2023年湖北省襄阳市宜城市中考数学一模试卷

2023年湖北省襄阳市宜城市中考数学一模试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其标号在答题卡上涂黑作答．1．（3分）下列各数中，绝对值最大的数是（）A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．22．（3分）下列运算结果等于a6的是（）A．a3+a3 B．a2•a3 C．（﹣a3）2 D．a12÷a23．（3分）如图所示，已知AB∥CD，EF平分∠CEG，则∠2的度数为（）A．20° B．40° C．50° D．60°4．（3分）如图，是由7个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，若从标有①、②、③、④的四个小正方体中取走一个后，则取走的正方体是（）A．① B．② C．③ D．④5．（3分）不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．6．（3分）下列说法正确的是（）A．“购买一张彩票，中奖”是不可能事件 B．“从，，π，0.2这四个数中随机选一个数，这个数是无理数”是随机事件 C．抛掷一枚质地均匀的硬币10次，有3次正面朝上，说明正面朝上的概率是0.3 D．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是0.57．（3分）下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．8．（3分）分式方程＝的解是（）A．x＝1 B．x＝﹣1+ C．无解 D．x＝29．（3分）如图，在△ABC中，点D在BC上，DF∥AB，下列四个判断中不正确的是（）A．四边形AEDF是平行四边形 B．若∠BAC＝90°，则四边形AEDF是矩形 C．若AD⊥BC且AB＝AC，则四边形AEDF是菱形 D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是矩形10．（3分）已知等腰三角形的周长是10，底边长y是腰长x的函数，则下列图象中（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）把答案填在答题卡的相应位置上．11．（3分）截止2021年4月中国高速路总里程达16万公里．请将“16万”用科学记数法表示记为．12．（3分）某种服装原价每件80元，经两次降价，现售价每件64.8元，这种服装平均每件降价．13．（3分）从A，B，C，D四名同学中，随机抽取三人代表某学校参加文艺表演，A，B，C三人的概率是．14．（3分）用长为12米的铝合金条制成如图所示的窗框，若窗框的高为x米，当x等于时窗户的透光面积最大（铝合金条的宽度不计）．15．（3分）PA，PB，CD是⊙O的切线，A，B，CD分别交PA，PB于C，若∠APB＝50°，则∠COD的度数为．16．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E，BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠使点D与点B重合，EF＝2，则AD的长等于．三、解答题（本大题共9个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内．）17．（6分）先化简，再求值（﹣2）÷（﹣），其中a＝+﹣．18．（6分）某校为了了解A，B两个班的学生数学学习情况，对数学进行了一次测试（百分制），并对成绩进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．①A，B两班学生（两个班的人数相同）数学成绩不完整的频数分布直方图如图（数据分成5组：x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；②A，B两班学生测试成绩在80≤x＜90这一组的数据如下：A班：80808283858586878787888989B班：80808181828283848485858686868787878787888889A，B两班学生测试成绩的平均数、中位数、方差如表：平均数中位数方差A班80.6m96.9B班80.8n153.3根据以上信息，回答问题：（1）A班有人，其中成绩在70≤x＜80这一组的有人；（2）表中m＝，n＝；（3）从两个方面来分析A，B两班的成绩：①；②．19．（6分）如图，AE∥BF，AC平分∠BAE（1）作∠ABF的平分线交AE于点D（尺规作图，保留痕迹，不写作法）；（2）根据（1）中作图，连接CD20．（6分）如图，海面上一艘船由西向东航行，在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°，测得该灯塔的最高点C的仰角为45°，根据测得的数据（结果取整数）．