B

【解析】

【分析】求出命题p为真的a的取值范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.

【详解】因为方程/+“+1=0有实数解，则有△=/一420,解得QW—2或Q22,因此小aS-2

或Q22,

显然(2,3)讥2,+。)，即有命题q成立，命题p必成立，而命题p成立，命题g未必成立，

所以P是q的必要而不充分条件.

故选：B

9.【答案】B

【解析】

【分析】直接利用所给公式计算求解即可.

【详解】由题意得苏打水的P”为

P〃=Tg[”[

=-lg(5xl0-9)

=-(lg5+lgl0-9)

=-(lgl0-lg2)+9

=lg2+8»0.301+8=8.301.

故选：B

10.【答案】D

【解析】

【分析】由已知条件得到/,(X)的图象关于X=-2对称，从而可知“X)在(-8,-2]上为增函数，

在(-2,+c。)上为减函数，且/(-4)=0,再画出折线图表示出函数/(x)的单调性，即可得到答案.

【详解】因为/(X-2)是偶函数，即/(x-2)的图象关于〉对称.

所以/(x)的图象关于x=-2对称.

因为函数/(x)对任意玉,々€(-8,-2],且x产七，都有/(')―/(:)〉0成立,

玉一x2

所以/(x)在(-8,-2]上为增函数.

又因为/(x)的图象关于x=—2对称，/(0)=0,

所以/(x)在(—2,+8)为减函数，且/(一4)=0.

用折线图表示函数/(x)的单调性，如图所示：

X

由图知：/(x)〉0=-4<x<0.

故选：D.

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题：共5道小题，每小题5分，共25分.

11.【答案】(L+8)

【解析】

【分析】根据对数函数的真数大于0,列出不等式求解集即可.

【详解】对数函数/(x)=log2(x-1)中，

%-1>0,

解得X>1;

.V(X)的定义域为(1,4-00).

故答案为(1,+00).

【点睛】本题考查了求对数函数的定义域问题，是基础题.

12.【答案】28

【解析】

【分析】由分层抽样的定义计算即可.

OQA

【详解】由分层抽样的定义，高一学生中应抽取人数为60'-----———=28.

280+200+120

故答案为：28

13.【答案】3

【解析】

44

【分析】由X〉一1可得x+l〉0,将x+——整理为x+l+----1,再利用基本不等式即可求解.

x+lX+1

【详解】因为x〉—l,所以x+l〉0,

44I4~

所以XH----=X+1H------1>2.(x+1)------1=3,

X+lX+lVX+1

4

当且仅当x+l=——，即X=1时取等号，

X+1

4

所以x+—；的最小值为3,

x+1

故答案为：3

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数：

(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把

构成积的因式的和转化成定值；

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不

是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

14.【答案】②③

【解析】

【分析】利用指数的运算性质，容易判断①不正确，结合指数函数的图像和性质，可判断②正确，④错

误，利用基本不等式易证③成立.

【详解】•••/(x,-x2)=3泅+3』+34=/(否+%),••・①不正确.

•.•/*)=3*单调递增，.・•②正确.

Q/G)+/(—〉月1=3警

22I2J

/叫小)>/'(手)所以③正确.

若对于任意实数x,都有/(x+a)=/("x)成立，则/(x)关于x=a对称，显然④不正确.

故答案为：②③

fV5-l1

15.【答案】①.1②.——,1

【解析】

-X+1,X<1

【分析】根据a=l得此时/")=2，根据解析式先求/(2)得值，再求解/[/(-2)]的值

(x-2),x1

即可；函数g(x)=/(x)-。有三个零点，即/(X)=a有三个根，结合函数解析式初步判断可得0<a<2

,画出函数图象，结合图象分析列不等式即可得实数。的取值范围.

-X+1,X<1

【详解】解：当a=l时，/(x)=\遂,所以/(—2)=—(―2)+1=3,则

(x-2),x>1

/[/(-2)]=/(3)=(3-2)2=1；

-ax+l,x<a

若函数g(x)=/(x)-a有三个零点，即/(x)=a有三个根，又/(x)=

(x-2)2,x>a

则/(x)=(x-2)2=a在［a,+8)上有两个根，所以0<a<2,/'(x)=-ax+1=a在(一8,a)上有一个

根，如下图得此时“X)的大致图象:

/(x)=a

-a2+\<a<(a-2)解得叵LaWl，则实数。的取值范围是

则根据/(x)=。有三个根可得：，(

0<a<22

'亚-1'

2，,

\」

•\/5—1

故答案为：1；

2，,

【点睛】关键点睛：本题考查分段函数求值与分段函数零点问题，属于压轴题.解决本题中零点问题的关

-ax+l,x<a

键是分析分段函数两段函数性质，由于/(x)=</、2，是一次函数与二次函数分段问题，要求

(x-2),x>a

/(x)=a有三个根，结合二次函数y=(x-2)2在k+oo)上的性质可初步判断0<a<2,避免对a进行符

号讨论，即可得出分段函数的大致图象，结合图象列不等式可求得参数范围.

三、解答题：共6道小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.【答案】(I)Q8={x|x<l},JA5={x|l<x<2},JU5={x|x>-1}；

(2)a>2

【解析】

【分析】(1)化简集合4把a=1代入，再利用补集、交集、并集的定义求解作答.

(2)利用(1)中信息，结合给定的交集结果，列式求解作答.

【小问1详解】

解一元二次不等式V—x—240得：-1WXW2,即〃={x|-

当a=l时，5={x|x>l),

所以。8={x|x<l},A^\B={x\\<x<2},JUS={x|x>-l}.

