结业测试卷（选择性必修第一册、选择性必修第二册全册）（提高篇）（人教A版2019必修第一册）（解析版）

结业测试卷（选择性必修第一册、选择性必修第二册全册）（提高篇）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2022上·江苏连云港·高二校联考期中）若直线l:kx-y+4+2k=0A．k∣k=±1 B．k∣k<-【解题思路】先求出直线l的恒过点A-2,4，再将曲线y=4-x2【解答过程】由题可知，直线l可转化为x+2k-y+4=0又因为曲线y=4-x2可转化为当直线l与该曲线相切时，点0,0到直线的距离d=4-2k设B2,0，则k由图可得，若要使直线l:kx-y+4+2k故选：D.2．（5分）（2023上·江苏·高三校联考阶段练习）设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn+an=1，记bm为数列{aA．2023×2024 B．22024-1 C．6-【解题思路】首先根据Sn与an的关系，得到数列{an}的通项公式，再根据规律找到满足条件能使an【解答过程】因为Sn+a两式相减，得2a又当n=1时，a1=所以{an}是以a1=显然an递减，要使得an最小，即要使得令12n≥若m=1，则n若2≤m≤3，则若4≤m≤7若8≤m≤15，则若1024≤m≤2047，则则TT7∴T2047=11×故选：D.3．（5分）（2023上·上海浦东新·高二校考期中）如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1A．MN的最小值为2B．四面体NMBC的体积为4C．有且仅有一条直线MN与ADD．存在点M,N，使【解题思路】利用异面直线的距离可判定A，利用棱锥的体积公式可判定B，利用特殊位置可排除C，利用坐标法可判定D.【解答过程】根据正方体的特征可知C1D1又AD1⊂面A即C1D1是异面直线A当M、N分别与D1、C1重合时，易知S△NBC=12易知△AB1D1是等边三角形，所以当M是AD1又由A项可知当M、N分别与D1、C如图所示，建立空间直角坐标系，则B2,2,0，可设Mx,0,2-若存在点M,N，使△MBN由MB2=解方程得y=当y=又因为11<82⇒22-1故选：C.4．（5分）（2023上·云南昆明·高二校考期中）如图，双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两顶点为A1,A2，虚轴两端点为B1,B2

A．5-12 B．5+12 C【解题思路】根据几何关系列出有关a,b,c【解答过程】虚轴两端点为B1,B所以菱形F1B1以A1A2为直径的圆内切于菱形所以AF2在△O12bc=所以b2c2所以c2-a2=设矩形ABCD，BC在△OF2A中，用等面积法得：且4m2+4n2所以矩形ABCD的面积S2所以S1故选：C.5．（5分）（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）已知圆C:(x-2)2+y2=1，点P是直线l:x+A．圆C上恰有一个点到直线l的距离为1B．切线长PA的最小值为2C．四边形ACBP面积的最小值为2D．直线AB恒过定点(【解题思路】利用圆心到直线的距离可判断A，利用圆的性质得切线长|PA|=|PC|2-1利用点到直线的距离判断B，由题意四边形ACBP面积为|PA||CA|=|【解答过程】由圆C：(x-2)2+∴圆心C到直线l：x+y=0的距离为|2|2=由圆的性质，切线长|PA∴当|PC|最小时，|PA|有最小值，又|PC∵四边形AMBP面积为|PA∴四边形AMBP面积的最小值为1，故C错误；设P(t,-t)，由题知A，B∴(x-t又圆C：(x-2)∴直线AB的方程为：(2-t)x由{2x-3=0x-y-2=0，得故选：D.6．（5分）（2023上·江苏无锡·高三校联考阶段练习）已知函数fx在R上都存在导函数f'x，对于任意的实数fxf-x=e2x，当x<0时，A．a>c>b B．c>b【解题思路】构造函数g(x)=f【解答过程】令g(x)=f(所以当x<0时，g'(x)=因为g(x)=f(x)所以g(-x)=故g(x)又a=flnc=5而ln5>1>ln2，所以g故选：B.7．（5分）（2023上·辽宁沈阳·高二校考阶段练习）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AA1=4，AC=BC=2，∠

