北京一零一中学2022-2023学年九年级上学期数学期末模拟试卷（解析版）

初三数学课后服务(15)

一、选择题(共16分，每题2分)第1一8题均有四个选项，符合题意的选项

只有一个.

1.在平面直角坐标系xO)，中，下列函数的图象经过点(°，①的是()

A.y=x+lB.y-x1C.y-(x-4)2D.y=-

x

【答案】B

【解析】

【分析】利用x=0时，求函数值进行一一检验是否为0即可.

【详解】A.当x=0时，y=O+l=l,y=x+l图象过点(0/)，选项A不合题意；

B.当尤=0时，y=()2=0,y=%2图象过点(0,0),选项B合题意；

C.当x=0时,y=(0—4>=16,y=(x—4)2图象过点(0,16),选项C不合题意；

D.当x=o时，y=L无意义，选项D不合题意.

x

故选：B.

【点睛】本题考查求函数值，识别函数经过点，掌握求函数值的方法，点在函数图像上点

的坐标满足函数解析式是解题关键.

2.古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致.下

列窗户图案中，是中心对称图形的是()

【答案】C

【解析】

【分析】根据中心对称图形的概念求解.

【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意;

B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项符合题意；

C.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；

D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意.

故选：c.

【点睛】本题考查了中心对称的知识，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两

部分重合.

3.如图，点A、B、C在:一。上，AQ43为等边三角形，则ZACB的度数是（）

A.60°B.50°C.40°D.30°

【答案】D

【解析】

【分析】由ACMB为等边三角形，得：ZAOB=60°,再根据圆周角定理，即可求解.

【详解】•••△35为等边三角形，

AZAOB=60°,

AZACB=-ZAOB=-x60°=30。.

22

故选D.

【点睛】本题主要考查圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半，是解题的关

键.

4.在AABC中，C4=C5,点。为AB中点.以点C为圆心，C。长为半径作。C,则。C

与AB的位置关系是（）

A.相交B.相切

C.相离D.不确定

【答案】B

【解析】

【分析】根据等腰三角形的性质，三线合一即可得C0_LA8,根据三角形切线的判定即可

判断是C的切线，进而可得。C与A8的位置关系

【详解】解：连接co,

C4=C3,点。为AB中点.

:.COLAB

C。为。C的半径，

」.AB是C的切线，

・••0C与AB的位置关系是相切

故选B

【点睛】本题考查了三线合一，切线的判定，直线与圆的位置关系，掌握切线判定定理是

解题的关键.

5.如图，。是正方形ABC。的外接圆，若。。的半径为4,则正方形A8C。的边长为

()

o

A.4B.8C.2>/2D.472

【答案】D

【解析】

【分析】连接02,0C,过点。作OEJ_8c于点E,由等腰直角三角形的性质可知

OE=BE,由垂径定理可知BC=2BE,故可得出结论.

【详解】解：连接。8,OC,过点。作。EJ_BC于点E,

：.OB=OC,NBOC=90°,

：.ZOBE=45°,NBOE=45°

OE=BE,

'：Oe+BE?=OB2,

BC=2BE=40，即正方形ABCD的边长是472.

故选：D

【点睛】本题考查的是圆周角定理、垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出

等腰直角三角形是解答此题的关键.

6.中国象棋文化历史久远.在图中所示的部分棋盘中，“禹”的位置在“一-一”（图中虚

线）的下方，“焉”移动一次能够到达的所有位置已用“•”标记，则“禹”随机移动一

次，到达的位置在“一一”上方的概率是（）

2

【答案】C

【解析】

【分析】用“一”（图中虚线）的上方的黑点个数除以所有黑点的个数即可求得答案.

【详解】解：观察“焉”移动一次能够到达的所有位置，即用“・”标记的有8处，

位于“一”（图中虚线）的上方的有2处，

21

所以“焉”随机移动一次，到达的位置在“一”上方的概率是一=一，

84

故选：C.

