三角函数一轮复习教案

\o"1-3"\h\z\u第三章三角函数 402597157\h1第一节角的概念及任意角的三角函数 402597158\h2第二节同角三角函数的根本关系式及诱导公式 402597159\h9第三节三角函数的图象及性质 402597160\h16第四节函数y＝(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的应用 402597161\h24第五节和角公式 402597162\h37第六节倍角公式及半角公式 402597163\h45第七节正弦定理和余弦定理 402597164\h53第八节正弦定理、余弦定理的应用举例 402597165\h61第三章三角函数知识网络：学习重点：三角函数是高考命题的重点，分值约占10%～15%，一般是一个小题和一个大题，以中低档题为主．1．主要考察三角函数的图象及性质，简单的三角恒等变换，正、余弦定理及其应用，且题目常考常新．2．客观题主要涉及三角函数的求值，函数的图象及性质，解答题主要以三角变换为工具，综合考察函数的图象及性质；或以正、余弦定理为工具，结合三角变换考察解三角形的有关知识．3．高考命题中，本章常及平面向量相结合，既可以考察平面向量的运算，又可以考察三角函数式的化简和三角函数的性质，符合高考命题“要在知识点的交汇处命题〞的要求.学法指导：1.立足根底，着眼于提高．立足课本，结实掌握三角函数的概念、图象和性质；弄清每个公式成立的条件，公式间的内在联系及公式的变形、逆用等．要在灵、活、巧上下功夫，切不可死记硬背．2．突出数学思想方法．应深刻理解数及形的内在联系，理解众多三角公式的应用无一不表达等价转化思想．在解决三角函数的问题时仔细体会拆角、切化弦、三角函数归一的方法技能．3．抓住关键，三角函数的化简、求值中，要熟练掌握三角变换公式的应用，其中角的变换是解题的关键，注意及待求中角的关系，力争整体处理．4．注意三角函数及向量等内容的交汇渗透，这也是命题的热点之一.第一节角的概念及任意角的三角函数学习目标：1.了解任意角的概念，了解弧度制的概念．2．能进展弧度及角度的互化．3．理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义考点梳理：1．角的有关概念(1)从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角．(2)从终边位置来看，可分为象限角及轴线角．(3)假设β及α是终边一样的角，则β用α表示为β＝2kπ＋α(k∈Z)．2．弧度及角度的互化(1)1弧度的角长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．(2)角α的弧度数在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对圆心角为α，则α＝\f().(3)角度及弧度的换算①n°＝\f(π,180)；②α＝(\f(180α,π))°.(4)弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为l，圆心角大小为α()，半径为r，则l＝rα，扇形的面积为S＝\f(1,2)＝\f(1,2)r2α.3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边及单位圆交于点P(x，y)，则α＝y，α＝x，α＝\f().(2)三角函数在各象限的符号一全正，二正弦，三正切，四余弦．4．单位圆及三角函数线(1)单位圆：半径为1的圆叫做单位圆．(2)三角函数线．(3)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．思考：1．“角α为锐角〞是“角α为第一象限角〞的什么条件？【提示】充分不必要条件．2．终边在直线y＝x上的角的正弦值相等吗？【提示】当角的终边一个在第一象限，一个在第三象限时，正弦值不相等．学情自测：1．锐角α终边上一点A的坐标是(2\f(π,3)，2\f(π,3))，则α弧度数是()A．2\f(π,3)\f(π,6)\f(2π,3)【解析】点A的坐标为(\r(3)，1)．