数字科学与计算技术 matrix theory矩阵论

数字科学与计算技术matrixtheory矩阵论矩阵论

教材：矩阵论简明教程（第二版）

徐仲，张凯院，陆全，冷国伟编著

科学出版社

第一章矩阵的基础知识§1.1矩阵的运算§1.2方阵的行列式§1.3矩阵的秩§1.4特殊矩阵类§1.1矩阵的运算一、矩阵的概念1、数集R—实数集，C—复数集2、矩阵的记号！Notations二、矩阵的运算1、加法，减法2、数乘3、乘法4、转置与共轭转置5矩阵的逆

6方阵行列式

7伴随矩阵

三、矩阵的运算规律1、求方阵的逆阵求逆矩阵的基本方法有：（1）定义法

例题（2）公式法

（3）初等变换法

解：用定义法

解：本题主要考查矩阵乘法的结合律与逆阵的定义解：四、矩阵分块及运算1、加法，减法2、数乘3、乘法4、转置与共轭转置§1.2方阵的行列式一、行列式的定义与性质Property1:IfAisasquarematrix,thendetA=detAT.Thatis,

Property2:Ifarow(orcolumn)ofAconsistsentirelyofzeros,thendetA=0.Thatis,Property3:IfmatrixBresultsfromMatrixAbyinterchang-ingtworows(orcolumns)ofA,thendetB=

detA.Thatis,Property4:IfBisobtainedfromAbymultiplyingarow(orcolumn)ofAbyarealnumberc,thendetB=cdetA.Property5:Ifeachelementofsomerow(orcolumn)ofdetAisthesumoftwonumbers,thenitcanrepresentedbythesumoftwodeterminant.Thatis,Property6:IfBisobtainedfromAbyaddingtoeachelementoftherthrow(orcolumn)ofA

ktimesthecorrespondingelementofthesthrow(orcolumn)(r≠s)ofA,thendetB=detA.Thatis,例1:求Solution:Exle2:Evaluatethefollowing(n+1)thorderdeterminantSolution:Exle3:EvaluatethefollowingnthorderdeterminantSolution:Exle4:EvaluatethefollowingnthorderdeterminantSolution:二、块矩阵的行列式即某行左乘一个矩阵加到另一行，值不变；某列右乘一个矩阵加到另一列，值不变。Exle1证：Exle2证：Exle3证：三、Vandermond行列式一、矩阵秩的定义及基本性质1、秩的定义§1.3矩阵的秩2、基本性质（1）初等变换不改变矩阵秩；Exle1SolutionExle2Solution二、矩阵秩等式三、矩阵秩不等式定理1推论1Exle1Proof§1.4特殊矩阵类一、几类基本的特殊矩阵1、零矩阵，单位矩阵I2、对角矩阵3、三角矩阵二、正规矩阵定义1以下矩阵都是正规矩阵：定义2三、初等矩阵类1、定义有以下三类初等矩阵：定义3Row

