2023年人教版高中数学必修第一册综合检测试卷及答案

本册综合检测

考试时间120分钟，满分150分.

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的

四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.若集合A={x∣-2<r<l},B={x∣x<-1或x>3},则A∩8=(A)

A.{x∖-2<x<-1}B.{x∣-2<Λ<3}

C.{A∣-l<x<l}D.{Λ∣1<T<3}

［解析］在数轴上表示出集合A,B,如图所示.

-β-a［B~

-2-10123X

由图知ACB={x∣-2<x<-l}.

2.已知p：X为自然数，q：X为整数，则P是q的(A)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

［解析］若X为自然数，则它必为整数，即Pnd但X为整数不一定是自然数,

如尤=一2,即.故P是q的充分不必要条件.

3.sin1,cos1,tan1的大小关系为(A)

A.tanl>sinl>cos1B.sinl>tanl>cos1

C.sinl>cosl>tan1D.tanl>cosl>sin1

兀*\/2兀ʌ/271

［角华析］Vsinl>sin4=2»CoSl<cos［=苛，tanl>tan4=l,

/.tanl>sinl>cos1.

4.Ig2—Igeln2-'+N(—2)2的值为(A)

1

A-

B.2

C.3D.-5

［解析］原式=Ig2+lg5—2—2+2=Ig10—2=1—2=—1.故选A.

5.已知X,y∈R,则x>y>0,则（C）

ʌ-X^70b-SinLSin)，>°

C.(∣}-(∣)v‹θD.lnx+lny>O

［解析］∙.∙χ,γ∈R,且尤>y〉O,则Sin尤与Siny的大小关系不确定，(g)

x<S)v,即一住)<0,lnx+lny与O的大小关系不确定.故选C.

6.已知尤>0,y>0,且x+2y=2,贝U孙(C)

A.有最大值为1B.有最小值为1

C.有最大值为TD.有最小值为T

［解析］因为x>0,y>0,x+2y=2,所以x+2y^2∖∣x∙2y,即222正四，,孙W/,

当且仅当x=2y,即X=1,V=/时，等号成立.所以孙有最大值，且最大值为去

7.定义在R上的偶函数Kr)在［0,+8)上单调递增，且yθ∙)=0,则满足川Og工

8

尤)>0的光的取值范围是(B)

A.(0,+∞)B.(0,加(2,+∞)

C.(0,W)¢,2)D.(0,2)

［解析］由题意知yω=Λ-幻=AIM),所以川IOglXl)Xɪj.因为/U)在［o,+∞)

8

上单调递增，所以∣log］X∣>g,又x>0,解得0令<；或x>2.

8

8.已知函数於)=ASin(S;+s)(A〉O,ω>0,ISl<去XG可在一个周期内的图

象如图所示，则要得到y=∕(x)的图象可由函数y=cosx的图象(纵坐标不变)(B)

I兀

ʌ-先把各点的横坐标缩短到原来的5,再向左平曾个单位长度

B.先把各点的横坐标缩短到原来的1看再向右平移盍jr个单位长度

C.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移看个单位长度

D.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移盍个单位长度

［解析］由函数段)=Asin(cox+0)(A>O,ω>0,∖φ∖<^,XWR)在一个周期内的

图象可得A=1,T7,=2∙77=⅞+7,解得①=2.把点倍，1)的坐标代入函数的解

44COIZO∖1Z)

析式可得I=Sin(2X至+Q|,

即sin(^+S)=L

再由ISI与可得夕=与，

故函数©=sin(2x+§.

把函数y=cos光的图象上各点的横坐标缩短到原来的今

可得y=cos2x的图象，再向右平移自个单位长度可得y=cos2^-⅞j=

COS(2x—5)=Sin>(2x一聿)=Sin停一2x)=Sin兀一住+2x)］=sin(2x+1)=/(x)的

图象.故选B.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的

四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，

部分选对的得2分)

9.下列函数是偶函数且值域为［0,+8)的是(AD)

A.y=∖x∖B.y=%3

C.γ=2wD.y=x2+∖x∖

［解析］y=∣χ∣是偶函数，且值域为［0,+∞);y=χ3是奇函数；y=2lx∣是偶函

数，但值域为口，+∞);y=f+∣无I是偶函数，且值域为［0,+∞),所以符合题意

的有AD.

10.下列命题是真命题的是(BD)

A.若基函数/U)=ΛΛ过点］；，4),则a=—g

B.3x∈(0,l),［；｝>log］X

2

o

C.Vx∈(0,÷°),log1x>log1x

23

D.命题3x∈R,sinx÷cosx<lv的否定是uVx∈R,sinx÷cosx≥Γ?

［解析］τQ)=(3>=%所以。=-2,故A错误；

在同一平面直角坐标系上画出y=Q｝与V=IogF两函数图象，如图1所示.