参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60．21．（7分）已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+2＝0．（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根．（2）是否存在实数k使方程两根的倒数和为2？若存在，请求出k的值；若不存在22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，OC⊥AD，AC平分∠PAD．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若OE＝1，CD＝2，求的长．23．（10分）倡导垃圾分类，共享绿色生活．为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某机器人公司研发出A型和B型两款垃圾分拣机器人，3台A型机器人和2台B型机器人同时工作5小时共分拣垃圾8吨．（1）1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾多少吨？（2）某垃圾处理厂计划向机器人公司购进一批A型和B型垃圾分拣机器人，机器人公司的报价如下表：型号原价购买量少于30台购买量不少于30台A型20万元/台原价购买打九折B型12万元/台原价购买打八折①若要求这批机器人每小时一共能分拣垃圾20吨．设其中购买A型机器人x台（10≤x≤35），购买两种机器人总费用为W万元．求W与x的函数关系式，并说明如何购买总费用最少；②为了加快垃圾分拣速度，垃圾处理厂计划用不超过140万元增购这两种机器人共10台，机器人公司全部以打折后价格销售24．（11分）在矩形ABCD中，＝k（k为常数），点P是对角线BD上一动点（不与B，D重合），连接AE．（1）特例发现：如图1，当k＝1时，将点P移动到对角线交点处，则＝，∠AEP＝；当点P移动到其它位置时，∠AEP的大小（填“改变”或“不变”）；（2）类比探究：如图2，若k≠1时，当k的值确定时，并说明理由；（3）拓展应用：当k≠1时，如图2，连接PC，AE∥PC，PC＝225．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线解析式为y＝﹣2x2+4mx﹣2m2+2，直线l：y＝﹣x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）如图1，当抛物线经过点A且与x轴的两个交点都在y轴右侧时，求抛物线的解析式．（2）在（1）的条件下，若点P为直线l上方的抛物线上一点，求PQ的最大值．（3）如图2，点C（﹣2，0），若抛物线与线段AC只有一个公共点参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其标号在答题卡上涂黑作答．1．（3分）下列各数中，绝对值最大的数是（）A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．2【解答】解：|﹣3|＝3，|﹣6|＝2，|2|＝7，∴3＞2＞8，∴绝对值最大的数﹣3，故选：A．2．（3分）下列运算结果等于a6的是（）A．a3+a3 B．a2•a3 C．（﹣a3）2 D．a12÷a2【解答】解：A、a3+a3＝5a3，不合题意；B、a2•a2＝a5，不合题意；C、（﹣a3）5＝a6，符合题意；D、a12÷a2＝a10，不合题意；故选：C．3．（3分）如图所示，已知AB∥CD，EF平分∠CEG，则∠2的度数为（）A．20° B．40° C．50° D．60°【解答】解：∵EF平分∠CEG，∴∠CEG＝2∠CEF又∵AB∥CD，∴∠2＝∠CEF＝（180°﹣∠7）÷2＝50°，故选：C．4．（3分）如图，是由7个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，若从标有①、②、③、④的四个小正方体中取走一个后，则取走的正方体是（）A．① B．② C．③ D．④【解答】解：原几何体的主视图是：．故取走的正方体是①．故选：A．5．（3分）不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．【解答】解：解不等式3x＞﹣6，得：x＞﹣6，解不等式≤7，故不等式组的解集为﹣2＜x≤2．故选：B．6．（3分）下列说法正确的是（）A．“购买一张彩票，中奖”是不可能事件 B．“从，，π，0.2这四个数中随机选一个数，这个数是无理数”是随机事件 C．抛掷一枚质地均匀的硬币10次，有3次正面朝上，说明正面朝上的概率是0.3 D．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是0.5【解答】解：A．“购买一张彩票，A选项说法错误；B．“从，，π，这个数是无理数”是随机事件，故B选项符合题意；C．