重庆市某中学2024届高考适应性月考卷（五）数学试题解析

重庆市2024届高考适应性月考卷（五）数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1-1,I

1.已知复数z=77r，则目=()

(1-1)

A.正B.1C.V23

D.

222

【答案】A

【分析】利用复数的四则运算与模的公式即可得解.

i-i4i-11-i所以巾号

【详解】因为z=

(1-i)2-2i-2i2

故选：A.

2.已知集合/={x|log；x-Blog?尤<0},B={y|y=3x-l,xeN},则/口5=()

A.{2,5,8}B.{-1,2,5}

C.{5,8}D.{2,5}

【答案】D

【分析】根据一元二次不等式结合对数求集合力,进而结合交集的意义分析求解.

【详解】因为/={x|k）g；x-31og2X<o|=（r10<log2x<3}=*|l<x<8},

令0<3x-l<8,且xeN,解得x=l,2,此时了=3x-l=2,5

所以/[?2={2,5}.

故选：D

3.古希腊数学家欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（％）与它的直径（。）

的立方成正比"，即忆=切3,但欧几里得未给出常数人的值.现算出k的值，进而可

得cosk=（.）

A.0B.%C.—D.-

222

【答案】D

【分析】根据球的体积公式分析求解.

【详解】因为厂=红尸=3/2丫，整理得上=工，

3[26

试卷第1页，共21页

所以cosk=cos巴=——.

62

故选：D.

4.定义域为R的函数/(x)关于x=l对称，且当%>玉>1时，恒成

立，设〃=6=c=/(2),贝I]()

A.c>a>bB.c>b>aC.a>c>bD.b>c>a

【答案】B

【分析】由题设可知函数单调性，结合对称性即可比较大小.

【详解】因为函数“X)关于尤=1对称，

所以c=〃2)=/(O),

3m>。恒成立,

又因为当工2>玉>1时,

x2一再

所以/(无)在(1,+8)上单调递增，故/(X)在(-8,1)上单调递减,

因为0<g<¥=sin；,所以/(0)>/[]>/(sin：],

所以c>6>a.

故选：B

5.已知直线《过点/(0,1),直线4与直线4：y=x的交点2在第一象限，点。为坐标

原点.若三角形0/2为钝角三角形时，则直线乙的斜率的范围是()

A.(-8,-1]B.(-oo,-l)u(0,+co)

C.(一°°,—1)口(0,1)D.(―°°,—1)。(1,+°0)

【答案】C

【分析】找到三个极端位置的斜率值，并旋转相关直线得到斜率范围.

【详解】当三角形。43为直角三角形时，OBLB4或OALB4,

此时4的斜率左=-1或0.

当4从左=_1顺时针旋转到了轴之间时，三角形048为钝角三角形，此时左<-1；

当4从左=0逆时针旋转到与直线，2：P=x平行之间时，三角形为钝角三角形，此时

0<上<1,

综上，左e(T»,-l)u(0,l),

试卷第2页，共21页

故选：c.

故选：c.

6.在三棱锥尸-4BC中，PA=45,平面48C,D为BC的中点且尸。=2行,当

“8C为正三角形时，三棱锥外接球的表面积为（）

3171-/3171

A.IOTIB.-----C.471D.-----

312

【答案】B

【分析】根据球心与正三角形中心连线垂直于平面N8C,结合线面垂直性质确定球心

位置，然后利用已知求出半径即可得表面积.

【详解】记球心为。，正“BC的中心为O',PN的中点为E,

2

由正AABC和球的性质可知，AO'=-AD,OO'1平面ABC,

因为尸/_L平面4BC,NOu平面/3C,所以OO'〃P/,PALAD,

因为OP=GM,所以O£_LP/,

所以，在平面中，OEHAO',所以/O'OE为矩形，

所以。。，=/石=好，

2

又AD=VPD2-PA2=V3>所以AO'=三AD=~~，

11

所以初nN。。。。"=一，

12

所以三棱锥P-ABC外接球的表面积为4成②=4兀x]=W2

123

故选：B

试卷第3页，共21页

7.若关于x的方程2sinxcosx-V§cos2x=1在[。，兀）内有两个不同的解毛，巧，则

$也（再+'2）的值为（）

V3D-+C

A.D.---------

22T4

【答案】A

【分析】利用辅助角公式得sin（2x-[=；,再结合正弦函数的图象与性质求出

xt+x2=^,代入计算即可.

