第02讲平面向量的运算（知识解读题型归纳随堂测试）（原卷版）

第02讲平面向量的运算知识点1：向量的加法运算（1）向量加法的定义及两个重要法则：1.定义：求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法.2.运算法则：①三角形法则：已知向量，在平面上任取一点，作，，再作向量，则向量叫做和的和（或和向量），记作，即．②平行四边形法则：①已知两个不共线的向量，，作，，则，，三点不共线，以，为邻边作平行四边形，则对角线上的向量，这个法则叫做向量求和的平行四边形法则．多边形法则：已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则．知识点2：向量的加法运算定律向量加法的交换律：向量加法的结合律：关于：知识点3：向量的减法运算（1）相反向量我们规定,与向量“长度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量,记作a零向量的相反向量仍是零向量由相反向量的定义,我们有如下结论:(a)=a;(2)a+(a)=(a)a=0;(3)若a,b互为相反向量,则a=b,b=a,a+b=0.（2）向量减法的定义向量a加上b的相反向量,叫做a与b的差,即ab=a+(b).求两个向量差的运算叫做向量的减法向量减法的三角形法则如下图,已知向量a,b,在平面内任取一点0,作=a,=b则==ab.即ab可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量，这是向量减法的几何意义.知识点4：向量形式的三角不等式（1）当向量a,b不共线时,作=a,=b,则a+b=,如图(1),根据三角形的三边关系,有llallbll<la+bl<lal+Ibl.（2）当a与b同向共线或a,b中至少有一个为零向量时,作法同上,如图(2),此时la+bl=lal+lbl;当a与b反向共线或a,b中至少有一个为零向量时,不妨设lal>lbl,作法同上,如图(3),此时la+bl=llallbll.故对于任意向量a,b,总有llallbll<la+bllal+lbl①由于labl=la+(b)l，所以llallbll≤labl≤lal+lbl,即llallbll<labl<lal+lbl②，将①②两式结合起来,即llallbll<labllal+lbl,我们称之为向量形式的三角不等式。知识点4：向量的数乘运算（1）向量的数乘的定义一般地,我们规定实数与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作a,它的长度与方向规定如下:(1)当>0时,a的方向与a的方向相同;当<0时,a的方向与a的方向相反（2）向量的数乘的几何意义(1)当>1时,有>lal,这意味着表示向量a的有向线段在原方向(>1)或反方向(<1)上伸长到原来的倍;(2)当0<<1时,有<lal,这意味着表示向量a的有向线段在原方向(0<<1)或反方向(1<<0)上缩短到原来的倍（3）向量的数乘的运算律设,从为实数,那么(1);(2);(3).特别地,我们有()a=(a)=(a),(ab)=ab.（4）向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a,b.以及任意实数,,恒有知识点5：向量共线定理向量共线的条件：如果，则∥；反之，如果∥，且，则一定存在唯一的一个实数，使．【题型1向量的加减运算】【典例1】如图，按下列要求作答．(1)以A为始点，作出；(2)以B为始点，作出；(3)若为单位向量，求、和．【变式11】化简（

）A． B． C． D．【变式12】化简下列各式:(1)(2)【变式13】已知用向量加法的三角形法则作出.(1)；(2).【典例2】化简下列各式：(1)(2)【变式21】简化．【变式22】如图，已知向量，，不共线，求作向量．【题型2三角形(平行四边形)法则的应用】【典例3】如图，在平行四边形中，下列计算不正确的是（

）A． B．C． D．【变式31】如图，在平行四边形中，，，则可以表示为（

）A． B． C． D．【变式32】如图，在平行四边形中，（

）A． B． C． D．【变式33】已知为三角形所在平面内一点，，则（

）A． B． C． D．【题型3向量的线性运算】【典例4】计算：(1)；(2)．【变式31】化简下列各式：(1)；(2)【变式32】化简（1）；（2）【变式33】化简：(1)；(2)；(3).【变式34】化简：(1)；(2)；(3)．【题型4用已知向量表示相关向量】【典例5】若向量，满足，，、为已知向量，求向量，．【变式51】已知，，求，与．【变式52】已知，是两个不共线的向量，向量，，求（用，表示）．【变式53】（1）已知，，求.（2）已知向量，且，，求，.【题型5向量共线定理的应用】【典例6】已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且，，三点共线．(1)求实数的值；(2)若，，求的坐标；(3)已知，在（2）的条件下，若四边形是平行四边形，求点的坐标．【变式61】已知，，求证：与共线.【变式62】设，是不共线的两个非零向量.(1)若，求证：A，B，C三点共线；(2)若与共线，求实数k的值.【题型6向量线性运算在三角形中的运用】【典例7】如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA、OB上的动点，且P，G，Q三点共线．(1)设，将用，，表示；(2)设，，证明：是定值．一、单选题1．如图，在平行四边形中，（

）A． B． C． D．2．化简得（

）A． B． C． D．3．在中，，则（

）A． B． C． D．4．在中，为边上的中线，，若，则（

）A． B．1 C．0 D．5．已知向量，那么等于（

）A． B． C． D．6．已知，则下列命题正确的是（

）A． B．C． D．7．若平面四边形满足，则该四边形一定是（

）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形8．在中，为上一点，且，则（

）A． B．C． D．二、多选题9．如图，点是线段的三等分点，则下列结论正确的有（

）A． B．C． D．10．若都是非零向量，且，则（

）A．方向相同 B．方向相反 C． D．三、填空题11．若向量与共线，且，则．12．已知向量不共线，，，，则实数．13．填空：（1）；（2）．14．若向量满足，则的最小值为，的最大值为．15．如图所示，已知到平行四边形的三个顶点的向量分别为，则(用表示)．16．已知向量、、满足关系式，那么可用向量、表示向量17．如图，已知，若，则，.四、解答题18．计算：(1)(2)．19．已知，，求证，，三点共线.20．一质点从点出发，先向北偏东方向运动了到达点，再