2022-2023学年北京朝阳区高三（上）期末数学试卷及答案解析

2022-2023学年北京朝阳区高三(上)期末数学试卷

一、单选题(本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.已知全集U={%∣%>0},集合A={%∣1V%V2},则Q7A=()

A.(-8,1]U[2,+∞)B.(0zl]U[2,+∞)

C.(―8,1)U(2,+∞)D.(0,1)U(2,+∞)

2.在复平面内，复数(l+i)(Q-i)对应的点在第三象限，则实数Q的取值范围是()

A.(-8,—1)B.(―∞λ1)C.(―l,+∞)D.(1,+8)

3.函数/(χ)=FHXQ1的零点的个数为()

(eLtfX>U

A.OB.1C.2D.3

4.已知双曲线W-A=I(<2>0方>0)的一条渐近线的倾斜角为60。，则双曲线的离心率为

()

A.0B.泗C.√3D.2

23

5.在△?!BC中，''sin24=sin2B”是为等腰三角形”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

6.过直线y=Zcx-2上任意一点，总存在直线与圆/+y2=ι相切，贝义的最大值为()

A.√3B.√2C.1D.ɪ

7.己知函数/。)=$皿(3工+9)3>0,|如<今，若g(x)"(X)=1,且函数g(x)的部分图

象如图所示，则W等于()

b

ʌ--ι∙~lC城D/

8.2022年10月31日，长征五号B遥四运载火箭带着中华民族千百年来探索浩瀚宇宙的梦想,

将中国空间站梦天实验舱准确送入预定轨道.在不考虑空气阻力的条件下，若火箭的最大速

度”（单位：∕σn∕s）和燃料的质量M（单位：t）、火箭（除燃料外）的质量τn（单位：t）的关系满足

V=2000∕n(l+)

A.当M=3,m=800时，V>7.9B.当M=2,m<600B⅛,v<7.9

C.当M>5,a=800时，V>11.2D.当M>3,m>600时，v>11.2

9.已知4,B,C是单位圆上不同的三点，AB=AC,则荏.前的最小值为（）

A.OB.-ɪC.-ɪD.-1

42

10.在数列｛α72｝中，%=1,αn+1=∕cα2+l（n∈∕V∙）,若存在常数c,对任意的n6N*,都

有与＜c成立，则正数Zc的最大值为（）

A.ɪB.ɪC.ɪD.I

5432

二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）

11.（2x+；）4展开式的常数项是.

12.已知等差数列｛arι｝的公差d≠0,a1=4,且a3,a4成等比数列，则厮=；

其前n项和S71的最大值为.

13.若函数/（x）=CoSX-SinX在区间［0,a］上单调递减，则实数a的最大值为.

14.抛物线C：y=M的准线/的方程为.若点P是抛物线C上的动点，Γ⅛y轴交于点4

则4O/IP（O是坐标原点）的最大值为.

15.如图，在棱长为a的正方体4BCD-4ιBιGDι中，P,Q分别为4Q,4遇1的中点，点T在

正方体的表面上运动，满足PT∙LBQ.

给出下列四个结论：

①点7可以是棱DDl的中点；

②线段Pr长度的最小值为ga；

③点T的轨迹是矩形；

④点7的轨迹围成的多边形的面积为苧a?.

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题(本大题共6小题，共85.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16.(本小题13.0分)

在BC中，csinB=>∕3bcosC-

(I)求H

(H)若α+b=6,求C的最小值.

17.(本小题13.0分)

跳长绳是中国历史悠久的运动，某中学高三年级举行跳长绳比赛(该校高三年级共4个班)，规

定每班22人参加，其中2人摇绳，20人跳绳，在2分钟内跳绳个数超过120个的班级可获得优

胜奖，跳绳个数最多的班级将获得冠军.为预测获得优胜奖的班级个数及冠军得主，收集了

高三年级各班训练时在2分钟内的跳绳个数，并整理得到如下数据(单位：个)：

高三(1)班：142,131,129,126,121,109,103,98,96,94；

高三(2)班：137,126,116,108；

高三(3)班：163,134,112,103；

高三(4)班：158,132,130,127,110,106.

假设用频率估计概率，且高三年级各班在2分钟内的跳绳个数相互独立.

(I)估计高三(1)班在此次跳长绳比赛中获得优胜奖的概率；

(Il)用X表示此次跳长绳比赛中获得优胜奖的班级个数，估计X的数学期望EX；

(Ill)在此次跳长绳比赛中，哪个班获得冠军的概率估计值最大？(结论不要求证明)

18.(本小题14.0分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面P4D1平面4BCD,4B=4,PA=PD,

E,F分别为BC,PD的中点.

