2022年全国新高考II卷数学试题(含答案解析)

2022年全国新高考II卷数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合4={-1,1,2,4},8=卜卜一1归1},则AB=()

A.{-1,2}B.{1,2}C.{1,4}D.{-1,4}

2.(2+2i)(l-2i)=()

A.-2+4iB.-2-4iC.6+2iD.6-2i

3.图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称

为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中

DD|,CG，B综例是举，与网是相等的步，相邻桁的举步之比分别为

=左3.

岸。5号嗡咕两已知勺，七次3成公差为0.1的等差数列，且直线

Q4的斜率为0.725,则左3=()

4.已知向量。=(3,4),〃=(1,0),。=。+仍，若<a,c>=<b,c>,贝()

A.—6B.—5C.5D.6

5.有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁

相邻，则不同排列方式共有()

A.12种B.24种C.36种D.48种

6,若5111(。+/7)+(：05(。+夕)=2后(3051戊+?]5111#，则()

A.tan(a—尸)=1B.tan(a+/7)=l

C.tan(a—分)=_1D.tan(a+/7)=—1

7.已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为36和46，其顶点都在同一球面

上，则该球的表面积为()

A.lOChiB.128TIC.1447cD.19271

8.已知函数AM的定义域为R,S.f{x+y)+-y)=/(I)=1,则

22

£/(«=()

k=l

A.-3B.-2C.0D.1

二、多选题

9.已知函数〃x)=sin(2x+e)(0<e<7i)的图像关于点仔,0)中心对称，则()

A.在区间单调递减

(兀11兀\

B.〃尤)在区间(一五，五J有两个极值点

7兀

C.直线X是曲线y=/(x)的对称轴

D.直线>=立一》是曲线y=/(x)的切线

-2

10.已知。为坐标原点，过抛物线C：V=2px(p>0)焦点尸的直线与C交于A,8两

点，其中A在第一象限，点MS，。)，若IAFHAMI,则()

A.直线A3的斜率为2强B.1031=|OF|

C.|AB|>4|OF|D.ZOAM+ZOBM<1^,0°

11.如图，四边形ABCD为正方形，£D_L平面ABCD,FB//ED,AB=ED=2FB,记

三棱锥E—ACD,F-ABC,尸一ACE的体积分别为匕,匕,匕，则()

C.匕=匕+匕D.2匕=3匕

12.若X,y满足/+y2一孙=1,则()

A.x+y<lB.x+y>-2

C.x2+y2<2D.x2+y2>l

三、填空题

13.已知随机变量X服从正态分布N(2,〃)，>P(2<X<2.5)=0.36,则

P(X>2.5)=.

14.设点A(-2,3),3(0,“)，若直线4?关于y=a对称的直线与圆(x+3y+(y+2)2=l有

公共点，则a的取值范围是.

22

15.已知直线/与椭圆I+J=l在第一象限交于A,8两点，/与无轴，y轴分别交于

63

M,N两点，且1MAl=|NB|,|MN|=2jL贝心的方程为.

四、双空题

16.曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为,.

五、解答题

17.已知｛4｝为等差数列，也｝是公比为2的等比数列，且-

⑴证明：%=4；

(2)求集合卜bk=an,+a^<m<500)中元素个数.

18.记一ASC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,6,c为边长的三个

正三角形的面积依次为力邑,邑，已知百-$?+邑=曰,sinB=g.

⑴求一ABC的面积；

(2)若sinAsinC=,求b.

3

19.在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下

的样本数据的频率分布直方图：

(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代

表)；

(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间［20,70)的概率；

(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间［40,50)的人口占该地

区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间［40,50),求此人患这种

疾病的概率.(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间

的概率，精确到0.0001).

20.如图，尸。是三棱锥尸—ABC的高，PA=PB,ABLAC,E是总的中点.

(1)证明：OE〃平面PAC；

⑵若NABO=/CBO=30。，PO=3,PA=5,求二面角C—AE—3的正弦值.