抛掷一枚质地均匀的硬币10次，说明正面朝上的概率是0.3，有8次正面朝上，随着实验次数的增多越来越接近于理论数值0.5；D．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，D选项说法不正确．故选：B．7．（3分）下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、不是轴对称图形．故此选项正确；B、是轴对称图形．故此选项错误；C、是轴对称图形．故此选项错误；D、是轴对称图形．故此选项错误．故选：A．8．（3分）分式方程＝的解是（）A．x＝1 B．x＝﹣1+ C．无解 D．x＝2【解答】解：＝，x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）＝2，x2+2x﹣x3﹣x+2＝3，x＝3，经检验，x＝1是方程的增根，∴方程无解，故选：C．9．（3分）如图，在△ABC中，点D在BC上，DF∥AB，下列四个判断中不正确的是（）A．四边形AEDF是平行四边形 B．若∠BAC＝90°，则四边形AEDF是矩形 C．若AD⊥BC且AB＝AC，则四边形AEDF是菱形 D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是矩形【解答】解：因为DE∥CA，DF∥BA．故A正确．∠BAC＝90°，四边形AEDF是平行四边形．故B正确．若AD⊥BC且AB＝AC，则四边形AEDF是菱形；因为AD平分∠BAC，所以AE＝DE，所以是菱形．故选：D．10．（3分）已知等腰三角形的周长是10，底边长y是腰长x的函数，则下列图象中（）A． B． C． D．【解答】解：由题意得，2x+y＝10，所以，y＝﹣2x+10，由三角形的三边关系得，，解不等式①得，x＞8.5，解不等式②得，x＜5，所以，不等式组的解集是5.5＜x＜5，正确反映y与x之间函数关系的图象是D选项图象．故选：D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）把答案填在答题卡的相应位置上．11．（3分）截止2021年4月中国高速路总里程达16万公里．请将“16万”用科学记数法表示记为1.6×105．【解答】解：16万＝160000＝1.6×107，故答案为：1.6×103．12．（3分）某种服装原价每件80元，经两次降价，现售价每件64.8元，这种服装平均每件降价10%．【解答】解：设这种服装平均每件降价的百分率是x，由题意得80（1﹣x）2＝64.8∴（1﹣x）2＝8.81∴1﹣x＝0.8或1﹣x＝﹣0.3∴x＝10%或x＝1.9（舍）故答案为10%．13．（3分）从A，B，C，D四名同学中，随机抽取三人代表某学校参加文艺表演，A，B，C三人的概率是．【解答】解：根据题意，所有等可能情况有：（A，B、（A，B、（A，C、（B，C，其中抽到A，B，C三人的只有1种结果，所以抽到A，B，C三人的概率为，故答案为：．14．（3分）用长为12米的铝合金条制成如图所示的窗框，若窗框的高为x米，当x等于2时窗户的透光面积最大（铝合金条的宽度不计）．【解答】解：根据题意知，窗框的长为（12﹣3x）÷2＝6﹣，∴窗框的透光面积S＝x（6﹣x）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣4）2+6，∵a＝﹣＜0，∴当x＝6时，S取得最大值，即当x等于2时窗户的透光面积最大，故答案为：2．15．（3分）PA，PB，CD是⊙O的切线，A，B，CD分别交PA，PB于C，若∠APB＝50°，则∠COD的度数为65°或115°．【解答】解：分为两种情况：①如图1，连接OA、OE，∵PA、PB是⊙O的切线，A，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∵∠APB＝50°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，∵CD切⊙O于E，∴OE⊥CD，∴∠DEO＝∠CEO＝90°，∵PA、PB，切点是A、B、E，∴∠ACO＝∠ECO，∠EDO＝∠BDO，∵∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠ACO，∠EOC＝180°﹣∠OEC﹣∠ECO，∴∠AOC＝∠EOC，同理可证：∠DOE＝∠BOD，∴∠COD＝∠EOC+∠EOD＝∠AOB＝；②如图4，∠COD＝×（360°﹣130°）＝115°；故答案为：65°或115°．16．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E，BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠使点D与点B重合，EF＝2，则AD的长等于8．