2021年高二数学下学期期末考试试题（含解析）

上海市第三女子中学2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题

（含解析）

一、填空题（共12小题）.

1.若或=或，则片

2.半径为1的球的表面积是.

3.在（X4）6的二项展开式中，常数项是.

x

4.有6名同学排成一排照相，其中甲、乙两人相邻的排法共有种.（用数值表示）

5.面积为4的正方形绕其一边所在的直线旋转一周，所得的几何体的侧面积为.

6.如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的母线与底面所成的角的大小

7.有四个运动员，报名参加三个比赛项目，若每人限报一项，且每项至少一人报名，共有

不同的报名方法.

8.已知一个长方体的长、宽、高的比为1：2：3,它的对角线长是2/五，则这个长方体的

体积为.

9.设某同学选择等级考科目时，选择物理科目的概率为0.5,选择化学科目的概率为0.6,

且这两个科目的选择相互独立，则该同学在这两个科目中至少选择一个的概率是

10.已知空间中两条不同的直线以〃和平面a,给出三个论断：①而丄〃；②〃〃a；③卬丄

a.请以其中两个论断作为条件，另一个为结论，写出一个真命题：若,

则.（填写相应序号）

11.在半径为3的球面上有AB、C三点，N=90°,BA=BC,球心。到平面四。的距

离是返，则氏。两点的球面距离是

2------

12.在正方体力版-45G"的所有棱中，若任取其中两条，则它们所在的直线是异面直线

的概率为____________________

二、选择题

13.已知a、B是两个不同平面，勿为a内的一条直线，则“卬〃B”是“a〃6”的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.非充分非必要条件

14.《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设44是正四

棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正四棱柱的顶点为顶点，以为底面矩形的一边，

则这样的阳马的个数是（）

A.4B.8C.12D.16

15.下列四个命题中真命题是（）

A.空间中垂直于同一直线的两条直线互相平行

B.经过空间中的三个点有且只有一个平面

C.过球面上任意两点的大圆有且只有一个

D.过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条

16.两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人

输赢局次的不同视为不同情形）共有（）

A.10种B.15种C.20种D.30种

三、解答题

17.从某中学200名新生中随机抽取10名进行身高测量，得到的数据为：168、159、166、

163、170、161、167、155、162、169（单位：cm）,试估计该中学200名新生身高的平

均值和中位数，并求身高大于165cw的概率估计值.

18.已知二项式（*-2）"的展开式为a+a田鱼07a/,其中a”a?满足a?

=-3ai.

（1）求77；

（2）求a+ai+a2+…+a”的值.

19.如图，在一个圆锥内作一个内接圆柱（圆柱下底面在圆锥的底面上，圆柱上底面的圆在

圆锥的侧面上），圆锥的母线长为4,AB、中是底面的两条直径，且/8=4,ABLCD,圆

柱与圆锥的公共点厂恰好为其所在母线PA的中点，点。是底面的圆心.

（1）求圆柱与圆锥的体积的比值；

（2）求异面直线。•,和0C所成角的大小.

20.从1、3、5、7中任取2个数字，从0、2、4、6、8中任取2个数字，用这四个数字组

成无重复数字的四位数，所有这些四位数构成集合胴

（1）求集合材中不含有数字0的元素的个数；

（2）求集合〃中含有数字0的元素的个数；

（3）从集合"中随机选择一个元素，求这个元素能被5整除的概率.

21.如图，在多面体四C-484中，44、BB、、总均垂直于平面相C,A4,=4,CG=3,做

=AB=AC=BC=2.

（1）求点/到平面4氏G的距离；

（2）求平面4%与平面48c所成锐二面角的大小；

（3）求这个多面体/a1-48G的体积.

参考答案

一、填空题

1.若《=或，则n=10

解：若C：=C：，则〃=6+4=10.

故答案为：10.

2.半径为1的球的表面积是4n.

解：由题意，半径为1的球的表面积是4n72=4”.

故答案为4n.

3.在（x4）6的二项展开式中，常数项是20.

X

解:由Tr+i=C[・x&r,（丄）r=C：・x&2r.

L•1uX。

由6-2r=0,得r=3.

.••常数项是鳳=20.

故答案为：20.

4.有6名同学排成一排照相，其中甲、乙两人相邻的排法共有240种.（用数值表示）

解：因为甲、乙两人相邻，所以先将甲、乙两人进行捆绑，方法共有A2种，

再将甲、乙两人看成整体进行排序共有A?种排法，所以共有A2A"240种，

故答案为：240.

