四川省雅安市2023-2024学年高三下学期第二次诊断性考试数学（理）试题（含答案）

雅安市高2021级第二次诊断性考试数学（理科）本试卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数，则（）A. B. C.2 D.2.某公司收集了某商品销售收入（万元）与相应的广告支出（万元）共10组数据（），绘制出如下散点图，并利用线性回归模型进行拟合.若将图中10个点中去掉点后再重新进行线性回归分析，则下列说法正确的是（）A.决定系数变小 B.残差平方和变小C.相关系数的值变小 D.解释变量与预报变量相关性变弱3.的展开式中的系数为（）A.80 B.40 C.10 D.4.已知数列满足，（），则（）A. B. C. D.25.已知，分别为的边，的中点，若，，则点的坐标为（）A. B. C. D.6.已知平面区域，圆，若圆心，且圆与轴相切，则的最大值为（）A.10 B.4 C.2 D.07.某校甲、乙、丙、丁4个小组到，，这3个劳动实践基地参加实践活动，每个小组选择一个基地，则每个基地至少有1个小组的概率为（）A. B. C. D.8.已知函数，则下列说法中，正确的是（）A.的最小值为B.在区间上单调递增C.的图象关于点对称D.的图象可由的图象向右平移个单位得到9.如图，菱形的对角线与交于点，是的中位线，与交于点，已知是绕旋转过程中的一个图形，且平面.给出下列结论：①平面；②平面平面；③二面角的平面角是直线与平面所成角的2倍.其中所有正确结论的序号为（）A.①②③ B.①② C.①③ D.②③10.已知函数，给出下列4个图象：其中，可以作为函数的大致图象的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.411.已知，分别是双曲线：（，）的左、右焦点，过的直线与圆相切，与在第一象限交于点，且轴，则的离心率为（）A.3 B. C.2 D.12.已知，，均为正数，且，，，则，，的大小系为（）A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知集合，，，则______.14.已知，则曲线在点处的切线方程为______.15.已知等差数列的公差为，集合有且仅有两个元素，则这两个元素的积为______.16.一个圆锥的顶点和底面圆都在半径为2的球体表面上，当圆锥的体积最大时，其侧面积为______.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生依据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）某校在课外活动期间设置了文化艺术类活动和体育锻炼类活动，为了解学生对这两类活动的参与情况，统计了如下数据：文化艺术类体育锻炼类合计男100300400女50100150合计150400550（1）通过计算判断，有没有90%的把握认为该校学生所选择课外活动的类别与性别有关系？（2）“投壶”是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏，也是一种礼仪.该校文化艺术类课外活动中，设置了一项“投壶”活动.已知甲、乙两人参加投壶活动，投中1只得1分，未投中不得分，据以往数据，甲每只投中的概率为，乙每只投中的概率为，若甲、乙两人各投2只，记两人所得分数之和为，求的分布列和数学期望.附表及公式：0.150.100.050.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635其中，.18.（12分）如图，在三棱锥中，为边上的一点，，，，.（1）证明：平面平面；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，且二面角为锐二面角，求二面角的正弦值.19.（12分）已知的内角，，的对边分别为，，，且.（1）求角；（2）若是的角平分线，，的面积为，求的值.20.（12分）在直角坐标系中，设为抛物线：（）的焦点，为上位于第一象限内一点.当时，的面积为1.（1）求的方程；（2）当时，如果直线与抛物线交于，两点，直线，的斜率满足，试探究点到直线的距离的最大值.21.（12分）已知函数.（1）若在区间存在极值，求的取值范围；（2）若，，求的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）设直线与轴相交于点，动点在上，点满足，点的轨迹为，试判断曲线与曲线是否有公共点.若有公共点，求出其直角坐标；若没有公共点，请说明理由.23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知，，均为正数，且.（1）是否存在，，，使得，说明理由；（2）证明：.理科数学参考答案及评分细则一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.1.D2.B3.B4.A5.B6.B7.C8.D9.A10.D11.D12.A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.14.15.16.17.【解析】（1），因此，有90%的把握认为该校学生选择课外活动类别与性别有关系.（2）依题意，的可能值为0，1，2，3，4，则则；；；.所以的分布列为01234或填或填或填所以，.18.【解析】（1）证明：因为在中，，，，所以.又因为，所以.则，.在中，由余弦定理可得，所以.于是，.又，所以平面.又因为平面，所以平面平面.（2）因为二面角为锐二面角，平面平面，平面平面，过点作平面于点，则点必在线段上.连接，可知为与平面所成的角.在中，，，得.在中，，，得.以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，.设平面的法向量为，则令，则得.同理，平面即平面的一个法向量为.设二面角的平面角为，所以，即.故二面角的正弦值为.19.【解析】（1）由，根据正弦定理可得，因为，所以，因为，位于分母，所以，，所以，由，所以.（2）由，所以，又，因为为角平分线，所以，又，所以有，所以，由余弦定理得，所以.20.【解析】（1）由题意得.由，得.从而的面积，则.所以，抛物线的方程为.（2）设（），则，.由，得，即.所以，此时.由题意可知，斜率必不等于0，于是可设：.由可得.上述方程的判别式满足，即.设，.根据韦达定理有：，.因为，所以，，于是.所以，，即.故直线的方程为，即，所以直线恒过定点.过点作，且，则.其中，当时等号成立.所以，点到直线的距离的最大值为.21.【解析】（1）由，得，当时，，则单调递增，不存在极值.当时，令，则，若，则，单调递减；若，则，单调递增.所以是的极小值点.因为在区间存在极值，则，即.所以，在区间存在极值时，的取值范围是.（2）由在时恒成立，即在时恒成立.设，则在时恒成立，则，令，则.令，则，则时，，则；时，，则，所以时，，则即单调递增，所以，则即单调递增，所以.①当时，，故，，则单调递增.所以，所以在时恒成立.②当时，，，故在区间上函数存在零点，即，由于函数在上单调递增，则时，，故函数在区间上单调递减，所以，当时，函数，不合题意.综上所述，的取值范围为.选考题22.【解析】（1）由知，，则曲线的普通方程为.因为直线的方程为，即.由可得.所以直线的直角坐标方程为.（2）由（1）可