2023-2024学年江西省全南县九年级上册数学期末监测模拟试题含解析

2023-2024学年江西省全南县九上数学期末监测模拟试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.如图，将AABC沿BC边上的中线AD平移到的位置，已知AABC的面积为9,阴影部分三角形的面积为1.若

AA'=1,则A，D等于（）

2.一次掷两枚质地均匀的硬币，出现两枚硬币都正面朝上的概率是（）

1121

A.—B•—C.-D.一

2334

3.如图，点。是矩形ABC。的对角线AC的中点，交于点若0M=3,8c=8,则的长为（

）

.4MD

D.727

4.如果（，〃+2）*川+m*—1=0是关于x的一元二次方程，那么，〃的值为（

A.2或一2C.-2

5.如图，已知A,B是反比例函数y=-（k>0,x>0）图象上的两点，BC〃x轴，交y轴于点C,动点P从坐标原

点O出发，沿O-ATBTC（图中“一”所示路线）匀速运动，终点为C,过P作PM_Lx轴，垂足为M.设三角形

OMP的面积为S,P点运动时间为t,则S关于x的函数图象大致为（）

o\Af>x

s.s.sS.

2

6.如图，的直径A4的延长线与弦。C的延长线交于点E,且CE=。B,已知NOO8=72。，则NE等于（）

A.18°B.24°C.30°D.26°

7.如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点0过点O作EFJ_AC交BC于点E,交AD于点F,连接AE、

CF.则四边形AECF是（）

BEC.

A.梯形B.矩形C.菱形D.正方形

8.如图，AD是半圆0的直径，AD=12,B,C是半圆0上两点.若AB=BC=Cr>，则图中阴影部分的面积是（）

B____c

A.6nB.12JiC.18nD.24n

9.如图，在一张矩形纸片ABC。中，对角线AC=14c力?，点E,尸分别是8和AB的中点，现将这张纸片折叠，

使点3落在£尸上的点G处，折痕为AH,若HG的延长线恰好经过点。，则点G到对角线AC的距离为（）cm.

E

D

273「46277

B.GL•---------D.

3

10.某细胞的直径约为0.0000008米,该直径用科学记数法表示为（)

8x107米B.8x1()，米C.8x10-6米D.80x10-7米

11.如图，抛物线/=&+以+（?（。#0）的对称轴为直线％=1,与x轴的一个交点坐标为（-1,0）,其部分图象如图

所示，下列结论:

①4ac<〃；

②3a+c>0；

③方程d+bx+c=0的两个根是内=-1，彳2=3；

④当y>3时，X的取值范围是0,,x<2；

⑤当x<0时，丁随x增大而增大

其中结论正确的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

12.某排球队6名场上队员的身高（单位：cm）是：180,184,188,190,192,194.现用一名身高为186cm的

队员换下场上身高为192cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高（）

A.平均数变小，方差变小B.平均数变小，方差变大

C.平均数变大，方差变小D.平均数变大，方差变大

二、填空题（每题4分，共24分）

13.某工厂的产品每50件装为一箱，现质检部门对100箱产品进行质量检查，每箱中的次品数见表:

次品数012345

箱数5014201042

该工厂规定：一箱产品的次品数达到或超过6%,则判定该箱为质量不合格的产品箱.若在这10（）箱中随机抽取一箱,

抽到质量不合格的产品箱概率为

14.在一个不透明的袋子中只装有〃个白球和2个红球，这些球除颜色外其他均相同.如果从袋子中随机摸出一个球,

摸到红球的概率是:，那么〃的值为一.

15.如图，在菱形ABCD中，NB=60。，E是CD上一点，将AADE折叠，折痕为AE,点D的对应点为点D，，AD，

与BC交于点F,若F为BC中点，则NAED=.

16.如图，在AABC中，点D,E分别在边AB,AC上，若DE〃BC,AD=2BD,则IDE：BC等于

17.如图，等腰直角ACEF的顶点£在正方形ABCD的对角线8。上，EF所在的直线交CO于点M,交AB于点

N,连接力尸，tanNEED=2.下列结论中，正确的有（填序号）.