22

21.已知双曲线C*-方的右焦点为歹(2,0),渐近线方程为y=±氐.

⑴求C的方程；

⑵过尸的直线与C的两条渐近线分别交于48两点，点P&,%),。(尤2，%)在C上，

且网>%>0,%>0.过尸且斜率为-6的直线与过Q且斜率为73的直线交于点M从

下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：

①M在A8上；②尸。〃AB；③

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

22.已知函数J(x)=xe"—

(1)当。=1时，讨论/(无)的单调性；

(2)当x>0时，求。的取值范围；

111

(3)设“eN*,证明：-rr=+1^2..++/2>ln(«+l).

参考答案:

1.B

【解析】

【分析】

求出集合8后可求AB.

【详解】

B={x|0<x<2},故A3={1,2},

故选：B.

2.D

【解析】

【分析】

利用复数的乘法可求(2+2i)(l-2i).

【详解】

(2+2i)(l-2i)=2+4-4i+2i=6-2i,

故选：D.

3.D

【解析】

【分析】

设OA=DQ=CBi=BAl=l,则可得关于k3的方程，求出其解后可得正确的选项.

【详解】

设OD、=DC、=CB]=BA=1,则CC1=k],BBX=k2,AAi=k3,

DDX+CC[+BB[+AAi

依题意，有3—K«3—。」=42,且=0.725,

40-2=OD]+DC、+CB1+BAi

所以-q=03,故-o,

故选：D

4.C

【解析】

【分析】

利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得

答案第1页，共18页

【详解】

/、9+3/+163+，

解：c=(3+/,4),costz,c=cosZ?,c,gp-力^二时，解得=5,

故选：C

5.B

【解析】

【分析】

利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解

【详解】

因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列，有3!种

排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插

入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同

学共有：31x2x2=24种不同的排列方式，

故选：B

6.C

【解析】

【分析】

由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.

【详解】

由已知得：sinacos(3+cos。sin尸+cosacos2一sinasin2=2(cosa—sincr)sin尸，

即：sinacos13—cosasinp+cosacosP+sinasin/3=0,

即：sin(a-/?)+cos(a—/)=0,

所以tan(a-4)=一1,

故选：C

7.A

【解析】

【分析】

根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径小2,再根据球心距，圆面半径，以及

球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积.

答案第2页，共18页

【详解】

设正三棱台上下底面所在圆面的半径、2,所以力=£1-,即乙=3柩=4,

设球心到上下底面的距离分别为4,4，球的半径为R,所以4=，1-9,4=奴-16,

故冏一囚=1或4+4=1，即*_9々店_16卜1或7FX+VF工=1，解得尺2=25

符合题意，所以球的表面积为S=4成2=ioo兀.

故选：A.

8.A

【解析】

【分析】

根据题意赋值即可知函数7'(x)的一个周期为6,求出函数一个周期中的

f(l),f(2),"⑹的值，即可解出.

【详解】

因为〃x+y)+/(x—y)=〃x)/(y),令x=l,y=o可得，2/(1)=/(1)/(0),所以

"0)=2,令x=o可得，/(y)+/(-y)=2/(y),即/(y)=〃—y),所以函数为偶函

数，令y=l得，/(x+l)+/(x-l)=/(x)/(l)=/(x),即有〃x+2)+〃x)=/(x+l),从

而可知〃x+2)=—1),/(x-l)=-/(x-4),M/(x+2)=/(x-4),即

/(x)=/(x+6),所以函数〃x)的一个周期为6.

因为“2)=/⑴-"0)=1-2=—1,/(3)=/(2)-/(1)=-1-1=-2,

/(4)=/(-2)=/(2)=-1,/(5)=/(-1)=/(1)=1,/(6)=/(0)=2,所以

一个周期内的/。)+/(2)++/(6)=0.由于22除以6余4,

22

所以£〃左)=〃1)+〃2)+〃3)+〃4)=1一1一2-1=-3.

k=l

故选：A.

