专题30动态圆模型（精讲）

专题30动态圆模型模型归纳1．“平移圆”模型适用条件粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R＝eq\f(mv0,qB)，如图所示轨迹圆圆心共线带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行界定方法将半径为R＝eq\f(mv0,qB)的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法2．“旋转圆”模型适用条件粒子源发射速度大小一定、方向不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初速度大小为v0，则圆周运动轨迹半径为R＝eq\f(mv0,qB)，如图所示轨迹圆圆心共圆如图，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝eq\f(mv0,qB)的圆上界定方法将一半径为R＝eq\f(mv0,qB)的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条件，这种方法称为“旋转圆”法3．“放缩圆”模型适用条件粒子源发射速度方向一定，大小不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化轨迹圆圆心共线如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大．可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上界定方法以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法4．磁聚焦和磁发散模型磁发散磁聚焦带电粒子从圆形有界匀强磁场边界上同一点射入，如果轨迹半径与磁场半径相等，则粒子出射方向与入射点的切线方向平行带电粒子平行射入圆形有界匀强磁场，如果轨迹半径与磁场半径相等，则粒子从磁场边界上同一点射出，该点切线与入射方向平行方法归纳1．圆心的确定方法(1)若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，分别确定两点处洛伦兹力F的方向，其交点即为圆心，如图甲．(2)若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，弦的中垂线与速度垂线的交点即为圆心，如图乙．(3)若已知粒子轨迹上某点速度方向，又能根据r＝eq\f(mv,qB)计算出轨迹半径r，则在该点沿洛伦兹力方向距离为r的位置为圆心，如图丙．2．半径的计算方法方法一由R＝eq\f(mv,qB)求得方法二连半径构出三角形，由数学方法解三角形或勾股定理求得例如：如图甲，R＝eq\f(L,sinθ)或由R2＝L2＋(R－d)2求得常用到的几何关系①粒子的偏转角等于半径扫过的圆心角，如图乙，φ＝α.②弦切角等于弦所对应圆心角一半，如图乙，θ＝eq\f(1,2)α.3．时间的计算方法方法一利用圆心角、周期求得t＝eq\f(θ,2π)T方法二利用弧长、线速度求得t＝eq\f(l,v)模型1动态圆模型【例1】（2023春•安徽期中）如图所示，在平面直角坐标系第一象限内某区域充满了垂直于纸面向外的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度大小，一群相同带电粒子从轴的范围内，以速度沿轴正方向进入第一象限，所有粒子均通过轴上同一点而离开磁场，已知粒子电量，质量，不计带电粒子的重力，下列说法正确的是A．该区域磁场的最小面积为 B．粒子在磁场中运动最长时间为 C．粒子在磁场中运动最短时间为 D．粒子在磁场中动量变化量的最大值为【答案】【分析】求出粒子做圆周运动的半径后，结合题设条件可知，最小磁场的面积为极端两个粒子轨迹所包围的圆形面积。结合磁聚焦原理画出轨迹可求最小面积；找到所有粒子中最大偏转角和最小偏转角，结合周期公式求最长时间和最短时间；偏转角最大的粒子其动量的变化也最大。【解答】解：、粒子在磁场中做匀速圆周运动时，洛伦兹力提供向心力解得：所有粒子均通过轴上同一点而离开磁场，即粒子从轴上点离开磁场，即所有粒子磁聚焦到点，如图所示，所以区域最小磁场面积：，故错误；、粒子在磁场中运动的周期：粒子在磁场中运动最长时间：粒子在磁场中运动最短时间：，故错误；、粒子在磁场中运动动量变化量的最大值：△，故正确。故选：。【变式练1】（2022秋•东川区校级期末）如图所示，圆形区域内有垂直纸面的匀强磁场，三个质量和电荷量都相同的带电粒子、、，以不同的速率对准圆心沿着方向射入磁场，其运动轨迹如图．