河北省2023届新高考数学二轮复习 立体几何解答题30题专项提分计划含解析

2023届河北省新高考数学复习

专题3立体几何解答题30题专项提分计划

1.(2022•河北邯郸•统考二模)如图，在三棱锥户一48。中，为等腰直角三角

形，且A3=AC=2,△45P是正三角形.

(1)若PC=3C,求证：平面/此L平面/8C；

(2)若直线用与平面所成角为:，求二面角P-AB-C的余弦值.

4

【答案】(1)证明过程见解析；

⑵—.

3

【分析】(1)根据等腰三角形的性质，结合线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理

进行证明即可；

(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式,结合线面角、面面角的定义进行求

解即可.

(1)

设PB的中点为。，连接

因为PC=BC,所以

因为△力帆是正三角形，所以R4=B4，因此

而CDA。=O,A。,CDu平面AC。，所以8P_L平面AC。，

而ACu平面AC£),所以3P_LAC,

因为为等腰直角三角形，且AB=AC=2,

所以AC_LA8,而A8平面460,

所以AC_L平面4必，而ACu平面

所以平面45P1•平面/6G

(2)

建立如图所示的空间直角坐标系，

I

则有尸(1,%,Z0)(%>0,Z0>0),40,0,0),8(2,0,0),C(0,2,0),

因为△4力是正三角形，所以该三角形的高为j22-(2xg)2=Q,

于是有%2+Z02=3,设平面Z18C的法向量为“=(0,0,1),PC=(—1,2—-Z。),

因为直线先与平面/a'所成角为：，

|PC-n|lzI也

所以8叱'止鼎飞+丁而升+Z。=，

解得：%=1，%=&，即尸

设平面PAB的法向量为m=(%,坨4),

LULU

”=(1,1,伪，AB=(2,0,0)，

.[ml.AP[m-AP=0

所以有<=<=.产i,D,

[mlAB[mAB=0

2.(2023•河北•河北衡水中学校考模拟预测)如图，用一垂直于某条母线的平面截一

4

顶角正弦值为《的圆锥，截口曲线是椭圆，顶点力到平面的距离为3.

(1)求椭圆的离心率;

(2)已知一在椭圆上运动且不与长轴两端点重合，椭圆的两焦点为耳，工，证明：二面

2

角瓦-AP一-的大小小于60°.

【答案】（l）g

（2）证明见详解

【分析】（1）根据圆锥的几何性质借助于轴截面运算分析；（2）建系，先求两平面的法

向量，则可得cos。,；），换元，利用放缩结合导数求cos。,*）的取值范围，即可得结

果.

【详解】（1）以椭圆的中心。以及短轴的顶点知层作平行于圆锥底面的截面（截面为

圆OQ,如图为圆锥的轴截面,

由题意可得：A8=3,BC=4,则椭圆的长轴长2a=4,即4=2,

7T

设圆锥的顶角为2a,由题意可知0<2a<]

42tana4

Vsin2a=-,则tan2a==——--=-,解得tana=-或tana=-2(舍去)，

5l-tan2a32

..石2石

♦♦sinct=—,cosa=------，

55

在中，可得AD=&-=迈，BD=2,则00=08—8。=,，

cosa222

在RtAOO,£)中，则cosZ0tD0=cos-a)=sina,sinNO[£>0=sinf]-a]=cosa,

可得01。=0。cosNQQO=*,00]=ODsinZOtDO=

5

OR

故A。=4。+0]。=-^-,

在RtzXAMQ中，可得A/0I=40]tana,

即截面圆。1的半径为=竽，则椭圆的短轴线鸟=2《MO；-OO；=2^,

故椭圆的短轴长2匕=26,即则c=jM-%2=i，

椭圆的离心率6=上=彳.