①BE=DF;②七是BO的一个三等分点；③BE?=BN-BC;®DM=2BN；⑤sin/BCE=L

2

18.在四边形ABCD中，AD=BC,AD〃BC.请你再添加一个条件，使四边形ABCD是菱形.你添加的条件是

.（写出一种即可）

三、解答题（共78分）

19.（8分）如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架A3C是底边为BC的等腰直角三角形，AB=6

摆动臂AO可绕点A旋转，AD=0.

iD

图1

(1)在旋转过程中

①当A、。、8三点在同一直线上时，求8。的长，

②当A、D、8三点为同一直角三角形的顶点时，求的长.

(2)若摆动臂AD顺时针旋转90。，点D的位置由AABC外的点。转到其内的点D2处，如图2,此时NAD2c=135°,

CD2=1,求802的长.

图2

(3)若连接(2)中的23,将(2)中乙4。3的形状和大小保持不变，把加。3绕点A在平面内自由旋转，分

别取DR、CD?、8C的中点“、P、N,连接MP、PN、NM、”随着AMA2绕点A在平面内自由旋转,

AMPN的面积是否发生变化，若不变，请直接写出AWPN的面积；若变化，AMPN的面积是否存在最大与最小?若存

在，请直接写出AMPW面积的最大值与最小值，(温馨提示正*石=/表5=J记)

k

20.(8分)如图，在平面直角坐标系中，双曲线/：7=一(x>0)过点A(a,b),3(2,1)(0<a<2)；过点A作ACJ_x

X

轴，垂足为c.

(1)求/的解析式;

(2)当△ABC的面积为2时，求点A的坐标;

(3)点尸为/上一段曲线A5(包括A,B两点)的动点，直线y=mx+l过点P;在(2)的条件下，若y=，〃x+l

具有y随1增大而增大的特点，请直接写出机的取值范围.(不必说明理由)

21.(8分)在平面直角坐标系X。,中，。。的半径为r给出如下定义：若平面上一点P到圆心0的距离d,

13

满足一则称点P为。。的“随心点”.

22

«y

2

234x

311

(1)当。。的半径后2时，A(3,0),B(0,4),C(一一，2),0(-,一一)中，。。的“随心点”是___________；

222

(2)若点E(4,3)是。。的“随心点”，求。。的半径r的取值范围；

(3)当。。的半径门2时，直线y=-x+6(6邦)与x轴交于点M,与y轴交于点N,若线段MN上存在。。的“随心

点”，直接写出》的取值范围.

22.(10分)已知一次函数ykax+b的图象与反比例函数丫2=上的图象相交于A、B两点，坐标分别为(一2,4)、(4,

X

—2).

（1）求两个函数的解析式；

（2）求小AOB的面积；

（3）直线AB上是否存在一点P（A除外），使AABO与以B、P、O为顶点的三角形相似？若存在，直接写出顶点P

的坐标.

23.（10分）如图，矩形A8C0的四个顶点在正三角形EFG的边上.已知△EFG的边长为2,设边长A5为x,矩形

ABCD的面积为S.

求：（1）S关于x的函数表达式和自变量x的取值范围.

（2）S的最大值及此时x的值.

24.（10分）如图，点E、尸分别是矩形45co的边48、CD上的一点，且。尸=8E.

求证：AF=CE.

25.（12分）如图，在平面直角坐标系中，双曲线y=四和直线丫=1«+1）交于A,B两点，点A的坐标为（-3,2）,

X

BC_Ly轴于点C,JgLOC=6BC.

（1）求双曲线和直线的解析式；

/??

（2）直接写出不等式一＞丘+〃的解集.

X

26.小明准备进行如下操作实验：把一根长为120cm的铁丝剪成两段，并把每一段围成一个正方形.

(1)要使这两个正方形的面积之和等于500cv"，小明该怎么剪？

(2)小刚对小明说：“这两个正方形的面积之和不可能等于40(k〃/.''小刚的说法对吗？请说明理由.

参考答案

一、选择题(每题4分，共48分)

1、A

119

【解析】分析：由SAABC=9、SAA，EF=1且AD为BC边的中线知SAA，DE=彳SAA，EF=2,SABD=—SAABC=—>根据

2A22

A，OS

ADA，Es^DAB知(不)2=黄也，据此求解可得.

A"〉ABD

详解：如图,

VSAABC=9,SAA，EF=1,且AD为BC边的中线,

119

SAA'DE=—SAA,EF=2,SAABD=—SAABC=一，

222

\•将AABC沿BC边上的中线AD平移得到AA'ITC',

.'.A'E〃AB,

/.△DAT^ADAB,

A'D)2

则(小)2=£^(4.

