高考数学一轮复习-2-直线与圆课件-新人教A

最新考纲

1.理解圆周角定理及其推论；掌握圆的切线的判定定理及性质定理；理解弦切角定理及其推论；2.掌握相交弦定理、割线定理、切割线定理；理解圆内接四边形的性质定理与判定定理．第2讲直线与圆1．圆周角定理与圆心角定理 (1)圆周角定理及其推论

①定理：圆上一条弧所对的_______等于它所对的______的一半．

②推论：(ⅰ)推论1：___________所对的圆周角相等；____________中，相等的圆周角所对的___也相等． (ⅱ)推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是_____；90°的圆周角所对的弦是_____． (2)圆心角定理：圆心角的度数等于________________．知识梳理圆周角圆心角同弧或等弧同圆或等圆弧直角直径它所对弧的度数2．弦切角的性质

弦切角定理：弦切角等于它_________所对的圆周角．3．圆的切线的性质及判定定理 (1)定理：圆的切线_______经过_____的半径． (2)推论：

①推论1：经过_____且垂直于切线的直线必经过_____．

②推论2：经过_____且垂直于切线的直线必经过_____．所夹的弧垂直于切点圆心切点切点圆心4．与圆有关的比例线段定理名称基本图形条件结论应用相交弦定理弦AB，CD相交于圆内点P(1)PA·PB＝_______；(2)△ACP∽_______(1)在PA，PB，PC，PD四线段中知三求一；(2)求弦长及角割线定理PAB，PCD是⊙O的割线(1)PA·PB＝_______；(2)△PAC∽_______(1)求线段PA，PB，PC，PD；(2)应用相似求AC，BDPC·PD△BDPPC·PD△PDB切割线定理PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线(1)PA2＝_______；(2)△PAB∽______(1)已知PA，PB，PC知二可求一；(2)求解AB，AC切线长定理PA，PB是⊙O的切线(1)PA＝____；(2)∠OPA＝_______(1)证线段相等，已知PA求PB；(2)求角PB·PC△PCAPB∠OPB5.圆内接四边形的性质与判定定理 (1)圆内接四边形的性质定理

①定理1：圆内接四边形的对角_____．

②定理2：圆内接四边形的外角等于它的____________． (2)圆内接四边形的判定定理及推论

①判定定理：如果一个四边形的对角_____，那么这个四边形的四个顶点_____．

②推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的_____，那么这个四边形的四个顶点_____．互补内角的对角互补共圆对角共圆1.如图，△ABC中，∠C＝90°，

AB＝10，AC＝6，以AC为直径的

圆与斜边交于点P，则BP长为

________．

解析连接CP.由推论2知∠CPA＝90°，即CP⊥AB，由射影定理知，AC2＝AP·AB.∴AP＝3.6，∴BP＝AB－AP＝6.4.

答案

6.4诊断自测答案

50°3．(2014·陕西卷)如图，△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC＝2AE，则EF＝________．

答案

34.(2015·广州调研)如图，四边形ABCD

内接于⊙O，BC是直径，MN与⊙O

相切，切点为A，∠MAB＝35°，

则∠D＝________．

解析连接BD，由题意知， ∠ADB＝∠MAB＝35°，∠BDC＝90°，故∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝125°.

答案

125°5．如图所示，过点P的直线与⊙O相交于A，B两点．若PA＝1，AB＝2，PO＝3，则⊙O的半径r＝________．

解析设⊙O的半径为r(r＞0)，

∵PA＝1，AB＝2，∴PB＝PA＋AB＝3.

延长PO交⊙O于点C，

则PC＝PO＋r＝3＋r.

设PO交⊙O于点D，则PD＝3－r.

由圆的割线定理知，PA·PB＝PD·PC，考点一圆周角、弦切角及圆的切线问题【例1】如图所示，⊙O的直径为6，AB

为⊙O的直径，C为圆周上一点，BC

＝3，过C作圆的切线l，过A作l的垂

线AD，AD分别与直线l、圆交于D、E. (1)求∠DAC的度数； (2)求线段AE的长．

解

(1)由已知△ADC是直角三角形，易知∠CAB＝30°，

由于直线l与⊙O相切，由弦切角定理知∠BCF＝30°，

由∠DCA＋∠ACB＋∠BCF＝180°，又∠ACB＝90°，

知∠DCA＝60°，故在Rt△ADC中，∠DAC＝30°.(2)法一连接BE，如图1所示，∠EAB＝60°＝∠CBA，AB为公共边，则Rt△ABE≌Rt△BAC，所以AE＝BC＝3.

图1

图2

法二连接EC，OC，如图2所示，则由弦切角定理知，∠DCE＝∠CAE＝30°，又∠DCA＝60°，故∠ECA＝30°，

又因为∠CAB＝30°，故∠ECA＝∠CAB，从而EC∥AO，

由OC⊥l，AD⊥l，可得OC∥AE，故四边形AOCE是平行四边形，又因为OA＝OC，故四边形AOCE是菱形，故AE＝AO＝3.

规律方法

(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．【训练1】如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.

(1)证明：△ABE∽△ADC； (1)证明由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD.

因为∠AEB与∠ACD是同弧所对的圆周角．

所以∠AEB＝∠ACD.

故△ABE∽△ADC.考点二与圆有关的比例线段【例2】如图，PA切⊙O于点A，割线 PBC交⊙O于点B，C，∠APC的角

平分线分别与AB、AC相交于点D、 E，求证： (1)AD＝AE； (2)AD2＝DB·EC.

证明

(1)∠AED＝∠EPC＋∠C，∠ADE＝∠APD＋∠PAB.因PE是∠APC的角平分线，故∠EPC＝∠APD.又PA是⊙O的切线，故∠C＝∠PAB.

所以∠AED＝∠ADE.故AD＝AE.

规律方法涉及与圆有关的等积线段或成比例的线段，常利用圆周角或弦切角证明三角形相似，在相似三角形中寻找比例线段；也可以利用相交弦定理、切割线定理证明线段成比例，在实际应用中，一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理，涉及两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时要注意应用切割线定理．【训练2】(2013·天津卷)如图，△ABC

为圆的内接三角形，BD为圆的弦，

且BD∥AC.过点A作圆的切线与DB

的延长线交于点E，AD与BC交于

点F.若AB＝AC，AE＝6，BD＝5，

则线段CF的长为________．

解析由切割线定理得AE2＝EB·ED，解得EB＝4.

因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB＝∠ADB.

由弦切角定理得∠EAB＝∠EDA，

所以∠EAB＝∠ABC，则AE∥BC，考点三圆内接四边形的判定及应用【例3】(2015·银川一中月考)如图，

已知AP是⊙O的切线，P为切点， AC是⊙O的割线，与⊙O交于B、 C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点． (1)证明：A、P、O、M四点共圆； (2)求∠OAM＋∠APM的大小．

(1)证明连接OP，OM，因为AP

与⊙O相切于点P，所以OP⊥AP.

因为M是⊙O的弦BC的中点，

所以OM⊥BC，于是∠OPA＋∠OMA＝180°.由圆心O在∠PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A、P、O、M四点共圆．(2)解由(1)得A、P、O、M四点共圆，所以∠OAM＝∠OPM，由(1)得OP⊥AP，因为圆心O在∠PAC的内部，所以∠OPM＋∠APM＝90°，所以∠OAM＋∠APM＝90°.

规律方法

(1)如果四点与一定点距离相等，那么这四点共圆；(2)如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；(3)如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．【训练3】如下图，已知AB为圆O的一条直径