【点睛】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事

tn

件的可能性相同，其中事件A出现机种结果，那么事件A的概率尸（A）=一.

n

7.如图，A,B,C是某社区的三栋楼，若在AC中点。处建一个5G基站，其覆盖半径为

300m,则这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是（）

B.

/300m/X40.

1500w

A.A,B,C都不在B.只有8

C.只有A,CD.A,B,C

【答案】D

【解析】

【分析】根据勾股定理的逆定理证得，ABC是直角三角形，可以根据直角三角形斜边中线

的性质求得BO的长，然后与300m比较大小，即可解答本题.

【详解】解：AB=3(X)m,5C=4(X)m,AC=500m,

.1.AB2+BC2=AC2，

.•YABC是直角三角形，且NABC=90°,

点。是斜边AC的中点，

.-.AD=CD=250m,BD=-AC=250m,

2

250<300,

.・•点A,B,C都在覆盖范围内，

•••这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是4,B,C.

故选：D.

【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是求出三角形三个顶点到。点的距离.

8.抛物线)，=办2+区+,的顶点为A(2,租)，且经过点8(5,0),其部分图象如图所示.对

于此抛物线有如下四个结论：①ac<0；©a-h+c>0；®m+9«=0；④若此抛物线

经过点则f+4一定是方程以2+法+0=〃的一个根.其中所有正确结论的序号

是()

A.①②B.①③C.③④D.①④

【答案】B

【解析】

【分析】利由抛物线的开口方向和位置可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线

与x轴的一个交点坐标为(-1,0),代入解析式则可对②进行判断；由抛物线的顶点坐标

以及对称轴可对③进行判断；抛物线的对称性得出点C(r,〃)的对称点是。(4-/,〃)，则

可对④进行判断.

【详解】解：•.•抛物线开口向下，

・・,抛物线与y轴交于正半轴，

Ac>0,

ac<09故①正确；

・・,抛物线y=a?+云+c的顶点为A(2,m),且经过点8(5,0),

・・.抛物线》=以2+法+c与X轴的另一个交点坐标为(.1,0),

・・.。一/?+。=0,故②错误；

・・,抛物线的对称轴为直线下2,

.**----=2,即：:=-4〃,

2a

,**ci—/?+c=0,

c=h-a=-5a,

•.•顶点A(2,m),

.4ac—b~un4a•(_5a)_(_4aj

..--------=m,即：_____\___L_\____L=m，

4a4a

:.”?=-9a,即：m+9a=0,故③正确；

•.•若此抛物线经过点C(f,n),抛物线的对称轴为直线42,

...此抛物线经过点C(4T,〃)，

a(4—f)-+Z?(4—f)+c=〃，

4-f一定是方程ox?+/)x+c=n的一个根，故④错误.

故选B.

【点睛】本题考查了二次函数图象与系数关系：对于二次函数产磔2+法+。(时0),二次

项系数。决定抛物线的开口方向和大小：当”>0时，抛物线向上开口；当“<0时，抛物

线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当。与6同号时(即

ab>0),对称轴在y轴左；当“与6异号时(即加〈0),对称轴在y轴右；常数项c决定

抛物线与y轴交点位置.

二、填空题（共16分，每题2分）

9.已知y是x的函数，且当x>0时，y随x的增大而减小.则这个函数的表达式可以是

.（写出一个符合题意的答案即可）

【答案】（x>0）

x

【解析】

【分析】反比例函数的图象在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则反比例

函数的反比例系数4<0；反之，只要％<0,则反比例函数在每个象限内，函数值y随自变

量x的增大而增大.

【详解】解：只要使反比例系数大于0即可.如广!（x>0）,答案不唯一.

X

故答案为：y=—（x>0）.

x

【点睛】本题主要考查了反比例函数尸白（七0）的性质：①太>0时，函数图象在第一，

x

三象限.在每个象限内y随x的增大而减小；②%<0时，函数图象在第二，四象限.在每

个象限内y随x的增大而增大.

10.关于x的一元二次方程/+如+4=0有一个根为1,则加的值为.

【答案】-5

【解析】

【分析】直接利用一元二次方程的解的意义将x=l代入求出答案.