(I)求证：平面P4B；

(Il)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角F-BE-A的余弦值.

条件①：PD1EF；

条件②：PD=IEF.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

19.(本小题15.0分)

己知桶圆C：务'=l(α>b>0)的右顶点4(2,0),P为椭圆C上的动点，且点P不在X轴上，

。是坐标原点，440P面积的最大值为1.

(I)求椭圆C的方程及离心率；

(Il)过点H(—1,0)的直线PH与椭圆C交于另一点Q,直线AP,AQ分别与y轴相交于点E,F.当

IEFl=2时，求直线PH的方程.

20.(本小题15.0分)

已知函数/(X)=警(α>0).

(I)求〃0的单调区间；

(11)若/(乃≤X—；对X∈(0,+8)恒成立，求α的取值范围；

(IiI)若％2仇%1+%1伍%2=θ(ɪl≠%2)，证明：+%2>2.

21.(本小题15.0分)

已知无穷数列｛αn｝的各项均为正数,当九≤4时号≤ɪ;当n>4时,αn=max[a1+an_1,a2+

Qn-2，。3+。九-3,…，Qn-I+Q1｝，其中小。无｛%1，%2,%3,…，％｝表示%1，%2，%3，…，XS这S个数中

最大的数.

(I)若数列｛αn｝的前4项为1,2,2,4,写出g，Q6,Q7,。8的值；

(∏)证明：对任意的TlCN*,均有攀≤墨

(III)证明：存在正整数N,当n>N时，an=α4+αn,4.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：全集U={x∣x>O},集合4={x∣l<X<2},

则

CtM=(0,l]U[2,+∞).

故选:B.

利用补集定义、不等式性质直接求解.

本题考查集合的运算，考查补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

2.【答案】A

【解析】解:(1+i)(a-i)

=α-i+αi+1

=a+1+(a—l)i,

若其对应的点在第三象限，

则a+l<0且a-l<0,

解得：a<-1,

故选：A.

化简代数式，结合复数的几何意义得到关于a的不等式组，解出即可.

本题考查了复数的几何意义，考查复数的运算，是基础题.

3.【答案】C

【解析】解:作出/(X)的图像，如下图所示:

由图像易知，f(x)与4轴有两个交点，所以零点的个数为2,

故选：C.

作出/(无)的图像，根据函数跟X轴的交点个数判断即可.

本题主要考查函数的零点，属于中档题.

4.【答案】D

22

【解析】解：因为双曲线»-力=1(。>0/>0)的一条渐近线的倾斜角为60。，

所以°=tan60o=√3,

a

又因为c2=α2+b2,所以c=2α,

所以离心率为e=：=2,

故选：D.

先根据渐近线的倾斜角为60。，得到5=t(m60。=8，再结合c2=α2+F即可求解.

本题主要考查双曲线的性质，属于中档题.

5.【答案】D

【解析】解：若在AABC中有sin24=sin2B,则24=2B或24=兀一2B,即A=B或4+B=*

则AABC为等腰三角形或直角三角形，故充分性不成立，

当△?!BC为等腰三角形时，若4是顶角，B是底角，则24不一定等于2B,则S讥24=s讥2B不成立，

故必要性不成立，

则“sin2A=s讥2B”是“AABC为等腰三角形”的既不充分也不必要条件,

故选：D.

根据充分条件、必要条件的定义可解.

本题考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题.

6.【答案】A

【解析】解：由/+y2=ι,可得圆心C(OQ),半径「=1,

过直线y=kx-2上任意一点，总存在直线与圆/+y2=1相切，

∙∙∙k满足罕解得一g≤k≤g,

则k的最大值为√5,

故选：A.

根据过直线y=kχ-2上任意一点，总存在直线与圆％2+y2=1相切，圆心到直线的距离d满足

d≥1,解得/c范围.

本题考查了直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档

题.

7.【答案】B

【解析】解：由己知得g(χ)=由白丽，

据图可知X=",雪,矍是〃尤)在一个周期内的三个零点，

且/(x)在(工,工)上先增后减，在(工,招)上先减后增，

故7=空碧=兀，所以＜υ=2,

Ksin(2×ɪ+φ)=0,得看+＜jθ=2kτr,fc∈Z,

又取＜三故k=0时，9=一押为所求.