A．三棱锥D-ABCB．直线CD与AB所成角的余弦值的取值范围是0,C．当D为B1C1中点时，三棱锥D．存在点D，使得CD【解题思路】根据△ABC为直角三角形可确定外接圆圆心位置，建立空间直角坐标系，设D0,t,40≤t≤2，由OC=OD，从而确定三棱锥D-ABC的外接球球心位置及外接球半径范围，利用球的体积公式可求判断选项A错误；利用向量夹角公式及t的取值范围可直接判断选项B错误；利用等体积法可求出三棱锥【解答过程】因为AA1⊥底面ABC，∠

则C0,0,0，A2,0,0，B0,2,0，A设三棱锥D-ABC的外接球球心为∵△ABC∴△ABC外接圆圆心在斜边AB上，设为O1，则OO1⊥底面ABC∴1+1+λ∴λ=∵0≤t∴158∴OC≤∴三棱锥D-ABC的外接球体积的最大值为43∵CD=0，∴cosCD当t=0时，则cos当0<t≤2时，cosCD,AB=∴0<∴cosCD,AB当D为B1C1中点，E为A又∵AB//∴DE//AB，又DE⊂面DEF，AB∴AB//面DEF∴点A到面DEF的距离等于点B到面DEF的距离，∴三棱锥E-FBD的体积为VE-∵CD=0，由CD⊥BA∴t=8，与0≤t≤2矛盾，故故选：C.8．（5分）（2023上·重庆渝中·高三校考阶段练习）已知函数fx的定义域为0,+∞，导函数为f'x，不等式x+12fA．-∞,4 B．0,2 C．-4,2【解题思路】由已知有x2fx'>x2fxx+1，构造gx=x【解答过程】由x+12f令gx=x2f所以x+1>0，则g令Gx=g所以Gx在0,+不等式fx+4<3x而G6=g由于Gx在0,+∞上是单调递增函数，所以x+4<6故选：C．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）（2023上·湖北·高三校联考阶段练习）已知数列an满足a1=23A．aB．∃p，q∈N*C．an=1D．记an的前n项积为Tn【解题思路】A选项，变形得到an+1-12=2an-122≥0，若an+1=12，推出a1=12，矛盾，故an+1>12，即an-12>0；B选项，得到a【解答过程】A选项，由an+1=2若an+1=12，则an=故an+1>12，此时aB选项，由an+1=2因为an>12，若an+1≥1，则a故an+1<1，又a则an+1-anC选项，假设an=121+将an=1a=1或者取n=4验证可知C不成立，所以CD选项，由an+1-2n因为an+1>12，所以2另解AB选项：由anlga令lgan-12故λ=lg2故bn+lg2为等比数列，首项为故bn-lg代入lgan-12=b因为函数y=2×3x-1则数列an=12+12×32n-1故选：AD.10．（5分）（2023上·内蒙古呼和浩特·高二呼市二中校考期中）如图，棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA．三棱锥A1B．直线A1G与平面C．线段B1C上存在点G，使平面EFGD．三棱锥A1-【解题思路】利用锥体的体积公式可判断A选项的正误；以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断BC选项的正误；设出球心的坐标为O32,t,32，求出【解答过程】对于A选项，因为G∈平面BB1C1所以点G到平面AA1D△A1EF所以VA1-如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则A2,0,0,B对于C，设平面BDC1的法向量为m=x1由m⋅DB=2设CG=λCB1则EG=所以m⋅EG=2故平面EFG与平面BDC1不平行，对于B选项，由B选项知G2λ,2,2λ，其中设平面A1BD的法向量为n=则n⋅DB=2设直线A1G与平面A1则sin=1所以直线A1G与平面A1对于D选项，由题意可知，三棱锥A1-EFG且垂直于平面AA设球心为O32,t,由OA1=OG，可得因为0≤λ≤1，则所以三棱锥A1-EFGD选项正确.故选：AD.11．（5分）（2023上·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期中）已知O为坐标原点，F1,F2分别是双曲线E:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左，右焦点，直线l:y=4A．双曲线E的离心率为25 B．双曲线E的渐近线方程是C．直线MA与MB的斜率之积为4 D．若ON=1，则△A【解题思路】由直线斜率为43可知tan∠AOF2=43，不妨设A在第一象限，即可得到A35c,45c，代入双曲线方程，即可得到关于e的方程，从而求出离心率，则渐近线方程可求，即可判断A、B，则双曲线方程可化为【解答过程】依题意得直线y=43x与双曲线两交点由F2A⋅设F2c,0，由直线斜率为4则sin∠AOF2=代入双曲线方程有9c即9c225化简得9e4-50e2+25=0，∵由e=ca=a2+b2由b2=4a设Ax1,根据点A,M在双曲线上则有①-②得x02-kAMkBM