a2

3

(2)如图，以椭圆的中心。为坐标原点建立空间直角坐标系，则

A(0,_2,3)，6(0,T,0)，E(0,l,0),

设P(石cose,2sina0)(cos"0),平面耳AP的法向量为〃=(x,〉,z),

UUUUUU1._\n-AF=y-3z=0

・・・AE=(O,l,-3),耳尸=(指cos6,2sin6+l,0),则，{

〃•耳尸=>/5xcose+(2sine+l)y=0

令y=3cos。,则x=—G(2sine+l),z=cos9,Bpz?=^-5/3(2sin/9+l),3cos0,cos^j,

同理可得：平面84尸的法向量为m=卜(2§也。-1),6<：00夕,石(：0§夕)，

则

/1>/3(4sin20-1)+4^cos203G

22222

、，'pp|^3(2sin6»-l)+10cos0^(28106»-1)+6cos6»^(sin^+S)-55/-2(sin6»+l)+9

令1=sin9+1e(0,2),贝！J

/r、3733>/3

'/J(2r+8，+3)(—2/+9)V-4r4-16?+12?+72Z+27，

当时，则83-32/>0,

43

-4Z4-16'+12产+72/+27<-4z4-16/3+12产+72/+27+83-32^=-4??+12〃+72r+—

333

构建=一与/+12/+72f+竽，

则r(f)=8(-2尸一10/+3/+9)=_8«-1乂2及+6/+9),

当时，则2/+6f+9>0,

令人)>0,则o<tvl,

则/(。在(0,1)上单调递增，在1,；上单调递减，故/⑺4〃1)=108；

当《<f<2时，令g(f)=_16/+12/+72f+27,则g'(。=-16/—48r+24r+72,

令°(f)=g'(f),则d⑺=—24(/+4/-1)<0当:<f<2时恒成立，

故9⑺在2)上单调递减，则s(f)<m=-?<0,

.•.g。)在2)上单调递减，则g(f)<g停卜等<108；

4

综上所述：-4r4-l6P+12/+72/+27<108当，e（0,2）时恒成立,

.•.8S（\调/＞V1矍08=12

设二面角片-AP-K的平面角为尸，由题意可得夕

3.（2022秋•河北石家庄•高三石家庄精英中学校考阶段练习）如图，三棱柱

ABC-AB.C,,底面ABC是边长为2的正三角形，^=^8,平面ABC1平面A4C0.

（1）证明：A。，平面43C；

（2）若BC与平面AA3所成角的正弦值为母‘求平面羽‘与平面85CC夹角的余弦

值.

【答案】（1）证明过程见解析

呜

【分析】（1）作出辅助线，由面面垂直得到线面垂直，进而得到线线垂直，得到BDL\C,

再证明出46,AC,从而得到AC，平面A8C；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解面面角的余弦值.

5

【详解】（1）取的中点从的中点〃，连接物，A、N,CN,

因为底面ABC是边长为2的正三角形，AA=AB,

所以AN_LA8,BDYAC,CN1AB,

因为平面ABC1平面441GC,交线为4C,8。u平面ABC,

因为做JUC,

所以切J_平面AAC,

因为ACu平面AAC,

所以初_LAC,

因为ANNC=N,AN,NCu平面ANC,

所以4员L平面ANC,

因为ACu平面ANC,

所以小J.AC,

因为ABBD=B,A8,8Ou平面A5C,

所以AC，平面45a

（2）过点C作CF"AB,

以。为坐标原点，CM所在直线为x轴，〃'所在直线为y轴，CA所在直线为z轴，建立

空间直角坐标系，

则C（O,O,O）,B（后1,0），4君,-1,0），4（0,0,旭）,4（0,2,加）6卜百[加）,m>o,

AA,=[-y/3A,n^,AB=（0,2,0）,BC=（->/3,-1,0）,CB,=（0,2,2）,

设平面4AB的法向量为，=（x,y,z）,

6

t=(x,y,z)-^-A/3,1,n?j=->/3x-i-y+mz=O

、[r-AB=(x^,z)(O,2,O)=2y=O

解得：y=o,设x=l,则2=且，

m

因为加＞0,解得：m=2,

故”卜,0,”

\?

