2023学年湖南省益阳市重点中学中考冲刺卷数学试题(含答案解析)

2023年湖南省益阳市重点中学中考冲刺卷数学测试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.郑州某中学在备考2018河南中考体育的过程中抽取该校九年级20名男生进行立定跳远测试，以便知道下一阶段的

体育训练，成绩如下所示：

成绩（单位：米）2.102.202.252.302.352.402.452.50

人数23245211

则下列叙述正确的是（）

A.这些运动员成绩的众数是5

B.这些运动员成绩的中位数是2.30

C.这些运动员的平均成绩是2.25

D.这些运动员成绩的方差是0.0725

2.如图，菱形ABCD的边长为2,ZB=30°.动点P从点B出发，沿B-C-D的路线向点D运动.设△ABP的面积

为y（B、P两点重合时，△ABP的面积可以看作0）,点P运动的路程为x,则y与x之间函数关系的图像大致为（）

DC

3.如图，等边△ABC的边长为4,点D,E分别是BC,AC的中点，动点M从点A向点B匀速运动，同时动点N

沿B-D-E匀速运动，点M,N同时出发且运动速度相同，点M到点B时两点同时停止运动，设点M走过的路程

为x,AAMN的面积为y,能大致刻画y与x的函数关系的图象是（）

c

4.下列命题中，真命题是（）

A.如果第一个圆上的点都在第二个圆的外部，那么这两个圆外离

B.如果一个点即在第一个圆上，又在第二个圆上，那么这两个圆外切

C.如果一条直，线上的点到圆心的距离等于半径长，那么这条直线与这个圆相切

D.如果一条直线上的点都在一个圆的外部，那么这条直线与这个圆相离

5.下列计算正确的是（）

A.a29a3=a6B.(一)3=.6C.a2+a2=a3D.+层=/

6.-18的倒数是()

11

A.18B.-18C."-D.

1818

7.计算的结果是（）

A.a2B.-a2C.a4D.-a4

8.下列各类数中，与数轴上的点存在一一对应关系的是（）

A.有理数B.实数C.分数D.整数

9.下列事件中必然发生的事件是（）

A.一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等

B.不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式

C.200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品

D.随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数

10.在数轴上表示不等式2（1-x）V4的解集，正确的是（）

C.iI—»D.-

-10

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长

一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？”意思就是：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下

的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆（如图所示），它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸）,

则竹竿的长为

!\

__—

12.如图1,在RtAABC中，ZACB=90°,点P以每秒2cm的速度从点A出发，沿折线AC-CB运动，到点B停

止.过点P作PDLAB,垂足为D,PD的长y（cm）与点P的运动时间x（秒）的函数图象如图2所示.当点P运动

5秒时，PD的长的值为.

13.如图，AB//CD,点E是上一点，NAEC=40。，E尸平分NAE。交A3于点凡则一度.

14.图①是一个三角形，分别连接这个三角形的中点得到图②；再分别连接图②中间小三角形三边的中点，得到图③.按

上面的方法继续下去，第〃个图形中有个三角形（用含字母"的代数式表示）.

①②③

15.如图，矩形ABCD中，AD=5,ZCAB=30°,点P是线段AC上的动点，点Q是线段CD上的动点，贝！）AQ+QP

的最小值是.

16.如图，菱形ABC。的边AB=8,NB=60°,尸是AB上一点，BP=3,。是CD边上一动点，将梯形APQQ

沿直线P。折叠，4的对应点为4,当CA的长度最小时，CQ的长为

17.观察图形，根据图形面积的关系，不需要连其他的线，便可以得到一个用来分解因式的公式，这个公式是

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）如图，在AABC中，点D,E分别在边AB,AC上，ZAED=ZB,射线AG分别交线段DE,BC于点

rADDF4-,什AD14AF_

F,G,且---=----.求证：△ADF0°Z\ACG；右----=—,求----的值.

ACCGAC2FG

19.（5分）如图，已知。O,请用尺规做。。的内接正四边形ABCD,（保留作图痕迹，不写做法）

20.（8分）如图，矩形中，AB=4,BC=6,E是BC边的中点，点尸在线段AO上，过P作尸尸，AE于尸,

设PA=x.

备用图

（1）求证：4PFAsAABE；

（2）当点尸在线段AO上运动时，设协=x,是否存在实数x,使得以点P,F,E为顶点的三角形也与AABE相似？

若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由；

（3）探究：当以。为圆心，O尸为半径的。。与线段AE只有一个公共点时，请直接写出x满足的条件：.

21.（10分）如图，AB是。O的直径，点C是品的中点，连接AC并延长至点D,使CD=AC,点E是OB上一点,

且警=：,CE的延长线交DB的延长线于点F,AF交。O于点H,连接BH.

C.D5

求证：BD是。O的切线；（2）当OB=2时，求BH的长.

