河北省衡水市武强县武强学校2024届高三年级上册开学考试数学试题

武强中学2023-2024学年度上学期综合素质检测一

高三数学试题

出题人：吉岩岩

一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.)

1.已知集合A={xeN]χ2-3x-4<θ},则集合A的真子集有()

A.7个B.8个C.15个D.16个

匕&的共扼复数为

2.己知i为虚数单位,则1()

ɪ-i

13.13.3.κ13.

A.-----1—iB.—÷-1C.—1D.-------i

2222一5一222

3.设奇函数/(x)在(0,+8)上为增函数，且/⑴=0,则不等式/(x)-∕(-x)<0的解集为()

A.(-4,θ)<j(l,+oo)B.(-00,—1)5。，1)

C.(—00,—])"(],+oo)D.(-l,0)u(0,l)

2

4.函数/(x)=In(X+1)--的零点所在的大致区间是()

A.(3,4)B.(2,e)C.(1,2)D.(0,1)

,,CESina+cosa

5.右tana=2,则^----------+cos2a=()

Sina-CoSa

1616C88

A.—B.-----C.一D.----

5555

19

6.正数〃,匕满足上+'=1,若不等式。+ZjN-d+4x+18-小对任意实数X恒成立，则实数加的取值范

ab

围是()

A.[3,+∞)B.(-∞,3]C.(-∞,6]D.[6,+∞)

7.已知平面向量4,力满足,卜2,忖=1,4与8的夹角为且(a+/lb)_L(2a-。)，则实数4的值

为()

A.-7B.-3C.2D.3

8.六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有()

A.192种B.216种C.240种D.288种

二、多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得O分.)

9.已知集合A={x∣χ2-3χ+2≤θ},B={Λ∣2<2V≤8},则下列判断正确的是()

A.ADB=BB.(AB)DA=R

C.ACB={x∣l<x≤2}D.RA)={x∣x≤>2}

10.已知函数/(x)=√5CoS—(XWR),下列结论错误的是()

A.函数/(x)的最小正周期为7B.函数〃尤)的图象关于点(∣,θ］对称

JTJT

C.函数/(x)在区间0,-上是减函数D.函数/(x)的图象关于直线X=J对称

II.在(2d—的展开式中，下列说法正确的是()

A.各项系数和为1B.第2项的二项式系数为15

C.含/的项的系数为-160D.不存在常数项

12.在平面直角坐标系Xoy中，点M(4,4)在抛物线V=2px(p>0)上，抛物线的焦点为产，延长

Mr与抛物线相交于点N,则下列结论正确的是()

］7

A.抛物线的准线方程为X=-IB.∖MN∖=^∙

7

C.Z∖QMN的面积为:D.∣MF∣+∣7VF∣=∣Λ∕F∣Λ^F∣

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分.)

13.已知函数小)=［詈：:；，则/(/⑴)+小吗；)的值是

•JIJL,√V—∖J\乙J

2A—1,X>0,

14.已知函数/(x)=<若函数g(x)=∕(x)-〃2有3个零点，则实数加的取值范围是

-x~-2x,X≤0

15.已知函数“X)的导函数为r(x),且满足〃x)=2矿⑴+欣，则r⑴=.

X2—V2

16.设尸是双曲线C：=⅛=1的一个焦点.若C上存在点P,使线段P/的中点恰为其虚轴的一个端

a-h~

点，则C的离心率为.

四、解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.在AABC中，内角4,B,。所对的边分别为。，b,c.已知加inA=αcos(5—工］.

(1)求角B的大小；

(2)设α=2,c=3,求二和sin(2A-B)的值.

18.如图，S是RtZVlBC所在平面外一点，且S4=SB=SC,。为斜边AC的中点.

(1)求证：5。_1平面48。；

(2)若AB=BC,求证：i?£)_L平面S4C.

19.已知数列｛q｝是递增的等差数列，々=3,且％，a1,生成等比数列∙

(1)求数列｛α,,｝的通项公式凡；

⑵设2=4+2",求数列也｝的前〃项和S“；

ɔ74

(3)若设数列｛%｝的前〃项和为7；,求满足(>'的”的最小值.

4%25

20.某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关，随机抽取了选修课程的55名学生，得到数据

如下表:

喜欢“应用统计”课程不“应用统计”课程总计

男生20525

女生102030

合计302555

(1)判断是否有99.5%的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关?

(2)用分层抽样的方法从喜欢统计课程的学生中抽取6名学生做进一步调查，将这6名学生作为一个样本,

从中任选2人，求恰有1个男生和1个女生的概率.