故选:B.

g(χ)=而白丽，据图可知X=刍羽,若是/Q)在一个周期内的三个零点，且/(乃在船,为上先

增后减，在(工,招)上先减后增，据此即可求出f(X)的解析式.

本题考查正弦型三角函数的性质，五点法作图方法的应用，属于中档题.

8.【答案】C

当M=2,m<600时，。不一定小于7.9,B错误；

当M>5,Ui=800时，V>11.2,C正确；

当M>3,zn>600时，。不一定大于11.2,。错误，

故选：C.

作直线πι=600,m=800,M=2,M=3,M=5,根据图像判断即可.

本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题.

9【答案】C

【解析】解：建立如图所示的平面直角坐标系，

不妨设4(-1,0),B(COSaSinθ),

又4B=4C,则C(CoSa一Sin9),

所以4B=(CoSe+l,sinθ)>^AC=(COSe+1,-sinθ)>

所以AB∙AC=(CoSO+I)2—sin20=2cos2θ+2cosθ=

2(CoSO+ɪ)2-ɪ,

当CoSJ=-T时，才^,正取最小值一会

故选：C.

先建立平面直角坐标系，设4(-1,0),B(cosθ,sinθ),求出对应点的坐标，然后结合平面向量数量

积运算求解即可.

本题考查了平面向量数量积的运算，属基础题.

10.【答案】B

【解析】解：由存在常数c,对任意的neN*,都有即<c成立，

可得C>(fl∏)7nαx•

由%=1,αn+1=fc⅛+l(n∈N*),可得c⅛+ι-αn=k味+1-Qn,

若｛qJ递增，即kc⅛+1-αn>0(k>0)恒成立，可得■=l-4∕c<0,

即此时｛α7l｝无最大值，

所以0<k≤J,

4

所以k的最大值为京

故选:B.

由题意可得C>(an)max,考虑数列递增，可得k成+1-αn>0(fc>0)恒成立，由判别式小于0,

求得k的范围，再求补集可得结论.

本题考查数列的递推式和数列不等式恒成立问题解法，考查转化思想和推理能力，属于中档题.

IL【答案】60

【解析】解：二项式的展开式的常数项为服(2x)2φ2=60,

故答案为：60.

根据二项式定理即可求解.

本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题.

12.【答案】5-n10

【解析】解：等差数列｛αn｝的公差d≠0,%=4,且如,α3,a4成等比数列，

所以a,=ɑɪɑ4,

所以(4+2d)2=4(4+3d),

解得d=-1或d=0(舍)，

2

故an=4—(n-1)=5-n,5n=4n-"(丁)=-ɪn+等，

故当?τ=4或n=5时，Sn取得最大值10∙

故答案为：5—n；10.

由已知结合等比数列的性质，等差数列的通项公式及求和公式即可求解.

本题主要考查了等差数列的通项公式，求和公式及等比数列的性质，属于基础题.

13.【答案】ʃ

4

【解析】解：f(x)=COsx-sinx=√2cos(x+ɪ),

令2kιτ≤%+<2kπ+π,(fc∈Z),

整理得-%2kτr≤x≤2∕σr+与,(fc∈Z),

由于函数f(x)在区间［0,a］上单调递减，

故-J+2fcττ≤0≤X≤Q≤2∕cτr+孚，(k∈Z),

44、'

故当k=0时，实数ɑ的最大值为率

故答案为：⅞∙

4

首先利用三角函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成余弦型函数，进一步利用函数单调性

求出结果.

本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，余弦型函数的性质，主要考查学生的理解能力

和计算能力，属于基础题和易错题.

14.【答案】y=-∖45°

j4

【解析】解：••・抛物线C的方程为：y=χ2,k

二抛物线C的准线/的方程为：y=-i,\/

二4点坐标为(0,—［),-------------------------->X

•••当P为过点4的直线且与抛物线相切的切点时，404P最大，/4\

设过4(0,—；)且与抛物线相切的切线方程为y=∕cx-p

联立、—4,可得/—依+：=o,

24

(y=X

Δ=k2—1=O,.∙∙ft=+1>

∙∙∙切线的倾斜角为45。或135。，

.∙.由图易得N(MP最大为45。.

故答案为：y=-345°.

根据抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，数形结合思想，即可分别求解.

本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，数形结合思想，属中档题.