【详解】解：；关于》的一元二次方程/+如+4=0的一个根是1,

12+/??+4=0,

解得：m--5.

故答案是：-5.

【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解，正确理解一元二次方程解的意义是解题关

键.

11.若点A（T，y），8（2,必）在抛物线.y=2x2上，则升必的大小关系为：M

内•（选填“>”，“<"或'="）

【答案】<

【解析】

【分析】将4—1,X）,8（2,%）代入y=2f得y=2,%=8,即可求解.

【详解】解：将4-1,>-）,6（2,%）代入y=2/得X=2,%=8，

y<%•

故答案为：<.

【点睛】本题考查了比较二次函数值的大小，掌握二次函数的图象上点的坐标特征是解题的

关键.

12.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（-2,0）,点3（0,1）.将线段8A绕点B旋转

180°得到线段8C,则点C的坐标为.

【解析】

【分析】根据旋转性质可得出点B是A、C的中点，过点C作CO_Lx轴于D,利用相似三

角形的判定与性质求得。。和CO即可求解.

【详解】解：•••点A（-2,0）,点8（0,1）,

：.OA=2,OB=\,

由旋转性质得：AB=BC,即点B是A、C的中点，

过点C作轴于D,PIOCD//OB,

.OAOBAB

"'~AD~~CD~~AC~2'

：.OD=2,CD=2,

.•.点C坐标为（2,2）,

故答案为：（2,2）.

【点睛】本题考查旋转性质、相似三角形的判定与性质，坐标与图形，熟练掌握旋转性质

和相似三角形的判定与性质是解答的关键.

13.2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征

路”主题教育活动.据了解，某展览中心3月份的参观人数为10万人，5月份的参观人数

增加到12.1万人.设参观人数的月平均增长率为x,则可列方程为.

【答案】10(1+X)12=12.1

【解析】

【分析】根据题意可得4月份的参观人数为10(x+l)人，则5月份的人数为10(l+x)2,

根据5月份的参观人数增加到12.1万人，列一元二次方程即可.

【详解】根据题意设参观人数的月平均增长率为x,则可列方程为10(1+x)2=12.1

故答案为：10(1+x)2=12.1

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据增长率问题列一元二次方程是解题的关

键.

14.如图所示，边长为1的正方形网格中，0,A,B,C,。是网格线交点，若AB与

CO所在圆的圆心都为点。，那么阴影部分的面积为.

3

【答案】二万一2

2

【解析】

【分析】根据勾股定理分别求出OC、OD,根据勾股定理的逆定理得到NC8=90°,根

据弧长公式计算，得到答案.

【详解】解：由勾股定理得，OC=OO=后方=2夜，

则OC?+OD2=CD2，

•.•四边形。4cB是正方形，

...ZCOB=A5°,

2

.。90万x(2夜/cc45^-x21„_1o

••5扇形化。==2"'§扇形=-360一,=/万'5O«O-2X2X2-2)

13

阴影部分的面积为2万一二万一2=1万—2.

22

3一

故答案为：一万―2.

2

【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形面积公式，求出对应的圆心角和半径是

解题的关键.

15.做随机抛掷一枚纪念币的试验，得到的结果如下表所示：

抛掷次数m5001000150020002500300040005000

“正面向上”

26551279310341306155820832598

的次数〃

“正面向上”

n0.5300.5120.5290.5170.5220.5190.5210.520

的频率一

m

下面有3个推断：

①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是().512,所以“正面向上”的概率是

0.512；

②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定

性，可以估计“正面向上”的概率是0.520；

③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数

不一定是1558次.

其中所有合理推断的序号是.

【答案】②③

【解析】

【分析】根据用频率估计概率以及频率和概率的概念判断即可得到答案.

【详解】解：当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512,所以“正面向上”

的概率不一定是0.512,故①错误；

随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，

可以估计“正面向上”的概率是0.520,故②正确；

若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不

一定是1558次，故③正确；

故答案为：②③.

【点睛】本题考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置

左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势

来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.