2

y

4

3

2

-3-2-IOIK23-3-2-∖Oh>234×

-ιr、-r

孙-2-

-3[-3-

图1图2

由图可知mx∈(0,l),(g>>log]X,故B正确；在同一平面直角坐标系上画出

2

y=k>g]X与y=logrr两函数图象，如图2所示.

32

由图可知，当XW(0,1)时,log1x>log1x,当x=l时，log1x=log1x,当X£(1,

2323

十8)时，log1x<log1x,故C错误；根据存在量词命题的否定为全称量词命题可知,

23

命题u3Λ∈R,sinx+cosx<l,,的否定是“∖∕χCR,SinX+cos，故D正

确.

11.函数y(x)=sin2x—∙∖∕5(cos2χ-sin?尤)的图象为C,如下结论正确的是(ABC)

A."r)的最小正周期为兀

B.对任意的x∈R,都有/%+凯楣-X)=O

C../U)在(一言，言上是增函数

D.由y=2sin2%的图象向右平移微个单位长度可以得到图象C

yɔ

［解析］√(x)=sin2%—小COS2x=2Sin(2x—鼻)，/(X)的最小正周期为π,故A正

确；周=2sin(2X蓑—2=0,故图象关于仁’0)对称，B正确；当x∈(-专制

时，2χ-g∈(-宏?，所以於)在(一今制上是增函数，C正确；由y=2sin2x

向右平移1个单位长度得到y=2sin2(x一目=2sin(2x一用的图象，故D错误.故

选ABC.

12.已知函数yU)=e}-log2χ,OVaVbVc,人。次份/(c)V0,实数d是函数人犬)

的一个零点.给出下列四个判断，其中可能成立的是(ABD)

A.Q<d<aB.d>b

C.d>cD.d<c

［解析］由>=(；)在(0,+8)上单调递减，y=log2Λ在(0,+8)上单调递增，

可得-IogM在定义域(0,+8)上是减函数，当0Vα<bVc时,穴0>五公

>Λc),又因为HGΛ3Λc)VO,T(J)=O,所以①A”)，火份，犬。都为负值，贝Uα,b,

C都大于乩②Ao)>O,人份>0,Λc)<O,则α,方都小于d,C大于d∙综合①②可

得d>c不可能成立.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13.化简、"+cos20°—sir^lO。=小COS10。.

［解析］√2+cos20o-sin210°=

^∕2÷2COS210O-1-sin210o=Λ∕3COS210O=√3COS10°.

X-11

14.函数Tu)=H在区间［2,3］上的最大值为己1.

XI1r4

Y—12

［解析］∙.∕χ)=干=1—不看在区间［2,3］上单调递增，

X—ɪ3—11

函数/(x)=χ+［在区间［2,3］上的最大值为,3)=3+］='.

TTJT

15.设。>0,若函数火x)=2sintυX在ɜ,］上单调递增，则。的取值范围是((Ml

且Q-

JTTT

［解析］令2&兀-ZW<υx<2Z兀+］(&£Z),

..2κπ兀1^2kπ.兀八

斛r何zθ京一五JWXWu十五J(A∈Z),

TTTT

当2°时，一五;一W五;,

ππ

由题意可得，20^5'即0<oWl,

,ω>0,

当Z=I时，骂WXWI

ZCoLS

由题意可得

9

即券（υW5∙

故答案为（0,l]u[∣,5.

1

3r则-=

16.设函数“r）=H卷的最大值是α,若对于任意的χC[0,2）,a>r

-2

-x+b恒成立，则b的取值范围是（一8,一^

[解析]当XWo时，./U）W0；

.3尤3一331

当l、>。时rll'yw=讨=星、定=丽=5'

Q

当且仅当X=?即％=3时取等号，

综上可得，∙∕U）max=g,即O=3.

由题意知x2—x+h<g在X∈[0,2）上恒成立,

即X2—x+Z?—y<0在x≡[0,2）上恒成立.

令S(x)=Λ2-χ+O-x∈[0,2),

I3

则9(X)<8(2),则4-2+匕一]WO,即ZJW一5

四'解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或

演算步骤）

17.（本小题满分10分）在①{尤|a一1≤r≤α},②{x∣α≤x≤α+2},③{小。

WxW√^+3}这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中.若问题中的α存在，

求α的值；若。不存在，请说明理由.

已知集合A=,B={X∣Λ2-4X+3≤0}.若"x∈A"是"x∈8"的充

分不必要条件，求实数α的取值范围.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

［解析］由题意，知A不为空集，B={Λ∣X2-4X+3≤0}={Λ∣1≤X≤3}.

因为"x∈A"是"χGB'’的充分不必要条件，所以AB.

当选条件①时，晨a—3121,,或［a—右1>1,,解得"W3.

所以实数α的取值范围是［2,3］.