6

【详解】关于X的方程Sin2x-6cos2x=l,贝！Jsinpx-gj=g,

当xe[0,7T),2x-ge-g,穿)，所以2x-g=?或称，贝!Jx=?或得.

3L3/366412

5兀]

设为＜/，所以王+》2=▼，贝1Jsin（X]+£）=彳,

62

试卷第4页，共21页

故选：A.

n+l

8.已知数列｛%｝的前n项和S„=2an-2,不等式（标_10加”“v（〃-19电对任意

〃eN*恒成立，则实数加的最大值为（）

A.4B.6C.8D.2

【答案】B

【分析】利用E,,a”的递推公式，利用构造法求通项公式，然后将不等式恒成立问题转

化为求2（“一19”的最小值问题,然后分离常数，利用对勾函数性质求解即可.

〃+1

【详解】因为S0=2%-2向,

+2

所以“用=加-S.=2«„+1-r-（2«„-*）,整理得猾勺=I,

又H=2%-2?得q=4,母=2,

所以］墨｝是以2为首项，1为公差的等差数列，

所以枭=〃+1,故%=（"+1）2",邑=2%-2"+'人2向，

所以（M-10加”，4（〃-19）S“0（加=IO加4（〃-19）小2"+1,

口口?2（n-19）n

BPm2-10m<-------，

w+1

因为2（〃-19）〃_2［（〃+1）2-21（〃+1）+20］、2<20_a/,

〃+172+1172+1J

令:="+1,由对勾函数性质可知，>=/+?在（0,2行）上单调递减，

在（20,+8）上单调递增，

又feN*,所以，=4或f=5时，y^n=t+—=9,所以2（〃+1+型［21］=-24

t\n+\

所以，m2—10m<—24,解得4VZHV6.

所以实数m的最大值为6.

故选：B

二、多选题

9.小明参加唱歌比赛，现场8位评委给分分别为：15,16,18,20,20,22,24,

25.按比赛规则，计算选手最后得分成绩时，要先去掉评委给分中的最高分和最低分.现

去掉这组得分中的最高分和最低分后，下列数字特征的值不会发生变化的是（）

A.平均数B.极差C.中位数D.众数

试卷第5页，共21页

【答案】ACD

【分析】根据给定的条件，利用平均数、极差、中位数、众数的意义逐一判断即可.

【详解】对于A,去掉最高分和最低分之前，8个数据的平均分为

15+16+18+20+20+22+24+25八

-----------------------------二20,

8

去掉最高分和最低分之后，6个数据的平均分为16+18+20：20+22+24=20,A正确；

对于B,去掉最高分和最低分之前，8个数据的极差为10,去掉最高分和最低分之后，

6个数据的极差为8,B错误；

对于C,去掉最高分和最低分之前，8个数据的中位数为20,去掉最高分和最低分之后,

6个数据的中位数为20,C正确；

对于D,去掉最高分和最低分之前，8个数据的众数为20,去掉最高分和最低分之后，

6个数据的众数为20,D正确.

故选：ACD

10.设抛物线C:必=28的焦点为尸，准线为尤=-1.点2是抛物线C上不同的

两点，且卜尸|+忸刊=8,则()

A.0=2B.以线段为直径的圆必与准线相切

C.线段43的长为定值D.线段的中点E到准线的距离为定

值

【答案】AD

【分析】根据给定条件，求出抛物线C的方程，令%),8(%,%),由已知结合抛物

线的定义可得%+%=6,计算判断AD；举例说明判断BC.