【解答】解：过点F作FM⊥AD交于点M，由折叠可知，BE＝ED，CF＝C'F，∵AB＝4，∴BC'＝4，MF＝4，∵EF＝2，∴EM＝＝＝2，设CF＝x，则C'F＝x，∵∠C'＝∠C＝90°，在Rt△C'BF中，BF＝＝，在Rt△ABF中，AE＝＝，∵AE+EM＝BF，∴+8＝，解得x＝3，∴BF＝4，CF＝3，∴AD＝8，故答案为：2．三、解答题（本大题共9个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内．）17．（6分）先化简，再求值（﹣2）÷（﹣），其中a＝+﹣．【解答】解：（﹣6）÷（﹣）＝÷＝•＝a﹣b，当，时，原式＝＝．18．（6分）某校为了了解A，B两个班的学生数学学习情况，对数学进行了一次测试（百分制），并对成绩进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．①A，B两班学生（两个班的人数相同）数学成绩不完整的频数分布直方图如图（数据分成5组：x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；②A，B两班学生测试成绩在80≤x＜90这一组的数据如下：A班：80808283858586878787888989B班：80808181828283848485858686868787878787888889A，B两班学生测试成绩的平均数、中位数、方差如表：平均数中位数方差A班80.6m96.9B班80.8n153.3根据以上信息，回答问题：（1）A班有40人，其中成绩在70≤x＜80这一组的有10人；（2）表中m＝81，n＝85；（3）从两个方面来分析A，B两班的成绩：①从平均分来看，A，B两班差不多；②从中位数来看，B班85分以上学生数比A班多．【解答】解：（1）由题意可知，A班有：5+2+3+22+8＝40（人），故答案为：40；10；（2）A班共40名同学，中位数落在80≤x＜90＝81，B班共40名同学，中位数落在80≤x＜90＝85，故m、n的值分别为81；（3）从平均分来看，A，B两班差不多，B班85分以上学生数比A班多，A班方差小，B班方差大．（任选两点）．故答案为：从平均分来看，A，B两班差不多，B班85分以上学生数比A班多．19．（6分）如图，AE∥BF，AC平分∠BAE（1）作∠ABF的平分线交AE于点D（尺规作图，保留痕迹，不写作法）；（2）根据（1）中作图，连接CD【解答】（1）解：如图，射线BD为所求；（2）证明：∵AE∥BF，∴∠DAC＝∠ACB，∵AC平分∠BAE，∴∠DAC＝∠BAC．∴∠ACB＝∠BAC，∴AB＝BC，同理可证AB＝AD，∴AD＝BC．又∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形．20．（6分）如图，海面上一艘船由西向东航行，在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°，测得该灯塔的最高点C的仰角为45°，根据测得的数据（结果取整数）．参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60．【解答】解：在Rt△CAD中，tan∠CAD＝，则AD＝≈CD，在Rt△CBD中，∠CBD＝45°，∴BD＝CD，∵AD＝AB+BD，∴CD＝CD+30，解得，CD＝45，答：这座灯塔的高度CD约为45m．21．（7分）已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+2＝0．（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根．（2）是否存在实数k使方程两根的倒数和为2？若存在，请求出k的值；若不存在【解答】解：（1）当k＝0时，方程变形为x+2＝2；当k≠0时，Δ＝（2k+4）2﹣4•k•8＝（2k﹣1）6，∵（2k﹣1）4≥0，∴△≥0，∴当k≠2时，方程有实数根，∴无论k取任何实数时，方程总有实数根；（2）存在，设方程两根为x1、x2，则x8+x2＝﹣，x1x2＝，∵+＝2，即，∴＝2＝2，解得：k＝﹣，故存在实数k使方程两根的倒数和为2．22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，OC⊥AD，AC平分∠PAD．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若OE＝1，CD＝2，求的长．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，∵AC平分∠PAD，∴∠PAC＝∠CAD，∵OC⊥AD，∴AC＝CD，∴∠CAD＝∠D，∵∠B＝∠D，∴∠B＝∠CAD，∴∠B＝∠PAC，∴∠PAB＝∠PAC+∠BAC＝∠B+∠BAC＝90°，∴PA⊥AB，又∵AB是⊙O的直径，∴PA是⊙O的切线；（2）解：设的半径为r，∵AC＝CD，CD＝2，∴AC＝CD＝2，在Rt△ACE和Rt△OCE中，由勾股定理得AC7﹣AE2＝CE2＝OC7﹣OE2，OE＝1，∴22﹣（r﹣1）6＝r2﹣16，解得r1＝2，r2＝﹣1（舍去），在Rt△COE中，cos∠COE＝，∴∠AOC＝60°，∴＝＝．