16.如图，在RtAiABC中，ZACB=90°,。是内的一个动点，满足

AC2-AD2=CD2-若AB=2岳,BC=4,则BQ长的最小值为.

【答案】2

【解析】

【分析】取AC中点。，由勾股定理逆定理可知/AQC=90。，则点。在以。为圆心，以

AC为直径的圆上，作△ADC外接圆，连接80,交圆。于2，则8。长的最小值即为

BD},由此求解即可.

【详解】解：如图所示，取AC中点0,

VAC2-AD2=CD），即AC2^AD2+CD2，

ZADC=90°,

...点。在以。为圆心，以AC为直径的圆上，

作AAOC外接圆，连接8。，交圆。于R,则8。长的最小值即为,

VAB=25/13，BC=4,ZACB=90°,

AC=yjAB2-BC2=6<

：.OC=OD.=-AC=3,

12

•••OB=SC2-BC2=5,

:.BD、=OB-0D1=2,

故答案为：2.

A

【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的最短距离，勾股定理的逆定理，勾股定理，解

题的关键在于确定点D的运动轨迹.

三、解答题(共68分，第17—21题，每题5分，第22题6分，第23题5

分,第24—26题，每题6分，第27—28题，每题7分)解答应写出文字说

明、演算步骤或证明过程.

17.解方程：X2-2X-2^0-

【答案】西=1+6,&=1-6

【解析】

【分析】把方程化成的形式，再直接开平方，即可得到方程的解.

【详解】X2-2X-2=Q

/一2X+1-1-2=0

X?—2x+1-3

(X-1)2=3

x=1±V3

•'♦原方程的解为玉=1+百，匹=1—V3

【点睛】考查了用配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程

化为一般形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1,并把常数项移到方程

右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边

化为一个常数；⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有

两个实根；如果右边是一个负数，则方程无实数根.

18.问题：如图，A3是的直径，点C在内，请仅用无刻度的直尺，作出一A8C

中AB边上的高.

小芸解决这个问题时，结合圆以及三角形高线的相关知识，设计了如下作图过程.

作法：如图，

①延长4。交〈。于点Q,延长3。交（。于点E；

②分别连接AE，80并延长相交于点F-,

③连接FC并延长交AB于点H.

所以线段C4即为二ABC中AB边上的高.

（1）根据小芸的作法，补全图形；

（2）完成下面的证明.

证明：至是。的直径，点。，E在。上，

.-.ZADB=ZAEB=°.（）（填推理的依据）

:.AE±BE,BD1AD.

.-.AE，是AABC的两条高线.

AE，所在直线交于点F,

直线FC也是LABC的高所在直线.

.•.CH是一ABC中A3边上高.

【答案】（1）见解析（2）90,直径所对的圆周角是直角，BD

【解析】

【分析】（1）根据所给作图步骤作图即可；

（2）根据圆周角定理可知NAOB=NAEB=90°,进而可得4E，8。是ABC的两条

高线，再根据三角形的三条高线所在直线交于一点即可证明.

【小问1详解】

解：补全后图形如下所示：

【小问2详解】

证明：Afi是：。的直径，点。，E在。上,

:.ZADB=ZAEB=90°.（直径所对的圆周角是直角）

:.AE±BE,BD1AD.

.-.AE，80是-ABC的两条高线.

AE，所在直线交于点F，

直线FC也是_ABC的高所在直线.

:.CH是JLBC中A8边上的高.

故答案为：90,直径所对的圆周角是直角，BD.

【点睛】本题考查圆周角定理以及三角形高线的特点，解题的关键是掌握直径所对的圆周

角是直角，以及三角形的三条高线所在直线交于一点.

19.如图，AB是。。的直径，8是。。的一条弦，且CZJLAB于点E.

cZ-...—

D

（1）求证：NBCO=/D；

（2）若CO=4后，OE=\,求。。的半径.

【答案】（1）见详解（2）3

【解析】

【分析】（1）根据同弧所对圆周角相等及等腰三角形两底角相等即可得到答案;

（2）连接O。，根据垂径定理得到以），根据勾股定理即可得到答案.