iRowj2、三种初等矩阵的统一表示！Notations四、其他特殊矩阵类第二章矩阵的相似变换§2.1矩阵的特征值与特征向量§2.2矩阵的相似对角化§2.3矩阵的Jordan标准形§2.4Hamilton-Cayley定理§2.5矩阵的酉相似一、特征值与特征向量1、定义§2.1矩阵的特征值与特征向量定义1！RemarksThefollowingresultgivesanecessaryandsufficientconditionforanumbertobeaneigenvalueofA.Theorem12、特征多项式定义2！Notations3、特征值与特征向量的求法例1解二、特征值与特征向量的性质定义3定理1定理2定义4定理3定理4！NotationsExle2SolutionExle3SolutionExle4Solution§2.2矩阵的相似对角化一、矩阵的相似1、定义定义12、性质定理1定理2Proof（2）二、相似对角化1、定义定义22、相似对角化的条件定理3Proof推论1推论2Exle2SolutionExle3Solution一、Jordan标准形1、定义定义1§2.3矩阵的Jordan标准形！Notations2、矩阵的Jordan分解定理定理1二、Jordan标准形的求法1、初等变换法定义2定理2！Notations定义3由初等变换求矩阵A的Jordan标准形方法：例1解2、行列式因子法定义3定理3由行列式因子求矩阵A的Jordan标准形方法：例2解例3解三、相似变换矩阵的求法与Jordan标准形的幂1、相似变换矩阵的求法例4解！Notations2、Jordan标准形的幂定理4！Notations例5解一、Hamilton-Cayley定理1、定理定理1（Hamilton-Cayley定理）§2.4Hamilton-Cayley定理证明！Notations1、利用定理1可以简化矩阵运算例1解2、可逆矩阵逆的多项式表示二、零化多项式与最小多项式1、零化多项式定义1！Notations2、最小多项式定义2定理2证略3、零化多项式与最小多项式的关系定理3证定理4证略例2解§2.5矩阵的酉相似1、向量的内积定义1定理12、向量的长度定义2向量的长度具有如下性质：定理23、Cauchy-Schwarz不等式定理3（Cauchy-Schwarz不等式）证1、定义定义3定理4证定义42、Schmidt正交化3、单位化例1解三、酉矩阵1、定义定义5！Notations2、性质定理5定理6证四、酉相似1、定义定义62、Schur分解定理7（Schur分解定理）证从而由归纳法可以证明。五、酉相似对角化1、正规矩阵定义7！Notations以下矩阵都是正规矩阵：定理8证：必要性充分性：2、Hermite矩阵，反Hermite矩阵及酉矩阵的特性定理9证酉相似对角化方法：例2解六、Hermite矩阵的正定性1、定义定义82、正定Hermite矩阵的性质定理10证定理113、非负定Hermite矩阵的性质定理12第三章矩阵分解§3.1矩阵的三个基本分解§3.2矩阵的三角分解§3.3矩阵的QR分解§3.4矩阵的奇异值分解将矩阵分解为形式比较简单矩阵的乘积，在矩阵论中是非常重要的，因为分解的这些特殊矩阵能反映原矩阵的某些重要的特性，如矩阵的秩，矩阵的行列式，特征值与奇异值等。而且分解的方法也提出了一些有效的数值计算方法与理论分析依据。本章主要介绍几种常用的矩阵分解。一、长方阵的分解1、长方阵的基本分解定理1§3.1矩阵的三个基本分解2、长方阵的满秩分解推论1证Remark滿秩分解的求法：二、方阵的分解1、Jordan分解定理22、Schur分解定理2一、可逆矩阵的三角分解1、定义定义1§3.2矩阵的三角分解例如下三角上三角一般情况下分解不唯一2、可逆矩阵的三角分解的条件定理1此定理说明：并不是所有可逆矩阵都可以作三角分解。例如：定理1的证明必要性充分性：3、不可逆矩阵的三角分解定理2此定理的条件仅是充分的，例如：定理2的证明二、几类特殊的三角分解1、Doolittle分解定义2！NotationsA的Doolittle分解单位下三角矩阵A的Crout分解单位上三角矩阵定理32、LDR分解定义3A的LDR分解定理4证再证唯一性3、正定Hermite矩阵的三角分解定义4定理5证三、三角分解的紧凑计算格式第1框第2框第n框例1解一、Householder矩阵1、定义定义1§3.3矩阵的QR分解2、基本性质定理1证利用结论：3、Householder变换定义2定理2证证毕定理3证推论1推论2！Notations例1解例2解二、矩阵的QR分解1、一般矩阵的QR分解定义3定理4证推论1例3解2、可逆矩阵的QR分解定理5证例4解一、矩阵的奇异值1、矩阵的酉等价定义1§3.4矩阵的奇异值分解！Notations（1）矩阵的奇异值分解是矩阵在酉等价下的一种标准形，它在优化问题，最小二乘法问题，广义逆矩阵及统计学中有着广泛的应用.2、矩阵的奇异值定义2！Notations定理1证二、矩阵的奇异值分解1、矩阵的奇异值分解定理2证推论1矩阵的奇异值分解的一般步骤：例1解2、矩阵的极分解定理3证第4章矩阵分析§4.1向量的范数§4.2矩阵范数§4.3矩阵级数§4.4矩阵函数§4.5矩阵的微分与积分§4.1向量的范数一、向量的范数Recall：向量的长度的性质1.

