2023年高考数学模拟卷1（含解析）

模拟（一）

【说明】本试卷分为第I、II卷两部分，请将第I卷选择题的答案填入答题格内，第

II卷可在各题后直接作答，共150分，考试时间120分钟.

第I卷（选择题共60分）

题号123456789101112

答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的）

1.复数（自）（其中i是虚数单位）的虚部等于（）

A.-iB.-1

C.1D.0

2.已知全集〃={0,1,2,3,4},4={1,2,3},8=⑵4},则如图阴影部分表示的集合为

（）

A.{0,2}B.{0,1,3）

C.{1,3,4}D.{2,3,4}

某几何体的三视图（图中单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是（

以田且________

zDxI三

.视._侧视图

4

俯视图

A.36cm3B.48cm3

C.60cm3D.72cm3

4.在△板中，a,b,。分别是角4B,。的对边，若a=y[2bfsinB=sinC,则B

等于（）

A.60°B.30°

C.135°D.45°

5.设小=18,%=19,为=20,X，=21,恁=22,将这5个数依次输入下面的程序框图

运行，则输出S的值及其统计意义分别是（）

{i=i+n

(开始)i=l|1/输入M4|s=S+(XL20)2]f<

偌司-7输出SA|S=S=5卜i

A.5=2,这5个数据的方差B.5=2,这5个数据的平均数

C.5=10,这5个数据的方差D.5=10,这5个数据的平均数

6.若点户（1,1）是圆/+（y—3）2=9的弦月方的中点，则直线力8的方程为（）

A.x—2y+l=0B.x+2j―3=0

C.2x+y—3=0D.2x-y-l=0

7.某农场给某种农作物施肥量x（单位：吨）与其产量y（单位：吨）的统计数据如下表:

施肥量X2345

产量y26394954

AA

根据上表，得到回归直线方程y=9.4x+a当施肥量户6时，该农作物的预报产量是

A.72.0B.67.7

C.65.5D.63.6

8.下列函数中，为偶函数且有最小值的是（）

A.f[x）=x+xB.f（x）=|Inx\

C.（分=xsinxD.f（x）=ev+e-v

9.已知球的半径为5,球面被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦长为

2小,若其中一个圆的半径为4,则另一个圆的半径为（）

A.3B.y/Tb

C.y/TlD.273

10WaW4,,

10.已知实数a,6满足汨，*2是关于x的方程x—2x+6—a+3=0的两

[0W庆4,

个实根，则不等式OVMVIVX2成立的概率是（）

33

A-B.

3216

59

C—D.

3216

2

x关4,

11.已知函数/Xx）=,x—4若函数尸F（x）—2有3个零点，则实数

1必x=4,

的值为()

A.-4B.—2

C.0D.2

x2声

12.已知双曲线F—7=l(a>0,6>0)的左、右焦点分别为氏，内，点。为双曲线的中

ab

心，点尸在双曲线右支上，△用月内切圆的圆心为。，圆。与x轴相切于点4过K作直线

国的垂线，垂足为8,则下列结论成立的是()

A.\OA\>\OB\B.\OA\<\OB\

C.\OA\-\OB\D.附与|第大小关系不确定

第H卷(非选择题共90分)

本卷包括必考题和选考题两部分，第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，

第22〜24题为选考题，考生根据要求作答.

第II卷

题号第I卷总分

二171819202122

得分

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)

13.已知命题？直线a,6相交，命题°：直线a,方异面，则为是g的条件.

14.抛物线上的点到直线x+y+l=0的最短距离为______.

15.”求方程的解”有如下解题思路：设f(x)=e)+(，,,则f(x)在R

上单调递减，且『(2)=1,所以原方程有唯一解x=2.类比上述解题思路，不等式f—(x+

2)>(x+2)s—V的解集是.

16.向量a,b,c满足：|a|=l,%=的6在a方向上的投影为3，(a—c)•｛b—

c)=0,贝ijIc|的最大值是

三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算

步骤)

17.(本小题满分12分)已知数列｛a｝的前n项和S,=〃2(〃GN*),等比数列｛&｝满足A

=a1,2左=b\.