，即nnA'D+l

AOSABD

2

2

解得A，D=2或A，D=-g（舍），

故选A.

点睛：本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质

等知识点.

2、D

【解析】试题分析：先利用列表法与树状图法表示所有等可能的结果n,然后找出某事件出现的结果数m,最后计算

概率.同时掷两枚质地均匀的硬币一次，共有正正、反反、正反、反正四种等可能的结果，两枚硬币都是正面朝上的

占一种，所以两枚硬币都是正面朝上的概率=1+4=

4

考点：概率的计算.

3、B

【分析】由平行线分线段成比例可得cr>=6,由勾股定理可得AC=10,由直角三角形的性质可得。8的长.

【详解】解：四边形A3。是矩形

:.ABHCD,AZ)=3C=8,

OM//AB,:.OM!/CD

AO0M

•,___且____________0M=3

"~AC~~CD2

CD-6,

在APC中，AC^yjAD2+CD2=10

点。是斜边AC上的中点,

2

故选B.

【点睛】

本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，求CZ）的长度是本题的关键.

4、B

【分析】根据一元二次方程的定义可得：|m|=l,且m+IWO,再解即可.

【详解】解：由题意得：|m|=L且m+IWO,

解得：m=l.

故选：B.

【点睛】

此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握“未知数的最高次数是1”；“二次项的系数不等于0”.

5、A

【分析】结合点P的运动，将点P的运动路线分成O-A、A-B、B-C三段位置来进行分析三角形OMP面积的计

算方式，通过图形的特点分析出面积变化的趋势，从而得到答案.

【详解】设NAOM=a,点P运动的速度为a,

〜一“一一一，7,(aZ-cosa)-(aZ-sincr)1,,

当点P从点O运动到点A的过程中，S=----------------------------=—a-»cosa»sina»t2,

22

由于a及a均为常量，从而可知图象本段应为抛物线，且S随着t的增大而增大；

当点P从A运动到B时，由反比例函数性质可知AOPM的面积为，k,保持不变，故本段图象应为与横轴平行的线

2

段；

当点P从B运动到C过程中，OM的长在减少，AOPM的高与在B点时相同，故本段图象应该为一段下降的线段；

故选A.

点睛：本题考查了反比例函数图象性质、锐角三角函数性质，解题的关键是明确点P在OTA、A-B、B-C三段位

置时三角形OMP的面积计算方式.

6、B

【分析】根据圆的半径相等可得等腰三角形，根据三角形的外角的性质和等腰三角形等边对等角可得关于NE的方程,

解方程即可求得答案.

【详解】解：如图，连接CO,

VCE=OB=CO=OD,

.*.ZE=Z1,N2=ND

.*.ZD=Z2=ZE+Z1=2Z£.

.*.N3=NE+NZ)=NE+2NE=3NE.

由N3=72。，得3NE=72°.

解得NE=24。.

故选：B.

【点睛】

本题考查了圆的认识，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质.能利用圆的半径相等得出等腰三角形是解题关键.

7、C

【详解】••,在.ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,

.,.AO=CO,ZAFO=ZCEO,

,在△AFO和△CEO中，ZAFO=ZCEO,ZFOA=ZEOC,AO=CO,

.,.△AFO^ACEO(AAS),

.*.FO=EO,

:.四边形AECF平行四边形，

VEF1AC,

.••平行四边形AECF是菱形，

故选C.

8、A

【分析】根据圆心角与弧的关系得到NAOB=NBOC=NCOD=60°,根据扇形面积公式计算即可.

【详解】AB=BC=CD，

.,.ZAOB=ZBOC=ZCOD=60°.

••・阴影部分面积=刨生=6%

360

故答案为A.

【点睛】

本题考查的知识点是扇形面积的计算，解题关键是利用圆心角与弧的关系得到NAOB=NBOC=NCOD=60°.

9、B

【分析】设DH与AC交于点M,易得EG为ACDH的中位线，所以DG=HG,然后证明4ADG0△AHG,可得AD=AH,

ZDAG=ZHAG,可推出NBAH=NHAG=NDAG=30。，然后设BH=a,则BC=AD=AH=2a,利用勾股定理建立方程

可求出a,然后在Rt^AGM中，求出GM,AG,再求斜边AM上的高即为G到AC的距离.