9.AD

【解析】

【分析】

答案第3页，共18页

根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出.

【详解】

2兀=sin(F+0)=0,所以4手兀+°=fai,keZ,

由题意得：f

33

4兀

即0=---+E,左£Z,

3

所以k=2时，中=q2兀,故/(x)=sin12x+却.

又0＜。＜兀，

3

5兀_LC2兀2兀3兀

对A,当％w0,时，2x+-J-G，由正弦函数y=sin〃图象知y=/（x）在

1232

。,普］上是单调递减;

兀11兀2x+&715兀

对B,当xe时,，由正弦函数V=sin"图象知＞=/（尤）只有

12'1232'2

1个极值点，由勿+?=手，解得了=工，即x=为函数的唯一极值点;

冗冗

对C,当X77r时，2x+2?=3兀，/(7?)=0,直线％77r不是对称轴;

6366

2兀

对D,由y'=2cos|2%+一=T得:COS2X+

3T5'

兀

解得2x+三27r=237r+2e或2尤2+7臼r=4把+2配水eZ,

3333

、兀

从而得：x=E或1=1+伍上EZ,

OJT

所以函数y=/（元）在点0,2J处的切线斜率为k=ME=2cosy=-1,

切线方程为：y-=-(x-0)BPj-x.

故选：AD.

10.ACD

【解析】

【分析】

由|4刊=|40］及抛物线方程求得A（学,当），再由斜率公式即可判断A选项；表示出直

线AB的方程，联立抛物线求得-答），即可求出|。目判断B选项；由抛物线的定义

求出|4却=答即可判断C选项；由。4。8＜0，MAMB＜OMZAOB,NAAffi为钝角

即可判断D选项.

【详解】

答案第4页，共18页

对于A,易得F(g,O),由|A/|二|AM|可得点A在网以的垂直平分线上，则A点横坐标为

—+pq

2=3p,

2-4

代入抛物线可得丁=22.?=102,则A(学,当)，则直线48的斜率为甚2_万=2",

T-7

A正确；

L1P

对于B,由斜率为2而可得直线的方程为了=、后'+联立抛物线方程得

,2一/py_p2=0,

设B(XQ3则逅°+y=在0,则％=一显,代入抛物线得＞埋］=2pw，解得

则即卷［+］一孚：=4MoT，B错误；

对于C,由抛物线定义知：|阴=?+与+〃=*＞2片48|,C正确；

对于D,04。8=耳,字.专一冬=¥?+与［孚］=一号＜0,则ZAO2为

钝角,

答案第5页，共18页

ZAMB为钝角,

XZAOB+ZAMB+ZOAM+ZOBM=360,贝UNOAM+/OSW<180,D正确.

故选：ACD.

11.CD

【解析】

【分析】

直接由体积公式计算K，%,连接8。交AC于点连接由匕=匕一

计算出匕，依次判断选项即可.

设AB=ED=2FB=2a,因为ED_L平面ABC。，FBED,则

iiio4

V=-EDS=--2a---(2a]-=-a3,

13Acrn32'/3

匕=?用。的=；0；0«)2=1.3,连接go交AC于点M,连接EM/M,易得

BDLAC,

又EOL平面ABC。，ACu平面ABC。，则即，AC,又EDBD=D,瓦>,a)u平面

BDEF,则AC_L平面助DEF,

又BM=DM=gBD=0a,过/作PG_LOE于G,易得四边形BAG/为矩形，贝U

FG=BD=242a,EG=a,

2

则EM=J(2a『+=痛&FM=J]+(及,=耳,EF=5+(2&a『=3a,

1Q5

2222

EM+FM=EF,则SEFM=-EM-FM=^-a,AC=2啦a，

则匕=匕一网+Vc-EFM=^C-SEFM=2/,贝口匕=3匕，匕=3%,匕=匕+匕，故A、B

错误；C、D正确.

