广东省东莞四中高三上学期数学第十周周测

东莞四中20202021年高三第一学期数学第10次周测班级姓名学号分数一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．(2018北京)已知集合，，则A．{0，1} B．{–1，0，1}C．{–2，0，1，2}D．{–1，0，1，2}2．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．函数的图像大致为4．设曲线在点处的切线方程为，则=A．0B．1C．2D．35．已知向量，且，则=A． B． C．6 D．86.若非零向量，满足，且，则与的夹角为A．B．C．D．7.以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于A．B．C．2D．18.直线被圆截得的弦长为A．1B．2C．4D二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9..如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列等式中正确的是()A.eq\o(FD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＝0B.eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝0C.eq\o(FD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))D.eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o(FD,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))10.已知,是两条不同的直线,,是两不同的平面,是一个点,其中正确的是()A．若,,则;B．若,,则;C．若,,,,则;D．若,,,,,则.11.下列四个解不等式，正确的有（）A.不等式2x2－x－1>0的解集是(－∞，1)∪(2，＋∞)B.不等式－6x2－x＋2≤0的解集是C.若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7<x<－1}，那么a的值是3D.关于x的不等式x2＋px－2<0的解集是(q，1)，则p＋q的值为112.不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有（）A．2张卡片都不是红色 B．2张卡片恰有一张红色 C．2张卡片至少有一张红色 D．2张卡片都为绿色三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上．第16题第一空2分，第二空3分.13.i是虚数单位，复数．14.的展开式中的系数为．(用数字填写答案)15.某高三毕业班有人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）16.已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的六个顶点都在球O的表面上，若这个三棱柱的体积为，AB＝3，则AA1＝__________，球O的表面积为__________．四、解答题:本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在平面直角坐标系中，点、、．（1）求以线段、为邻边的平行四边形两条对角线的长；（2）设实数满足()·=0，求的值．18.在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，焦距为．求椭圆的方程；(提示:椭圆离心率为,椭圆的,焦距为两焦点的距离,椭圆的两焦点为).19．在平行六面体中，，．求证：(1)平面；(2)平面平面．20．如图，四棱锥中，，，分别为线段的中点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：.21.如图，A地到火车站共有两条路径和，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：时间（分钟）10~2020~3030~4040~5050~60的频率0.10.20.30.20.2的频率00.10.40.40.1现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站．（Ⅰ）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？（Ⅱ）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（Ⅰ）的选择方案，求的分布列和数学期望。22．已知函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）证明：对任意的，存在唯一的，使．20202021年高三第一学期数学第10次周测答案一、12345678AABDDAAC1．A【解析】，，∴，故选A．2．A【解析】若直线相交，设交点为，则，又，所以，故相交．反之，若相交，则可能相交，也可能异面或平行．故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A．3．B【解析】当时，因为，所以此时，故排除A．D；又，故排除C，选B．4．D【解析】，由题意得，即．5．D【解析】由向量的坐标运算得，∵，∴，解得，故选D．6.A【解析】由题意，即，所以，，，选A．7.A【解析】圆柱的底面半径为1，母线长为1，8.C【解析】圆心，圆心到直线的距离，半径，所以最后弦长为.二、9101112ABCCDBCDABD9.【答案】A，B，C【解析】eq\o(FD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(FA,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＝0，eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝0，eq\o(FD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(FE,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o(FD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋0＝eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))≠eq\o(BD,\s\up6(→)).故选A，B，C.10.【答案】CD【解析】对于A,若,,可不在直线,故A错误;对于B,若,,可知上有一点在内,根据两点确定一条直线可知,不一定在内,故B错误;对于C,,,,,故C正确;对于D,,,,,,故D正确.11.【答案】B，C，D【解析】对于A：∵2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)，∴由2x2－x－1>0得(2x＋1)(x－1)>0，解得x>1或x<－eq\f(1,2)，∴不等式的解集为∪(1，＋∞).故A错误；对于B，∵－6x2－x＋2≤0，∴6x2＋x－2≥0，∴(2x－1)(3x＋2)≥0，∴x≥eq\f(1,2)或x≤－eq\f(2,3).故B正确；对于C：由题意可知－7和－1为方程ax2＋8ax＋21＝0的两个根.∴－7×(－1)＝eq\f(21,a)，故a＝3.正确对于D：依题意得q，1是方程x2＋px－2＝0的两根，q＋1＝－p，即p＋q＝－1，正确.12.【答案】ABD【解析】6张卡片中一次取出2张卡片的所有情况有：“2张都为红色”、“2张都为绿色”、“2张都为蓝色”、“1张为红色1张为绿色”、“1张为红色1张为蓝色”、“1张为绿色1张为蓝色”，选项中给出的四个事件中与“2张都为红色”互斥而非对立“2张都不是红色”“2张恰有一张红色”“2张都为绿色”，其中“2张至少一张为红色”包含事件是“2张都为红色”二者并非互斥．三、13.【解析】14.－20【解析】中，令，再令，得的系数．15.1560【解析】由题意，故全班共写了1560条毕业留言．16.4，28π【解析】由题意设高AA1＝b，由题意V＝S•b＝，解得：b＝4；外接球的球心为过底面外接圆的圆心做底面的垂线与中截面的交点，设外接球的半径为R，底面半径为r，则R2＝r2+（）2，因为底面为等边三角形，所以，即r＝，所以R2＝3+4＝7，所以球O的表面积为4π•7＝28π；四、17.在平面直角坐标系中，点、、．（1）求以线段、为邻边的平行四边形两条对角线的长；（2）设实数满足()·=0，求的值．【解析】（1）（方法一）由题设知，则所以故所求的两条对角线的长分别为、．（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则:E为B、C的中点，E（0，1）又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4）故所求的两条对角线的长分别为BC=、AD=；（2）由题设知：=(－2,－1)，．由()·=0，得：，从而所以．或者：，．18.在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，焦距为．求椭圆的方程；(提示:椭圆离心率为,椭圆的,焦距为两焦点的距离,椭圆的两焦点为).解:由题意知，，所以，因此椭圆的方程为．19．在平行六面体中，，．求证：(1)平面；(2)平面平面．【证明】(1)在平行六面体中，．因为平面，平面，所以∥平面．(2)在平行六面体中，四边形为平行四边形．又因为，所以四边形为菱形，因此⊥．又因为⊥，∥，所以⊥．又因为=，平面，平面，所以⊥平面．因为平面，所以平面⊥平面．20．如图，四棱锥中，，，分别为线段的中点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：.【解析】（Ⅰ）设，连结OF，EC，由于E为AD的中点，，所以,因此四边形ABCE为菱形，所以O为AC的中点，又F为PC的中点，因此在中，可得．又平面，平面，所以∥平面．（Ⅱ）由题意知，，所以四边形为平行四边形，因此．又平面PCD，所以，因此．因为四边形ABCE为菱形，所以．又，AP，AC平面PAC，所以平面．21.如图，A地到火车站共有两条路径和，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：时间（分钟）10~2020~3030~4040~5050~60的频率0.10.20.30.20.2的频率00.10.40.40.1现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站．（Ⅰ）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？（Ⅱ）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（Ⅰ）的选择方案，求的分布列和数学期望。【解析】（Ⅰ）表示事件“甲选择路径时，40分钟内赶到火车站”，表示事件“乙选择路径时，50分钟内赶到火车站”，=1,2．用频率估计相应的概率可得=0.1+0.2+0.3=0.6，=0.1+0.4=0.5，＞，甲应选择．=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8，=0.1+0.4+0