【详解】依题意，抛物线C的焦点厂(1,0),方程为必=4x,则。=2,A正确；

令/(七,%),8(工2,%),显然|4F|+|5F|=再+1+%+1=6,即玉+迎=6,

取再=0,则々=6,即点=(0,0),5(6,±2况),此时|48|=2岳,

以线段43为直径的圆的圆心为(3,土&),该圆心到准线x=-l的距离为4,不等于圆半

径而,

因此该圆与准线不相切，B错误；

以点/(0,0),8(6,±2&)为端点的线段长||=2/,当直线AB垂直于x轴时，

X]—%?=3,

试卷第6页，共21页

此时|AB\=4-\/3,C错误；

线段45的中点E的横坐标为3,点E到准线的距离为3-(-1)=4,D正确.

故选：AD

11.已知向量生时满足同=3,网=1,a一可=同,同=2区一同，设八区小火)，则()

5-

A.a.b=2B.万+3在B方向上的投影向量为16

C.何-H的最小值为2V^-2D.何-耳无最大值

【答案】BCD

【分析】对于AB,利用向量的数量积运算即可得解；对于CD,利用向量的几何意义

建立直角坐标系，将问题转化为圆上点到直线的距离的问题，从而得解.

【详解】对于A,因为同=3,「=1,悔一可=同，

所以(2々-盯=31,即4£2-473+7=31，

——一一3

即4x9-4〃・5+1=31,则。0=,，故A错误；

-a'h1——jr

又cos〈"b〉=k=彳,〈落b〉£[0,兀],所以〈落6〉=彳,

|23

-一一一25

对于B,因为伍+6)/=展b+b=3，

(a+b)-bb57

所以万+8在B方向上的投影向量为一同—同二万6,故B正确；

对于CD,建立直角坐标系无。y,如图，

—.--.(1也、—.

设口=0/=(3,0),6=。5=|,c=OC=(x,y),

因为曰|=2厘一口，所以=2，(尤一3)2+r,整理得(X—4)2+J?=4,

即C点的轨迹是：圆心为E(4,0),半径为2的圆，

则灰=次7=»砺，则点M在直线。3上运动，贝！J所-1|=|而-反H.I，

设点E到直线03的距离为d,

试卷第7页，共21页

贝小而=西卜sing-2=2j"-2,无最大值，故CD正确.

故选：BCD.

12.已知正方体/BCD-4用G。的棱长为2,。是空间中的一动点，下列结论正确的

是()

A.若点。在正方形。CGA内部，异面直线44与。2所成角为仇贝好的取值范围

为M

B.若点。在正方形。eq。内部，且|。同=6,则点。的轨迹长度为:无

C.若而=；赤+无汨(0<241),则8。+。。的最小值为加

D.^AO=AAB+(1-A)AD(0<A<1),平面。/2截正方体ABCD-A,BXCXDX^

得截面面积的最大值为36

【答案】AC

【分析】选项A,建立空间直角坐标系，利用向量夹角求解线线角及范围；选项B,利

用垂直关系，将|。邳=右转化为|OC|=1,进而得到。点轨迹；选项C,由向量关系得

动点O的位置，利用展开图将空间折线段之和最小值转化为平面内两点之间距离最短求

解即可；选项D,由向量关系得。，氏。三点共线，当点。与B重合时，利用特殊位置求

解截面面积大于36，故排除.

【详解】选项A,以。为坐标原点，分别以。4。口。，所在直线为阳％2轴，建立空间

直角坐标系。-尤产,

则4(2,0,2),4(2,2,2),8(2,2,0),0(0,y,z),(k产2,(kz<2,

则4与=(0,2,0),3。=(-2/-2,z),

ABBO仅3-2)|

贝！Jcos0=cos(4综BO

2,2

函阿2也+(，-2)+Z

1

4+z2+1,因为4+z?>4,0<(〉-2)2<4,

(y-2)2

^4>i，

所以y+1>V2,

3-2)2

故cos8e|0,等］则。的取值范围为兀71

,故A正确;