⑴求数列｛a｝和｛6〃｝的通项公式；

⑵若clt=an,,求数列｛4｝的前n项和Tn.

18.（本小题满分12分）为了解某市民众对政府出台楼市限购令的情况，在该市随机抽

取了50名市民进行调查，他们月收入（单位：百元）的频数分布及对楼市限购令赞成的人数

如下表:

月收入[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75]

频数510151055

赞成人数4812521

将月收入不低于55的人群称为“高收入族”，月收入低于55的人群称为“非高收入

族”.

（1）根据已知条件完成下面的2X2列联表，问能否在犯错误的概率不超过0.01的前提

下认为非高收入族赞成楼市限购令？

非高收入族高收入族合计

赞成

不赞成

合计

（2）现从月收入在［15,25）的人群中随机抽取两人,求所抽取的两人都赞成楼市限购令的

概率.

„nad—be2

附：X='Y-,Ti_i_J-

a+bc+da+cb+d

p(片，A>)0.050.0250.0100.005

k。3.8415.0246.6357.879

19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥产一/8切

中，侧棱口，底面仍必，底面465为矩形，E为PD

上一点，AD=2AB=2AP=2,PE=2DE.

⑴若尸为阳的中点，求证：班'〃平面/位

(2)求三棱锥P一/"的体积.

20.(本小题满分12分)如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，长轴长是短

轴长的2倍，且经过点材(2,1),平行于的直线1在y轴上的截距为0,直线1与椭圆相

交于4,8两个不同点.

(1)求实数而的取值范围;

(2)证明：直线物，.监与x轴围成的三角形是等腰三角形.

21.(本小题满分12分)已知a,6SR,函数7"(x)=a+ln(x+l)的图象与g(x)=，f—

的图象在交点(0,0)处有公共切线.

(1)证明：不等式/"(x)Wg(x)对一切xG(一1,+8)恒成立；

(2)设一1＜不＜E，当xWj,热)时，证明：/一工一一/受一Tx―1..

请考生在第22〜24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲

如图，点。是。。直径缈的延长线上一点，/C是。。

的切线，A为切点，的平分线CD与48相交于点D,

与4?相交于点E

⑴求人”的值；

⑵若/Q/G求力的值.

23.(本小题满分10分)选修4一4：坐标系与参数方程

x=acos<P,

平面直角坐标系刀勿中，点/(2,0)在曲线乂(a>0,。为参数)上.以

,y=sin(P

原点。为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为。=acos0.

(1)求曲线G的普通方程；

(2)已知点弘N的极坐标分别为(小，，)，(入，若点也”都在曲线G上,

求的值.

P102

24.(本小题满分10分)选修4一5：不等式选讲

设函数f(x)=|x+l|+|x—a\(a>0).

(1)当a=2时，解不等式f(x)W4；

(2)若不等式f(x)W4对一切%e[a,2]恒成立，求实数a的取值范围.

详解答案

一、选择题

1.B因为噜}=管;二=言=_1，故其虚部为一1，故选B.

2.A由于/IU6={1,2,3,4},108={2},故阴影部分所示集合为{0,2},故选A.

3.B由三视图可知几何体上方是一长方体，下方是一放倒的直四棱柱，且四棱柱底面

是等腰梯形，上底长为2cm,下底长为6cm,高为2cm,故几何体的体积是2X2X4+^X(2

+6)义2X4=48(cm),故选B.

4.D据正弦定理将角化边可得sin8=sin㈢b=c,又由勾股定理可得三

角形为等腰直角三角形，故8=45°.

5.A据已知数据可得其均值：=18+19+2,+21+22=2O,而框图输出—

20尸+(及一20尸+…+(不-20)1=2,S的统计意义是此5个数据的方差，故选A.

6.A据题意可知直线48与点一和圆心C(0,3)连线垂直，故人=一;=\，从而得直

KCPN

线四方程为y-l=1(x-l),整理得直线18的方程为x-2y+l=0.

