上海市宝山区2023届高三年级上册期末模拟数学试题（解析版）

2022-2023学年上海市宝山区高三（上）期末模拟数学试卷

一.填空题（共12小题，满分54分）

A=<x|X+<0={x|x<a}

1.已知集合[％—2J,若AC3W0,且则实数。的取值范围是

【答案】（T2）

【解析】

【分析】先解分式不等式，即可得出集合A,再由AC3H0,且即可求出实数。的取值范

围.

x+1f（x+l）（x-2）<0

详解】由士一40可得：八八7解得：—1W%<2,

x-22

所以4={%卜1W%<2},

因为Ac5w0,且

所以a«—1,2）.

故答案为：（—1,2）.

2.函数丁=1082（-%2+2%+3）的定义域为.

【答案】{x[—l<x<3}

【解析】

【分析】根据对数的定义，结合一元二次不等式的解法即可求解.

【详解】由题意得：—必+2%+3>0,即（]—3）（尤+1）<0,

即—l<x<3,

所以函数y=log2（-f+2x+3）的定义域为{R-1<X<3}.

故答案为：{*1<%<3}.

3.设复数z=二，i为虚数单位，则闫=.

【答案】2&

【解析】

【分析】根据复数模的运算性质直接计算即可.

4

【详解】z=-----,

1+i

44

=2五,

Z|iiTTj-72

故答案为：2夜

【点睛】本题主要考查了复数模的运算性质，属于容易题.

4.已知0<avl,0</?<1,不等式依2+%+人20对于XER恒成立，且方程法2+%+〃=。有实根，

1?

则;一+--的最小值为.

1-a1-b

【答案】4+谨

3

【解析】

【分析】根据题意结合一元二次不等式在R上恒成立可得1-4a》=0,消b整理得

1242

——+——=-------+-------+2,注意到（4—4a）+（4a—1）=3,结合基本不等式求最值.

1-a1-b4-4a4a-1,7v）

【详解】由题意可得：

不等式+x+Z?N0对于xeR恒成立，则△=l-4a》W0

方程Zzr?+x+a=0有实根，则A=l—

1-1+2-=」_218。42

-----1-------------+-------+2

1—4ab—0,即/?二—，则1—Q\—b1—a[11—ci4a—14一4。4。一1

4aJ元

（4-4a）+（4a-1）=3,

则

1J=[（4—4°）+（4-1）][&+e]_4（4«-1）2（4-4«）4（4«-1）2（4-4。）

3++6>2

4一4。4^-1）4一4。4。一14一4〃4〃一1

当且仅当4（4。T）=〈（I0）时等号成立

4一4〃4。一1

42472-1240

----+---->^—+2则nil——+——>4+—

4-4a4。-13\-a1-b3

故答案为：4+—.

3

5.已知实数3。-8,3。乙则它们的大小关系是

【答案】30-8>30-7

【解析】

【分析】由指数函数的单调性判断即可.

【详解】因为y=3,为增函数，所以3。-8>3。，,

故答案为：3。£>3。，

6.已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次纱线断头的概率分别是0.8,0,12,0.05,则这台纺

纱机在1小时内纱线断头不超过2次的概率和纱线断头超过2次的概率分别为、.

【答案】①.0.97②.0.03

【解析】

【分析】

纱线断头不超过2次的概率等于发生0次、1次、2次纱线断头的概率之和，纱线断头超过2次与线断头不

超过2次是对立，从而得到答案.

【详解】因为纺纱机在1小时内发生。次、1次、2次纱线断头的概率分别是Q8,0.12,0.05,

所以纱线断头不超过2次的概率《=0.8+0.12+0.05=0.97,

所以纱线断头超过2次的概率？=1—《=1—0.97=0.03.

故答案为：0.97、0.03

【点睛】本题考查对立事件和互斥事件的概率，属于简单题.