22.（10分）如图，图①是某电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AO可以绕点O旋转一定的角度.研究表明：显示屏

顶端A与底座B的连线AB与水平线BC垂直时（如图②），人观看屏幕最舒适.此时测得NBAO=15。，AO=30cm,

NOBC=45。，求AB的长度.（结果精确到0.1cm）

23.（12分）“校园手机”现象越来越受到社会的关注.“寒假”期间，某校小记者随机调查了某地区若干名学生和家长

对中学生带手机现象的看法，统计整理并制作了如下的统计图:

（1）求这次调查的家长人数，并补全图1;

（2）求图2中表示家长“赞成”的圆心角的度数;

（3）已知某地区共6500名家长，估计其中反对中学生带手机的大约有多少名家长?

家长对中学生带手机

的击度统计图

反比例函数y=K(x>0)的图象与一次函数y=2x的图象相交于点A,其横坐标为1.

24.（14分）如图,

X

(1)求k的值;

(1)点B为此反比例函数图象上一点，其纵坐标为2.过点B作CB〃OA,交X轴于点C,求点C的坐标.

2023学年模拟测试卷参考答案(含详细解析)

一、选择题(每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分)

1、B

【答案解析】

根据方差、平均数、中位数和众数的计算公式和定义分别对每一项进行分析，即可得出答案.

【题目详解】

由表格中数据可得：

4、这些运动员成绩的众数是2.35,错误；

B、这些运动员成绩的中位数是2.30,正确；

C、这些运动员的平均成绩是2.30,错误；

。、这些运动员成绩的方差不是0.0725,错误；

故选反

【答案点睛】

考查了方差、平均数、中位数和众数，熟练掌握定义和计算公式是本题的关键，平均数平均数表示一组数据的平均程

度.中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是

用来衡量一组数据波动大小的量.

2、C

【答案解析】

先分别求出点P从点B出发，沿B—C—D向终点D匀速运动时，当OVx/2和2Vx“时，y与x之间的函数关系式,

即可得出函数的图象.

【题目详解】

由题意知，点P从点B出发，沿B—C-D向终点D匀速运动，贝!|

当0<xW2,y=；x,

当2V烂4,y=l,

由以上分析可知，这个分段函数的图象是C.

故选C.

3、A

【答案解析】

根据题意，将运动过程分成两段.分段讨论求出解析式即可.

【题目详解】

VBD=2,ZB=60°,

，点D到AB距离为了，

当0<x<2时，

173_732

y—xx*—xxt

224

当2&W4时，y=—73=—%.

22

根据函数解析式，A符合条件.

故选A.

【答案点睛】

本题为动点问题的函数图象，解答关键是找到动点到达临界点前后的一般图形，分类讨论，求出函数关系式.

4、D

【答案解析】

根据两圆的位置关系、直线和圆的位置关系判断即可.

【题目详解】

A.如果第一个圆上的点都在第二个圆的外部，那么这两个圆外离或内含，A是假命题；

B.如果一个点即在第一个圆上，又在第二个圆上，那么这两个圆外切或内切或相交，B是假命题；

C.如果一条直线上的点到圆心的距离等于半径长，那么这条直线与这个圆相切或相交，C是假命题；

D.如果一条直线上的点都在一个圆的外部，那么这条直线与这个圆相离，D是真命题；

故选：D.

【答案点睛】

本题考查了两圆的位置关系：设两圆半径分别为R、r,两圆圆心距为d,则当d>R+r时两圆外离；当启R+r时两圆

外切；当RrVdVR+r(l?>r)时两圆相交；当d=R-r(R>r)时两圆内切；当gdVR-r(R>r)时两圆内含.

5、B

【答案解析】

测试卷解析：4。2./=。5,故错误.

B.正确.

C.不是同类项，不能合并，故错误.

D.46+々2=々4.

故选B.

点睛：同底数塞相乘，底数不变，指数相加.

同底数幕相除，底数不变，指数相减.

6、C

【答案解析】

根据乘积为1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数.

【题目详解】

.../1、

•-18x(------)=1,

18

A-18的倒数是-工,

18

故选C.

【答案点睛】

本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键.

7、D

【答案解析】

直接利用同底数塞的乘法运算法则计算得出答案.

【题目详解】

解：a3•(-«)=-«4,

故选D.

【答案点睛】

此题主要考查了同底数塞的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键.

8、B

【答案解析】

根据实数与数轴上的点存在一一对应关系解答.

【题目详解】

实数与数轴上的点存在一一对应关系，

故选：B.

【答案点睛】

本题考查了实数与数轴上点的关系，每一个实数都可以用数轴上唯一的点来表示，反过来，数轴上的每个点都表示一

个唯一的实数，也就是说实数与数轴上的点一一对应.