故选：CD.

答案第6页，共18页

12.BC

【解析】

【分析】

根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假.

【详解】

因为次《0(a,blR),由x?+y-町=i可变形为,

江+月2-1=3孙<3[亨)，解得_2Wx+yW2,当且仅当x=y=T时，x+y=-2,当

且仅当x=y=l时，尤+y=2,所以A错误，B正确；

22

由f+y?-孙=1可变形为(f+y2)_]=孙4土(2^,解得尤2+必42,当且仅当X=y=±l

时取等号，所以c正确；

因为x2+/-xy=l变形可得[一设x-]=cosa¥y=sine,所以

12

%=cos6+的rsin0,y=-j=sin0f因此

o5o2111

x20+y0=cos2^+—sin2^+—^sin^cos^=1+—7=sin2^——cos20+—

3737333

=：+,sin卜所以当％=走,了=一且时满足等式，但是/+必21不成

33I6J|_3」3-3

立，所以D错误.

故选：BC.

7

13.0.14##—.

50

【解析】

【分析】

根据正态分布曲线的性质即可解出.

【详解】

因为XN(2,〃)，所以尸(X<2)=尸(X>2)=0.5,因此

尸（X>2,5）=P（X>2）-P（2<X<2.5）=0.5-0.36=0.14.

故答案为：0.14.

答案第7页，共18页

【解析】

【分析】

首先求出点A关于V=a对称点4的坐标，即可得到直线/的方程，根据圆心到直线的距离

小于等于半径得到不等式，解得即可；

【详解】

解：4(-2,3)关于y=a对称的点的坐标为A'(-2,2a-3),3(0,。)在直线V=。上，

所以A3所在直线即为直线/,所以直线/为>=编》+。，即(a-3)x+2y-2a=0；

—2

圆C:(x+3y+(y+2)2=1,圆心。(一3,-2),半径r=l,

卜3(Q_3)-4-2Q|

依题意圆心到直线I的距离d=I]”，-1，

J(a-3)+于

°n13「13-

即(5-5疗45-3)一+22,解得即ae；

J乙LD乙_

"13"

故答案为：

15.x+y/2y-2y/2=0

【解析】

【分析】

令A8的中点为E,设A(HM),网和力),利用点差法得到曝设直线

AB:y=kx+m,k<Q,m>Q,求出Af、N的坐标，再根据|"用求出左、m,即可得解;

【详解】

解：令的中点为E,因为|阿=|g|,所以|ME|=|NE|,

2222

设矶和％),则工+里=1,旦+江=1,

6363

所以立_五+止一&=o即a।=0

663363

所以"即曝j设直线k<o,心。,

(㈤’所以小箓,图,

令％=0得'=m，令)=0得％=—£,即N0,

y乙K乙J

答案第8页，共18页

m

BP^x-2-=-l解得k=W或卜=盘(舍去)，

_m222

~2k

又|MN|=2百，即=Jm?+(=26,解得m=2或m=—2(舍去),

所以直线AB:y=-2x+2,即了+四尸2五=0；

故答案为：x+-fly-2母=0

16.y=-xy=—x

'ee

【解析】

【分析】

分x>0和x<0两种情况，当x>0时设切点为(%,lnx°),求出函数的导函数，即可求出切

线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出％,即可求出切线方程，当

x<0时同理可得；

【详解】

解：因为y=ln|x|,

当x>0时y=lnx,设切点为(％,In%),由了=‘，所以所以切线方程为

%xo

y-\nx0=—(x-x0),

玉)

又切线过坐标原点，所以Tn%=L(-x°),解得x0=e,所以切线方程为y-1」(x-e),

答案第9页，共18页

即y=L；

e

当x<0时y=ln（f）,设切点为（和111（-玉）），由y'=L所以所以切线方程为

X阳

y-ln（一玉）=一（%一项）,

%

又切线过坐标原点，所以Tn（-%）=，（一玉），解得玉=-e,所以切线方程为

x\

y-l=—（x+e）,BPy=--x；

—ee

故答案为：y=~x；y=--x

ee

17.（1）证明见解析；

⑵9.