15.【答案】②③④

【解析】解：由题知，以C点为坐标原点，以CO、CB、CCl所在直线分别为x,y,Z轴，建立如图

所示空间直角坐标系，

令正方体ABCDBIClCl中棱长为2,

贝IJC(0,0,0),D(2,0,0),S(0,2,0),4(2,2,0),CI(0,0,2),D1(2,0,2),

Bi(0,2,2),4ι(2,2,2),P(LL1)，QQ,2,2),

设T(2,0,l),

则可=(1,-1,0)，BO=(1,0,2).

PΓ∙βρ=l+0+0=l≠0,

不满足PrIBQ点7不是棱ODl的中点，故①错误；

PT=(x-l,y-l,z-1),PTVBQ,.∙.x-1+2(z-1)=0,

当X=O时，Z=|,当X=2时，z=ɪ,

取E(2,0,/F(2,2,/G(0,2,∣),//(0,0,)

连结EF,FG,GH,HE,WJfiT=HG=(0,2,0)-EH=FG=(-2,0,1)>

FF∙£77=O.；•EFLEH,

四边形EFGH为矩形，

VEF.BQ=0-EH-BQ0，

.∙.EF1BQ,EH1BQ,

■：EF和EH为平面EFGH中的两条相交直线，

.∙.BQ1平面EFGH,

又加=(-1,1弓)，PG=(-1,1,ɪ),

.∙∙P是EG的中点，则Pe平面EFGH,

∙∙∙P是EG的中点，则P∈平面EFGH,

为使PTLBQ,必有点TC平面EFG”,

EF=GH-2,EH=FG=V5，∙'∙EF≠EH,

则点7的轨迹为矩形EFGH,故③正确；

面积为2*西=2西，即点7的轨迹围成的多边形的面积为亨a2,故④正确；

BQ=(1,0,2).PT=(x-l,y-l,z-l).PT1BQ,

则X-1+2(z-1)=0,即％+2z—3=0,

κ=3-2z,点F在正方体表面运动，

.∙.0≤3-2z≤2,解得2≤z≤∣,

∙∙∙IPTI=J(X—1)2+(y—1)2+(Z-1)2=√5(z-l)2+(y-l)2,

结合点7的轨迹为矩形EFGH,

分类讨论下列两种可能取得最小值的情况，

当z=l,、=0或丁=2时，∖PT∖=1,

当y=l,Z=T或Z=I时，IPTl=争

∙.∙1<[,；.当Z=1,丁=0或)/=2时，PT取得最小值为1,取Ja,故②正确.

故答案为：@(3)(4).

以C点为坐标原点，建立空间直角坐标系，令正方体ABCD-&BlGDI中棱长为2,利用向量法求

解.

本题考查以正方体为载体，考查空间向量在立体几何中的综合运用和空间几何关系的证明等基础

知识，考查运算求解能力，是中档题.

16.【答案】解:(I)因为CSinB=VsbcosC,

所以SmCS出B=VSsinBcosC,

又SiTIB≠0,则SirIC=WcosC,即比in。=V3,

又C为△4BC的内角，则C=?

(D)因为Q+b=6,C=p

222

所以C?=a+b—2abcosC=(α+ð)—2ab—2abcosC=36-3abf

又ab≤(竽A=9,当且仅当α=b=3时等号成立，

所以C2≥9,则C≥3,即C的最小值为3.

【解析】(I)由正弦定理化简可得SnC=百，进而得解；

(U)由余弦定理结合基本不等式即可得解.

本题考查解三角形，考查运算求解能力，属于基础题.

17.【答案】解：(I)记事件4为“高三(1)班在此次跳长绳比赛中获得优胜奖”，

由题中数据可知，高三(1)班共训练10次，跳绳个数超过120个的共5次，

用频率估计概率，则P(呼)=A=I,

故估计高三(1)班在此次跳长绳比赛中获得优胜奖的概率为

(U)记事件①为“高三(k)班在此次跳长绳比赛中获得优胜奖”，其中k=l,2,3,4,

用频率估计概率，可得P(Az)=[=P(^3)=5=5,P("4)=[=|，

随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,4,

P(X=0)=(1-|)×(1-ɪ)×(1-ɪ)×(1-|)=ɪ,

P(X=l)=i×(l-i)(l-∣)×(l-∣)+(l-i)×∣×(l-∣)×(l-∣)+(l-∣)×(l-i)×

1"2、，”1、“1、”1、25

-×(1--)+(l--)×(1--)(1--)X-=-,

P(X=3)=(l-i)×∣×∣×∣+i×(l-∣)×i×∣+j×∣×(l-i)×∣+∣×i×i×(l-∣)=

7

24,

3

P(χ=2)=1-P(X=O)-P(X=1)-P(X=3)-P(X=4)=ɔ

O

所以估计X的数学期望EX=0×⅛+l×⅛+2×∣+3×⅛+4×-⅛=⅛.