【详解】如图，设DH与AC交于点M,过G作GNJ_AC于N,

VE>F分别是CD和AB的中点,

.,.EF/7BC

；.EG为△CDH的中位线

.*.DG=HG

由折叠的性质可知NAGH=NB=90。

.,.ZAGD=ZAGH=90°

在4ADG和AAHG中，

VDG=HG,NAGD=NAGH,AG=AG

/.△ADG^AAHG（SAS）

.*.AD=AH,AG=AB,NDAG=NHAG

由折叠的性质可知NHAG=NBAH,

:.ZBAH=ZHAG=ZDAG=-ZBAD=30°

3

设BH=a,

在RtZ\ABH中，ZBAH=30°

.*.AH=2a

.*.BC=AD=AH=2a,AB=G。

在Rt^ABC中，AB2+BC2=AC2

即（Wa『+（2a）2=142

解得a=2V7

:.DH=2GH=2BH=4用，AG=AB=£x2近=2标

VCH/7AD

/.△CHM^AADM

.CM_HM_CHI

"AM-DM-AD-2

22814J7

.,.AM=-AC=—,HM=-DH=--^-

3333

:.GM=GH-HM=2a一^^=-

在RtaAGM中，AGGM=AMGN

..公二当®迫

AM328

故选B.

【点睛】

本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形与相似三角形的判定与性质，以及勾股定理的应用，解题的关键是

求出NBAH=30。，再利用勾股定理求出边长.

10、B

【分析】根据绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为axl(T"且(14。区10),与较大数的科学

记数法不同的是其所使用的是负指数幕，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

【详解】解：根据科学计数法得：

0.0000008=8xlO-7.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查科学计数法，熟记科学计数法的一般形式是axl(T"且(1W问w10)是关键，注意负指数幕的书写规则是

由原数左边第一个不为零的数字开始数起.

11、C

【分析】利用抛物线与X轴的交点个数可对①进行判断；由对称轴方程得到匕=-2a,然后根据x=-1时函数值为0

可得到3a+c=0,则可对②进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为(3,()),则可对③进

行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断；根据二次函数的性质对⑤进行判断.

【详解】解：抛物线与x轴有2个交点，

:.b2-4ac>0,所以①正确；

》=-3=1,即/?=-2a,

2a

而x=-l时，y=0,即a-b+c=0,

.'.a+2a+c=0,

所以②错误；

抛物线的对称轴为直线x=l,

而点(-1,0)关于直线x=l的对称点的坐标为(3,0),

，方程以2+历c+c=0的两个根是内=-1，々=3，

所以③正确；

根据对称性，由图象知，

当0<x<2时，y〉3,所以④错误;

抛物线的对称轴为直线x=l,

，当x＜i时，y随x增大而增大，所以⑤正确.

故选：c.

【点睛】

本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ox2+法+c（awO）,二次项系数“决定抛物线的开口方向

和大小：当。＞0时，抛物线向上开口；当。＜0时，抛物线向下开口；一次项系数〃和二次项系数。共同决定对称轴

的位置：当a与〃同号时（即必＞0）,对称轴在,轴左；当“与〃异号时（即而＜0）,对称轴在），轴右；常数项c决

定抛物线与y轴交点位置：抛物线与）'轴交于（0，c）；抛物线与X轴交点个数由△决定：△=〃—4ac＞0时，抛物线

与x轴有2个交点；△;从一船花二。时，抛物线与x轴有1个交点；△=从-4收＜0时，抛物线与x轴没有交点.

12、A

【解析】分析：根据平均数的计算公式进行计算即可，根据方差公式先分别计算出甲和乙的方差，再根据方差的意义即

可得出答案.

180+184+188+190+192+194

详解：换人前6名队员身高的平均数为1==188,

6

方差为S2=([(180—188)2+084—188)2+(188—188)2+(190-188『+(192-188)2+(194-188『='；

180+184+188+190+186+194

换人后6名队员身高的平均数为］==187,

6

方差为S2=,2222

[(180—187)2+084—187)2+088,187)+(190-187)+(186-187)+(194-187)=y

6

6859

V188＞187,——＞——，

33

二平均数变小，方差变小,

故选A.

点睛：本题考查了平均数与方差的定义：一般地设n个数据，xi,X2,…Xn的平均数为嚏，则方差

S2=-［（XJ-X）2+（X2-X）2+…+（--）2］,它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立.

nXn

二、填空题（每题4分，共24分）

4

13、—

25

【分析】由表格中的数据可知算出抽到质量不合格的产品箱频率后，利用频率估计概率即可求得答案.