7.如图有一个帐篷，它下部的形状是高为2（单位：米）的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为6（单位：

米）的正六棱锥.则帐篷的体积最大值为____立方米.

【答案】1286

【解析】

【分析】设出顶点。到底面中心。的距离，再求底面边长和底面面积，求出体积表达式，利用导数求出高

为何时体积取得最大值.

【详解】解：设。旦为xm,（2<X<8）.

则由题设可得正六棱锥底面边长为：762-(^-2)2=A/32+4x-x2(m).

于是底面正六边形的面积为6X3X(32+4X-尤2)=迪(32+4元-Y)(7"2),

42

帐篷的体积为M⑺=%柱+%锥=S底面，柱+；%锥).

可得：V(x)=¥(32+4x—Y)x[2+g(x-2)]=^(128+48x—x3).

求导数，得丫'(尤)=246一递V.

2

令V(x)=O,解得％=-4(舍去)，x=4.

当2<x<4时,V'(x)>0,V(x)为增函数；

当4cx<8时，V'(x)<0,V(x)为减函数.

.•.当x=4时，V(x)有最大值为128/(").

故答案为：128百.

【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题

的能力，属于中档题.

8.耳鸟鸟是边长为1的正三角形，则片弓。•,/=：1,2,3,，#/)取值集合为.

【答案】卜I,—-/1

【解析】

【分析】根据数量积的定义，分别求片心/心、片月・£片、明・明、片片、片，与卫、

呵朋,即可得耳6•PjPj(i,j=1,2,3,i丰j)取值集合.

【详解】如图：

由向量数量积的定义得:

而•而=1网碎。S。=lxlxl=l；

第.丽=质|廊|cosl80=lxlx(-l)=-l；

胞/A=|片叫*cos60=lxlx|=-|;

利•学H明网即120=lxlxL1^

《鸟•鸟鸟=„，闾cos120=lxlx

^.^=|^||^|cos60=lxlx1=1.

故构成的集合为：］一1，一15」

【点睛】本题主要考查了向量数量积定义，属于基础题.

9.某班5名同学去参加3个社团，每人只参加1个社团，每个社团都有人参加，则满足上述要求的不同方

案共有种.

【答案】150

【解析】

【分析】先将5名同学分成3组，在将三组全排列即可.

【详解】将5名同学分成3组，根据每组人数不同有两种情况：｛113｝、｛122｝,

则分组的方法有+=10+15=25种,

分组后将三组同学分派到三个不同社团有A；=6种方法，

故满足要求的不同方案共有25X6=150种.

故答案为：150.

22

10.已知耳，凡分别是双曲线与-4=1（。>0,6>0）的左、右焦点，过工且垂直于X轴的直线与双曲线的

ab

右支交于A,B两点,若是正三角形，则这条双曲线C的渐近线方程是.

【答案】y=±y［2x

【解析】

【分析】［解法1］先根据题意求得A3两点的坐标，进而得到|A理、|A制，再由，A3可是正三角形得到

a,dc的关系式，进而求得a,。的比值，从而可求得双曲线C的渐近线方程.

［解法2］根据双曲线的定义，结合正三角形的性质，直接得到。的关系，进而取值，并利用a,dc的平方

关系得到。力的关系，进而得到渐近线的方程.

【详解】［解法1］根据题意，易知己(c,0),双曲线C的渐近线方程为了=士'工，

因为过工且垂直于x轴的直线与双曲线的右支交于A,8两点，

22

所以不妨设A(GM),5(C,%)(X>0>%)，将A(c,yJ代入双曲线方程得二—』丁=1,解得

ab

、(C2—t?2)A4A2A2

%--1=b----------2——==，即％=一，同理：%=----，

ya)aaaa

所以=%一为="-,|A周=%="，

aa

>2>2

由双曲线的定义可知2a=|A周一|Ag|=|A耳|—一,即|A4|=2a+—,

因为A3耳是正三角形，所以即丝l=2a+工，得2a2=",即2=0,

aaa

所以双曲线C的渐近线方程为y=+y/2x.