2424824126

(In)高三年级四个班跳绳个数的平均数分别为

X1==(142+131+129+126+121+109+103+98+96+94)=114.9,

X2="(137+126+116+108)=121.75,

一1

X3=J(163+134+112+103)=128,

X4屋(158+132+130+127+110+106)=127.17,

所以X3最大，即在2分钟内，高三(3)班的跳绳个数最多，

故在此次跳长绳比赛中，高三(3)班获得冠军的概率估计值最大.

【解析】(I)用频率估计概率，即可得解；

(II)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,4,利用相互独立事件的概率公式求得每个X的取

值所对应的概率，再由数学期望的计算方法，得解；

(Ill)计算四个班级的跳绳个数的平均数，可得在2分钟内，高三(3)班的跳绳个数最多.

本题考查离散型随机变量的数学期望，熟练掌握相互独立事件的概率公式，数学期望的计算方法

是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

18.【答案】解：(I)证明：取P4中点G,连接FG,EG,如图所示:

∙.∙F为Pn的中点，.∙.FG//AD,FG=

^AD,

1

∙.∙E⅛FCWΦ⅛,.-.BE=^BC,

在正方形ABC。中，40〃BC,4。=BC,

：.FG∕∕BE^LFG=BE,

四边形BEFG为平行四边形，.••

EF//BG,

又EFC平面P4B,BGU平面Λ4B,

∙∙.EF〃平面PaB；

(Il)取AD中点。，连接OP,0E,

∙.∙PA=PD,.∙.P01AD,

•••平面PADJ■平面4Bm平面PADCl平面ABCC=AD,

∙∙.P。J"平面ABC。，又OEU平面ABC。，.∙.。PJ.0E,

在正方形4BC。中，0E_L04,

则建立以。为原点，以。4、0E、OP所在直线为X轴、y轴、Z轴的空间直角坐标系。-Xyz,如图

所示:

设P(0,0,2α)(α>0),

则。(0,0,0),B(2,4,0),D(-2,0,0),

E(0,4,0),F(-l,O,a),

.∙.EB=(2,0,0).EF=(-l,-4,α),

DP=(2,0,2a)，

设平面BEF的一个法向量为元=

(.χ,y,z),

则性更=2x=0,取y

［九∙EF=-X-4y+Qz=0

・•・平面BEF的一个法向量为元=(0,Q,4),

又OP_L平面BAE,则平面ABE的一个法向量为沅=(0,0,1),

4

.∙.∣cos<m,n>∣=⅛∣=7-,

若选取条件①：PD1EF,

^EF-DP-0，BP-2+2a2=0,解得α=1或α=-1(不合题意,舍去),

由图形得二面角F-BE-4的平面角为锐角，则ICos＜而,元＞I=箸，

故二面角F-BE-4的余弦值为呼;

若选取条件②：PD=IEF,

2

则Λ∕4+(2α)2=∣√1+16+α,解得α=1或α=-1(不合题意，舍去),

由图形得二面角F-BE-A的平面角为锐角，则ICOs＜沅,元＞I=书，

故二面角F-BE-4的余弦值为笔ɪ.

【解析】(I)取PA中点G,连接FG,EG,根据线面平行的判定定理，即可证明结论；

(11)取4。中点。，连接OP,0E,由题意得OP、0E、Oa两两垂直，建立以。为原点，以。4、0E、

OP所在直线为%轴、y轴、Z轴的空间直角坐标系。一Xyz,设P(0,0,2α)(α>0),利用向量法，即

可得出答案.

本题考查直线与平面平行和二面角，考查转化思想和数形结合思想，属于中档题.

19.【答案】解：(/)因为AAOP面积的最大值为所以gab=1.

又因为右顶点4(2,0),故α=2,c2=a2-b2,所以b=l,c=√5,

所以椭圆C的方程为F+/=1,离心率为冬

4J2

(∏)①当直线PH的斜率不存在时，直线PH的方程为X=-1.显然△力PQSA4EF.

因为IPQl=√3.所以IEFl=IlPQl=芋≠2.不合题意.