【解析】

【分析】

（1）设数列｛q｝的公差为d,根据题意列出方程组即可证出;

（2）根据题意化简可得根=2"2,即可解出.

⑴

q+d—24=4+2d—4Z?|即可解得，所以

设数列｛q｝的公差为"，所以,4=q=g,

a1+d—2bl—8A]—(q+3d)

原命题得证.

⑵

-1

由(1)知，bt—,所以4=%“+q<=>4x2"।%+(〃z—l)d+a1,即2*=2m,亦即

2

m=2^G[l,500],解得2WZW10,所以满足等式的解左=2,3,4,…,10,故集合

｛左|4=a,“+q/W〃?W500｝中的元素个数为10-2+1=9.

18.⑴1

*

【解析】

【分析】

（1）先表示出H，邑,邑，再由S「邑+$3=¥求得/+C?-尸=2,结合余弦定理及平方

答案第10页，共18页

关系求得ac，再由面积公式求解即可;

⑵由正弦定理得K=喜袅’即可求解

(1)

由题意得S1=L"2•立=立1凡=,凡=3,则

1224

QQQ_坦26,2£2=乌

S[—Sr.+Sn=—a------b+-

1234442

n2-i-r2-h2

即/+02一匕2=2,由余弦定理得cos8=,整理得accos8=l,贝hos3>0,又

lac

sinB=-,

3

2

12421平,则s

则cosB=』l一ac=

33cosBABC28

⑵

3夜

bb2a9

由正弦定理得:,则4“则

sinBsinAsinCsin2BsinAsinCsinAsinC

3

b3A

I-b=-sinB=-

sin522

19.⑴44.65岁;

(2)0.89；

(3)0.0014.

【解析】

【分析】

(1)根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；

(2)设4={一人患这种疾病的年龄在区间［20,70)},根据对立事件的概率公式

P(A)=1-P(A)即可解出;

(3)根据条件概率公式即可求出.

(1)

平均年龄元=(5x0.001+15x0.002+25x0.012+35x0.017+45x0.023

+55x0.020+65x0.012+75x0.006+85x0.002)x10=44.65(岁).

(2)

设A=｛一人患这种疾病的年龄在区间[20,70)),所以

答案第11页，共18页

P(A)=1-P(A)=1-(0.001+0.002+0.006+0.002)x10=1-0.11=0.89.

(3)

设8=｛任选一人年龄位于区间［40,50)｝,C=｛任选一人患这种疾病｝,

则由条件概率公式可得

P(BC)0.1%x0.023xl00.001x0.23

P(C|B)==0.0014375®0.0014.