【详解】解：•••一箱产品的次品数达到或超过6%,则判定该箱为质量不合格的产品箱.

...质量不合格的产品应满足次品数量达到：50x6%=3

...抽到质量不合格的产品箱频率为：

4

所以100箱中随机抽取一箱，抽到质量不合格的产品箱概率：—

25

4

故答案为：—.

25

【点睛】

本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越

小，由此可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.用频率估计概率的近似值，随着

实验次数的增多，值越来越精确.

14、1.

21

【分析】根据概率公式得到——=-，然后利用比例性质求出n即可.

〃+23

2I

【详解】根据题意得——=-,

〃+23

解得n=l,

经检验：〃=1是分式方程的解，

故答案为：1.

【点睛】

本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数.

15、75°

【分析】如图（见解析），连接AC,易证AABC是等边三角形，从而可得又由AO//BC可得

再根据折叠的性质得ZDAE=ZEAF,最后在AZME中利用三角形的内角和定理即可得.

【详解】如图，连接AC

在菱形ABCD中，NB=60°

AB=BC,AD//BC,ND=60°

...AABC是等边三角形

F为BC中点

：.AF±BC（等腰三角形三线合一的性质），即NAFC=90°

.•./mF=180°—90°=90°（两直线平行，同旁内角互补）

又由折叠的性质得：ZDAE=ZEAF

：.ZDAE=-ZDAF=45°

2

在中，由三角形的内角和定理得：ZA£D=180°-ZZME-Z£>=75°

故答案为：75。.

【点睛】

本题是一道较好的综合题，考查了菱形的性质、等边三角形的性质、平行线的性质、图形折叠的性质、三角形的内角

和定理，利用三线合一的性质证出6c是解题关键.

16、2：1

【分析】根据DE〃BC得出△ADEs/kABC,结合AD=2BD可得出相似比即可求出DE：BC.

【详解】解：...DE〃BC,

/.△ADE^AABC,

DEAD

•••一_9

BCAB

VAD=2BD,

.AD2

•.----=-9

AB3

ADE：BC=2：1,

故答案为：2：1.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定及性质，属于基础题型，解题的关键是熟悉相似三角形的判定及性质，灵活运用线段的

比例关系.

17、（D0④

【分析】根据ACBEg4CDF即可判断①；由△CBEgZiCDF得出NEBC=NFDC=45。进而得出4DEF为直角三角形

结合3叱EFD=2即可判断②；判断ABEN是否相似于aBCE即可判断③；根据△BNEs4DME即可判断④；作

EH±BC于点H得出△EHCsaFDE结合tanNHEC=tan/DFE=2,设出线段比即可判断⑤.

【详解】•••△CEF为等腰直角三角形

.*.CE=CF,ZECF=90°

又ABCD为正方形

/.ZBCD=90°,BC=DC

XZBCD=ZBCE+ZECD

ZECF=ZECD+ZDCF

.*.ZDCF=ZBCE

.,.△CBE^ACDF(SAS)

...BE=DF,故①正确;

二ZEBC=ZFDC=45°

故NEDF=NEDC+NFDC=90°

又.“小2噜二黑

...E是BD的一个三等分点，故②正确；

VBE?=BN-BC

.BEBC

,•丽―前

即判定△BENs/\BCE

•••△ECF为等腰直角三角形，BD为正方形对角线

.•.ZCFE=45°=ZEDC

:.ZCFE+ZMCF=ZEDC+ZDEM

ZMCF=ZDEM

然而题目并没有告诉M是EF的中点

:.NECMWNMCF

NECMRNDEMrNBNE

二不能判定△BENs/\BCE

...不能得出—进而不能得出BE。=BN•BC，故③错误;

BNBE

由题意可知△BNEs^DME

又BE=2DE

.\BN=2DM,故④正确；

作EH_LBC于点H

VZMCF=ZDEM

XZHCE=ZDCF

.,.ZHCE=ZDEM

又NEHC=NFDE=90°

.,.△EHC^AFDE

AtanZHEC=tanZDFE=2

可设EH=x,贝！］CH=2x

EC=VEH2+CH2=V5X

...sin/BCE=g^=@,故⑤错误;

EC5

故答案为①②④.