②当直线PH的斜率存在时，设直线PH的方程为y=k(x+1),

由得(1+4fc2)x2+Qk2X+(4fc2-4)=0,

显然/>0.

设P(Xl,%)，Q(,χ2)y2^,且≠±2,

rjι∣∣.8/』41(2—4

K1Jx+X=-----------ɔ,XiX=-------?

ɪ12N1+4∕C2ɪ2l+4k2

直线ZP的方程为y=弱-2),

令X=0,得点E的纵坐标VE=乌，则E(0,a¾,

X]-Z%]一Z

直线ZQ的方程为yɪɪ(ɪ-2),

同理可得F(0,5¾)∙

X2~Δ

丫2(。「2)一。1(。2-2)

所以IEFl=I老一汽|=2|1=2产2+1)("黑货)3-%=6|止

X∖~LXZ-乙(X1-2)(X2-2)

Xlr2I=2

XlX2-2(%1+%2)+4*

所以3优|•%-x2∣=∖x1x2-2(x1+x2)+4|,

即3∣k∣J(Xl+Λ⅛)2—4%I%2=IXIX2-2(x1+x2)+4|，

2

8k、2Λ4k2—4.4k^-4ɔ8户.∣

可得3∣k∣(-2)2-4X------2=-------2+2×------2+4•

l+4fc-'1+4/l+4kzl÷4kz

化筒得

l+4k,l+4/c2

解得/C=±造,

6

所以直线PH的方程为X—√6y+1=O或X+Vβy+1=0.

【解析】(I)根据A4OP面积的最大值为1,求得αb的值，根据右顶点求出ɑ的值，进而可得b的值,

根据α,b,C的关系求得C的值，即可得方程和离心率;

(∏)当直线PH的斜率不存在时，不合题意；当直线PH的斜率存在时，设直线PH的方程为y=k(x+

1),联立直线与椭圆的方程，表示出E,F的坐标，根据IEFl=2和韦达定理计算k的值即可得PH的

方程.

本题考查了椭圆的方程和离心率，考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题.

20.【答案】解：由己知得，定义域(0,+8),「(%)=震，

(I)令尸(X)=0得久=e,因为α>0,

∕,(x)>0=>0<x<β,∕,(x)<0=>%>β,

所以/(X)的单调递增区间为(0,e),单调递减区间为(e,+8)；

2

(II)结合α>0,由已知得仇％-ax÷%≤0在X∈(O1+8)恒成立，

即α≥色詈当％>0时恒成立，令g(%)=与3，无>0,g,(x)=~2^~x+1,显然“(1)=0,

再令h(x)=-2lnx-%÷1,∕√(%)=-：-1V0,故力。)在(0,+8)上单调递减，结合力(1)=0,

当0<X<1时,h(x)>0,即g'<)>0,当%<1时，∕ι(x)<0,即g'<)<0,

故g(l)=1是g(x)的极大值，也是g(%)的最大值，

故Q≥1即为所求，故α的取值范围是［1,+8)；

i

(IIl)证明：由%2伍%ι+=1m％2=OQiWX2)得地+处ɪ=0，且XIWLX2≠1»

xlx2

当Q=I时，令m(%)=(%>0),显然m(l)=0,

M(X)=二2/：x+i=y(2x+i),Xe((U)时，m,(x)>0,Xe(I,+8)时，m,(x)<0,

故m(l)=0是m(x)的极大值，也是最大值，即仇X-X2÷%≤0(%=1时取等号)，

所以等≤x-l,(当且仅当X=1时取等号)，

所以竽<%-1,⅛<x2-l.

xlx2

两式相加得上1+3<XI+X2-2,即X1+必一2>0,

xlx2

故％ι+X2>2.

【解析】(I)利用导数直接计算即可；

(U)分离参数，然后研究函数g(x)=安，x>0的最大值即可，通过二次求导不难解决问题；

(IIl)构造函数Tn(X)=加X-/+X,(χ>0),研究其单调性和最值，得到粤≤x-l,(当且仅当

K=I时取等号)，再结合已知条件不难证明结论.

本题考查利用导数研究函数的单调性、极值进而解决不等式恒成立问题，同时还考查了通过构造

函数，证明不等式的解题思路，属于较难的题目.

(

21.【答案】解：1)劭=5,a6=6,a7=7,α8=8.

(∏)对任意九>4,存在i∈{1,2,…，九一1},使得αn=七+Q71T

若i>4,或九一i>4,则Qi或Qn.i,又可以写成数列中某两项的和，如4•