设平面BBC©的法向量为""c),

n-CB]=(6F,/?,C)(0,2,2)=2/?+2C=0

川n-BC=卜2,0,c)(―=-6a-b=0

设b=1,则c=-l〃=一^

3

则〃=一孝

4.（2022•河北沧州•统考二模）如图，在四棱柱ABC。-AqGR中，底面43C。是

7

平行四边形，DALDB,侧面4DRA是矩形，A8=2AO=为的中点,

D.A1.BM.

(2)点N在线段上，若AG=4AN,求二面角M-的余弦值.

【答案】(1)证明见解析:

⑵半

【分析】(1)由题可得D,A±MD,然后利用线面垂直的判定定理可得。AJ.平面BDM,

进而即得；

(2)建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法即得.

(1)

因为矩形相>AA中，0AAi=2">,用为M的中点，

所以tanZMDA=tan^AD,D=+,

所以NMZM=/A£)Q.

因为/ARO+NRA£>=',

TT

所以NMDA+ZD.AD=-,

所以

因为£>iA_L8M,M£>cBM=M,

所以〃AJ_平面8DM.

因为8£>u平面3DW,

所以RAJ.BZ),又£>A_L£>B，AAcDA=A,

8

所以平面AO£）M.

（2）

由（1）知08,0〃两两相互垂直，所以以。为原点，D4,DB,。。所在直线分别为

x，＞，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

因为ABuZADuJiAA,,令AD=1,连接

则£＞（0,0,0）,.（0,0,夜）,4（1,0,0）,网0,"0）4（-1,百,闾，4（1,0,仞,

所以D3=（O,6O）,£W=DA+AN=DA+；AG=；《，及•

设平面8DV的一个法向量为〃=（x,y,z）,

一一岛=4

n-DB=0，口」

则］一，得〈1GI—，

几•DN=0-X+—y+V2z=0

124・

所以y=0,令z=—l,得x=2&，所以〃=（2夜,0,—1）,

由（1）知。A=（l,0,-&）是平面应加的一个法向量，

所以8四4加耦二衍禹而r事

故二面角M-DB-N的余弦值为远.

3

5.（2022•河北石家庄•石家庄二中校考模拟预测）如图，在四棱锥P-ABC。中，PC1

底面ABCO,底面ABC£＞是直角梯形，ABLAD,AB//CD,AB=2AD=2CD=2,E是

尸8上的点.

9

p

⑴若〃平面ACE,求PE:P8的值；

(2)若E是PB的中点，且二面角P-AC-E的余弦值为如，求直线A4与平面E4C所成

3

角的正弦值.

【答案】⑴:

⑵也

3

【分析】(1)连接3D，交AC于点G,由线面平行性质可证得PD//EG,又ABMCD,

由平行线分线段成比例可求得结果；

(2)取A8中点用，可证得四边形AMCD为矩形，则以C坐标原点可建立空间直角坐

标系，利用线面垂直的判定可证得3c工平面PAC,可知平面PAC的一个法向量为C8；

设P(O,OM),利用二面角的向量求法可构造方程求得〃；利用线面角的向量求法可求得

结果.

【详解】(1)连接80,交AC于点G,连接EG；

平面ACE,PDu平面P8£),平面1平面ACE=£G,

PD//EG,:.PE:PB=DG:BD；

QABI/CD,:.DG:GB=CD.AB=\:2,DG:BD=\;3,

:.PE:PB=l:3,即的值为g.

