初中七年级数学 数列及其应用 数列的概念及简单表示法

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第五篇数列及其应用

专题5.01数列的概念及简单表示法

【考试要求】

1.了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）;

2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.

【知识梳理】

1.数列的定义

按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.

2.数列的分类

分类标准类型满足条件

有穷数列项数有限

项数

无穷数列项数无限

递增数列a>a

/i+ltn

项与项递减数列a<a其中〃仁N*

〃+ln

间的大常数列a=a

M4-1n

小关系从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小

摆动数列

于它的前一项的数列

3.数列的表示法

数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法.

4.数列的通项公式

（1）通项公式：如果数列｛与｝的第n项与与序号〃之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式

叫做这个数列的通项公式.

（2）递推公式：如果己知数列｛与｝的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与与它的前一项

“।（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.

M—1

【微点提醒】

,7?—1,

1.若数列｛4｝的前〃项和为S,通项公式为综,

2.数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列

顺序有关.

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3.易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号.

【疑误辨析】

1.判断下列结论正误（在括号内打“J”或“X”）

（1）相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.（）

（2）1,1,1,1,…，不能构成一个数列.（）

（3）任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.（）

（4）如果数列｛4｝的前“项和为5”，则对任意“CN*,都有《尸5,山一5,,.（）

【教材衍化】

2.（必修5P33A4改编）在数列｛%｝中，4=1,a“=l则％等于（)

“〃一1

3「5人8门2

A-2B.gC.gD.g

3.（必修5P33A5改编）根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式与=.

【真题体验】

4.（2019摸底）已知数列｛4｝中，a=\,a=2a+1（”©N*）,S为其前〃项和，则鼠的值为

（）

A.57B.61C.62D.63

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5.（2018•北京朝阳区月考）数列0,1,0,-1,0,1,0,一1,…的一个通项公式与等于（）

（­1）"+1nn

A.-----------------B.cos-

“+11+2

C.cos-Y~11D.cos—~~n

6.（2019•天津河东区一模）设数列他“｝的前〃项和为S“，且S“二%,若獅=32,则4=.

【考点聚焦】

考点一由数列的前几项求数列的通项

【例1】（1）已知数列的前4项为2,0,2,0,则依此归纳该数列的通项不可能是（）

（2,〃为奇数，

A.a=（—l>-i+lB.a

""[0,〃为偶数

H7t

C.a“=2siiryD.a“=cos（〃一l）n+1

15

13—

（）己知数列｛”“｝为;,屮

2^-，

016—22而，…，则数列｛〃“｝的一个通项公式是

【规律方法】由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略

（1）常用方法：观察（观察规律）、比较（比较已知数列）、归纳、转化（转化为特殊数列）、联想（联想常见的数列）

等方法.

（2）具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和

绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；

⑥对于符号交替出现的情况，可用（一1）*或kdN*处理.

【训练1】写出下列各数列的一个通项公式：

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11

⑴一［X2,2X3'_3X4'4X5(

(2)；,2,羡，8,-y,

(3)5,55,555,5555,….

考点二由与与5,的关系求通项

【例2】⑴(2019・广州质检)已知5“为数列｛”“｝的前”项和，且log2(S“+l)=〃+l,则数列｛%｝的通项公式

为.

(2)(2018•全国I卷)记S“为数列｛4｝的前"项和.若S=2a+1,则与=.

【规律方法】数列的通项。与前〃项和S的关系是。=(①当〃=1时，〃若适合s—s,

“”〃[s-s"22.1〃〃一I

i〃n—1

则”=1的情况可并入“22时的通项4;②当〃=1时，,若不适合则用分段函数的形式表示.

【易错警示】在利用数列的前八项和求通项时，往往容易忽略先求出力,而是直接把数列的通项公式写

叔a=S—S।的形式，但它只适用于”22的情形.例如例2第(1)题易错误求出“=2”(〃GN*).

【训练2]⑴已知数列｛%｝的前n项和S,=2"2—3”，则数列｛%｝的通项公式a=.

(2)已知数列｛a,J的前n项和S,,=3“+1,则数列的通项公式与=.

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考点三由数列的递推关系求通项

【例3】(1)在数列｛。“｝中，％=2,〃〃_]=〃〃+ln(l+O，则%等于()

A.2+lnnB.2+(n—l)lnn

C.2+nlnnD.l+n+lnn

(2)若〃I=1,nan-i=(〃+l)〃n(〃N2),则数列｛an｝的通项公式〃n=________.