若带电粒子只受磁场力的作用，则下列说法正确的A．粒子速率最大，在磁场中运动时间最长 B．粒子速率最大，在磁场中运动时间最短 C．粒子速率最小，在磁场中运动时间最短 D．粒子速率最大，在磁场中运动时间最长【答案】【分析】三个质量和电荷量都相同的带电粒子，以不同的速率垂直进入匀强磁场中，则运动半径的不同，导致运动轨迹也不同。运动轨迹对应的半径越大，粒子的速率也越大。而运动周期它们均一样，运动时间由圆弧对应的圆心角决定。【解答】解：粒子在磁场中做匀速圆周运动时，由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：，解得：，则可知三个带电粒子的质量、电荷量相同，在同一个磁场中，当速度越大时、轨道半径越大，则由图知，粒子速率最小，粒子速率最大；由于粒子运动的周期，粒子在磁场中运动的时间：可知三粒子运动的周期相同，在磁场中运动的偏转角最大，运动的时间最长，在磁场中运动的偏转角最小，运动的时间最短，故正确。故选：。【变式练2】（2023春•天河区校级期中）如图所示，虚线框内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。、、是三个质量和电荷量都相等的带电粒子，它们从边上的中点沿垂直于磁场的方向射入磁场，图中画出了它们在磁场中的运动轨迹。若不计粒子所受重力，则A．粒子带负电，粒子、带正电 B．粒子在磁场中运动的时间最长 C．粒子在磁场中的加速度最大 D．粒子在磁场中的速度最大【答案】【分析】根据粒子运动轨迹由左手定则判断粒子的电性；根据粒子做圆周运动的周期与转过的圆心角比较粒子运动时间；粒子在磁场中做圆周运动，由牛顿第二定律求出粒子的半径公式，根据几何关系比较半径大小，再比较速度和加速度。【解答】解：、根据左手定则可知，粒子带正电，粒子、带负电，故错误；、带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律有且解得三个带电粒子的质量和电荷量都相等，故三个粒子在同一磁场中运动的周期相等，粒子的轨迹对应的圆心角最大，所以粒子在磁场中运动的时间最长，故正确；、根据公式，可得，在磁场中运动的半径最小，所以速度最小，加速度最小，故错误。故选：。【变式练3】（2022秋•遂宁期末）如图所示，在边界上方存在一匀强磁场，磁感应强度大小为、方向如图所示；在边界上点出有一放射源，放射出质量为、电量为的带电粒子，粒子向磁场内各个方向以不同速率进入磁场，在磁场中有一点，两点间距离为，连线与边界间夹角为，带电粒子能够通过点，则A．带电粒子能够通过点的粒子最小速度 B．带电粒子能够通过点的粒子最大速度 C．带电粒子从点到点的最长时间为 D．带电粒子从点到点的最短时间为【答案】【分析】根据洛伦兹力提供向心力，求出带电粒子在磁场中的轨道半径公式。从而求出半径的大小。找到符合题设条件的最大半径和最小半径的临界几何条件，从而求得最小速度和最大速度；找到符合条件的最大圆心角和最小圆心角，结合周期公式求出最小时间和最大时间。【解答】解：、依题意，根据：，可得粒子在磁场中的运动半径：。粒子在通过点，那么当为带电粒子在磁场中运动轨迹的直径时，能够通过点的粒子有最小速度，即：，可得：，故错误；、根据粒子在磁场中的运动时间满足：，可知粒子在磁场中运动轨迹对应圆心角最大，则运动时间最长，沿方向射入磁场时轨迹对应圆心角最大，由几何知识得此时轨迹所对应圆心角为，则带点粒子从点到点的最长时间为：，故正确；、能够通过点的粒子无最大速度的取值，当带电粒子无限靠近方向飞出，要经过点，粒子速度无限变大，沿方向则速度无限大，那么粒子从点到点也不存在有最短时间，最短时间无限趋近零，故错误。故选：。模型2磁聚焦磁发散模型【例2】（2023春•南岗区校级月考）如图所示，一束电子以大小不同的速率沿垂直于磁场边界线方向飞入正方形区域的匀强磁场（磁场的方向垂直于正方形区域），下列判断正确的是A．电子在磁场中运动时间越长，其轨迹越长 B．电子在磁场中圆周运动半径越大，则运动时间越短 C．在磁场中运动时间相同的电子，其轨迹不一定重合 D．电子的速率不同，它们在磁场中运动的时间一定不相同【答案】【分析】电子飞入匀强磁场中做匀速圆周运动，根据半径和周期公式分析速率越大，轨迹半径和周期如何变化；在有界磁场中转动的时间越长，则粒子转过的圆心角越大，运动时间越长。