点F2关于∠F1MF2的角平分线故F1又ON是△F2F点N的轨迹是以原点为圆心，a为半径的圆，则点N的轨迹方程为x2因为ON=1，所以a=1，所以双曲线方程为所以c=5，则A3所以S△AF故选：BCD.12．（5分）（2023上·江苏南通·高三统考期中）已知函数fx=aA．函数fx恒有1B．当a=e时，曲线y=fC．若函数fx有2个零点，则D．若过点P0,t存在2条直线与曲线y【解题思路】先求导根据参数不同判断极值点个数，然后化归思想把零点问题和切线条数问题转化为方程的根进而转化为函数的交点的个数的问题即可.【解答过程】因为fx=a对于A：因为a2x>0恒成立，所以当a∈0,1所以此时不存在极值点，故A错误；对于B：当a=e，fx=e又f0=1，所以切线方程为y-1=x对于C：函数fx有2个零点等价于方程a即a2令hx=ln当x∈0,e时，h'x所以hx在0,e上单调递增，在所以hxmax=he=1e，当x所以要使得2lna=所以0<lna<对于D：设切点坐标为x0,a又因为切线经过点P0,t，所以所以2a2x令m=a2x0因为过点P0,t存在2条直线与曲线令φm=m所以φm在0,1上单调递增，在1,+所以φmmax=φ1=1，当m→0所以要使得方程t=m-mln故选：BCD.三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2023上·江苏淮安·高三校联考阶段练习）已知x为不超过x的最大整数，例如0.2=0，1.2=1，-0.5=-1，设等差数列an的前n项和为Sn=n21+an且【解题思路】求出an=n，则得到bn【解答过程】由题意得Sn=nS5=5所以公差d=3-12=1，所以当n=1时，b当2≤n≤3时，当4≤n≤7时，当8≤n≤15时，当16≤n≤31时，当32≤n≤63时，当64≤n≤100时，所以数列bn的前100项和为0+1×2+2×4+3×8+4×16+5×32+6×37=480故答案为：480.14．（5分）（2023上·云南昆明·高二校考期中）已知点P为直线l:x+y-2=0上的动点，过点P作圆C:x2+2x+y【解题思路】先利用圆切线的性质推得A、P、B、C四点共圆，AB⊥CP，从而将|PC|⋅|AB|转化为2|PA|【解答过程】∵圆C：x2+2x∴C(-1,0)，∵PA，PB是圆C的两条切线，则PA⊥AC，∴A、P、B、C四点共圆，且AB⊥CP∴|PC∵|PA∴当|PC|最小，即PC⊥此时PC方程为y=联立y=x+1x+y-∴以PC为直径的圆的方程为(x即x2∵圆C：x2∴两圆方程相减即为AB的方程3x故答案为：3x

15．（5分）（2023上·四川成都·高三校考期中）已知函数f(x)=2x+2,-2≤x≤1lnx-1,1<x【解题思路】利用fx的单调性以及已知条件得到x1=m-22,【解答过程】因为f(所以fx=2x+2在fx=lnx-又f(x)=m的两根为从而x2令g(x)=xe因为x∈(-1,0]，所以x所以g'(x)>0在(-1,0]上恒成立，从而又g(0)=0,g(-1)=-即x2-x故答案为：-516．（5分）（2022上·江西抚州·高二临川一中校考期末）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1①存在点M，使得直线AM与直线B1C夹角为②存在点M，使得C1M与平面AB③存在点M，使得三棱锥D1-C④存在点M，使得α>β，其中α为二面角M-AA1-则上述结论正确的有②③．（填上正确结论的序号）【解题思路】对①：由连接AD1，BC1，由B1C⊥平面ABC1D1，即可判断；对③：设M到平面CDD1C1的距离为h，则0⩽h⩽1，所以VD1-C1DM【解答过程】解：对①：连接AD1，BC1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，由AB⊥平面BCC对③：设M到平面CDD1C1的距离为h，则0⩽对④：以C为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，设则AB=(-1，0，0)，AA1=(0，0，1)，BD1=(1，-1，1)，BM=(λ，-λ∴cosβ=|设平面MAA1的法向量为n=(x，y，z)取n=(λ，λ-1，0)，又DA=(0，1又二面角M-所以cosα∵3λ∴3λ2-∴cosβ⩽cosα对②：由④的解析知，C1M=λ,1-设平面AB1C的法向量为m=a取a=1，则m设C1M与平面AB1C夹角为θ，令sinθ=cos<C1M故答案为：②③.四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2023上·浙江杭州·高二校联考期中）如图，三棱台ABC-A1B1C1中，A1C1