4'2

试卷第8页，共21页

选项B,由。在正方形。CCQ内部，且|。回=右，连接OC,OB,

由5C/平面DCCR,则BCICO,

在RtAOCS中，|C同=2,则|oc|=^(V5)2-22=1,

又点。在正方形DCGA内部，

故点。的轨迹以C为圆心，1为半径的四分之一圆弧,

所以点。轨迹的长度为1;、2兀=71三，故B错误；

42

选项C,如图，取N8的靠近A的四等分点。。的靠近。的四等分点N,

连接MN,8M，GN,所以AM//DN,AM=DN,

则四边形/脑VO是平行四边形，所以MV///D,

试卷第9页，共21页

—•1—►—►/、

由/O=[A8+/UO（0V；lV1）,则/O=/M+/UD,

即砺=彳而（04241）,则MO//4D//"G，故点。在线段九W上,

又MN=AD=B©\,四边形"NC百为平行四边形，

又_1_平面48片4,则AWJ_平面ABB{AX,贝！|AW_L,

四边形MNC©为矩形，且即「卜+豆弓,

将矩形MNG8]沿跖V展开至与矩形4WD共面，如图，

当且仅当男三点共线时，与。+。。的最小值为旧，故C项正确;

选项D,由方=2万+（1-彳）诟（04X41）,

^AO-AD=A（AB-AD^,则有丽=X丽（04彳W1）,

故点O在线段上，

当点。与3重合时，由G。//〃2,G乌=44

试卷第10页，共21页

故四边形D£BA是平行四边形,

则2，G，42四点共面，即2,4O，G四点共面，

则此时平面截正方体/BCD-45clA所得截面即为平行四边形AG",

又4D[=2后,48=2,则截面面积为5=2x2行=4\历＞3＜与，故D错误.

故选：AC.

三、单空题

13.已知两个等差数列｛%｝,｛b,,｝的前〃项和分别为S”，Tn.若9=2,则

05

邑二

4---------------------

【答案】2

【分析】根据给定条件，利用等差数列前"项和公式、等差数列性质计算即得.

【详解】等差数列｛%｝,凡｝的前〃项和分别为S“，T„,詈=2,

“5

9(%+.9)

所以邑=---2-----=%_=2

所以4她+4)范'

2

故答案为：2

14.在三棱台NBC-44G中，己知NC=3C=2,4G=4G=1,NC，8C,eq_L平面

ABC,ZAtAC=60°,则该三棱台的体积为.

【答案】逋/：百

66

【分析】取的中点。，证得4。，平面/3C,得到求得4。=6，即

棱台的高为百，再由棱台的体积公式，即可求解.

【详解】如图所示，取/c的中点。，连接4。，

因为/C=2,4C]=1,所以4G〃CD且4G=CD,

可得四边形4CC。为平行四边形，所以4O//CG，

因为CG，平面4BC,可得4。，平面48C,

又因为NOu平面4BC,所以

在直角△44Q中，由/D=l,N4/C=60°,可得%D=6即棱台的高为省,

试卷第11页，共21页

因为NCI，可得且4。=8。=2,4。1=3。1=1,

所以^ABC的面积为万x2x2=2,△44。］的面积为,xlxl二3,

则棱台的体积为忆=1X（2+JIZI+L）x6=31.

3V226

故答案为：迪.

6

Cx=2+2cos3

15.已知动点朋r（x,力满足jylzsing（6eR），若直线/过点（一2，。）与点M的轨迹

相切，则直线/的方程为.

【答案】x+币iy+2=0或x-乖：y+2=0.

【分析】消去参数可得动点M（x,y）的轨迹是圆，然后根据圆心到直线的距离等于半径

列方程求出斜率，即可的直线方程.

【详解】由J=2sine（OeR）消去。得（X-2）-+/=4,

所以，动点M（x,y）的轨迹是以（2,0）为圆心，2为半径的圆，

由题意直线斜率存在，所以设直线/的方程为'=人（工+2）,即京-y+2/=0,

|2左+2左|、h

由题知，।/,」=2,解得左=±",

U+13

所以，直线I的方程为l+行歹+2=0或x—VJy+2=0.

故答案为：x+百歹+2=0或X-VJy+2=0

16.若不等式白（2加1RYT+1）«X"（加＞0）对任意的工£（0，+°°）恒成立，则实数加的最

大值为.