5.面积为4的正方形绕其一边所在的直线旋转一周，所得的几何体的侧面积为8”.

解：面积为4的正方形边长为2,

正方形绕其一边所在的直线旋转一周，所得几何体是底面半径为2,母线长为2的圆柱,

所以该圆柱的侧面积为SM=2nrl=2nX2X2=8Jt.

故答案为：8n.

6.如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的母线与底面所成的角的大小为

60°.

解：设圆锥的母线长为此底面半径为八

贝lj：JiR=2nr,

*.R=2r,

母线与底面所成角的余弦值

R2

二母线与底面所成角是60°.

故答案为：60°.

7.有四个运动员，报名参加三个比赛项目，若每人限报一项,且每项至少一人报名，共有36

不同的报名方法.

解：四个运动员分为3组共有C：种情况，将分好的3组分到三个比赛项目，共有种情

况，

有四个运动员，报名参加三个比赛项目，若每人限报一项，且每项至少一人报名，共有

C涧=3明1情况.

故答案为：36.

8.已知一个长方体的长、宽、高的比为1：2：3,它的对角线长是2旧，则这个长方体的

体积为48.

解：设长方体的长宽高分别为m,2m,3勿(/»>0),

由题意可得：m2+(2in)2+(3ro)2=(2V14)2):.爲=4,/»=2,

长方体的体积：l/=niX2m'X3m—&ni=48.

故答案为：48.

9.设某同学选择等级考科目时，选择物理科目的概率为0.5,选择化学科目的概率为0.6,

且这两个科目的选择相互独立，则该同学在这两个科目中至少选择一个的概率是0独

解：设某同学选择等级考科目时，

选择物理科目的概率为0.5,选择化学科目的概率为0.6,

且这两个科目的选择相互独立，

.••该同学在这两个科目中至少选择一个的概率是：

0=1-(1-0.5)(1-0.6)=0.8.

故答案为：0.8.

10.已知空间中两条不同的直线以〃和平面a,给出三个论断：①必丄〃；②〃〃a；③/丄

a.请以其中两个论断作为条件，另一个为结论，写出一个真命题：若②③，则

①.(填写相应序号)

解：由ml.n,n//a,得m//a或"匸a或勿与a相交，相交也不一定垂直，故由①②

不能得到③；

由次丄〃，卬丄a,得〃〃a或〃ua,故由①③不能得到②；

由加丄a,得勿必垂直于平面a内的任意一条直线，又〃〃a,所以加丄"，故由②③可

得①.

故答案为：②③，①.

11.在半径为3的球面上有/、B、C三点，N/J纪=90°,BA=BC,球心。到平面/宽的距

离是盟0,则反。两点的球面距离是n.

2

解：根据题意，ZABC=90°,/C是小圆的直径.

所以过球心。作小圆的垂线，垂足0'是4C的中点，

〃。=卄一(¥7=警AC=3近,

TT

贝UBC=OB=OC=3,则4B0C=一，

3

JT

故6、C两点的球面距离丿=下-义3=n；

故答案为：

12.在正方体力鹼的所有棱中，若任取其中两条，则它们所在的直线是异面直线

的概率为

解：正方体有12条棱，从中取两条的方法数式C%，

其中异面直线的方法数：12X4+2=24,

12X4+2QA/

所以所在的直线是异面直线的概率为：—?2-=罢=之，

C126611

故答案为：

二、选择题

13.已知a、B是两个不同平面，m为a内的一条直线，贝「卬〃B”是“a〃B”的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.非充分非必要条件

解：①若加〃B,/"为a内的一条直线，则a〃B或a与B相交，.•.充分性不成立，

②若a〃B,如为a内的一条直线，根据面面平行得性质可得小〃8,...必要性成立，

:.mHB是a〃B的必要不充分条件，

故选：8.

14.《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设44是正四

棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正四棱柱的顶点为顶点，以为底面矩形的一边，

则这样的阳马的个数是（）

解：由题意可知，以44为底面矩形的一边，

则矩形可以为矩形44A8,矩形444。，

故阳马可以为：&-A4BBC\-AADD,4-44山员D、-AA、0D,

C-C~AA\D\D,D~AA\B\B,D~AA\D\Di

所以阳马的个数是8个.

故选：B.