范数的定义齐定义1设是上一个泛函，满足齐则称是上一个向量范数.定理1证2.常用的向量范数设定义2可以验证均是上向量范数，分别称为1-范数，2-范数，p-范数和∞-范数.例如，验证满足三角不等式.设则而验证满足三角不等式需要用到下述著名的Hölder不等式：其中对应的三角不等式是Minkowski不等式.定理2另外，如果是Hermite正定矩阵，则容易验证也是上向量范数.二、向量范数的等价性1.

等价性的定义定义3设与是上两个向量范数，如果存在常数使得则称向量范数与等价.2.

上范数的等价性定理3

上所有向量范数等价.§4.2矩阵范数一、矩阵范数1.

定义定义1设是上一个泛函，满足则称是上一个矩阵范数.齐积2.常用的矩阵范数设定义2-范数-范数-范数容易验证上述三个泛函满足(1)正定性和(2)齐次性.下面以为例来验证(3)三角不等式和(4)乘积不等式.(3)三角不等式(4)乘积不等式综上可知，是上的矩阵范数.二、矩阵范数与向量范数的相容性1.矩阵范数与向量范数的相容性定义3则称矩阵范数与向量范数相容.设是上矩阵范数，是上向量范数，如果定理1(1)矩阵范数与向量范数相容；(2)矩阵范数与向量范数相容.以矩阵范数与向量范数为例证之.设则2.由矩阵范数诱导的向量范数设是上一个矩阵范数，取定义可以证明，它是上的向量范数，称为由矩阵范数所诱导的向量范数.定理2上任意一矩阵范数与它所诱导的向量范数相容.3.由向量范数诱导的矩阵范数设是上一个向量范数.定义可以证明，它是上的矩阵范数，称为由向量范数所诱导的矩阵范数.定理3上任意一向量范数与它所诱导的矩阵范数相容.定理4定理5三、矩阵范数的等价性定理6上所有矩阵范数等价.四、长方阵的范数五、矩阵谱半径与范数的关系1.矩阵的谱半径定义4定理72.谱半径与范数的关系定理8定理9一、向量序列与矩阵序列1.

向量序列§4.3矩阵级数定义1定理12.

矩阵序列定义2定理2定理33.

收敛矩阵定义3定理4证明必要性充分性从而推论二、矩阵级数1.

矩阵级数的形式2.矩阵级数的敛散性定义4定理5定义5定理6定理73.收敛的矩阵级数的性质定理8三、矩阵幂级数1.矩阵幂级数的形式定理9推论2.Neumann矩阵幂级数定理10一、矩阵函数1.

定义§4.4矩阵函数定义12.

几个常用的矩阵函数3.

带参数的矩阵函数二、矩阵函数值的计算1.

利用Hamilton-Cayley定理或零化多项式2.

利用Jordan分解3.

待定系数法三、矩阵函数的特征值定理1四、常用矩阵函数的性质定理2定理3定理5推论Remark第4章矩阵分析§4.1向量的范数§4.2矩阵范数§4.3矩阵级数§4.4矩阵函数§4.5矩阵的微分与积分一、矩阵的微分1.

定义定义1§4.5矩阵的微分与积分2.

矩阵的求导法则例二、矩阵的积分1.

定义定义22.

矩阵的积分运算法则3.

微分与积分的关系三、数量函数对矩阵变量的导数定义3四、矩阵值函数对矩阵变量的导数定义4第五章矩阵的特征值估计§5.1矩阵特征值界的估计§5.2矩阵特征值的分布区域§5.3Hermite矩阵特征值表示一、矩阵特征值界的估计1、矩阵的和分解§5.1矩阵特征值界的估计2、一个基本引理引理1证3、矩阵特征值界的估计定理1定理2证推论1证引理1证定理3例1解二、Schur不等式定理4证一、圆盘定理1、Gerschgorin圆（盖尔圆）§5.2矩阵特征值的分布区域定义12、圆盘定理定理1（圆盘定理1）证例１解！Notations定义2定理2（圆盘定理2）例2证

3、特征值的隔离例3解例4解二、Ostrowski定理定理3（Ostrowski定理1）证推论1推论2推论3例5解定义3定理4（Ostrowski定理2）一、Hermite矩阵的最大与最小特征值1、