9、C

【答案解析】

直接利用随机事件、必然事件、不可能事件分别分析得出答案.

【题目详解】

A、一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等，是不可能事件，故此选项错误；

B、不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式，是随机事件，故此选项错误；

C、200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品，是必然事件，故此选项正确；

D、随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数，是随机事件，故此选项错误；

故选C.

【答案点睛】

此题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件，正确把握相关定义是解题关键.

10、A

【答案解析】

根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得不等式解集，然后得出在数

轴上表示不等式的解集.2(l-x)<4

去括号得：2-2x<4

移项得：2x>-2,

系数化为1得：x>-l,

故选A.

“点睛”本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边

都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

H、四丈五尺

【答案解析】

根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论.

【题目详解】

解：设竹竿的长度为x尺，

•••竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，

.x1.5

**15-（15）

解得x=45（尺）.

故答案为：四丈五尺.

【答案点睛】

本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键.

12、2.4cm

【答案解析】

分析：根据图2可判断AC=3,BC=4,则可确定U5时8尸的值，利用sinNB的值，可求出P0.

详解：由图2可得，AC=3,BC=4,

AB=-y/32+42=5-

当Z=5时，如图所示：

此时AC+CP=5,故BP=AC+BC-AC-CP=2,

AC3

".'sinZB=-----=

AB5

36

PD=BP-sinZB=2x—=—=1.2(cm).

55

故答案是：1.2cm.

点睛：本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，锐角三角函数等知识，解答本题的关键是根据图形得到AC、BC

的长度，此题难度一般.

13、70°.

【答案解析】

由平角求出NAE。的度数，由角平分线得出NOE歹的度数，再由平行线的性质即可求出NARE的度数.

【题目详解】

,/ZAEC=40°,

：.ZAEZ>=180°-NAEC=140。，

TEb平分

:.ZDEF=-ZAED=70°,

2

^.,：AB//CD,

二ZAFE=NOE歹=70°.

故答案为：70

【答案点睛】

本题考查的是平行线的性质以及角平分线的定义.熟练掌握平行线的性质，求出NOE尸的度数是解决问题的关键.

14、4n-1

【答案解析】

分别数出图①、图②、图③中的三角形的个数，可以发现：第几个图形中三角形的个数就是4与几的乘积减去3.如

图③中三角形的个数为9=4x3-3.按照这个规律即可求出第n各图形中有多少三角形.

【题目详解】

分别数出图①、图②、图③中的三角形的个数，

图①中三角形的个数为1=4x1-3；

图②中三角形的个数为5=4x2—3；

图③中三角形的个数为9=4x3—3；

可以发现，第几个图形中三角形的个数就是4与几的乘积减去1.

按照这个规律，如果设图形的个数为n,那么其中三角形的个数为4n-3.

故答案为4n—3.

【答案点睛】

此题主要考查学生对图形变化类这个知识点的理解和掌握，解答此类题目的关键是根据题目中给出的图形，数据等条

件，通过认真思考，归纳总结出规律，此类题目难度一般偏大，属于难题.

15、573

【答案解析】

作点A关于直线CD的对称点E,作EPLAC于P,交CD于点Q,此时QA+QP最短，由QA+QP=QE+PQ=PE可

知，求出PE即可解决问题.

【题目详解】

解：作点A关于直线CD的对称点E,作EPLAC于P,交CD于点Q.

•.•四边形ABCD是矩形，

.*.ZADC=90o,

.♦.DQ_LAE,VDE=AD,

•\QE=QA,

QA+QP=QE+QP=EP,

,此时QA+QP最短（垂线段最短），

；NCAB=30。，

.*.ZDAC=60o,

在RtAAPE中，VZAPE=90°,AE=2AD=10,

.*.EP=AE・sin60°=10x*L=5J3.

2

故答案为5坏.

【答案点睛】

本题考查矩形的性质、最短问题、锐角三角函数等知识，解题的关键是利用对称以及垂线段最短找到点P、Q的位置,

属于中考常考题型.

16、7

【答案解析】

如图所示，过点C作CHLA3,交AB于点H.

在菱形ABC。中，

•；AB=BC=8,且NB=60。，所以A6c为等边三角形，

..=C3.sinZB=C3•sin60。=8x@=4百.

2

根据“等腰三角形三线合一”可得

4R1

AH=HB=—=-x8=4,因为3P=3,所以HP=HB-BP=1.

在RL^CHP中，根据勾股定理可得，CP=Jc”2+叱=J（4拘2+俨=7.

因为梯形APQ。沿直线PQ折叠，点A的对应点为A,根据翻折的性质可得，点A'在以点P为圆心，K4为半径的

弧上，则点4在PC上时，CA的长度最小，此时NAPQ=NCP。，因为A5〃CD.