故答案为：y=+y/2x.

［解法2］

由题意人骂可为直角三角形，且NA片招=30。，

故可设|A闾=2相，则防=4端耳闻=2c=2瓜i，如图所示:

a=\m,c=6m,；・b=4^m,

.・心=也

a

双曲线的渐近线方程为y=±V2x,

故答案为：y=±0x

11.一艘轮船向正北航行，航速为40千米/时，在A处看灯塔P在船北偏东30°的方向上,半小时后，船

航行到3处，在3处看灯塔在船的北偏东75。的方向上，则此时船与灯塔之间的距离是—一千米.

【答案】10A/2

【解析】

【分析】画出图形，结合正弦定理即可求解

【详解】如图：

由题意可知：ZPBA=105°,ZBAP=30°,NBB4=45°AB=20,

ABBP即言BP

由正弦定理可得

sinZBPAsinNR4Psin30°

解得BP=100（千米）

故答案为：10V2

12.己知函数/(x)=log2(4x+l)—x,数列｛/｝是公差为4的等差数列，若

a1/(a1)+a2/(a2)+a3/(a3)+a4/(a4)=0,则数列｛。“｝的前w项和5〃=.

【答案12n2-8〃

【解析】

【分析】设g(x)=4(尤)，根据/(%)的奇偶性和单调性可得g(x)的奇偶性和单调性，然后结合等差数

列的性质可得q+为=。，再利用等差数列的通项公式及求和公式即得.

【详解】因为/(x)=log2(4£+l)—X=log2^^=log22、+彳，xeR,

贝I/(-x)=log2g+2J=/(x),

所以了(%)为R上的偶函数，

Ax_1

当X之0时，r(x)=—>o,

v74“+1

所以函数〃%)在［0,+s)上单调递增，且/(X)芸/'(0)=1,

设g(x)=4(x),则g(x)为奇函数，且在［0,+。)上单调递增，

因此g(x)在R上单调递增，

由题知g(%)+g(%)+g(«3)+g(a4)=。，

又数列｛«„｝是公差为4的等差数列,可得+4=。2+。3，

若q+。4〉0，贝1|q〉一。4，

gM>g(-a4)=-g(a4),即g(4)+g(a4)>0，

同理可得g(%)+g(%)>。

，g(q)+g(%)+g(a3)+g(%)>。，与g(%)+g(a2)+g3)+g(%)=。矛盾，舍去；

同理若％+%<°，则g(%)+g(%)+g(%)+g(a4)<。，与g(%)+g(4)+g(%)+g(a4)=。矛盾,舍去；

又｛。“｝的公差d=4,

，2q+3x4=0,解得q=-6,

S=—6n+~—x4=2rr—8〃—2n2-8n,

n2

故答案为：2"2一8”.

二.选择题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13.是“人〉工〉0"（）

a

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断.

【详解】当。>0时，由。》>1,可得人〉工〉0,

a

当〃<0时，由得b<—<0；

a

所以“>1"不是“b>!〉0”的充分条件.

a

1a>Q

因为b>—>0={ab—l,所以

a----->0

、a

所以“ab>1''是'2>->0''的必要不充分条件.

a

故选：B.

【点睛】本题考查不等式性质与充分、必要条件的判定，还考查了理解辨析问题的能力，属于基础题.

14.某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比依次为6：5：7,防疫站欲对该校学生进行身体健康调

查，用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为〃的样本，样本中高三年级的学生有21

人，贝U"等于（）

A35B.45C.54D.63

【答案】C

【解析】

【分析】由某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比为6：5：7,知高三年级学生的数量占总数的

7

一,再由分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为〃的样本，高三年级被抽到的人数为21

18

人，能求出n.