【小问1详解】

证明：＜OC=OB=r,

：.ZBCO=ZCBO,

:NCD4与NC3O都是弧AC所对圆周角，

ZCDA=ZCBO,

/./BCO=ND；

【小问2详解】

解：连接。。，

VCD1.AB,CD=472-

:・CE=DE=2e，

在RtAODE中，根据勾股定理可得，

r^OD^>JOE2+DE2=3-

【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理及勾股定理，解题的关键是知道同弧所对圆周角

相等.

20.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线+2r的部分图象经过点40,-3）,

8(1,0).

（1）求该抛物线的解析式;

⑵结合函数图象，直接写出yVO时，x的取值范围.

(2)-3<%<1

【解析】

c--3

【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式，将坐标代入解析式得出〈「八解方

。+2+c=0

程组即可:

（2）先求抛物线与x轴的交点，转化求方程/+2》一3=0的解，再根据函数y<0,函数

图像位于x轴下方，在两根之间即可.

【详解】解：（1）抛物线y=or2+2x+c经过点40,—3）,仇1,0）代入坐标得:

c=-3

Q+2+c=0

c=-3

解得《

Q=1

所求抛物线的解析式是y=/+2%一3.

(2)当y=0时，f+2x—3=0,

因式分解得：（x+3）（x—1）=0,

x+3=0,x—1=0,

当y<0时，函数图像在x轴下方,

...yVO时，x的取值范围为-3Vx<l.

【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，利用图像法解不等式，解一元二次方程，

方程组，掌握待定系数法求抛物线解析式，利用图像法解不等式，解一元二次方程，方程

组是解题关键.

21.如图，在RfaABC中，ZACB=90°,ZBAC=3O°,将线段C4绕点C逆时针旋转60。，

得到线段C。，连接A。，BD.

（1）依题意补全图形；

（2）若BC=l,求线段BD的长.

A

【答案】（1）见解析；（2）疗

【解析】

【分析】（1）根据线段旋转的方法，得出NAC£>=60°,然后连接A。，即可得;

（2）根据30°角的直角三角形的性质和勾股定理可得AC=g，由旋转的性质可得

ACD是等边三角形，再利用勾股定理求解即可.

【详解】解：（1）根据线段旋转方法，ZAC£>=60°,如图所示即为所求：

(2)•••ZACB=90°,NBAC=30°,BC=1,

***AB=2BC=2,

AC7AB-Be?=百，

•・•线段CA绕点C逆时针旋转60。得到线段CD,

/.。4=8且/4。£>=60°，

，..AS是等边三角形，

，AD=AC=^3>ZDAC=60°,

：.ZDAB=ZDAC+ZCAB=90°,

/.在RjA3。中，

BD=yjAB2+AD2=手■

【点睛】题目主要考查旋转图形的作法及性质，勾股定理，30°角的直角三角形的性质，

等边三角形的性质等，理解题意，作出图形，综合运用各个定理性质是解题关键.

22.一个不透明的袋中装有2个红球、1个白球，这些球除颜色外，没有任何其他区别.有

如下两个活动：

活动1：从袋中随机摸出一个球，记录下颜色，然后从袋中剩余的球中再随机摸出一个

球，摸出的两个球都是红球的概率记为《；

活动2：从袋中随机摸出一个球，记录下颜色，然后把这个球放回袋中并摇匀，重新从袋

中随机摸出一个球，两次摸出的球都是红球的概率记为6.

请你猜想《，鸟的大小关系，并用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果，验证你的

猜想.

【答案】《<2，验证过程见解析

【解析】

【分析】首先根据题意分别根据列表法列出两个活动所有情况，再利用概率公式即可求得

答案.