所以/CQP=NAPQ,所以NCQP=NCPQ,所以CQ=CP=7.

点睛：4'为四边形尸沿尸。翻折得到，由题目中可知4尸长为定值，即火点在以尸为圆心、AP为半径的圆上，当

C、4、尸在同一条直线时C4取最值，由此结合直角三角形勾股定理、等边三角形性质求得此时C?的长度即可.

17、（＜2+6）2=矿+2ab+b'

【答案解析】

由图形可得：+=a2+2ab+b2

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、（1）证明见解析；（2）1.

【答案解析】

jnDF'

（1）欲证明△ADFsaACG,由1可知，只要证明NADF=NC即可.

ACCG

（2）利用相似三角形的性质得到"',由此即可证明.

AG2

【解答】（1）证明：vZAED=ZB,ZDAE=ZDAE,.\ZADF=ZC,

Vll)“JAAADF^AACG.

ACCG

(2)解：VAADF^AACG,/.U)="

ACAG

▽I/)

乂•

AC2

.AF

FG

19、见解析

【答案解析】

根据内接正四边形的作图方法画出图，保留作图痕迹即可.

【题目详解】

任作一条直径，再作该直径的中垂线，顺次连接圆上的四点即可.

【答案点睛】

此题重点考察学生对圆内接正四边形作图的应用，掌握圆内接正四边形的作图方法是解题的关键.

OSA

20、(1)证明见解析；(2)3或一.(3)x=—或0<%<1

65

【答案解析】

(1)根据矩形的性质，结合已知条件可以证明两个角对应相等，从而证明三角形相似；

(2)由于对应关系不确定，所以应针对不同的对应关系分情况考虑：当ZPEF=ZEAB时，则得到四边形ABEP为

矩形，从而求得》的值；当NPEF=NAEB时,再结合(1)中的结论，得到等腰VAPE.再根据等腰三角形的三线

合一得到口是AE的中点，运用勾股定理和相似三角形的性质进行求解.

(3)此题首先应针对点尸的位置分为两种大情况：①。与AE相切，②刀与线段AE只有一个公共点，不一定

必须相切，只要保证和线段AE只有一个公共点即可.故求得相切时的情况和相交，但其中一个交点在线段AE外的

情况即是x的取值范围.

【题目详解】

⑴证明：,矩形A3C。，

J.AD//BC.

:.ZABE=90.

:.ZPAF=ZAEB.

PFLAE,

ZPFA=ZABE=90.

：./\PFA^/\ABE.

(2)情况1,当4EFP^AABE,且NPEF=NEA5时,

贝！|有PE//AB

...四边形ABEP为矩形，

：.PA=EB=3,即x=3.

情况2,当△尸尸Es/kABE,且NPEB=NAE3时，

■:ZPAF=ZAEB,

：.ZPEF=ZPAF.

：.PE=PA.

'：PF±AE,

点尸为AE的中点,

AE=^AET+BE~=742+32=725=5,

:.EF=-AE=-

22

PEEF”-

—=—,即anPE?

AEEB—=y>

25

・••满足条件的”的值为3或^・

6

6

(3)x或。V尤vl.

【答案点睛】

两组角对应相等，两三角形相似.

21、(1)证明见解析；(2)BH=*

【答案解析】

(1)先判断出NAOC=90。，再判断出OC〃BD,即可得出结论；

(2)先利用相似三角形求出BF,进而利用勾股定理求出AF,最后利用面积即可得出结论.

【题目详解】

(1)连接OC,

A

TAB是。。的直径，点C是易的中点，

.".ZAOC=90°,

VOA=OB,CD=AC,

AOC是4ABD是中位线，

.,.OC//BD,

NABD=NAOC=90。，

•\AB_LBD,

•.•点B在。O上，

.♦.BD是。O的切线；

(2)由(1)知，OC〃BD,

/.△OCE^ABFE,

,PCOE

•,茄=丽，

VOB=2,

.OE2

••OC=OB=2,AB=4,而=予

.22

••丽=7

；.BF=3,

在RtAABF中，NABF=90。，根据勾股定理得，AF=5,

,/SAABF=UB«BF=UF»BH,

.,.AB»BF=AF»BH,

；.4x3=5BH,

.\BH=y.

【答案点睛】

此题主要考查了切线的判定和性质，三角形中位线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，求出BF=3是解本题的

关键.

22、37

【答案解析】

测试卷分析：过。点作ODLAB交A3于。点.构造直角三角形，在RtZkADO中，计算出在Rt二助。中,

计算出BD.

测试卷解析：如图所示：过。点作ODLAB交于。点.

在RtZVLDO中，

ZA15°,AO=30,

OD=AO-sinl50=30x0.259=7.77(cm).

AD=A0cos15。=30x0.966=28.98(cm).

又在RtBDO中，ZOBC=4