【答案】f

试卷第12页，共21页

mm

xxX八

【分析】根据题意整理得21n—+1<—,令=三>0,可知”23-120,构建

、e“eFe2

g(?)=/-21nZ-l,Z>0,利用导数分析可得0<々1,进一步整理得加Inx-^WO对任意

的xe(O,+s)恒成立，构建Mx)=Wnx-?x>0,利用导数求其最值结合恒成立问题

分析求解.

则2加hu-x+lw+，整理得21n二+1«0,

【详解】因为”(2加lnx-x+l)4x

e2leiJ/

X

令，=三>°,可得21n/+lV/,gp?-21in-l>0,

令g(f)="21nf-lJ>0,则g，(/)=l_：=下，

令g'«)>0,解得"2；令g'⑺<0,解得0<f<2；

则g(f)在(0,2)上单调递减，在(2,+⑹上单调递增,

则g(f)Wg⑵=1-21n2<0,Mg(l)=0,g(4)=3-21n4>0,

可知g«)有且仅有两个零点1八w(2,4),

若g")NO,贝!]0<tVl或此办,

XX

对于"三可知，当x趋近于+00时，”三趋近于0,故此不合题意；

e，e，

所以0<区1,即°<三41,整理得初nx-±40对任意的xe(0,+oo)恒成立,

”2

h(x)=mInx--,x>0,贝!=-,

2x22x

且加>0,令〃(x)〉0,解得0<x<2加;令h'(x)<0,解得x>2加;

则〃(x)在(0,2加)上单调递增，在(2加,+8)上单调递减，

可得〃(x)4h(2m)=m]n2m-m<0,结合加>0解得0<m<-|,

所以实数优的最大值为5.

故答案为：j.

/、

YmVmA丫加

【点睛】关键点睛：第一步同构将原式整理得21n—+1<—,把三看成整体处理求

、e"e"e?

试卷第13页，共21页

其取值范围；

第二步根据题意分析可得°＜二小，整理得加lnx-±40对任意的xe（O,+s）恒成立,

e22

结合恒成立问题分析求解.

四、问答题

17.已知。8C的内角4,2,C所对应的边分别为a,6,c,且满足二+，.加呼=1.

b+cPSHL4+csiiw

（1）求角C的大小;

⑵若”=2,6=4,点。为N8的中点，求tanN/CD的直

【答案】（1）。

【分析】（1）根据题意利用正余弦定理边角转化分析求解;

（2）根据（1）中关系可得c=2百，进而可知2=5,利用两角和差公式运算求解.

【详解】（1）因为二+,.从1rB=1,由正弦定理可得

b+cpsia4+csin^

ab2ab

----+------=----+----=1,

b+cab+bcb+ca+c

整理得。2+〃-2=仍，

由余弦定理可得cosC==也=-

2ab2ab2

且Ce（O,兀），所以C=,

(2)由(1)可得：a2+b2—c~=ab>贝Uc~=+6?—=12,BPc=2-^3>

可知/=/+,2,即B=］，可得BD=6,tan43叽立

BC2

6一,=和

1+由义也5

2

五、证明题

18.如图，在四棱锥P-4BCQ中，四边形是直角梯形，尸C_L平面4SCD,

AD1AB,AB//DC,AB=2AD=2CD,点、E是PB的中点.

试卷第14页，共21页

p

⑵若平面PAD与平面ABCD所成锐二面角的正切值为2,求直线尸D与平面所

成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

【分析】（1）根据题意证明8C/平面PAC,进而可得面面垂直；

（2）建系，设？（0,0,。）,。>0,根据题意结合面面夹角求得。=2,进而利用空间向量求

线面夹角.

【详解】（1）不妨设42=2,则/Z>=CD=1,可得/。=反;=也，

AC2+BC2=AB2,可得ZC7.8C,

又因为PC_L平面/BCD,BCu平面48cD,则PC_L8C,

且/C（"|PC=C,AC,PC<^^-^PAC,可得5C/平面/MC,

且BCu平面PBC,所以平面尸NC_L平面PBC.