【详解】活动1：

红球1红球2白球

红球1（红1,红2）（红1，白）

红球2（红2,红1）（红2,白）

白球（白，红1）（白，红2）

•••共有6种等可能的结果，摸到两个红球的有2种情况,

21

摸出的两个球都是红球的概率记为片=一=-

63

活动2：

红球1红球2白球

红球1（红1,红1）（红1,红2）（红1,白）

红球2（红2,红1）（红2,红2）（红2,白）

白球（白，红1）（白，红2）（白，白）

:共有9种等可能的结果，摸到两个红球的有4种情况，

4

...摸出的两个球都是红球的概率记为丹=3

：.PX<P2

【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率.用到的知识点为：概率=所求情况数与总

情况数之比.重点需要注意球放回与不放回的区别.

23.已知关于x的一元二次方程/一/+4）犬+4々=0.

（1）求证：该方程总有两个实数根；

（2）若该方程有一个根小于2,求Z的取值范围.

【答案】（1）证明见解析；（2）k<2.

【解析】

【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得△=（W）22o,由此可证出方程总

有两个实数根；

（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出为=4,X2=k,根据方程有一根小于2,即

可得出k的取值范围.

【详解】（1）Vx2-（k+4）x+4k=0,

：.△=[一（％+4）「-4x4%=/一8%+16=（4-4/20,

•••方程总有两个实数根.

（2）"一（％+4）x+4左=0,

.•.（%-4）。一左）=0,

解得：X[=4,X]=k,

•.•该方程有一个根小于2,

：.k<2.

【点睛】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程，利用因式分解法解一元二

次方程表示出方程的两个根，熟练掌握当△》（）时，方程有两个实数根是解题关键.

24.某篮球队员的一次投篮命中，篮球从出手到命中行进的轨迹可以近似看作抛物线的一

部分，表示篮球距地面的高度y（单位：m）与行进的水平距离X（单位：m）之间关系的

图象如图所示.已知篮球出手位置A与篮筐的水平距离为4.5m,篮筐距地面的高度为

3.05m；当篮球行进的水平距离为3in时，篮球距地面的高度达到最大为3.3m.

(1)图中点8表示篮筐，其坐标为,篮球行进的最高点。的坐标为;

(2)求篮球出手时距地面的高度.

【答案】(1)(4.5,3.05),(3,3.3)；(2)2.3米

【解析】

【分析】(1)根据题意，直接写出坐标即可；

(2)设抛物线解析式为：y=a(x-3)2+3.3(a/0),从而求出«的值，再把

%=0代入解析式，即可求解.

【详解】(1)由题意得：点B坐标为(4.5,3.05),C的坐标为(3,3.3),

故答案是：(4.5,3.05),(3,3.3)；

(2)设抛物线的解析式为：y=a(x-3丫+3.3(ar0),

把点B坐标(4.5,3.05),代入y=a(^-3)"+3.3得

3.05=a(4.5-3)2+3.3,

解得：a=—,

9

y=一§(x-3)+3.3

当40时，y=—/(0—3)~+3.3=2.3,

答：篮球出手时距地面的高度为2.3米.

【点睛】考查了二次函数的应用，利用二次函数的顶点式，求出函数解析式是解题的关

键.

25.已知：如图，在JLBC中，AB=AC，。是的中点.以8。为直径作交边

AB于点P,连接PC,交AO于点E.

A

(1)求证：AZ)是，。的切线；

(2)若PC是厂O的切线，BC=8,求PC的长.

【答案】(1)见解析；(2)PC=4五

【解析】

【分析】(1)要证明AD是圆。的切线，只要证明/BD4=90。即可；

(2)连接OP,根据等腰三角形的性质求得QC的长，再求出0C的长，根据切线的性质

求得NOPC=90°,最后利用勾股定理求出PC的长.

【详解】(1)证明：=AC,

。是BC的中点，

：.AD±BD.

又：BO是。。直径，

...AO是。。的切线.

：.BD=DC=4,

OD=OP=2.

：.0C=6.

是。。的切线，。为圆心,

/.NOPC=90。.

在RtZXOPC中，

由勾股定理，得

0C2=0P2+PC1

：.PC2-OG—O产

=62—22

=32

/•PC=4近.

【点睛】本题是圆的综合问题，考查了圆的切线的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的

性质，掌握这些性质是解决本题的关键.