【详解】解：：某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比为6：5：7,

,7

高三年级学生的数量占总数的一，

18

:分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为n的样本，若已知高三年级被抽到的人数为21

人，

.7

•.〃=21----=54.

18

故选：C.

【点睛】本题考查分层抽样的应用，是基础题.

15.（x+2）（l—2x）5的展开式中，x的奇次幕项的系数之和为

A.-123B.-120C.-1D.1

【答案】A

【解析】

【分析】

先将（x+2）（1-2x）5展开，再利用赋值法求出奇次事项的系数之和.

【详解】设（X+2）（1—2无）=4+q无++卜

令X=1,贝|-3=%+------卜，

令X——1,贝I§5=%—Q]+%-------，

两式相减，整理得％+/+%=-123.

故选：A

16.已知产为抛物线C:>2=6%的焦点，过/作两条互相垂直的直线4，/2,直线4与。交于A、B两

点，直线4与。交于。、后两点，则IABI+ID0的最小值为（）

A.24B.22C.20D.16

【答案】A

【解析】

【分析】由抛物线的性质：过焦点的弦长公式|4可=2爪1+《）计算可得.

【详解】设直线k，12的斜率分别为kvk2,

由抛物线的性质可得|AB|=20（1+尸）=6（1+尸）,|DE|=2p（l+—y）=6（1+-Jy）,

所以lABl+inE]=6(1++6(1+=12+6(g+

kxK2kxK2

又因为/1_L，2，所以勺？k2J，

所以|A.+|O周=12+6（4+婷）＞12+6・2gk：=24,

k、Aik、

故选：A.

三.解答题（共5小题）

17.已知函数/（x）=cosx卜in九一gcosx）（xwR）.

（1）求/（%）的最小正周期和单调增区间；

（2）在一A3。中，角A、B、C的对边分别为。、b、c.若/（《）=—乎，b=6,求」13C的面积

的最大值.

JTSJT

【答案】（1）函数“X）的最小正周期为兀，单调递增区间是kK--,kji+—（左eZ）

⑵9月

【解析】

【分析】（1）利用三角恒等变换化简得出/（x）=sin[2x-乎，利用正弦型函数的周期公式可求得函

数〃%）的最小正周期，解不等式—]+2E＜2x—三＜]+2E（%eZ）可得出函数八%）的单调递增区间；

（2）由=—与结合角B的取值范围可求得角B的值，利用余弦定理结合基本不等式可求得ac的最

大值，再利用三角形的面积公式可求得，A3。面积的最大值.

【小问1详解】

解：f（x）=cos%sinx-73cos2x=-sinx+COS

-22

_1,°.、/叫丁

——sin2%-----cos2x--------sin2x------------,

222I2

所以，函数八%）的最小正周期为7=笄=兀，

令一c+2而<2x--<—+2kn[kGZ),解得左兀一2<x<—+foi(^eZ),

312112r

jr,兀

故函数”x)的单调递增区间是+―(左eZ).

【小问2详解】

解：/1:|)=sin(5—5)—¥=—#，即sin13_(1=0,

Be(O,7i),则—二<3—二〈”，:.B—二=0,可得8=女，

''33333

由余弦定理以及基本不等式可得b1-36-a1+c2-2accosB-a1+c1-ac>ac

即ac<36,当且仅当。=。时，等号成立，

故S/SABC=gacsinB=^~acW96，即面积的最大值为9G.

18.1.已知数列｛4｝满足q=1,an+iJ、1)q+1+(；1).

⑴设4=*，证明：数列｛bn+1｝为等比数列；

(2)求数列｛“〃｝的前几项和S-

【答案】(1)证明见解析

(2)S„=(n-l)-2,i+1-W(n+1)+2

2

【解析】

【分析】(1)先化简a=3-(-1)1+(T),再推导出等于一个常数，即可证明结论；

n

4+122+1

(2)结合第一问，先求出｛2｝的通项公式，再结合的特点，采用错位相减法和分组求和

法进行求解

【小问1详解】

3-(-1)"1+(-1)"[2an,n=2k+l,k&Z

"12”2[a„+l,n=2k,keZ

1=

2+1+%m+1=2%+2=2a⑶f+i+2=2a2“_]+2=2｛aln_x+1)=2(bn+1)

其中4+l=q+l=2,所以数列也+1｝为以2为首项，公比为2的等比数列.