（2）取48的中点G,可知CGLCD,

如图，以C为坐标原点建立空间直角坐标系，

则。(0,1,0),/(1,1,0),5(1,-1,0),设尸(0,0,a),a>0,

可得ZX4=(1,0,0),DP=(0,-1,tz),

-n-DA=x=0

设平面尸40的法向量〃=(x,%z),贝叫_.

n-DP=-y+az=0

令y=a,则x=o,z=l,可得3=(0,a,1),

由题意可知：平面/BCD的法向量蔡=(0,0,1),

试卷第15页，共21页

设平面PAD与平面ABCD所成锐二面角为。e0,|,则tan6=2,

由tanO=@^g,sin2e+cos2e=l,解得cosO=N（舍负），

cos，5

I.\m-n\i/7

贝加cos（加二|一|=---1=---,解得〃=2,

।'m，W1XV^2+15

则P（0,0,2）,£可得而=（O,-1,2）,B=（1,1,0）,无=11

•G4=玉+必=0

设平面/C£的法向量々二（再，必,zj,则_—►11，

元/CE=-xx--yx+句=0

令必=一1,则％1=1,4=一1,可得々=（1,一1,—1）,

I/一>一\|1<15

।'"B斗时后615

所以直线尸。与平面ZCE所成角的正弦值史.

15

六、问答题

19.已知递增等比数列｛。“｝中，％=2,成等差数列.

⑴求数列｛log?%｝的前〃项和S,;

⑵若bn=«„.log2an设数列｛bn｝的前“项和为7；,求使得Tn>2024的最小正整数n的值.

【答案】（1）1=色产

⑵8

【分析】（1）根据等比数列通式和等差中项的应用求出4值，再求出a“=2",log2az,=〃,

最后利用等差数列前〃项和公式即可；

（2）b产nx2",利用错位相减法即可得到北=（"-1）2m+2,根据其单调性即可得到

答案.

【详解】（1）由题3a2=%+2%,即3%q=/#+2）,因为q=2,

所以/-3q+2=0=（q-2）（q—1）,解得夕=2或1,

又因为等比数列｛。J为递增数列，

试卷第16页，共21页

所以4>1，所以公比4=2,所以a“=2",log20"=〃，

c111a1c(n+V)n

Sn=log2ax+log2%+…+log2n=1+2+■••+〃=——-——.

n

(2)bn=anlog2a„=nx2,

7；=1X2+2X22+---+WX2M,

27；=1X22+2X23+---+/7X2W+1,

作差：_(=2+2?+…+2fX2“M=2(；一：)”2"M=29"-1)-nx2n+1，

所以看=("-1)2向+2,由。>0,所以｛北｝为单调递增数列.

又T]=1538<2024,7；=3586>2024,

所以"的最小值为8.

20.已知函数/(x)=lnx+l,g(x)=ox2(«>0).

⑴当a=2时，求了=/(x)-g(无)的极值；

⑵若曲线了=/(无)与曲线V=g(x)存在2条公切线，求a的取值范围.

【答案】(1)极大值为g-ln2,无极小值；

(2)«>f.

【分析】(1)把。=2代入，求出函数的导数，利用导数探讨单调性求出极值.

(2)设出公切线与曲线y=/(x)相切的切点坐标，求出切线方程，与方程V=g(x)联

立，借助判别式建立关系，转化为方程有两个解求解.

【详解】(1)当a=2时，设〃(x)=/(x)-g(x)=lnx+1-2,，显然x>0,

求导得/(X)=」一4x==(+2x)a_2x),由l(x)=o,得X=g,

xxx2

当xe(0,g)时，/z'(x)>0,/z(x)单调递增；当xe(；,+8)时，〃(x)<0,/z(x)单调递减，

所以"(尤)在x=g取得极大值〃(；)=ln；+；=g-ln2,无极小值.