26.在平面直角坐标系中，点(4,3)在抛物线〉=々+区+3(。>0)上.

(1)该抛物线的对称轴为.

(2)已知相>(),当2-〃?4x42+2，〃时;y的取值范围是-1《>«3,求a,〃i的值.

(3)在(2)的条件下，是否存在实数〃，当〃-2<x<〃时，y的取值范围是

3〃-3<y<3〃+5,若存在，求出〃的值，若不存在，请说明理由.

【答案】(1)直线x=2

(2)a=l,m=1

(3)存在，〃=1

【解析】

【分析】(1)利用对称点与对称轴的关系：对称点的横坐标之和等于对称轴的2倍，即可求

出该抛物线的对称轴.

(2)分别讨论2-,“4x42+2”的取值范围与对称轴的位置，分别求出不同情况下V取最大

值与最小值时，对应的工的取值，进而求出“，”的值.

(3)由于y的取值范围是3〃-3<y<3〃+5,取不到最大值和最小值，故不包含对称轴，分

别讨论〃-2cxew在对称轴的左右两侧即可.

【小问1详解】

解：抛物线y=g?+Z?x+3,

，x=0时，y=3,

•••抛物线y=aY+区+3过点(0,3),

抛物线y=ax2+bx+3过点(4,3),

该抛物线的对称轴为直线x=2.

【小问2详解】

解：抛物线丁=依2+加+3的对称轴为直线％=2,

一~—=2,即=①.

2a

m>0,

.'.2-m<2<2+2m.

a>0,抛物线开口向上,

当x=2时，函数值在2-〃z<x<2+2〃?上取得最小值-1.

即4a+勿+3=-1②.

联立①②，解得a=l,b=4

抛物线的表达式为y=f-4%+3,即y=(x-2)2-|.

m>0,

.,.当2-m4x42时，旷随x的增大而减小，当尤=2—加时取得最大值，

当24x42+2加时，y随x的增大而增大，当x=2+2m时取得最大值,

对称轴为x=2,

x=2—m与x=2+:徨时的函数值相等.

2<2+m<2+2m,

・・・当x=2+2加时的函数值大于当x=2+m时的函数值，即x=2-m时的函数值.

・・・当x=2+2加时，函数值在2<2<2+2加上取得最大值3.

代入有4W-1=3,舍去负解，得“2=1.

【小问3详解】

解：存在，n—1.

当2<x<〃时，y的取值范围是3〃-3<y<3〃+5,V无法取到最大值与最小值,

；・关于x的取值范围一定不包含对称轴,

①当〃K2时，〃一2<x<〃在对称轴的左侧,

二次函数开口向上,

.•.x=〃一2时，v有最大值，％=〃时，y有最小值,

'(“-2)2-4(〃-2)+3=3〃+5

由题意可知:,解得：n=\,

n2-4〃+3=3〃-3

故〃=1,

②当〃一222时，〃一2<x<〃在对称轴的右侧,

二次函数开口向上，

.♦.x=〃-2时，y有最小值，x="时，y有最大值,

(〃-2)2-4(〃-2)+3=3〃-3

由题意可知:此时〃无解,

〃2-4〃+3=3〃+5

故不符合题意,

=1.

【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，二次函数的最值，解方程组,

待定系数法，正确进行分类讨论是解题的关键.

27.如图1,在ABC中，ZACB=90°,CA=CB,点。，E分别在边C4,CB上，

CD=CE,连接。E，AE，60.点尸在线段BQ上，连接CF交AE于点儿

(1)①比较NC4E与NC8。的大小，并证明；

②若CVLAE，求证：AE=2CF；

⑵将图1中的」CDE绕点C逆时针旋转a(0°<a<9()°),如图2.若尸是8。的中

点，判断AE=26是否仍然成立.如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由.