∴α＝\f(1,\r(\r(3)2＋1))＝\f(1,2)，又α为锐角，∴α＝\f(π,6).【答案】C2．(2021·江西高考)以下函数中，及函数y＝\f(1,\r(3))定义域一样的函数为()A．y＝\f(1x)B．y＝\f()C．y＝D．y＝\f()【解析】函数y＝\f(1,\r(3))的定义域为{≠0}，选项A中由x≠0⇒x≠kπ，k∈Z，故A不对；选项B中x>0，故B不对；选项C中，x∈R，故C不对；选项D中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{≠0}，应选D.【答案】D3．假设α＜0且α＞0，则α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【解析】由α＜0，得α在第三、四象限或y轴非正半轴上，又α＞0，∴α在第三象限．【答案】C4．弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为，面积为．【解析】∵l＝3π，α＝135°＝\f(3π,4)，∴r＝\f(l,α)＝4，S＝\f(1,2)＝\f(1,2)×3π×4＝6π.【答案】46π5．角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．假设P(4，y)是角θ终边上一点，且θ＝－\f(2\r(5),5)，则y＝.【解析】由三角函数的定义，θ＝\f(y,\r(16＋y2))，又θ＝－\f(2\r(5),5)＜0，∴y＜0且\f(y,\r(16＋y2))＝－\f(2\r(5),5)，解之得y＝－8.【答案】－8典例探究：例1〔角的集合表示〕(1)写出终边在直线y＝\r(3)x上的角的集合；(2)α是第三象限角，求\f(α,2)所在的象限．【思路】(1)角的终边是射线，应分两种情况求解．(2)把α写成集合的形式，从而\f(α,2)的集合形式也确定．【解答】(1)当角的终边在第一象限时，角的集合为{α|α＝2kπ＋\f(π,3)，k∈Z}，当角的终边在第三象限时，角的集合为{α|α＝2kπ＋\f(4,3)π，k∈Z}，故所求角的集合为{α|α＝2kπ＋\f(π,3)，k∈Z}∪{α|α＝2kπ＋\f(4,3)π，k∈Z}＝{α|α＝kπ＋\f(π,3)，k∈Z}．(2)∵2kπ＋π＜α＜2kπ＋\f(3,2)π(k∈Z)，∴kπ＋\f(π,2)＜\f(α,2)＜kπ＋\f(3,4)π(k∈Z)．当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋\f(π,2)＜\f(α,2)＜2nπ＋\f(3,4)π，\f(α,2)是第二象限角，当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋\f(3π,2)＜\f(α,2)＜2nπ＋\f(7,4)π，\f(α,2)是第四象限角，综上知，当α是第三象限角时，\f(α,2)是第二或第四象限角,变式训练1：假设角θ的终边及\f(π,3)角的终边一样，则在[0,2π)内终边及角\f(θ,3)的终边一样的角为．【解析】∵θ＝\f(π,3)＋2kπ(k∈Z)，∴\f(θ,3)＝\f(π,9)＋\f(2,3)kπ(k∈Z)，当k＝0,1,2时，\f(θ,3)＝\f(π,9)，\f(7π,9)，\f(13π,9).【答案】\f(π,9)，\f(7π,9)，\f(13π,9)例2〔弧度制的应用〕扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.(1)假设α＝60°，R＝10，求扇形的弧长l.(2)假设扇形的周长为20，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？(3)假设α＝\f(π,3)，R＝2，求扇形的弧所在的弓形的面积．【思路】(1)可直接用弧长公式，但要注意用弧度制；(2)可用弧长或半径表示出扇形面积，然后确定其最大值时的半径和弧长，进而求出圆心角α；(3)利用S弓＝S扇－S△，这样就需要求扇形的面积和三角形的面积．【解答】(1)l＝10×\f(π,3)＝\f(10π,3)()．