1,a>l,

当选条件②时，《或〈

、。+2<3[α+2W3,

不等式组无解，所以不存在。的值满足题意.

当选条件③时，,或j

Λ∕^+3<3Λ∕^+3W3,

不等式组无解，所以不存在。的值满足题意.

x+2,x≤0,

18.（本小题满分12分）已知函数∕U）=J且点（4,2）在函数/U）

JOg6/X,x>0,

的图象上.

（1）求函数y（x）的解析式，并在如图所示的平面直角坐标系中画出函数/U）的图

象;

y

(2)求不等式儿r)<l的解集；

(3)若方程/U)-2m=0有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围.

［解析］(1)：点(4,2)在函数的图象上*4)=IOg“4=2,解得α=2.

x+2,x≤0,

∙√ω=.Iogzx,Λ>0.

函数的图象如图所示.

fx>O,∣x≤O,

(2)不等式yu)<ι等价于∣I或I

ll0g2x<llx÷2<l,

解得0<r<2或x<—1,

二原不等式的解集为{x∣0<r<2或x<—1}.

(3)：方程“r)-2加=0有两个不相等的实数根，

二函数旷=2m的图象与函数y=次幻的图象有两个不同的交点.

结合图象可得2m≤2,解得"2≤1.

实数加的取值范围为(-8,I］.

19.(本小题满分12分)已知函数危)=cos(W+x)cosA—x),g(x)=gsin2x—

(1)求函数IAX)的最小正周期；

(2)求函数%(x)=*X)—g(x)的最大值，并求使∕2(x)取得最大值时X的集合.

13

［解析］=ιCOS2Λ—Wsin2%=

1+cos2x3(1—cos2x)1ʌ1

8.8=2C0S2X~4,

.∙J(x)的最小正周期为T=^=π.

(2)h(x)=βx)-g(x)

=11cos2Cx-]1S∙InC2x

=2cosl2x÷4√,

TT

当2χ-∖-~^=2kτι(k≡Z),

即X=E—京AeZ)时，%(x)有最大值卓.

此时X的集合为卜IX=际1一1，⅛∈Z∣.

20.(本小题满分12分)某工厂现有职工320人，平均每人每年可创利20万

元，该工厂打算购进一批智能机器人(每购进一台机器人，将有一名职工下岗).据

测算，如果购进智能机器人不超过100台，每购进一台机器人，所有留岗职工(机

器人视为机器，不作为职工看待)在机器人的帮助下，每人每年多创利2千元，每

台机器人购置费及日常维护费用折合后平均每年2万元，工厂为体现对职工的关

心，给予下岗职工每人每年4万元补贴；如果购进智能机器人数量超过100台，

则工厂的年利润y=8202+lgX万元(x为机器人台数且x<320).

(1)写出工厂的年利润y与购进智能机器人台数X的函数关系；

(2)为获得最大经济效益，工厂应购进多少台智能机器人？此时工厂的最大年

利润是多少？(参考数据：Ig220.3010)

［解析］(1)当购进智能机器人台数XWlOO时，

工厂的年利润y=(320—x)(20+0∙2x)—4χ-2x

=-0.2X2+38Λ+6400,

二)=

--0.2Λ2+38X+6400,0≤X≤100,X∈N,

8202+lgX,100<x<320,x∈N.

⑵由⑴知,当OWXWIoO时,y=-0.2(x—95)2+8205,

当x=95时，>aχ=8205;

当QlOO时，y=8202+lgx为增函数，

8202+lgx<8202+Ig320=8202+1+51g2^8204.505<8205.

综上可得，工厂购进95台智能机器人时获得最大经济效益，此时的最大年利

润为8205万元.

21.(本小题满分12分)已知於)=sin(2x+1)+sin(2x—^)+2cos2χ,x∈R.

(1)求火x)的最小正周期；

(2)求的单调减区间；

JTTT

(3)若函数g(x)=/㈤一"2在区间［—4，不上没有零点，求m的取值范围.

［解析］(I)XX)=TSin2x+坐CoS2x÷^sin2x一坐COS2x÷2cos2x=sin2%÷cos

2x+1=√2sin(2x+ξ∣÷1.

・①=2,・・T=TL

Ji兀3兀

(2)由1+2EW2x+1W~^^+2E,^∈Z,

得］+kπ,⅛∈Z,

Tr5τt

.♦JU)的单调减区间为［E+g,⅛π+γj,z∈z.

ππ

(3)作出函数尸危)在［谭刃上的图象如图所示.

函数g(x)无零点，即方程√(x)-■机=0无解，

亦即函数尸危)与y=加的图象在χ∈［一今JT小TT上无交点，从图象可看出外)

在一去4上的值域为［°，λ∕2÷l］,则eS+1或机<0.所以m的取值范围为

{m∖m>y[2+1或m<0}.