下面的临界值表供参考:

a0.150.100.050.0250.0100.0050.001

X22.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

n(ad-bc∖

参考公式：Z2其中n=a+b+c+d.

(α+A)(c+d)(α+c)(b+d)

21.过椭圆看+?=1内一点Λ∕(2,l)引一条弦，使弦被M点平分.

(I)求此弦所在的直线方程；

(2)求此弦长.

22.已知函数/(x)=±!∙-lιιx.

(1)求/(x)的单调区间；

(2)求函数/(x)在区间上的最大值和最小值(其中e是自然对数的底数).

高三数学答案

1.A2.C3.D4.C5.A6.D7.D8.B

9.CD10.BCH.AC12.AD

13.514.(0,1)15.-116.5

ah

17.解：(1)在AABC中，由正弦定理——二——,

sinAsinB

可得戾inA=αsinB.又因为加inA=Qcos∣3-2),

所以“sin5=αcos[fi-ɪI,

即sin8=Y^cosB+Lsin3,所以tan3=百.因为3e(0,%),所以B=工

22v73

(2)在AABC中，由余弦定理及α=2,c-3,B=—

3

得b2=a2+c2-2accosB=7,故b=V7.

/ɜ2

由加卜可得

inΛ=gcos(B-2sinΛ—⅛.因为α<c,所以CoSA=

√77

所以sin2A=2sinAcosA=,cos2A=2cos2A-lɪɪ

77

所以sin(2A-B)=sin2AcosB-COS2AsinBuɪ-ɪ

v,727214

18.证明：(1)如图所示，取AB的中点E,连接SE,DE.

S

在RtAABC中，RE分别为AC,AB的中点，.∙.DE"BC,IDELAB.

VSA=SB,：.SElAB.

又SECZ)E=E,.∙.AS_L平面SDE.

又SDU平面SZ)E,.∙.AB_LSO.

在aSAC中，VSA=SC,。为AC的中点，；.SOLAC.

又ACCAB=A,.∙.S0"L平面A8C.

(2)由于AB=BC,则BZ5_LAC.

由(1)可知，5。_1平面48。，又8。(=平面4?。，，5。，3。,

又SDCAC=。，.∙.8D_L平面S4C.

19.解：(1)设等差数列｛4｝的公差为d(d〉0).

α,=3,a+d=3,伍=1,

由V1得/l、2,、解得4C

«；=«|«5,[(α1+d)=q(q+4d),[a=2.

•∙Cin=q+(〃—l)d=2〃—1.

(2)由(1)得2=4+2"=2〃一1+2”,

23,

则S“=bi+h2+b3+∙∙∙+bn=l+3+5+∙∙∙+(2n-l)+2+2+2+∙∙∙+2,

(1+2/7-1)//+2-2,,+'

=rΓ+2"+l-2,

21-2

2+

：.Sll=n+2"'-2

2_211

(3)由(1)得C”

α,4+∣(2〃—1)(2〃+1)2/2-12〃+1

.,1111112n

・・T=1-----1--------1-…H------------------=--------.

〃3352n-l2n÷l2n÷l

Dn94

由，fL>上得〃>12.又;〃∈N*,・・・〃的最小值为13.

2n+l25

_55x(20x20-10x5)2

20.(1)由公式力2≈11.978>7.879,

30×25×25×30

所以有99.5%的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关.

6in

(2)设所抽样本中有加个男生，则？得加=4,所以样本中有4个男生，2个女生，

3020

分别记作B2,B3,B4,Gl,G2.从中任选2人的基本事件有(4,与)，(Bl,B3),(B1,B4),

(BI,GI),(4G),(B2,J¾).(B2,B4).(B2,GI),(JB2,G2),(β,,β4),(B3,GI),(BVG2),

共个,

(B1,G),(B4,G2),(G,,G2),15

其中恰有1个男生和1个女生的事件有(耳Gj,(BpG2),(B2,GJ，(B2,G2).(B5,Gj,(B,,G2).

(B4,Gl),(B4,G2),共8个,

Q

所以恰有I个男生和1个女生的概率为2.

15

21.［解］(1)法一：设所求直线方程为＞一1=Z(X-2)∙

代入椭圆方程并整理，得(4左2+1)炉—8(2右—左)χ+4(2左一1『一16=0.

又设直线与椭圆的交点为A(Xl,y),B(x2,y2),

则王，马是方程的两个根，于是王+工2=

又M为AB的中点，.∙.2L±%=9当二9=2,解得Z=-L

24Λ2+12

故所求直线的方程为x+2y-4=0.

法二：设直线与椭圆的交点为A(%,χ),B(x2,y2).

又"(2,1)为248的中点，；.玉+々=4,yl+y2=2.