(2)取AB中点M,连接CM；

CD//AM,CD=AM,：.四边形AMCD为平行四边形，「.AD//CM,

10

又4J_L4),•,.四边形40CD为矩形，则CMLCD,

则以c为坐标原点，cM,cncp正方向为x，y，z轴，可建立如图所示空间直角坐标系,

AD=CM=-AB,ZACB=-,g|JXC1BC-,

22

PCmABCD,5。匚平面488,..尸。_1_3。；

PC,ACu平面「AC,PCr>AC=C,..8C，平面PAC；

设CP=a(a>0),

则尸(0,0,a),A(l,l,0),C(0,0,0),呜,一器)，

.,.C4=(1,1,0),CE=(g，-；，?,C8=(l,-1,0),

设平面E4C的法向量〃=(x,y,z),

CAn=x+y=0

则｛11a，令z=—2,则尤=a,丫=~,=a,-2)；

CEn=—x——y+—z=0

t222

又平面PAC的一个法向量为CB=(1,-LO),

••IJcos<CB,I〃>=i^^=2a,=指一,解得：a=2；

11|CB|-|rt|V2xV2a2+43

।.\PA-A472

n=(2,-2,-2)1|cos<PA,n>|==T,

直线"与平面E4C所成角的正弦值为它.

3

6.(2022•河北石家庄•石家庄二中校考模拟预测)如图，三棱柱ABC-A4G中侧棱

与底面垂直，且AB=AC=2,M=4,ABJ.AC,M,N,P,〃分别为CC-BC,A4,

B£的中点.

11

（1）求证：PN〃面ACGA；

（2）求平面AIW与平面ACGA所成锐二面角的余弦值.

【答案】（D证明见解析

⑵6>^3

53

【分析】（1）解法一，建立空间直角坐标系，求出相关各点的坐标，确定平面ACCM的

一个法向量，计算PN-A8=0，即可证明；

解法二，证明平面P/W〃平面ACGA,利用面面平行的性质定理即可证明；

（2）建立空间直角坐标系，求出相关各点的坐标，确定平面ACC0的一个法向量，求

出平面的法向量，利用向量的夹角公式求得答案.

【详解】（1）解法一：

以点A为坐标原点，AB.AC,AA所在直线分别为人只z轴建立空间直角坐标系，

则A（0,0,4）,8（2,0,0）,M（0,2,2）,N（l,l,0）,P（l,0,4）.

取向量A8=（2,0,0）为平面4CCA的一个法向量，PN=（O,l,T）,

12

PMTW=OX2+1XO+(T)XO=O,

•••PNLAB.

又平面ACCA,

PN〃平面ACGA.

解法二：

,:P,〃分别为4耳，Bg的中点，

PO〃AG，且AG平面ACGA,PE)N平面ACGA，

PD力平面ACGA,

,:D,4分别为BC，比1的中点，

DN//CCt,且CC,u平面ACC,At,ON0平面ACGA，

DN//平面4CC；A,又PDcDN=D,

平面PDN〃平面ACGA,

又：PNu平面PDN,

：.PN〃平面4CGA.

(2)以点4为坐标原点，/员AA所在直线分别为小y,轴建立空间直角坐标系,

则A（0,0,4）,8（2,0,0）,“（0,2,2）,N（l,l,0）,P（l,0,4）.

PN=（O,l,Y）,PM=（-1,2,-2）,

取向量AB=（2,0,0）为平面ACGA的一个法向量，

设平面9V的法向量为"=(x,y,z),

13

nPM=0-x+2y-2z=0

则,即

n・PN=Gy-4z=0

令z=l,则x=6,y=4,则〃=(6,4,1),

ABn_2x6+0x4+0xl6753

.・.cos<AB,n>=

网.“2V62+42+l253,

由图示可知平面月价'与平面ACGA的夹角为锐角，

平面丹亚与平面ACCM所成锐二面角的余弦值为2.

53

7.（2022•河北•模拟预测）如图，三棱锥A-8C£>中，AB=AD,AO_L平面8C£>,

点。在线段8上，且满足O£）=2OC=2,8£>=GO8.

（1）证明：BC1AD；

（2）若二面角C-A3-D的正弦值为侦，求三棱锥A-3CD的体积.

5

【答案】（1）证明见解析；

⑵G或叵

7

【分析】（1）根据线面垂直的性质可得从而可得8。，利用余弦

定理求得N80D,再利用余弦定理求得BC,再利用勾股定理可得8C_LC0,易证明

平面AC。_L平面BCD,再根据面面垂直的性质可得8cl平面AC£）,再根据线面垂直

的性质即可得证；

（2）以C为原点建立空间直角坐标系，利用向量法结合二面角的正弦值求得。4,再根

据棱锥的体积公式即可得解.