(1)在线段BC上求一点E，使A1B//平面C(2)若AA1=AB=2，∠A1AC=∠BAC=π3，点A1到平面【解题思路】（1）取BC的靠近点C的三等分点E，连接C1E，DE，DC1，证出平面AA1B1（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线B1D与平面AC【解答过程】（1）取BC的靠近点C的三等分点E，连接C1E，DE，

则AD=因为AD//A1C1因为DC1⊄平面AA1B1B，∵CDAC=∵DE⊄平面AA1B1B，AB∵DC1∩DE=D,D∵A1B⊂平面AA∴当BEBC=23（2）以A为坐标原点，如图所示的空间直角坐标系，

则B3,1,0，C0,3,0，设A1a,b,32∵点A1在底面ABC的射影落在△ABC内部，∴a∴A132,1,设平面ACC1A1的法向量为令x=3得z=-1由A1B1=2因为D0,2,0，所以B∴sin∴直线B1D与平面ACC18．（12分）（2023上·江苏苏州·高三统考阶段练习）已知函数fx(1)若a=-1，求证：当x≥0时，(2)讨论函数gx=fx【解题思路】（1）利用导数考查函数的单调性即可证明；（2）利用导数考查函数的单调性，结合零点存在性定理即可求解.【解答过程】（1）当a=-1时，fx=因为x≥0，所以ex≥1≥所以fx在0,+∞上单调递增，（2）由题意，gx所以g'1∘当x∈π所以g'x=ex2∘.当x∈0,因为h'所以g'x=且g①当g'0=1+2g'x=所以gx在0,π2上单调递增，结合1可知，g因为g0=0，所以gx在区间0,②当g'0=1+2∃x0∈结合1∘当x∈0,x当x∈x0所以g0所以存在x1=0和x2即gx在区间0,π综上：当-12≤a<0时，g当a<-12时，gx在区间19．（12分）（2023上·湖北·高二校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，圆M为过点A1,-(1)求圆M的标准方程：(2)过点D1,0作直线l1，交圆M于P､Q两点，①过点D作与直线l1垂直的直线l2，交圆M于EF两点，记四边形EPFQ的面积为S，求②设直线OP,CQ相交于点G，试讨论点【解题思路】（1）设出圆方程，代入求解即可；（2）直线l1的方程为x=my+1，分m=0与m≠0两种情形讨论，∴S=12【解答过程】（1）设圆M的标准方程为((1-∴圆M的标准方程为(（2）设直线l1的方程为x=my+1，即x-my∴（i）若m=0，则直线l2为x轴，此时则S=若m≠0，则直线l2为x=-则圆心M到直线l2的距离∴∵m2+∴0<∴综上所述：S（ii）设Pxx直线OP方程为y=y1x1x，直线CQ由①可知m∴∴点G在定直线x=-2上

20．（12分）（2023上·天津·高三校联考期中）已知数列an的前n项和Sn=n2+n(1)证明：bn(2)设数列{cn}的前n项和为Tn，且(3)设数列dn满足：dn=【解题思路】（1）由递推关系得bn（2）利用an,Sn关系求an（3）讨论n的奇偶性，利用裂项相消法和错位相减法，分别求出dn奇数项、偶数项的和，即可证结论【解答过程】（1）由bn+1=2所以bn-1是以2为首项，2（2）当n=1时，有a1=S1显然a1=1也满足，故an=n，结合b故Tn（3）当n为奇数时，dnd1+d当n为偶数时，dnd2设Qn=1两式相减得34Qn=1+所以d2+d21．（12分）（2023上·全国·高二专题练习）已知椭圆C:x2a2+y(1)求椭圆C的标准方程；(2)设点A,B是椭圆C上异于点P的两个不同的点，直线PA与PB的斜率均存在，分别记为k1,k2【解题思路】（1）由题意可得