(2)由得：l＋2R＝20，所以S＝\f(1,2)＝\f(1,2)(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以R＝5时，S取得最大值25，此时l＝10，α＝2.(3)设弓形面积为S弓．由题知l＝\f(2π,3)，S弓＝S扇－S△＝\f(1,2)×\f(2π,3)×2－\f(1,2)×22×\f(π,3)＝(\f(2π,3)－\r(3))(2)变式训练2：半径为10的圆O中，弦的长为10，(1)求弦所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S.【解】(1)在△中，＝＝＝10，∴△为等边三角形．因此弦所对的圆心角α＝\f(π,3).(2)由扇形的弧长及扇形面积公式，得l＝α·R＝\f(π,3)×10＝\f(10,3)π，S扇形＝\f(1,2)R·l＝\f(1,2)α·R2＝\f(50π,3).又S△＝\f(1,2)···\f(π,3)＝25\r(3).∴弓形的面积S＝S扇形－S△＝50(\f(π,3)－\f(\r(3),2)).例3〔三角函数的定义〕(1)角α的终边经过点P(m，－3)，且α＝－\f(4,5)，则m等于()A．－\f(11,4)\f(11,4)C．－4D．4(2)角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求α，α，α的值．【思路】(1)求出点P到原点O的距离，根据三角函数的定义求解．(2)在直线上设一点P(4t，－3t)，求出点P到原点O的距离，根据三角函数的定义求解，由于点P可在不同的象限内，所以需分类讨论．【解答】(1)点P到原点O距离＝\r(m2＋9)，∴α＝\f(m,\r(m2＋9))＝－\f(4,5)，∴\b\\{\\(\a\4\\1(m2＝16＜0))，∴m＝－4.【答案】C(2)在直线3x＋4y＝0上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)，则x＝4t，y＝－3t，∴r＝＝\r(x2＋y2)＝\r(4t2＋－3t2)＝5，当t＞0时，r＝5t，α＝\f()＝\f(－3t,5t)＝－\f(3,5)，α＝\f()＝\f(4t,5t)＝\f(4,5)，α＝\f()＝\f(－3t,4t)＝－\f(3,4)；当t＜0时，r＝－5t，α＝\f()＝\f(－3t,－5t)＝\f(3,5)，α＝\f()＝\f(4t,－5t)＝－\f(4,5)，α＝\f()＝\f(－3t,4t)＝－\f(3,4).综上可知，当t＞0时，α＝－\f(3,5)，α＝\f(4,5)，α＝－\f(3,4).当t＜0时，α＝\f(3,5)，α＝－\f(4,5)，α＝－\f(3,4).变式训练3：设90°＜α＜180°，角α的终边上一点为P(x，\r(5))，且α＝\f(\r(2),4)x，求4α－3α的值．【解】∵r＝\r(x2＋5)，∴α＝\f(x,\r(x2＋5))，从而\f(\r(2),4)x＝\f(x,\r(x2＋5))，解得x＝0或x＝±\r(3).∵90°＜α＜180°，∴x＜0，因此x＝－\r(3).则r＝2\r(2)，∴α＝\f(\r(5),2\r(2))＝\f(\r(10),4)，α＝\f(\r(5),－\r(3))＝－\f(\r(15),3).故4α－3α＝\r(10)＋\r(15).小结：一条规律三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦．两个技巧1.在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边及单位圆的交点．2．利用单位圆和三角函数线是解简单三角不等式的常用技巧．三点注意1.第一象限角、锐角、小于90°的角是三个不同的概念，前者是象限角，后两者是区间角．2．角度制及弧度制可利用180°＝π进展互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题．课后作业(十六)角的概念及任意角的三角函数一、选择题图3－1－21．(2021·宁波模拟)如图3－1－2，在直角坐标系中，射线交单位圆O于点P，假设∠＝θ，则点P的坐标是()A．