(2)设曲线，=/(x)上切点4%,%),/'(无)=!户>0,则切线斜率为左=工，方程为

XX。

y~y（）=—a—%），

%

试卷第17页，共21页

11

依题意，切线歹=—x+ln。与曲线》=办2相切，于是方程办9=-x+m%有两个相等

%不

的正实根，

而〃>0,则A=J+4alnXo=°,且In/vO,即有—--=x1Inx0,

/4a

由公切线有两条，得关于飞的方程：-：=%：In/有两个不同的实数解，

令OOh—lnx,则歹=-3与y=finx的图象有两个交点，

4Q

由9(x)=x21nx,求导得9'(、)=2%111%+'=%(2111%+1),由夕'(%)=0,得%=2，

当XE(0,。)时，"(%)<0,9(%)单调递减;当％£([,+8)时，夕'0)>0,"(%)单调递增,

VeVe

个交点，

所以■的取值范围是0>f.

21.重庆南山风景秀丽，可以俯瞰渝中半岛，是徒步休闲的好去处.上南山的步道很多，

目前有标识的步道共有18条.某徒步爱好者俱乐部发起一项活动，若挑战者连续12天

每天完成一次徒步上南山(每天多次上山按一次计算)运动，即可获得活动大礼包.已知

挑战者甲从11月1号起连续12天都徒步上南山一次，每次只在凉水井步道和清水溪步

道中选一条上山.甲第一次选凉水井步道上山的概率为:，而前一次选择了凉水井步道,

后一次继续选择凉水井步道的概率为J前一次选择清水溪步道，后一次继续选择清水

溪步道的概率为y,如此往复.设甲第〃("=1,2,…，12)天走凉水井步道上山的概

率为弋.

⑴求与和什；

(2)求甲在这12天中选择走凉水井步道上山的概率小于选择清水溪步道上山概率的天

试卷第18页，共21页

数.

、771

【答案】⑴乙二/，月=£+布•（-7产（〃=1，2,3「-,12）；

165204

⑵11天.

【分析】（1）利用互斥事件和相互独立事件的概率公式列式计算，结合构造法求数列通

项求解.

（2）利用（1）的结论，解不等式£<1-£即可.

【详解】（1）甲第二天走凉水井步道上山的概率为心，依题意，

D315

244412J16

由题意得匕=匕_/；+（1-£-）：=-；匕_+]〃=2,3,…,12）,

2122327

整理得匕_=_（4一一）,而耳一==H0,

JtTJJI。4U

因此数列化-（2｝是以57为首项，以-；1为公比的等比数列，

771

所以£=y+研•（一（〃=1,2,3,…,12）.

（2）由题意知，选择走凉水井步道上山的概率小于走清水溪步道上山概率只需

P"<"P»，

即月<；（"=1，2,…,12）,有g+，即（一；）"T<m，

当"为偶数,（-；）"~<0恒成立；

197

当〃为奇数时，即当"=1,3,5,…,11时，有（/I<,即可，而当〃=1时，1>],显然不

成立；

当”=3时，（1）2=^<|,即当〃=3时成立，又数列｛弓）1｝单调递减，因此当

"=5,7,9,11时成立，

因此有11天符合要求，

所以甲在这12天中选择走凉水井步道上山的概率小于选择清水溪步道上山概率的天数

是11天.

【点睛】关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成互

斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键.

22.已知点尸（七,%）是椭圆£:二+与=1（.>6>0）上的动点，离心率6=e,设椭圆左、

ab2

试卷第19页，共21页

右焦点分别为不，耳，且I咫1+1刊"=4

⑴求椭圆£的标准方程；

(2)若直线尸片，尸月与椭圆C的另一个交点分别为4B,问AP/B面积是否存在最大值,

若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.

丫2

【答案】(1)?+/=1;

(2)存在，最大值为曳1.

49

【分析】(1)根据给定条件，求出。力，求出椭圆£的方程.

(2)由(1)求出片,乙，设出直线尸4尸8的方程，分别与椭圆E的方程联立，利用韦

达定理及三角形面积公式，将AP/3的面积表示为外的函数，再探讨函数最大值即得.

【详解】(1)由|咫|+|尸耳］=4,得2。=4,解得。=2,由离心率6=走，得