2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第12讲函数与方程教师版

第12讲函数与方程思维导图知识梳理1．函数的零点(1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)三个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．2．函数零点的判定如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点零点个数两个一个零个题型归纳题型1函数零点所在区间的判断【例1-1】函数的零点所在区间是A． B． C． D．【分析】由函数的解析式可得（1），（2）的符号，再根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的区间．【解答】解：由于函数，（1），（2），（1）（2），函数是连续增函数，函数的零点所在的区间是，故选：．【跟踪训练1-1】函数的零点所在区间为A． B． C． D．【分析】判断在递增，求得，，，（1）的值由零点存在定理即可判断．【解答】解：因为函数，在时函数是连续增函数，且有，，，（1），可得在存在零点．故选：．【名师指导】确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．题型2求函数零点的个数【例2-1】函数的零点个数为A．0 B．1 C．2 D．3【分析】条件等价于函数与函数图象交点个数，数形结合即可【解答】解：令，可得，则条件等价于函数与函数图象交点个数，分别作出两函数图象如下：如图，两函数无交点，故选：．【例2-2】函数的零点个数为A．2个 B．4个 C．6个 D．8个【分析】判断函数的奇偶性，利用零点判断定理转化推出零点个数．【解答】解：函数，是偶函数，，时，，，，时，，时，，所以，时函数有2个零点，，时，，时，，，函数有1个零点，所以函数，的零点个数为6．故选：．【跟踪训练2-1】函数的零点个数是．【分析】条件等价于与图象交点个数，数形结合即可．【解答】解：令，即，则函数零点个数等价于与图象交点个数，作出两函数图象如图：由图可得只有1个交点，故答案为：1．【跟踪训练2-2】已知，则函数的零点个数为．【分析】作出函数的图象，数形结合即可【解答】解：作出函数的图象如下：由图可得，函数只有一个零点，故答案为：1【名师指导】函数零点个数的判断方法(1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理，要求函数f(x)在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数．题型3函数零点的应用【例3-1】已知以4为周期的函数满足，当时，，其中，若方程恰有5个根，则实数的取值范围是A． B． C． D．【分析】根据条件函数是周期为4的函数，作出两个函数的图象，利用数形结合结合直线和曲线的相切问题，即可得到结论．【解答】解：依题意，函数的周期为4，方程恰有5个根，等价为函数的图象与直线有5个交点，作函数图象如下：当时，，当时，，当直线与，相切时，即方程有唯一解，化简得，则△，解得；当直线与相切时，即方程有唯一解，化简得，则△，解得；由图可知，实数的取值范围，．故选：．【例3-2】若函数在区间，内有且仅有一个零点，则实数的取值范围为A． B．， C． D．【分析】依题意，在，上有且仅有一个解，设，求导可知函数在，上单调递增，故（1），（2），由此求得的取值范围．【解答】解：依题意，在，上有且仅有一个解，设，则，由（当且仅当时取等号）可知，当，时，函数单调递增，当，时，，，．故选：．【例3-3】已知函数是定义域为的偶函数，且满足，当时，，，则函数所有零点的和为A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由为偶函数，且满足，可得函数为最小正周期为2，对称轴，画出函数的图象，又有题意可得关于对称，且有的范围可得时，（5），（3）的取值范围，进而可得，的交点情况，进而可得的零点情况．【解答】解：函数是定义域为的偶函数，且满足，可得对称轴，所以可得周期，又，可得也是关于对称，令，可得，在同一坐标系中在作与的图象如图所示：因为，，所以（2），（5），与无交点，（3）与有两个交点，所以时，与有3个交点，所以时，与有3对关于对称的点，所以所以交点之和为，即函数所有零点的和为6，故选：．【跟踪训练3-1】已知函数，函数是最小正周期为2的偶函数，且当，时，．若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是．【分析】做出的函数图象，令与的函数图象有3个交点，列不等式组求出的范围．【解答】解：有3个零点，与的函数图象有3个交点，作出得函数图象如图所示：若，即，则与的函数图象只有1个交点，不符合题意；若，即，则与的函数图象有无数多个交点，不符合题意；若，即，若与的函数图象有3个交点，则，且，解得：．故答案为：．【跟踪训练3-2】关于的方程在区间上有三个不相等的实根，则实数的取值范围是A． B．， C． D．，【分析】由题意画出图形，可知当时，显然不满足题意；当时，利用导数求出直线与曲线相切时的直线的斜率，结合时直线在曲线上方求解．【解答】解：关于的方程在区间上有三个不相等的实根，即在区间上有三个不相等的实根，也就是函数与在区间上有三个不同的交点，当时，显然不满足题意；当时，设直线与的切点为，，切线方程为，代入，可得，即，则，此时．再由，可得．关于的方程在区间上有三个不相等的实根，则实数的取值范围是．故选：．【跟踪训练3-3】已知函数，，则方程所有根的和等于A．1 B．2 C．3 D．4【分析】在坐标系中画出两个函数的图象，判断函数的对称性，然后求解零点的和即可．【解答】解：通过图象可以知道函数，图象都关于点对称，并且两个函数图象有三个交点，所以和为3．故选：