【详解】（1）证明：因为AOL平面BCD,OB,ODu平面8C。，

所以AOJL3O,AOJ_O£>,

因为AB=AD,Q4=Q4,

所以△AOB三八40£）,所以OB=O£）,所以=26，

14

4+4-(2回_1

由余弦定理得—=若靛产

2x2x22

则BC=j4+l-2x2xlxg=G,

/.Z.BOD=ZBOC=-,BO=2,OC=1,

33

因为BC2+OC2=O82,所以8CJ_CO,

因为A。_L平面BCD,AOu平面AC£）,

所以面48_1面8。。，X®ACDffiBCD=CD,BCLCD,BCc^BCD,

所以3c人平面ACD,又AOu平面AC。，

所以8CJ.AO；

⑵解：如图，以C为原点建立空间直角坐标系，则C（0,0,0）,8（0,6,0）,0（3,0,0）,

设AO=a,则A（l,0,a）,故&4=（l,-G,a）,BO=（3,G,0）,C4=（l,0,4），

设平面ABC,平面48。的法向量分别为4=（玉,％,Z]）,必=（w,z?）,

（、

口tt-BA屋=x+,-\[时3y,+。az.=0，可取4=3。1），同理得—/-2

则

M=?

a=2或a邛

当4=2时,VA.BCD=]X2SBCD=]X2x3'3x下＞=C,

独2排叶..12714„

刍4=一。7一时，匕-8cz>=§x7SBCD工亚xS叵,

3727

故三棱锥A-BCD的体积为有或殍.

8.（2022•河北•模拟预测）如图1所示，在平行四边形P8C。中，AB±PD,

PA=AD=AB,将.THS沿AB折起，使得二面角的大小为60。，如图2所

示，点A/为棱AB的中点，点N为棱PC上一动点.

15

P

AD

p

图1图2

(1)证明：PMLCD；

(2)若四棱锥尸-ABCD的体积为2后，求直线MN与平面PCD所成角的正弦值的最大

值.

【答案】(1)证明见解析

⑵巫

133

【分析】(1)取A。的中点E,连接ME,BD,PE,结合已知条件先证明ME，8,

再证明尸E_L8,得到C£)_L平面从而结论即可得到.

(2)设AB=AO=PA=a,BC=2a,利用体积求得。，进而建立以力为坐标原点，以

AB,4。为x,＞轴，以过/且平行于PE的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标

系，求平面PC。的一个法向量加，利用向量法可求出最大值.

【详解】(1)证明：取A。的中点E,连接ME,BD,PE,

点M为棱AB的中点，在△43。中,

ME//BD,

AB=AP=AD,AB1PD,

二在平行四边形尸88中

有NDPB=NDCB=45。,NDBC=NBDA=45°,

ZBDC=180°-45°-45°=9()°,

BDA.CD,

，折起后也有BO_LC£>

所以雌_LC£),

PAYAB,ADJ.AB,

16

.•.NE4。为二面角产一43-。的平面角，即/皿）=60。,

平面上40,QPEu平面R4Q

:.ABA-PE,

ZPAD=f^P,PA=AD,

.1.孙£）为正三角形，

J.PELAD,

AB,AD=A,

.•.产后,平面^^⑦，

C£>u平面43CZ),

：.PE1CD,

MEcPE=E,

\CDA平面PA/E,

加0：平面「"£',

:.PMLCD.