【解答】解：、电子在磁场中做圆周运动的周期：相同，电子在磁场中的运动时间：，电子在磁场中运动时间越长，电子运动轨迹对应的圆心角越大，电子的运动轨迹不一定越长，故错误；、电子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：，解得：，电子速率越大，电子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径越大，但运动时间不一定越短，如从磁场右边界射出磁场的电子轨道半径不同但运动时间相等，半径大的电子运动时间不一定短，故错误；、从磁场左边界离开磁场的电子在磁场中的运动时间相等，电子速度不同运动轨迹不同，由此可知，运动时间相同的电子运动轨迹不一定重合，故正确；、电子在磁场中做圆周运动的周期：相同，电子在磁场中的运动时间：，电子运动轨迹对应的圆心角相同，电子在磁场中的运动时间相等，它们的速率不一定相同，如从磁场右边界离开磁场的电子运动时间相同而速率不同，故错误。故选：。【变式练1】（2023•天心区校级一模）如图所示，在轴右侧平面内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小，坐标原点有一放射源，可以向轴右侧平面沿各个方向放射比荷为的正离子，这些离子的速率在0到最大值的范围内，不计离子之间的相互作用，则下列说法正确的是A．离子打到轴上的范围为 B．某时刻沿方向放射的各种速率离子，经过时都位于的直线上 C．在时间内向轴右侧各个方向放射各种速率的离子，可能出现的区域面积为 D．沿同一方向同时放射的不同速率的粒子同一时刻在磁场中总处于过原点的同一直线上；沿不同方向同时放射的相同速率的粒子同一时刻在磁场中总是处于同一圆周上【答案】【分析】由洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律即可求解；根据运动的周期与运动的时间，即可求出圆心角，从而由几何关系可确定位置坐标，由数学推导确定构成的曲线方程；根据题干条件，结合圆的面积公式可求出进入磁场的离子可能出现的区域面积；根据粒子运动情况进行分析。【解答】解：、设速度大小为的离子的运动半径为，根据洛伦兹力提供向心力，则有：，解得：，如图甲所示：则离子打到轴上的范围为，故错误；、由周期公式可得：，解得：设这些离子经过时，其轨迹所对应的圆心角为，则：，解得：令时刻离子所在位置坐标为，则，解得：，故正确；、如图乙所示：将图中的线段（即选项中所确定的线段，即从沿轴正方向顺时针旋转，交于轴上的点，以为圆心、为半径作圆弧，两圆弧相交于，则两圆弧及轴所围成的面积即为在时间内向轴右侧各个方向放射各种速率的离子，可能出现的区域面积，由几何关系可求得：弧对应的面积为：所以总面积为：，故正确；、将选项推广，可知选项前半句正确；因相同速率的粒子在磁场中运动轨迹半径相同，经过相等时间转过的圆心角相同，则通过的弧长相同，弦长即始末位置连线长度相同，故都位于以入射点为圆心的同一圆周上，故正确。故选：。【变式练2】（2023•阆中市校级二模）如图，坐标原点有一粒子源，能向坐标平面一、二象限内发射大量质量为，电荷量为的正粒子（不计重力），所有粒子速度大小相等。圆心在半径为的圆形区域内，有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为，磁场右侧有一长度为且平行于轴的荧光屏，其中心位于。已知初速度沿轴正向的粒子经过磁场后，恰能垂直射在光屏上，则下列说法正确的是A．所有粒子的初速度大小为 B．从点发射的所有粒子都能垂直射在光屏上 C．能射在光屏上的粒子，在磁场中运动时间最长为 D．能射在光屏上的粒子初速度方向与轴夹角满足【答案】【分析】根据轨迹确定轨迹半径再由牛顿第二定律计算速度；分析速度沿轴负方向时的运动轨迹，再判断是否会垂直打在光屏上；分析能射在光屏上且在磁场中运动时间最长时的轨迹，根据几何知识和周期公式计算；根据几何知识分析打到屏上端和下端的轨迹及速度与轴的夹角。【解答】解：．初速度沿轴正向的粒子经过磁场后，恰能垂直射在光屏上，有，解得故正确；．由于所有粒子的速度大小相等，但方向不同，且离开磁场区域的出射点距离圆心的竖直高度最大值为，并不会垂直打在光屏上，故错误；．如图，由几何关系可得，运动时间最长的粒子，对应轨迹的圆心角为根据周期公式可得故错误；．若能打在光屏下端，如图由几何知识可知初速度与轴夹角为同理，粒子打在光屏上端时，初速度与轴夹角为故正确。故选：。【变式练3】（2023春•吕梁期末）如图所示，一半径为的圆形匀强磁场区域，磁感应强度大小为，方向垂直于纸面向外。三个比荷均为的带电粒子，分别从、、三点以相同初速度沿平行于直径方向进入磁场。已知从进入的粒子由点离开，、两点到直径的距离均为，直径与垂直，不计重力及粒子间相互作用。则A．粒子带负电 B．粒子的初速度 C．从进入的粒子在磁场中的运动时间为 D．从进入的粒子在磁场中的运动时间为【答案】【分析】根