(θ，θ)B．(－θ，θ)C．(θ，θ)D．(－θ，θ)【解析】设P(x，y)，由三角函数定义知θ＝y，θ＝x，故点P的坐标为(θ，θ)．【答案】A2．2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是()A．2B．2\f(21)D．21【解析】由题设，圆弧的半径r＝\f(11)，∴圆心角所对的弧长l＝2r＝\f(21).【答案】C3．(2021·海淀模拟)假设α＝k·360°＋θ，β＝m·360°－θ(k，m∈Z)，则角α及β的终边的位置关系是()A．重合B．关于原点对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称【解析】由题意知角α及角θ的终边一样，角β及角－θ的终边一样，又角θ及角－θ的终边关于x轴对称，应选C.【答案】C4．假设角α的终边在直线y＝－2x上，且α＞0，则α和α的值分别为()\f(\r(5),5)，－2B．－\f(\r(5),5)，－\f(1,2)C．－\f(2\r(5),5)，－2D．－\f(\r(5),5)，－2【解析】由题意知，角α的终边在第二象限，在角α的终边上取点P(－1,2)，则r＝\r(5)，从而α＝\f(－1,\r(5))＝－\f(\r(5),5)，α＝\f(2,－1)＝－2，应选D.【答案】D5．(2021·昆明模拟)设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且α＝\f(1,5)x，则α＝()\f(4,3)\f(3,4)C．－\f(3,4)D．－\f(4,3)【解析】由题意知x＜0，r＝\r(x2＋16)，∴α＝\f(x,\r(x2＋16))＝\f(1,5)x，∴x2＝9，∴x＝－3，∴α＝－\f(4,3).【答案】D6．点P(\f(3π,4)，\f(3,4)π)在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为()\f(π,4)\f(3π,4)\f(5π,4)\f(7π,4)【解析】由得P(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2))，∴θ＝－1且θ是第四象限角，∴θ＝\f(7π,4).【答案】D二、填空题7．(2021·潍坊模拟)假设角120°的终边上有一点(－4，a)，则a的值是．【解析】由题意知－\f(a,4)＝120°，∴－\f(a,4)＝－\r(3)，∴a＝4\r(3).【答案】4\r(3)8．角α的终边落在直线y＝－3x(x＜0)上，则\f(αα)－\f(αα)＝.【解析】因为角α的终边落在直线y＝－3x(x＜0)上，所以角α是第二象限角，因此α＞0，α＜0，故\f(αα)－\f(αα)＝\f(αα)－\f(－αα)＝1＋1＝2.【答案】29．点P从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动\f(2π,3)弧长到达Q点，则Q点的坐标为．【解析】由题意知点Q是角\f(2π,3)的终边及单位圆的交点，设Q(x，y)，则y＝\f(2π,3)＝\f(\r(3),2)，x＝\f(2π,3)＝－\f(1,2)，故Q(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))．【答案】(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))三、解答题10．角θ的终边上有一点P(x，－1)(x≠0)，且θ＝－x，求θ＋θ的值．【解】∵θ的终边过点(x，－1)(x≠0)，∴θ＝－\f(1)，又θ＝－x，∴x2＝1，∴x＝±1.当x＝1时，θ＝－\f(\r(2),2)，θ＝\f(\r(2),2)，因此θ＋θ＝0；当x＝－1时，θ＝－\f(\r(2),2)，θ＝－\f(\r(2),2)，因此θ＋θ＝－\r(2).11．扇形的圆心角α为120°，半径长为6，(1)求\x\()的长；(2)求\x\()所在弓形的面积．【解】(1)∵α＝120°＝\f(2π,3)，r＝6，∴\x\()的长l＝\f(2π,3)×6＝4π.