2024年湖南省长沙市湖南师大附中博才实验中学中考一模数学试题(含答案)

湖南师大附中博才实验中学九年级第六次质量调研试题卷·数学满分：120分总时量：120分钟一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．2024的相反数是（）A． B． C．2024 D．2．下列几何体中，主视图是三角形的为（）A． B． C． D．3．据共青团中央2023年5月3日发布的中国共青团团内统计公报，截至2022年12月底，全国共有共青团员7358万．数据7358万用科学记数法表示为（）A． B． C． D．4．下列计算正确的是（）A． B． C． D．5．若是方程的两个根，则（）A． B． C． D．6．如图，平分，则的度数为（）A． B． C． D．7．不等式组的解集在数轴上可以表示为（）A． B． C． D．8．在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为（）A． B． C． D．9．我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．”意思是：长方形的面积是864平方步，宽比长少12步，问宽和长各是几步．设宽为步，根据题意列方程正确的是（）A． B．C． D．10．若分式方程无解，则实数的取值是（）A．0或2 B．4 C．8 D．4或8二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．在函数中，自变量的取值范围是_______________．12．关于的一元一次方程的解为，则的值为_______________．13．某跳远队准备从甲、乙两名运动员中选取一名成绩稳定的参加比赛．这两名运动员10次测试成绩（单位：）的平均数是，方差是，那么应选_______________去参加比赛．（填“甲”或“乙”）14．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，则树高_______________．第14题图15．如图，四边形内接于，点在的延长线上．若，则_______________度．第15题图16．如图，菱形的对角线相交于点是的中点，则的长是_______________．第16题图三、解答题（共9小题，共72分）17．计算：．18．先化简，再求值：，其中．19．“科技改变生活”，小王是一名摄影爱好者，新入手一台无人机用于航拍．在一次航拍时，数据显示，从无人机看建筑物顶部的仰角为，看底部的俯角为，无人机到该建筑物的水平距离为10米，求该建筑物的高度．（结果精确到0.1米；参考数据：）20．某学校为扎实推进劳动教育，把学生参与劳动教育情况纳入积分考核．学校抽取了部分学生的劳动积分（积分用表示）进行调查，整理得到如下不完整的统计表和扇形统计图．等级劳动积分人数42083请根据图表信息，解答下列问题：（1）统计表中_______________，等级对应扇形的圆心角的度数为_______________；（2）学校规定劳动积分大于等于80的学生为“劳动之星”．若该学校共有学生2000人，请估计该学校“劳动之星”大约有多少人；（3）等级中有两名男同学和两名女同学，学校从等级中随机选取2人进行经验分享，请用列表法或画树状图法，求恰好抽取一名男同学和一名女同学的概率．21．如图，在中，为的角平分线．以点圆心，长为半径画弧，与分别交于点，连接．（1）求证：；（2）若，求的度数．22．如图，在中，点分别在上，．（1）求证：四边形是矩形；（2）若，求的长．23．某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进两款文化衫，每件款文化衫比每件款文化衫多10元，用500元购进款和用400元购进款的文化衫的数量相同．（1）求款文化衫和款文化衫每件各多少元？（2）已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫，求有几种购买方案？（3）在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，款七折优惠，款每件让利元，采购人员发现（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，试求值．24．如图1，点在圆上运动，满足，过点的切线交延长线于点．图1图2（1）求证：；（2）记的面积为，若，求（3）如图2，点是线段上一动点（不与重合），于P，交于点．若，设，且，试求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．25．已知四个实数，规定新运算：；若一次函数和二次函数满足，则称该一次函数与二次函数互为“和谐函数”；（1）下列关于的二次函数是否与一次函数互为“和谐函数”？如果是，请在相应的括号中打“√”，不是的打“×”；①（）；②（）；③（）．（2）已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点（不重合），若二次函数的图象经过点和点，证明：上述一次函数与二次函数互为“和谐函数”；（3）已知二次函数与一次函数互为“和谐函数”，并且二次函数的图象与轴交于两点（在的左边），与轴交于点，记抛物线的顶点为，设的外接圆圆心为与轴的另一个交点为，是否存在四边形为平行四边形？若存在，求此时顶点的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（共10小题）1．D2．A3．A4．C5．A．6．C7．D8．B9．D10．D二、填空题（共6小题）11．．12．313．甲．14．15．16．5．三、解答题（共9小题）17．【解答】解：．18．【解答】解：原式，当时，原式．19．【解答】解：由题意知，．，．．（米）．在中，（米）（米）答：该建筑物的高度约为27.3米．20．【解答】解：（1）抽取的学生人数为：（人），，等级对应扇形的圆心角的度数为：，故答案为：；（2）（人），答：估计该学校“劳动之星”大约有760人；（3）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中恰好抽取一名男同学和一名女同学的结果有8种，恰好抽取一名男同学和一名女同学的概率为．21．【解答】（1）证明：是的角平分线，．由作图知：．在和中，，；（2）解：为角平分线，，由作图知：．，，为的角平分线，．．22．【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，，，，即，四边形是平行四边形，，平行四边形是矩形；（2）解：四边形是矩形，，．是等腰直角三角形，，，，，即的长为．23．【解答】解：（1）设款文化衫每件元，则款文化衫每件元，根据题意得：，解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意，．答：款文化衫每件50元，款文化衫每件40元；（2）设购买件款文化衫，则购买件款文化衫，根据题意得：，解得：，又为正整数，可以为275，276，277，278，279，，280，共有6种购买方案；（3）设购买300件两款文化衫所需总费用为元，则，（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，的值与值无关，，．24．【解答】（1）证明：在中，．为圆的切线，即．（2）解：，设，由，得，即，平方并整理得，解得或（舍），即．（3）解：，设，则．易证易证，，．25．（1）①（√）；②（×）；③（√）（2）一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点又二次函数的图象经过点和点，，即，并且一次函数和二次函数满足该