【点睛】

本题考查的是正方形综合，难度系数较大，涉及到了相似三角形的判定与性质，勾股定理、等腰直角三角形的性质以

及方程的思想等，需要熟练掌握相关基础知识.

18、此题答案不唯一，如AB=BC或BC=CD或CD=AD或AB=AD或AC_LBD等.

【分析】由在四边形ABCD中，AD=BC,AD〃BC,可判定四边形ABCD是平行四边形，然后根据一组邻边相等的

平行四边形是菱形与对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可判定四边形ABCD是菱形，则可求得答案.

【详解】解：如图，

•.•在四边形ABCD中，AD=BC,AD/7BC,

•••四边形ABCD是平行四边形，

当AB=BC或BC=CD或CD=AD或AB=AD时，四边形ABCD是菱形；

当AC_LBD时，四边形ABCD是菱形.

故答案为：此题答案不唯一，如AB=BC或BC=CD或CD=AD或AB=AD或AC_LBD等.

【点睛】

此题考查了菱形的判定定理.此题属于开放题，难度不大，注意掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形与对角线互相

垂直的平行四边形是菱形是解此题的关键.

三、解答题（共78分）

19、（1）①石-行或有+0；②长为百或不；（2）BD2=y/5；（3）&WPN的面积会发生变化；存在,

最大值为：1（7+2V10）,最小值为：1（7-2V10）

【分析】（1）①分两种情形分别求解即可；

②显然NA30不能为直角；当NAZ汨为直角时，根据A£）2+3r>2=AB2计算即可；当/明。为直角时，根据

A82+A£)2=8£>2计算即可;

（2）连接DR,D,C,证得MD,£>2为等腰直角三角形，根据SAS可证得由必/ACAD,,根据条件可求得

ZD1D2C=90°,根据勾股定理求得CR=6,即可求得答案;

（3）根据三角形中位线定理，可证得APMN是等腰直角三角形，求得，当BQ取最大时，APMN

面积最大，当取最小时，APMN面积最小，即可求得答案.

【详解】（1）①8。=AB-AD=亚-6,

或BD=AB+AD<+啦;

②显然NABD不能为直角；

当NADB为直角时，AD2+BD1=AB2>

即（夜）2+BD-=诋2,

解得：60=百；

当NBAD为直角时,AB2+AD2=BD2>

即（逐了+（后=B》，

BD=近;

综上：BD长为6或币；

（2）如图，连接A&,D.C,

根据旋转的性质得：A4A2为等腰直角三角形,

AD'D【=QAD、=2,NAD2A=45。，

ADt=AD2,AB=AC>/-BAC=Z.D2AD}=90°,

ZBAD-,+ZD2AC=/CAD】+ZD2AC,

ZBAD2=/CAD、,

在\ABD2和AACD,中,

AB=AC

/BAD?=ACAD,,

AD2=A£)j

\BAD2/ACAZ),(SAS),

BD-,=CD1,

又NAZ)2c=135。,

NDQ2c=NAO2c-NAO2A=135°-45°=90°,

CD1="凌+口4=Vl2+22=6,

:.BD2=CR=#>

(3)发生变化，存在最大值和最小值,

理由：如图,

点P,M分别是。口的中点,

；,PM=[cn，PMIICD,,

点N,P分别是8C,的中点,

:.PN=；BD”PN//BD2,

BD2=CDt,

：.PM=PN,

.•.APMN是等腰三角形,

PM//CD,,

ND2PM=ZD2CDt,

PN//BD2,

NPNC=SBC,

ZD2PN=ND2cB+NPNC=ND2cB+ZD2BC,

：.ZMPN=ND2PM+ZD2PN

=HCD]+ND2cB+ZD2BC

=ZBCDf+ZD2BC

=ZACB+ZACD.+ZD2BC

=ZACB+ZABD2+NO28c

=ZACB+ZABC

44C=90。，

：.ZACB+ZABC=90°,

:"MPN=9Q。,

：.APMN是等腰直角三角形；

12,

'-S&PMN^-PM

，当切外取最大时，APMN面积最大,

:，(S”M,v)1rax

；x1(V5+V2)

获(7+2州，

当83取最小时，APMN面积最小,

=gxg(6-血)

="(7-2朝

故：AMPN的面积发生变化，存在最大值和最小值，最大值为：((7+2如)，最小值为：1(7-2V10).

【点睛】

本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等

知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，有一定的难度.