(2)∵S扇形＝\f(1,2)＝\f(1,2)×4π×6＝12π，S△＝\f(1,2)r2·\f(2π,3)＝\f(1,2)×62×\f(\r(3),2)＝9\r(3)，∴S弓形＝S扇形－S△＝12π－9\r(3).12．角α终边上的点P及A(a,2a)关于x轴对称(a＞0)，角β终边上的点Q及A关于直线y＝x对称，求α·α＋β·β＋α·β的值．【解】由题意得，点P的坐标为(a，－2a)，点Q的坐标为(2a，a)．所以，α＝\f(－2a,\r(a2＋－2a2))＝－\f(2,\r(5))，α＝\f(a,\r(a2＋－2a2))＝\f(1,\r(5))，α＝\f(－2)＝－2，β＝\f(a,\r(2a2＋a2))＝\f(1,\r(5))，β＝\f(2a,\r(2a2＋a2))＝\f(2,\r(5))，β＝\f(a,2a)＝\f(1,2)，故有α·α＋β·β＋α·β＝\f(－2,\r(5))·\f(1,\r(5))＋\f(1,\r(5))·\f(2,\r(5))＋(－2)×\f(1,2)＝－1.第二节同角三角函数的根本关系式及诱导公式学习目标：1.理解同角三角函数的根本关系式：2x＋2x＝1，\f(x)＝x.2．能利用单位圆中的三角函数线推导出\f(π,2)±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.考点梳理：1．同角三角函数的根本关系式(1)平方关系：2α＋2α＝1.(2)商数关系：α＝\f(αα)(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)．2．诱导公式组数一二三四五角α＋2kπ(k∈Z)－αα＋(2k＋1)π(k∈Z)α＋\f(π,2)－α＋\f(π,2)正弦α－α－ααα余弦αα－α－αα正切α－αα口诀函数名不变符号看象限思考：1．有人说(kπ－α)＝(π－α)＝α(k∈Z)，你认为正确吗？【提示】不正确．当k＝2n(n∈Z)时，(kπ－α)＝(2nπ－α)＝－α；当k＝2n＋1(n∈Z)时，(kπ－α)＝(2nπ＋π－α)＝(π－α)＝α.2．(－π－α)如何使用诱导公式变形？【提示】(－π－α)＝－(π＋α)＝α.学情自测：1．(α－π)＝－\f(5,13)，且α是第四象限角，则α＝()A．－\f(12,13)\f(12,13)\f(5,12)D．±\f(12,13)【解析】∵(α－π)＝(π－α)＝－α＝－\f(5,13)，∴α＝\f(5,13)，又α是第四象限角，∴α＜0，则α＝－\r(1－2α)＝－\f(12,13).【答案】A2．(π＋θ)＝－\r(3)(2π－θ)，|θ|＜\f(π,2)，则θ等于()A．－\f(π,6)B．－\f(π,3)\f(π,6)\f(π,3)【解析】由(π＋θ)＝－\r(3)(2π－θ)得－θ＝－\r(3)θ，∴θ＝\r(3)，又|θ|＜\f(π,2)，∴θ＝\f(π,3)，应选D.【答案】D3．585°的值为()A．－\f(\r(2),2)\f(\r(2),2)C．－\f(\r(3),2)\f(\r(3),2)【解析】585°＝(360°＋225°)＝225°＝(180°＋45°)＝－45°＝－\f(\r(2),2).【答案】A4．假设α＝－\f(3,5)且α∈(π，\f(3π,2))，则α＝()\f(3,4)\f(4,3)C．－\f(3,4)D．－\f(4,3)【解析】∵α＝－\f(3,5)，且α∈(π，\f(3π,2))，∴α＝－\r(1－2α)＝－\r(1－－\f(3,5)2)＝－\f(4,5)，∴α＝\f(αα)＝\f(4,3).【答案】B5．(2021·辽宁高考)α－α＝\r(2)，α∈(0，π)，则2α＝()A．－1B．－\f(\r(2),2)\f(\r(2),2)D．1【解析】因为α－α＝\r(2)，所以1－2αα＝2，即2α＝－1.【答案】A典例探究：例1〔同角三角函数关系式的应用〕(1)(2021·潍坊模拟)\f(α＋3α,3α－α)＝5，则2α－αα的值是()\f(2,5)B．－\f(2,5)C．－2D．2(2)(2021·银川模拟)α∈(π，\f(3π,2))，α＝2，则α＝.