【答案】(1)①/C4E=NCBE>,证明见解析；②证明见解析

(2)AE=2C户仍成立，理由见解析

【解析】

【分析】(1)①利用SAS证明"CE且BCD,即可得出NC4E=NC5O；②利用

CFLAE,ZACB=90°,可证/DCF=/CDF,进而可得

CF=DF=BF,BD=2CF,再利用名BCD推出AE=,即可证明

AE=2CF；

(2)延长CF使得b=EP,连接破，证明，CO/丝/(SAS),得到8=

NDCF=NBPF,再证明.ACE均CBP(SAS),得到AE=CP,进一步可证明

AE=2CF.

【小问1详解】

解：①NCAE=NCBD,证明如下：

在“。石和△BCD中，

CA=CB

<ZACE=BCD,

CE=CD

•1-ZXACE—BCD(SAS),

NCAE=NCBD：

②证明：CFLAE,NACB=90°,

•.ZECH+ACEH=90°,NC4£+NC£4=90°,

/ECH=NCAE,

ZCAE=NCBD,

4ECH=ZCBD,即ZBCF=NCBF,

CF=BF.

ABCF=ZCBF,ZBCF+ZDCF=90°,ZCBF+ZCDF=90°,

./DCF=/CDF，

CF=DF,

CF=DF=BF,

，BD=2CF,

△ACE好BCD,

•1•AE=BD，

AE=2CF；

【小问2详解】

解：AE=2CF仍然成立,理由如下：

延长C77使得Cb=EP,连接6P，

•.•点F是线段8。中点，

•••BF=FD,

和APBF中,

CF=PF

<NCFD=NPFB,

DF=BF

ZCDF区PBF(SAS),

ACD=PB,ZDCF=ZBPF,

CD^CE,

CE=PB,

••・旋转角度为a,ZACB=90°,

...ZACE=900+a,

•：ZBCP^ZACB-ZDCF-«=90°-ZDCF-a,

ZCBP=180°—ZBCP-ZBPF=180°-(90°-NDCF-a)-ZDCF=900+a,

ZACE=NCBP,

在“。石和-CBP中,

CE=BP

<ZACE=ZCBP,

CA^CB

,ACE均CBP(SAS),

：.AE=CP,

'：CP=2CF,

/.AE=2CF.

【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内

角和定理等，第二问有一定难度，解题的关键是通过倍长中线构造全等三角形.

28.在平面直角坐标系中，：O的半径为1,点A在IO上，点「在(。内，给出如

下定义：连接AP并延长交。于点B,若AP=0LB,则称点尸是点A关于.。的左倍特

征点.

(1)点A的坐标为(1,0).

①若点P的坐标为［一；,。］,则点P是点A关于。。的一倍特征点;

②在G(o,f,cj1,o

这三个点中，点,是点A关于:。的g倍特征

点;

③直线/经过点A，与y轴交于点。，ZZMO=60°.点E在直线/上，且点E是点A关于

。的々倍特征点，求点E的坐标;

(2)若当攵取某个值时，对于函数y=-x+l(0<x<D的图像上任意一点M,在上

都存在点N,使得点M是点N关于。的左倍特征点，直接写出人的最大值和最小值.

3(3\13、

【答案】(1)①一，②。3，③E——

4(44)

(2)最大值为最小值为也

44

【解析】

］3\p3

【分析】(1)①由题意知4尸=。4+。尸=1+上=己，AB=2,则z=—=-；②由勾

22AB4

股定理得=Joc：+OA2=牛,假设点C是点A关于。。的3倍特征点，则

AE=6>204=2,不符合题意，同理判断。2、C.3即可；③当点。在)轴正半轴上时，

设直线4。交(。于8,连接OE,过点E作所_Lx轴于点尸，根据点后、点A关于(O

的5倍特征点，得不=；，由含30°的直角三角形的性质可得。£,AE的长，当点。在

2AB2

y轴负半轴同理可得答案：

(2)设直线y=-x+l(0<x<l)与X轴，V轴的交点分别为C,。，过点N作NPJ_C£>

交CD于P,交。Q于B,过点。作直线)11CD交。于E,F,由

竺=」丁=一1+」7,可知女越大，1一%的值越小，则一1+」7的值