15.下列四个命题中真命题是（）

A.空间中垂直于同一直线的两条直线互相平行

B.经过空间中的三个点有且只有一个平面

C.过球面上任意两点的大圆有且只有一个

D.过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条

解：空间中垂直于同一直线的两条直线平行、相交或异面，故/错误：

经过空间中不在同一直线上的三个点有且只有一个平面，故6错误；

过球的一个直径的两个端点的大圆有无数个，故。错误；

过空间任一点作两条异面直线的平行线，则所作的两条直线确定一个平面，

过该点与所确定的平面垂直的直线有且只有一条，

故过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条，故，正确.

故选：D.

16.两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人

输赢局次的不同视为不同情形）共有（）

A.10种B.15种C.20种D.30种

解：第一类：三局为止，共有2种情形；

第二类：四局为止，共有2XC§=6种情形；

第三类：五局为止，共有2XC：=12种情形；

故所有可能出现的情形共有2+6+12=20种情形

故选：C.

三、解答题

17.从某中学200名新生中随机抽取10名进行身高测量，得到的数据为：168、159、166、

163、170、161、167、155、162、169（单位：cm）,试估计该中学200名新生身高的平

均值和中位数，并求身高大于165例的概率估计值.

解：将数据从小到大排序得155,159,161,162,163,166,167,168,169,170.

故其平均值为155+159+161+162+163+166+167+168+169+17（_164

''10

其中位数为16*166=164.5,

2

身高大于165例的概率估计值为3=三

102

18.已知力£N,,刀23,二项式（x-2）"的展开式为为+8田及*+…+4/,其中囱，及满足及

=~3句.

（1）求77；

（2）求a+团+&+“+为的值.

解：（1）,.•〃£“，〃23,二项式（x-2）"的展开式为选+4l+及*+，“+&/其中当,a2

满足桀=-3句，

ACjj-2,（-2）""=-3C『・（-2）”7,解得〃=13.

（2）令x=L可得的+团+选+…+a〃=（1-2）13=-1.

19.如图，在一个圆锥内作一个内接圆柱（圆柱下底面在圆锥的底面上，圆柱上底面的圆在

圆锥的侧面上），圆锥的母线长为4,AB、徵是底面的两条直径，且4?=4,ABLCD,圆

柱与圆锥的公共点厂恰好为其所在母线PA的中点，点。是底面的圆心.

（1）求圆柱与圆锥的体积的比值；

（2）求异面直线行,和星所成角的大小.

解：（1）连接戶"则P0=JpA?-A02=也6-4=2a，

.•.圆锥的体积为：-7TX22X2V3=8^K;

33

•./是必的中点，且4?=4,

圆柱的底面直径为2,

.。.圆柱的侧棱长为遅，

27r：

.,.圆柱的体积为：71XIXA/3=V3

则圆柱与圆锥的体积的比值为8%兀=4；

8

(2)由题可知，OC,0B,伊三直线两两垂直，分别以这三直线为x,y,z轴，建立如图

所示的空间直角坐标系，则：

0(0,0,0),力(0,-2,0),戶(0,0,2巾，F0-1,«),C(2,0,0),

则而=(0,-1,V3)>PC=(2,0,-2^3)

・

所以cos<QF,黄>=9Pg亠二R

lOFl-lPCl2X44

20.从1、3、5、7中任取2个数字，从0、2、4、6、8中任取2个数字，用这四个数字组

成无重复数字的四位数，所有这些四位数构成集合收

(1)求集合材中不含有数字0的元素的个数;

(2)求集合"中含有数字0的元素的个数;

(3)从集合."中随机选择一个元素，求这个元素能被5整除的概率.

【解答】(1)从1、3、5、7中任取2个数字为C%从2、4、6、8中任取2个数字为C*

组成无重复数字的四位数•C3A$864;

（2）从1、3、5、7中任取2个数字为C%必选0,所以从2、4、6、8中任取1个数字

为C：，0不排首位，先给0选个位置C；，剩余数字全排为A,；故含有数字0的元素的

个数为C，C卜或嗝=432；

（3）能被5整除分情况讨论：

①选5不选0：C卜粛烟=108,

②选0不选5：C；・C：・Ag=72,

③0,5都选:C卜C：(AW；・A1)=120,

所以能被5整除得方法数：108+72+120=300,

25

所以能被5整除的概率

864+432108

21.如图，在多面体四C-45G中，44、BB\、阳均垂直于平面四C,44=4,阳=3,能

=AB=AC=BC=2.

（1）求点力到平面48c的距离；

（2）求平面与平面48K所成锐二面角的大小;

（3）求这个多面体46C-46G的体积.

解：（1）以点/为坐标原点，