7.C据已知数据可得7=3.5,7=42,由于回归直线经过点(3.5,42),代入回归直

AAA

线方程得42=9.4X3.5+a,解得a=9.1,故回归直线方程为y=9.4x+9.1,当x=6时该

A

作物的产量大约为y=9.4X6+9.1=65.5,故选C.

8.D对于A,注意到/'(-1)=0,/'(1)=2,A-D^AD,因此函数/Xx)不是偶函

数；对于B,注意到函数f(x)的定义域是(0,+8),因此函数『(*)不是偶函数；对于C,

/X—x)=f(x),易知该函数无最小值；对于D,/'(—x)=f(x),因此函数/Xx)是偶函数，且

f(x)》2后■尹=2,当且仅当x=0时取等号，即函数f(x)有最小值.综上所述，故选

D.

9.D由已知可得球心到半径为4的圆距离产7=3,因此所求圆圆心到弦的距

离为3,故所求圆半径7?=寸32+木2=20故选D.

|昨aW4]

10.A由题意基本事件空间可视为a,b八一，可用面积为16

I[0<Z<4j

的正方形面积作为事件的几何度量，其中0<小<1<至，令/"(x)=f—2x+6—a+3,满足

f0—b—a+3>0,

,ice故0V%iVlVx2成立对应事件可表示为力=

[f1=b-a+2<0

,f、

Ij(XW4,

0W6W4,

<a,bHz…八〉，作出不等式组表示的平面区域，由几何概

6—a+3>0,

|、b-a+2<0

3

2Q

型可知所求概率等于两不等式组表示的平面区域面积之比，即产(4=h=正，故选A.

10。乙

11.D如图，当函数尸/"(")一2有3个零点时，等价于函数尸/Xx)的图象和y=2

的图象有3个交点，此时必有a=2,故选D.

12.C由于点。为三角形阳内内切圆的圆心，故过点内作P0的垂线并延长交阳于

点儿易知垂足6为用N的中点，连接班，则|。引=2—出*)=2又设内切

圆与阳，格分别切于G,//,则由内切圆性质可得I用=|加，|AG|=|A/|,出川=出〃|,

故|E尸|一|内尸|=||34|=2a,iSIOA\—X,则有x+c—(c—x)—2a,解得16Ml=a,

故初力|=|60|=a,故选C.

二、填空题

13.解析：依题意得，*直线a,6不相交.由直线a,6不相交不能得知直线a,

6是异面直线：反过来，由直线a,。是异面直线可得直线a,6不相交.因此，为是°的必

要不充分条件.

答案：必要不充分

14.解析：由于F(x)=2x,设与直线x+y+l=0平行且与抛物线相切的直线与抛

物线切于点履扬，％),由导数儿何意义可知2即=-1,求得切点为

到直线x+y+l=O的距离最小，由点到直线距离公式易得最小值为芈.

O

答案：平

15.解析：原不等式等价于(x+2»+(x+2),令/Xx)=x3+x,易知函数在

R上为单调递增函数，故原不等式等价于*>x+2,解得x>2或x<-l,故原不等式的解

集为(-8,—1)U(2,+8).

答案：(-8,—1)u(2,+°°)

16.解析：由投影公式可得与号=6・，|6+a「=|a「+b'+2a•b=A=>b

Ia\2

+a=2.由(a—c),(b~c)=a•b~c•(a+A)+c2=0,整理得;+,c"=\c•a+b\cos

«W2|c|,解不等式T+lc「一2c|WO,得|c|Wl+乎，即|c|的最大值为1+零

答案：1+坐

三、解答题

17.解析：(1),.,当〃=1时，4=S=1；

当时，a„=S„—S,-i=n'—(n—l)2=2n~1,

'.an—2n—\(z?eN*),

，A=ai=l,设等比数列｛4｝的公比为g,则q#0.

,：2b尸从,：.2q^q,:.q=2,

.,.4,=2"T(AGN*).