【小问2详解】

由⑴知：2+1=2"

所以a=2:1,故泌〃

故S,=1X2+2X22+3X23+---+«X2"-(1+2+3+•••+n)

令，=1x2+2x22+3x23+…+"x2"①

234,,+1

2Tn=1X2+2X2+3X2+---+/JX2@

341n+1n+1n+1

两式相减：-Tn=2+2~+2+2+---+2'-ri-2=2(2"-1)-/i-2=(1-n)2-2

.-.T=(n-l)2"+1+2,又1+2+3+…+〃=*D

所以S"=(〃-1)・2"M—"("+D+2

2

19.如图是矩形A3CD和以边A3为直径的半圆组成的平面图形，AB=2AD=2a.将此图形沿A3折

叠，使平面A3CD垂直于半圆所在的平面.若点E是折后图形中半圆。上异于A,8的点.

(I)证明：EA±EC；

n

(II)若异面直线AE和。C所成的角为:，求三棱锥。-ACE的体积.

6

【答案】(I)证明见解析；(II)Ba3.

6

【解析】

【分析】(I)由面面垂直的性质得3cl圆O,由线面垂直的性质得5CLEA,根据线面垂直的判定可

得反4_1_面£3。，再由线面垂直的性质可证EC.

JT

(II)由题意知：NBAE=—,过E作石产，A3于「易证£F上面A3CD,进而求斯、S,应

6ACD

用等体积法有力-ACE=%TC»即可求三棱锥D—ACE的体积.

【详解】(I):面A3CD1圆。，面ABCDc圆。=AB，5Cu平面ABC。，BC1AB,

/.圆。，又EAu圆。，

ABC1EA,又NAEB直角，即3石，石4,而防BC=B,

，区4，面£3。，又ECu面EfiC,

EALEC.

7T

(II)在矩形A5CD中，AB//CD,直线A石和OC所成的角为一,

6

TTTR

直线AE和A3所成的角为：，即/明二=二.

66

过E作石产，于R则石厂上面ABCD.

又AB=2AT>=2«,ZBAE=-,易得AE=6a，即有石歹=苴。，

62

112

Si=—xADxCD=—xax2a=a,由

ACD22

v_v_1c263

匕)-A"=%—ACT)二；XSA。XE尸=；又4X~^~a=~2~a.

332o

/.三棱锥D-ACE的体积是走/.

6

【点睛】关键点点睛：

(I)综合应用面面垂直、线面垂直的判定及性质证线线垂直.

(II)由等体积知力TCE=VETO,结合已知条件求S及其对应的高即可求三棱锥的体积.

20.已知椭圆C：W+4=l(a〉5〉0),四点片(-M),鸟(0,百)，鸟［1，|］，?中恰有三点

在椭圆。上.

(1)求。的方程；

(2)若斜率存在且不为0的直线/经过C的右焦点冗且与C交于A、B两点,设A关于x轴的对称点为

D,证明：直线8。过x轴上的定点.

22

【答案】(1)—+^=1

43

（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）根据对称性得到椭圆上的点，再将点代入椭圆方程求解即可.

（2）设直线/:尤=。+1,iwO,A（^,y1）,B（x2,y2）,则。（冷-弘），将直线方程和椭圆方程联立，利

用韦达定理计算直线BD与x轴的焦点坐标即可.

小问1详解】

根据椭圆对称性，点811，|必在椭圆上,

则耳（-U）不在椭圆上，？（0,、行）在椭圆上,

19,

4=2

a24/,解得＜

b=