(2)设AB=A£>=%=a,BC=2a,

那么点P到面ABC。的距离就是PE的长，也就是回，

2

c_(。+24)。_3二

^ABCD==2"'

1rnr-132岛Ga,0

-VP-ABCD=^SABCDXPE=-jX2aX~2~=~~4~=^^'

解得4=2,

:.AB=AD=AP=PD=2,BC=4,

以1为坐标原点，以48,AO为X,y轴，以过力且平行于心的直线为z轴建立如图

所示的空间直角坐标系，

则M(l,o,0),0(0,2,0),c(2,4,0),P(0,1,73),

17

设点N(x0,y0,ZQ),

2-x0_4-y(,_0-z„

根据PC与NC方向相同得:2-0-4-1-0-6

N(2-2t,4-3f,技)，

DC=(2,2,0),P£>=(0,1,-73),

设平面PCD的一个法向量为=(a,6,c),

DC-m=2a+2b=0

PD-m=b-y/3c=0

令c=l,

解得o=-G，b=£,

..・平面PC£>的一个法向量为=

MN=(\-2t,4-3r,4),

MNm

cos<MN,m>=

373

116/-28f+17>近

14

当时取到等号

16

・・•直线"N与平面尸8所成角的正弦值的最大值为9叵.

133

【点睛】本题考查方向：

①证明线线，线面，面面平行

②证明线线，线面，面面垂直

③线面角

④异面直线所成角

⑤二面角的大小，二面角大小的正弦、余弦值

⑥已知二面角大小或正弦、余弦值求参数

解决方法：利用线线，线面，面面平行或垂直的判定定理及性质定理；建立空间直角坐

标系，利用法向量解决问题.

18

9.（2022•河北唐山•统考三模）如图，在四棱锥P-ABC。中，平面平面A8C£）,

底面ABC。是梯形，AD〃BC,BDLPC,AD=AB=、BC=y[i.

2

（1）证明：PC平面ABC。；

⑵若P8=PC=20，E为线段AP的中点，求平面/W与平面3£）E所成锐二面角的

余弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵孚

【分析】（1）因为平面P5D1平面ABC。，故要证PD_L平面ABC。，需证PD_L8D,

需证平面尸DC,需证8£>J_0C,而3OLOC不难证明（2）建立恰当的空间直

角坐标系，用空间向量求解即可

【详解】（1）证明：取8c中点尸，连接AEDF.

二AD//BC,AD^AB=-BC,

2

•••四边形ABFD为菱形，四边形AFCD为平行四边形.

AF±BD,AF//CD,

：.CD±BD.

又：3£）_LPC,CZ）PC=C,

：.8。人平面PCD.

又；PDu平面PC。，

/.BDLPD.

又；平面尸8E）1•平面ABC。，且平面「3。平面ABC£）=B£>,

，PDA.^W\ABCD.

19

(2)PD_L平面ABCD,PB=PC=20,

RjPD瞄Rt_PDC,

：.BD=CD.

又：C£>J.B£>,BC=20,

BD=CD=PD=2,

AD-+AB2=BDT,

底面ABC。是直角梯形.

以。氏。C,DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O-WZ,则

£>(0,0,0),8(2,0,0),A(I,-1,0),尸(0,0,2),E(g,-g,1).

DB=(2,0,0),=.

平面。蛆的一个法向量为加=(0,1,0),

设平面或出的一个法向量为〃=(x,y,z),

r_2x=0

由］np〃八n得h1取〃=(O,21).

DEn=0—x——y+z=0

11227

/.mn226

〃〉=丽=前=可，

...平面PQ与平面3DE所成锐二面角的余弦值为半.

20

10.（2022•河北邯郸•统考模拟预测）如图，四棱锥E-AfiC。，AB=AD=6

CD=CB=\,AC=2,平面E4cl.平面ABC。，平面AfiEc平面C£）E=/.

⑴若点M为线段4E中点，求证：BM//1；

（2）若NACE=60,CE=\,求直线8c与平面ADE所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵彳

【分析】（1）取AC中点F，根据△ABgAADC、勾股定理可确定NACB=AC£>=60,

由为正三角形可知防〃8,由线面平行的判定得到8尸〃平面C0E；由M尸〃EC

可得MF〃平面C£）E；由面面平行判定知平面BMP//平面C£>E,由面面平行和线面平

行性质可证得结论；

（2）过点E作EH_LAC,由面面垂直性质可证得E〃_L平面ABC。，结合8"_LAC,

则以，为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可求得结果.