(2)由⑴可得田=&•b„=(2/7-1)X2"T("eM),

.•.7；=1X21,+3X2+5X224-----(2月-1)X2^',①

.*.27；,=lX2+3X22+5X2：!+-+(2n-l)X2",②

②—①得

T„=(2/7-1)义2"—(lX2<>+2X2+2X22+-+2X2n-1)

=(2/7-1)X2"-(1+22+23+-+20

=(2/?-3)X2"+3.

18.解析：(1)由题意得列联表如下：

非高收入族高收入族合计

赞成29332

不赞成11718

合计401050

假设非高收入族与赞成楼市限购令没有关系,

1

…，2nad—be

川*=a+b7+d1+2b+d

50义29X7—11X32

-32X18X40X10-=6.272<6.635,

...不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为非高收入族赞成楼市限购令.

(2)由题意得月收入在［15,25)中有4人赞成楼市限购令，1人不赞成，将他们分别记为

4,4,4,Ai>a,

则从月收入在［15,25)的人群中随机抽取两人的所有结果为(4,4),(4,4),(4,4),

(4,3),(42,4),(/z,At))(4,a),(4,4),(4,a),(4,a),共10种；

其中所抽取的两人都赞成楼市限购令的结果为(4,4),(4,4)，(4,4),(4,4),

(4,Ai)>(4,At)>共6种，

二所抽取的两人都赞成楼市限购令的概率为片0.6.

19.解析：(1)证明：连接BD,交47于点0,连接应

:底面｛a®为矩形，：*OB=OD.

♦.•尸为"的中点，:.PE=2EF.

又,：PE=2DM:.DE=EF,：.OE//BF.

又平面4图位t平面跖〃平面“X：

⑵：侧棱阳-L底面ABCD,：.APLCD.

又•.•底面］腼为矩形，.•.而J_4Z

v^z?nAP^A,平面序zz

又,：AD=2AB=2AP=2,

112

••及,-胶=可XCDXSAAEFQXCDX

ooo

1八2

=-X6»XJ/?XAP=-

yy

22

20.解析：⑴设椭圆方程为当+V=l(a>6>0),

ab

%=2b,三8,

由题意得｛4,1.,J,21

〔6=2,

•••椭圆方程为!+《=l.

oZ

由题意可得直线1的方程为y=%+成讲0),

设Ui,yi),8(如㈤，

则点48的坐标是方程组，的两组解,

消去y得x+2mxJr2m-^Q.

VZJ=4Z7/-4(2®-4)>0,：.-2<m<2.

又•••咨0,.,.实数w的取值范围为(一2,0)U(0,2).

(2)证明：由题意可设直线也，，跖的斜率分别为左，k2,

只需证明k—即可，

由⑴得x+2/77jr+2z»-4=0,

.'.Xi+x2=—2m,xiX2=2m—i,

xiv+x2yi—2-汨+&+4

X\—2X2-2

——2小+热+小泾+41-m

X\—2X2-2

—2m7—2+2/^-4+41—勿

XL2X2-2"

・・・直线始，/照与x轴围成的三角形是等腰三角形.

21.证明：(1)由题意得(x)=tr，g'(^)=x-x+b,X>-1,

x+1

f0=g0a=0,

解得•

f0=g'0b=\,

.•.F(x)=ln(x+l)(x>—1),g(x)=。—*+x.

令h(x)=f(x)—g(x)

=ln(x+l)—~x+~x—x{x>—1),

o乙

1X

:.h'(x)=—x+x-1=—।.,

x十1x-v1

・・力(x)在(一1,0)上单调递增，在(0,+8)上单调递减，

.••力(x)W力(0)=0,f(x)Wg(x).

(2)当x£(xi,加时，由题意得一1VxiVxVx2,

①设u(x)=(x+l)"(x)—/"(x])]—(x—小)，

则"(x)=ln(x+l)-ln(E+l)>0,

:.u(x)>4/(x1)=0,即(%+1)[f(x)—f(xi)]—(才一汨)>0,

.fX_fXi_____1_

X—X\>1+X'

②设v[x)=设+1)设(力一f(x3]一设一X2)，

则v1(A)=ln(%+l)—ln(A2+l)<0,

；・v(x)>i/(x2)=0,即