P(B)16%0.16

20.(1)证明见解析

【解析】

【分析】

(1)连接3。并延长交AC于点O,连接。4、尸根据三角形全等得到Q4=OB,再根

据直角三角形的性质得到=即可得到。为80的中点从而得到OE〃尸D,即可得

证；

(2)过点A作Az〃。尸，如图建立平面直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦

值，再根据同角三角函数的基本关系计算可得；

⑴

证明：连接8。并延长交AC于点。，连接。4、PD,

因为尸。是三棱锥尸—ABC的高，所以尸0,平面ABC,AO,BOu平面ABC,

所以PO_LA。、POLBO,

又PA=PB,所以△POAFAPOB,即=所以NOAB=NOBA,

又即Z&4C=90。，所以/O4B+/tMD=90。，ZOBA+ZODA=90°,

所以NOD4=NOAT>

所以AO=r>O,即40=00=03,所以。为8。的中点，又E为PB的中点，所以

OEHPD,

又OEO平面PAC,PDu平面尸AC,

所以。£7/平面PAC

答案第12页，共18页

因为尸0=3,AP=5,所以Q4=JAP2—R92=4,

又NOSA=NO8C=30。，所以即=2OA=8,则AD=4,AB=4^,

所以AC=12,所以0（2石,2,0）,B（4A0,0）,尸（2代,2,3）,C（0,12,0）,所以

则AE=（3后J；］,AB=（4^,0,0）,AC=（0,12,0）,

-_3

,、n-AE=3V3x+y+—z=0

设平面AEB的法向量为〃=（x,y,z）,贝”2令z=2,则丫=-3,

n-AB=4后=0

x=0,所以“=（0,-3,2）；

答案第13页，共18页

3

设平面AEC的法向量为根=(〃也c),则＜力叱-36。+。+］。-0,令a=5则。=~6,

m-AC=12Z?=0

b=0,所以m=(g,0,-6)；

-12473

所以C°s/("，〃\尸n而-m

713x5/39-13

设二面角C-AE-3为。，由图可知二面角C-AE-3为钝二面角，

所以cos6»=-生8,所以sind=J1-cos。©

1313

故二面角C-AE-B的正弦值为《；

21.⑴/-工=1

3

⑵见解析

【解析】

【分析】

(1)利用焦点坐标求得c的值，利用渐近线方程求得。力的关系，进而利用a,4c的平方关

系求得%的值，得到双曲线的方程；

(2)先分析得到直线AB的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为匕M(xo,yo),由

“2

③等价分析得到x+ky=；由直线PM和QM的斜率得到直线方程，结合

00k—3

双曲线的方程，两点间距离公式得到直线P。的斜率根=£,由②PQ//A8等价转化为

ky°=3x°,由①/在直线A8上等价于机=左2(%-2),然后选择两个作为已知条件一个作

为结论，进行证明即可.

(1)

右焦点为22,0),.•.c=2「.•渐近线方程为了=土括x,=近，.."=&a,...

a

c1=a1+b2=4。2=4,a=1,b—yfi■

2

；.c的方程为：/一二=1；

3

⑵

由已知得直线PQ的斜率存在且不为零，直线AB的斜率不为零，

若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线的斜率存在且不为零；

答案第14页，共18页

若选①③推②，则/为线段A3的中点，假若直线A8的斜率不存在，则由双曲线的对称

性可知M在x轴上，即为焦点尸，此时由对称性可知P、。关于x轴对称，与从而石=9，

已知不符；

总之，直线的斜率存在且不为零.

设直线AB的斜率为左，直线AB方程为y=Mx-2）,

则条件①A/在A8上，等价于%=左伉一2）0机=左2（七一2）；

两渐近线的方程合并为3x2-y2=0,

联立消去y并化简整理得：伏2-3）/一=0

设线段中点为NGz，%）,则/=卡/=年二,%=左（/-2）=工,

2k—jk—3

设河（人，%）,

则条件③1=忸闾等价于（％-泡）2+（%-%）2=（尤0-%）2+（%-M）2,

移项并利用平方差公式整理得：

（七一川）［2%-（退+%）］+（%-（%+%）］=。，

［2%0_（尤3+尤4）］++以）］=°,即％-0+M%-％）=°，

即尤0+3）=；

由题意知直线尸河的斜率为-石，直线的斜率为6,

由％-%=-V3（占一1）,%一%=百（电一%）,

-'­%=-石（%+*2-2%）,

所以直线PQ的斜率m=上二^=一色％!也二竺），

%!-x2xi-x2

直线PM:y=_石（*_%）+%,即y=%+也%-括%,

代入双曲线的方程3/一＞2一3=0,即（石龙+＞）（氐一"=3中，

得：（%+百%）［2氐一卜。+氐。）］=3,

答案第15页，共18页

%

条件②P。〃AB等价于%=%o外。=3尤。,

综上所述：

条件①〃在AB上，等价于机=^(而一2)；

条件②PQHAB等价于ky0=3%；

条件③|=怛徵等价于x0+ky0=詈式；