(3)若%=1,a=2a+3,则通项公式a=

(4)若数列｛%｝满足円=1,%一」=爲，则“"=.

【规律方法】

由数列的递推关系求通项公式的常用方法

(1)已知%,且可用“累加法”求％.

(2)已知%(4W0),且3-=/(〃)，可用“累乘法”求知.

an-\

⑶已知％,且%_1=如“+/?,则a“+1+k=q(a“+k)(其中k可用待定系数法确定)，可转化为｛4+行为等比数

列.

4zj

(4)形如a,=/「(A,B,C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.

DDCI十C

【易错警示】本例(1),(2)中常见的错误是忽视验证力是否适合所求式.

【训练3】(1)(2019•山东、湖北部分重点中学联考)已知数列｛%｝的前〃项和为S“，若q=2,an=a+2n

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-1+1,则〃〃=.

(2)若4=1,4卄]=2叼/则通项公式.

考点四数列的性质

【例4】(1)数列｛%｝的通项%=咼则数列｛〃“｝中的最大项是()

A.3回B.19

I2a.

3

(2)数列｛与｝满足量+|=]]a=j,则数列的第2019项为

12。,一1，产“<L

【规律方法】1.在数学命题中，以数列为载体，常考查周期性、单调性.

2.(1)研究数列的周期性，常由条件求出数列的前几项，确定周期性，进而利用周期性求值.(2)数列的单调性

只需判定(与«)+1的大小，常用比差或比商法进行判断.

【训练4】(1)已知数列｛%｝满足％=1,”“+]=%—2%+1(〃WN*),则。2020=.

(2)若an=n2+kn+4且对于〃WN*,都有anl>an成立，则实数k的取值范围是.

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【反思与感悟】

1.数列是特殊的函数，要利用函数的观点认识数列.

2.已知递推关系求通项公式的三种常见方法：

(1)算出前几项，再归纳、猜想.

(2)形如“a“+|=p%+q”这种形式通常转化为%+1+2=p3“+»,由待定系数法求出九再化为等比数列.

(3)递推公式化简整理后，若为a,,“一％=/(〃)型，则采用累加法；若为紫=/(”)型，则采用累乘法.

n

【易错防范】

1.解决数列问题应注意三点

(1)在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值是正整数.

(2)数列的通项公式不一定唯一.

(3)注意以=5,一如中需22.

2.数列“｝中，若%最大,则“%」且％/川;若品最小，则不%且,旧用.

【分层训练】

【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)

一、选择题

1.数列1,3,6,10,15,…的一个通项公式是()

A.Q“=〃2—（〃一1）B.a1

n（九+1）n（n-1）

C.a=------------D（t=

«2n2-

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2.已知数列｛%｝满足：任意"i,"《N*,都有a“”,"=4”且々=/，那么%=()

A-32B,l6C-4D2

3.(2019•江西重点中学盟校联考)在数列｛〃,｝中,22,"EN*),则4ON的值为()

145

-B5c-D-

A.-454

4.已知数列｛b｝的前〃项和为S,且%=2,ai+I=5+1(MGN*),则5§=()

A.31B.42C.37D.47

[(2。-1)x+4(xWl),

5.(2019•成都诊断)已知兀0=数列｛〃“｝(〃WN*)满足%=/5),且｛。“｝是递增数歹U，

(冗〉1)，

则a的取值范围是()

A.(l,+°°)B.Q,+°°J

C.(l,3)D.(3,+8)

二、填空题

11

--

6.在数列一1,0,8♦，…中，0.08是它的第项.

9J

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7.若数列｛4｝的前n项和S=3/12-2/7+1,则数列｛%｝的通项公式与=.

8在数列｛4｝中，円=2,給4+lnQ+J则〃“=--------.

三、解答题

9.(2016•全国III卷)已知各项都为正数的数列｛〃n｝满足QI=1,ani-(2an1—1)。n-2〃〃+1=0.

(1)求4，％；

(2)求｛4｝的通项公式.

10.已知S“为正项数列｛a“｝的前n项和,且满足S“WN*).

(1)求％,a2,%，%的值;

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（2）求数列｛%｝的通项公式.

【能力提升题组】（建议用时：20分钟）

11.（2019•山东新高考适应性调研）“中国剩余定理”又称''孙子定理