2(2八

20、(1)y=—；(2)-,3；(1)0<m<l

x<3J

k

【分析】(D将B(2,1)代入y=一求出k即可；

x

2

(2)根据A(a,b)在反比例函数图象上，得到。=不，根据三角形的面积列方程即可得到结论；

b

2

(1)把(§,1)代入y=mx+l得，m=l,再根据一次函数的性质即可得到结论.

【详解】解：(1)将B(2,1)代入y=K得：k=2,

X

2

・・・反比例函数1的解析式为y=—；

x

2

(2)VA(a,b)在反比例函数y=—的图象上，

x

,2口」2

:・b=—,即。=一,

ab

•；SAABC==2,即7b(2—7]=2,

221刈

解得:b=l,

.•.点A的坐标为(1,3

(1)I•直线h：y=mx+l过点P,点P为1上一段曲线AB(包括A,B两点)的动点,

2

二当点P与A重合时，把(§,1)代入y=mx+l得，m=l,

Vy=mx+1具有y随x增大而增大的特点，

m>0,

；.m的取值范围为：0<m<l.

【点睛】

本题考查了反比例函数与几何综合，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积计算，一次函数的性质，熟练掌握数

形结合思想的应用是解题的关键.

21>(1)A,C；(2)y<r<10；(3)lWbW3亚或WbW-1.

【分析】(1)根据已知条件求出d的范围：lWdW3,再将各点距离O点的距离，进行判断是否在此范围内即可，满

足条件的即为随心点；

13

(2)根据点E(4,3)是。O的“随心点”，可根据二求出d=5,再求出r的范围即可；

22

(3)如图a〃b〃c〃d,。。的半径r=2,求出随心点范围1WdW3,再分情况点N在y轴正半轴时，当点N在y轴

负半轴时，分情况讨论即可.

【详解】⑴的半径r=2,

...lWd<3

VA(3,0),

.\OA=3,在范围内

...点A是。O的“随心点”

VB(0,4)

.*.OB=4,而4>3,不在范围内

•,.B是不是。。的“随心点”，

3

VC(——，2),

2

3

.\OC=-,在范围内

2

...点C是。。的“随心点”，

.*.OD=-<1,不在范围内

2

...点D不是。O的“随心点”,

故答案为：A,C

(2)•.•点E(4,3)是。O的“随心点

.•.OE=5,即d=5

若工r=5,.*.r=10

2

*3「10

若-r=5,r--

23

—<r<10

3

13

1,如图a〃b〃c〃d,OO的半径r=2,随心点范围一

22

：.}<d<3

•.•直线MN的解析式为y=x+b,

.*.OM=ON,

①点N在y轴正半轴时，

当点M是。。的“随心点”，此时，点M(-1,0),

将M(-1,0)代入直线MN的解析式y=x+b中，解得，b=l,

即：b的最小值为1,

过点。作OGJ_MN，于G,

当点G是。O的“随心点”时，此时OG=3,

在RtAON'G中，ZON'G=45°,

.*.GO=3

GO3

...在RtZkGNN'中，NN'==3亚,

sinZGN'Nsin45

b的最大值为3板,

.,•l<b<3>/2»

②当点N在y轴负半轴时，同①的方法得出-3&Sb£l.

综上所述，b的取值范围是：lWbW3亚或-3j^Sb£l.

【点睛】

此题考查了一次函数的综合题，主要考查了新定义，点到原点的距离的确定，解(3)的关键是找出线段MN上的点

是圆。的“随心点”的分界点，是一道中等难度的题目.

871

22、(1)y=-x+2,y=一一；(2)AOB的面积为6；(3)一一).

x33

[~2k+/?=4[k=-l

【详解】(1)将点(—2,4)、(4,-2)代入y1=ax+b,得“，解得：。，

[4攵+/?=—2[b=2

/.y=-x+2,

将点(一2,4)代入y2="，得k=-8,

x

.8

・・y=—；

x

(2)在y=-x+2中，当y=0时，x=2,

所以一次函数与x轴交点是(2,0),

故AAOB的面积为='x2x4+L2x2=6；

22

(3)VOA=OB=722+42=25/5»

/.△OAB是等腰三角形，

,.•△ABO与ABPO相似，

.•.△BPO也是等腰三角形，

故只有一种情况，即P在OB的垂直平分线上，

设P(x,-x+2)

7

解得：x=—,

3

71

二顶点P的坐标为(彳，.