【详解】（1）取AC中点尸，连接

E

AB=AD=y/3,CD=CB=1,AC=2,

ADCJiAC2=AB2+BC2=AD2+DC2,..ABIBC,ADIDC,

:.ZACB=ACD-6Q,

尸为AC中点，.•.△BFC为正三角形，即/8/C=/A8=6O,.,.用?〃Cr>,

Q3尸Z平面COE,（7。匚平面。后，..3尸〃平面。。。

在ZXACE中，MF为中位线，/.MFIIEC,

又W平面CDE,£6^平面。。以二河尸〃平面。£）公

21

又BFMF=F,8居M尸u平面8WF,.•.平面创"7/平面CDE,

又BMu平面BMF,BMH平面CDE,

又平面A8EC平面CDE=/,BMu平面4BE,

(2)过点E作E"_LAC,交AC于点H,连接以3.

.平面E4C_L平面ABC。，平面EAC、平面4?C0=AC,平面E4C,

，四，平面ABC。，

又ZACE=60，CE=\,AC=2,AEC直角三角形，且NA£C=90,

A3i

・・.E〃=BAH=-tCH=~；

222

n

又一AEC也一ABC,即8”_L4C,S.BH=EH=±~,

2

则以“为坐标原点，分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标

系H-xyz.

贝|9=（；当0

设平面ADE的法向量为n=（x,y,z）,

n-DA=-y=O

；,令解得：y=-&,

则；x=l,z=G，/./?=(1,-V3,V3);

n-EA=—x-----z=0

22

•|COS<.CB>I」〃5_1-疗

11

|/；|.|CB|y/l7

即直线BC与平面仞E所成角的正弦值为日

11.（2022•河北张家口•统考三模）如图，在四棱锥P-A5C。中，四边形ABC。是等

腰梯形，PA_L平面ABC。，AB//CD,PA=AB=2CD=4fBC=M.

22

p

(1)证明：平面PAC，平面PBD；

(2)若E是PC的中点，求二面角E-3£)-P的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵—

9

【分析】(1)证明出3。1平面PAC,再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；

(2)以点〃为坐标原点，MB、MN、AP的方向分别为x、z轴的正方向建立空

间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角E-处-P的余弦值.

(1)

证明：设ACBD=H,过，在平面ABCD内作AB的垂线分别交A3、C。于M、N,

过点C、。在平面ABC。内分别作CO_L4B,DFYAB,垂足分别为点。、F,

在等腰梯形A8C。内，AD=BC,NDAF=4CBO,ZAFD=ZBOC,

所以，/\AFD^/\BOC,所以，AF=BO,

CD!/OF,CO±AB,DF^AB,所以，四边形O8F为矩形，

所以，OF=CD=2,所以，AF=OB=AB^CD=\,

2

所以，DF=OC=\JBC2-OB2=3-同理可得MN=D尸=3,

CD//AB,则也=型=1，所以，MH=-MN=2,NH=-MN=\,

MHAB233

AD=BC,ZABC=BAD,AB=AB,所以，..ABC缘BAD,AC=BD,

「HDf-fmion

QAB//CD,所以，寡=等=胃=:，所以，AH=-AC=：BD=BH,

AHBHAB233

因为则点M为48的中点，同理可知N为。。的中点,

23

AH=BH=yjBM2+MH2=2>/2>所以，AH2+BH2=AB2<所以，BD1AC,

E41.平面ABC。，BOu平面ABC。，:.BDLPA,

QPAIAC=A,因it匕，平面P4C.

Q3Qu平面所以，平面PAC_L平面尸BD.