23．（10分）倡导垃圾分类，共享绿色生活．为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某机器人公司研发出A型和B型两款垃圾分拣机器人，3台A型机器人和2台B型机器人同时工作5小时共分拣垃圾8吨．（1）1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾多少吨？（2）某垃圾处理厂计划向机器人公司购进一批A型和B型垃圾分拣机器人，机器人公司的报价如下表：型号原价购买量少于30台购买量不少于30台A型20万元/台原价购买打九折B型12万元/台原价购买打八折①若要求这批机器人每小时一共能分拣垃圾20吨．设其中购买A型机器人x台（10≤x≤35），购买两种机器人总费用为W万元．求W与x的函数关系式，并说明如何购买总费用最少；②为了加快垃圾分拣速度，垃圾处理厂计划用不超过140万元增购这两种机器人共10台，机器人公司全部以打折后价格销售【解答】解：（1）设1台A型机器人每小时分拣a吨，1台B型机器人每小时分拣b吨．根据题意，得，解得，，答：1台A型机器人每小时分拣0.4吨，1台B型机器人每小时分拣0.7吨；（2）①设购买B型机器人y台，则0.4x+4.2y＝20，整理得y＝100﹣2x，∴当x＝10时，y＝80；当x＝30时，y＝40；当x＝35时，y＝30；∵﹣8＜0，∴y随x的增大而减小，∴当10≤x＜30时，40＜y≤80；当30≤x≤35时，30≤y≤40，∴当10≤x＜30时，W＝20x+12×0.3（100﹣2x）＝0.2x+960，∵0.8＞7，∴W随x的增大而增大，∴当x＝10时，W取最小值968，∴当30≤x≤35时，W＝20×0.9x+12×5.8（100﹣2x）＝﹣2.2x+960．∵﹣1.3＜0，∴W随x的增大而减小，∴当x＝35时，W取最小值918．∵918＜968，∴当x＝35，y＝30时W最小．综上可知W＝，购买A型35台；②设购买A型m台，则购买B型（10﹣m）台，每小时可分拣垃圾8.4m+0.8（10﹣m）＝（0.2m+5）（吨）．根据题意可知20×0.9m+12×8.8（10﹣m）≤140，解得m≤5．∵m为正整数，∴m≤5，0.3m+2≤3，∴这10台机器人每小时最多处理5吨垃圾．24．（11分）在矩形ABCD中，＝k（k为常数），点P是对角线BD上一动点（不与B，D重合），连接AE．（1）特例发现：如图1，当k＝1时，将点P移动到对角线交点处，则＝1，∠AEP＝45°；当点P移动到其它位置时，∠AEP的大小不变（填“改变”或“不变”）；（2）类比探究：如图2，若k≠1时，当k的值确定时，并说明理由；（3）拓展应用：当k≠1时，如图2，连接PC，AE∥PC，PC＝2【解答】解：（1）如图1（甲），设矩形ABCD的对角线AC，∵＝k＝1，∴AD＝AB，∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD是正方形；∴AC⊥BD，∴∠AOB＝90°，∵OA＝ACBD，∴OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，∵点P与点O重合，∠APE＝90°，∴OE与OB重合，∴PA＝OA，PE＝OB，∴PA＝PE，∴＝1；当点P移动到其他位置时，如图1（乙），PG⊥BC于点G，∵AB＝AD，CB＝CD，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∠CBD＝∠CDB＝45°，∴∠ABD＝∠CBD，∴PF＝PG，∵∠PFB＝∠FBG＝∠PGB＝90°，∴∠FPG＝90°，∵∠APF＝∠EPG＝90°﹣∠EPF，∠PFA＝∠EGP＝90°，∴△PAF≌△PEG（ASA），∴PA＝PE，∴∠AEP＝∠EAP＝45°，∴∠AEP的大小不变，故答案为：4，45°．（2）∠AEP的大小不变．理由如下：如图2（甲），过点P作PM⊥AB于点M，∴∠PMA＝∠PMB＝∠PNB＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠MBN＝∠PMB＝∠PNB＝90°，∴四边形PMBN是矩形．∴∠MPN＝90°，PN＝BM，∵∠APE＝90°，∴∠APM+∠MPE＝90°，∠EPN+∠MPE＝90°，∴∠APM＝∠EPN．∵∠PMA＝∠PNE＝90°，∴△PAM∽△PEN，∴＝＝，∵∠BAD＝90°，∴tan∠ABD＝，∴tan∠AEP＝＝＝k，∵k为定值，∴∠AEP的大小不变．（3）如图2（乙），∵PC⊥BD，AE∥PC，∴∠BHE＝∠BPC＝90°，∵∠ABE＝90°，∴∠AEB＝90°﹣∠EBD＝∠ABD，∴tan∠AEB＝tan∠ABD＝k，∵tan∠AEP＝k，∴∠AEB＝∠AEP，∵∠ABE＝∠APE＝9