【小问2详解】

由Nc3=0得：/=由8={小24得：Q8={x|x<a},而4={X|-14XW2},于是得

a>2f

所以实数。的取值范围。>2.

17.【答案】（1）|

、11

（2）—

12

【解析】

32

【分析】（1）设甲、乙队答对此题分别为事件48,则尸（4）=彳，尸（8）=5,结合相互独立事件同时发

生的概率公式，即可求甲乙两队都答对此题的概率；

（2）依据题意，结合对立事件与相互独立事件同时发生的概率公式，即可求得甲乙两队至少有一队答对

此题的概率.

【小问1详解】

32

解：设甲、乙队答对此题分别为事件48,则尸（/）=彳,。（8）=§,

记事件"="甲乙两队都答对此题”，由于每队答题正确与否是相互独立的，

所以尸（M）=P（Z）•尸（3）=\、|=（,故甲乙两队都答对此题的概率为义；

【小问2详解】

解：记事件N="甲乙两队至少有一队答对此题”，由于每队答题正确与否是相互独立的，

故P（N）=1—P（浦）=1一尸（孙夕（月）=1———|）=g

故甲乙两队至少有一队答对此题的概率为—.

12

9

18.【答案】（1）

X

（2）V2.

【解析】

【分析】（1）根据给定一元二次不等式解集，求出函数/,（X）的解析式，再求出二次函数最小值作答.

（2）根据给定条件，求出函数/（x）的解析式，再求出方程〃x）=0的二根即可作答.

【小问1详解】

不等式/(x)>。，即2x?+bx+c>0的解集为1-00,/Ju(2,+8),

于是得」,2是方程2/+bx+c=0的二根，即有」+2=-2,且」X2=£,解得b=-5,c=2,

22222

5g5Q

因此/(刈=2/_5》+2=2(8_:)2_7,当且仅当X=1时，/(x)min=--)

4o4o

a

所以函数/(X)的最小值是一

8

【小问2详解】

因为/(一2)=〃4)且"1)=一1,则有《,，

2+o+c=-1

解得b=-4,c=l,

因此〃X)=2X2-4X+1,方程/(X)=0,即2上一人+1=0的二根为阳=1一苧62=1+半，

所以程/(司=0两实根之差的绝对值为|玉-马|=&.

19.【答案】(1)a=2；

(2)奇函数，理由见解析；

(3)证明见解析.

【解析】

【分析】(1)将给定自变量及对应函数值代入计算即可.

(2)利用奇偶函数的定义直接判断作答.

(3)利用函数单调性定义，按步骤推理作答.

【小问1详解】

函数/(x)=x-(中，因为/⑴=-1,则有1—4=一1,解得4=2,

所以。=2.

【小问2详解】

2

由(1)知，函数/(x)=x--是奇函数，

X

2??

函数f(x)=x一一定义域为(—8,0)U(0,+8),/(-X)=-X--=-(X--)=-f(x),

X-XX

2

所以函数/(x)=x——是奇函数.

X

【小问3详解】

222

G

\/王,々(0,+oo),且X]<x2,f-f(x2)=x[----(x2---)=(再一％2)。+---),

因为0<不<匕，则玉一/<0,须》2>0，即有/(须)一/。2)<0，因此/(F)</(>2),

所以/(x)在区间(o,+e)上单调递增.

20.【答案】(1)<,>；

35

(2)(i)-；(ii)

58

【解析】

【分析】(1)利用给定的茎叶图，结合平均数、方差的意义计算判断作答.

(2)(i)(ii)利用列举法，结合古典概率求解作答.

【小问1详解】

-77+78+83+86+96-79+86+88+90+92―

由茎叶图知,x甲=--------------------=84,x乙=------------------=87,

所以x甲vx乙；

[(77-84)2+(78-84)2+(83-84)2+(86-84)2+(96-84>]=46.8,

馥中79-87)2+(86-87)2+(88-87)2+(9。-87)、(92-87月=2。,

所以品>舐.

【小问2详解】

(i)抽取的两名学生成绩分别为匕丁，把他们记为(x,y),

从甲班所抽取的5名学生中任取2名学生，他们的成绩组成的不同结果：

(77,78),(77,83),(77,86),(77,96),(78,83),(78,86),(78,96),(83,86),(83,96),(86,96),共10个,

恰有1人成绩优秀的事件A有：(77,86人77,96),(78,86),(78,96),(83,86),(83,96),共6个,

所以恰有1人成绩优秀的概率P(/)=5=|.

(ii)依题意，甲班成绩优秀学生有2人，成绩分别为86,96,乙班成绩优秀学生有4人，成绩分别为

86,88,90,92,

从甲、乙两班所抽取的成绩优秀学生中各取1人，按甲班的在前、乙班的在后写在括号内，不同结果有:

(86,86),(86,88),(86,90),(86,92),(96,86),(96,88),(96,90),(96,92)，共8个，

甲班选取的学生成绩不低于乙班选取的学生成绩的事件B有：

(86,86),(96,86),(96,88),(96,90),(96,92),共5个,

所以甲班选取的学生成绩不低于乙班选取的学生成绩的概率尸(8)=|.

21.【答案】,,/(x)在R上单调递增

b=-l

(2),4-oo

7

(3)(0,l)U[64,+oo)

【解析】

【分析】（1）根据奇函数和/（1）=；即可求出。和b的值，有定义法即可得出/（X）在R上单调性.

（2）根据奇函数和单调递增求出（加+1）/+»«:+m-120,分类讨论一前的系数是否为o,即可求出

实数机的取值范围

（3）根据函数的单调递增，