(2)

解：因为AflVIAB,尸4_L平面ABC。，

以点M为坐标原点，MB、MN、AP的方向分别为x、V、z轴的正方向建立如下图

所示的空间直角坐标系,

则3(2,0,0)、C(l,3,0)、0(-1,3,0),6—2,0,4)、

.uuu,53

设平面5£>E的法向量为旭=(%，X，Z|),8£>=(-3,3,0),BE=\--,-,2

m-BD=一3菁+3y=0

则，53，取X=2,可得加=(2,2,1),

m•BE=~~x\+/)1+24=0

设平面尸8。的法向量为〃=(w,z2),BP=(Y,0,4),

n•BD=-3X+3y2=0

则2取占=1,可得”=(1,1,1),

n•BP=-4X2+4Z2=0

mn55\/3

所以,3＜见…丽=装？T9，

由图可知，二面角E—M-P为锐角，因此，二面角的余弦值为强.

9

12.(2022•河北•统考模拟预测)如图，在圆台。。|中，上底面圆01的半径为2,下

底面圆。的半径为4,过。。।的平面截圆台得截面为488小，〃是弧A8的中点，MN为

母线，cosZWB=—

4

24

(1)证明：平面AOM；

(2)求二面角〃的正弦值.

【答案】(1)见解析；

⑵典

7

【分析】(1)由COSNNMB=E,可求得圆台的高，进而由坐标计算可证；

4

(2)由坐标计算可得平面加W的法向量为勺=(G,G,D，平面的法向量为

%=(6,0,-1),根据夹角公式可求得二面角的余弦值，进而得到正弦值.

如图建立空间直角坐标系，设的长度为力

则A(0,-4,0),3(0,4,0),4(。，2,。,Af(4,0,0),N(2,0j),0(0,0,0),

MN=(-2,0,/),MB=(-4,4,0)

/……(-2)x(-4)+0x4+fx0V2「

由题知cos(MMMB)=卜2)、/+4'=彳，解得，=26

M=(0,6,26)，OM=(4,0,0),出=(0,-2,26)，

蝴OM=Ox4+6xO+26x0=0,AB,1OM

明燃=0x0+6x(-2)+2昌20=0,做_LOA

25

又OMnOAt=O,0M,物,在平面AtOM内

所以A81_L平面4QM；

（2）设平面期V的法向量为勺=（x，x，zj,平面例V的法向量为%=（电,%"2），

勺-MB=(-4)M+4y=0

则｛A«,=(73,73,1)

nl-MN=(-2)x,+2y/3zl=0

n2AB=0XX2+8y24-0xz2=0

0,—1)

勺•AN=2X2+4%+2Gz2=0

设二面角M-N8-A为锐二面角0,

/\i|5/3XV3+>/3XO+1X(-1)2手

...cos6=cos(勺，2)=——//—

、711J3+3+M+0+1

工sin^=-

7

故二面角加-A®-A的正弦值为四.

7

13.（2022•河北•校联考模拟预测）如图，在几何体A8C-4与6中，四边形q8CG是

边长为2的菱形，43C是等腰直角三角形，ZABC=90°,平面ABC1平面4BCQ,

AC//A[Cl,AC=2AlCl.

（1）证明：平面48G；

（2）若SBC=120°,求平面①耳与平面ABC所成二面角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵近1

7

【分析】（1）根据菱形的对角线的性质及面面垂直的性质定理，再利用线面垂直的判定

定理即可证明；

（2）根据（1）知结合已知条件建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标，分别求出平

26

面44用与平面ABC的法向量，利用空间向量的夹角公式及同角三角函数的平方关系即

可求解.

(1)

因为四边形是菱形，所以

因为A3C是等腰直角三角形，ZABC=90°,所以A313C,

又平面45c上平面用BCG，平面ABCc平面用BCG=BC,ABu平面43C,

所以AB人平面B0CC，耳Cu平面用8CC，所以A81BC.

又A8IBC,=B,所以平面ABC1.

(2)

由(1)可知，河上平面与8CG，以8为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系,

如图所示

由题意可知，四边形4BCC是边长为2的菱形，且NqBC=120。，所以ZB出力=30。,

所以8(0,0,0),4(0,-1,右)，C(0,2,0),A(2,0,0),

设A(x,y,z),则AC〃A£,AC=2AG，所以AC=2AG，即

(