【思路】(1)先根据条件求得α，再把所求式变为用α表示的式子求解；(2)切化弦，结合2α＋2α＝1求解．【解答】(1)由\f(α＋3α,3α－α)＝5，得\f(α＋3,3－α)＝5，即α＝2.所以2α－αα＝\f(2α－αα2α＋2α)＝\f(2α－α2α＋1)＝\f(2,5).(2)依题意得\b\\{\\(\a\4\\1(α＝\f(αα)＝2，2α＋2α＝1，))由此解得2α＝\f(1,5)；又α∈(π，\f(3π,2))，因此α＝－\f(\r(5),5).【答案】(1)A(2)－\f(\r(5),5),变式训练1：(2021·大纲全国卷)α为第二象限角，α＝\f(3,5)，则2α＝()A．－\f(24,25)B．－\f(12,25)\f(12,25)\f(24,25)【解析】∵α为第二象限角且α＝\f(3,5)，∴α＝－\r(1－2α)＝－\f(4,5)，∴2α＝2α·α＝2×\f(3,5)×(－\f(4,5))＝－\f(24,25).【答案】A例2〔诱导公式的应用〕(1)α＝2，α＋α＜0，则\f(2π－α·π＋α·π＋α3π－α·π＋α)＝.(2)α为第三象限角，f(α)＝\f(α－\f(π,2)·\f(3π,2)＋α·π－α－α－π·－α－π)，①化简f(α)；②假设(α－\f(3π,2))＝\f(1,5)，求f(α)的值．【思路】(1)先利用诱导公式对原式进展化简，再根据α＝2，结合α的范围和同角三角函数关系式求解；(2)①直接利用诱导公式化简约分．②利用α在第三象限及同角三角函数关系的变形式得f(α)．【解答】(1)原式＝\f(－α·－α·－α,－α·α)＝α，∵α＝2＞0，∴α为第一象限角或第三象限角．又α＋α＜0，∴α为第三象限角，由α＝\f(αα)＝2，得α＝2α代入2α＋2α＝1，解得α＝－\f(2\r(5),5).【答案】－\f(2\r(5),5)(2)①f(α)＝\f(α－\f(π,2)·\f(3π,2)＋α·π－α－α－π·－α－π)＝\f(－α·α·－α,－α·α)＝－α.②∵(α－\f(3π,2))＝\f(1,5)，∴－α＝\f(1,5)，从而α＝－\f(1,5).又α为第三象限角，∴α＝－\r(1－2α)＝－\f(2\r(6),5)，∴f(α)＝\f(2\r(6),5).变式训练2：(1)(2021·烟台模拟)600°＋240°的值等于()A．－\f(\r(3),2)\f(\r(3),2)\r(3)－\f(1,2)\r(3)＋\f(1,2)(2)(2021·台州模拟)f(x)＝(πx＋α)＋(πx＋β)＋4(a，b，α，β为非零实数)，假设f(2012)＝5，则f(2013)＝()A．3B．5C．1D．不能确定【解析】(1)600°＋240°＝(360°＋240°)＋(180°＋60°)＝(180°＋60°)＋60°＝－60°＋60°＝－\f(\r(3),2)＋\r(3)＝\f(\r(3),2).(2)∵f(2012)＝(2012π＋α)＋(2012π＋β)＋4＝α＋β＋4＝5，∴α＋β＝1，∴f(2013)＝(2013π＋α)＋(2013π＋β)＋4＝－α－β＋4＝－(α＋β)＋4＝－1＋4＝3.【答案】(1)B(2)A例3〔α±α及α·α的关系〕(2021·扬州模拟)－π＜x＜0，x＋x＝\f(1,5).(1)求x－x的值；(2)求\f(2x＋22x,1－x)的值．【思路】(1)利用平方关系，设法沟通x－x及x＋x的关系；(2)先利用倍角公式、商数关系式化为角x的弦函数，再设法将所求式子用表示出来．【解答】(1)由x＋x＝\f(1,5)，平方得2x＋2x＋2x＝\f(1,25)，整理得2x＝－\f(24,25).∵(x－x)2＝1－2x＝\f(49,25).又∵－π＜x＜0，∴x＜0，又x＋x＞0，∴x＞0，x－x＜0，故x－x＝－\f(7,5).(2)\f(2x＋22x,1－x)＝\f(2xx＋x,1－\f(x))＝\f(2xx＋xx－x)＝\f(－\f(24,25)×\f(1,5),\f(7,5))＝－\f(24,175).变式训练3：－\f(π,2)＜x＜0，x＋x＝\f(1,5).(1)求x－x的值；(2)求x的值．【解】(1)由x＋x＝\f(1,5)，平方得2x＋2x＋2x＝\f(1,25)，即2x＝－\f(24,25)，∵(x－x)2＝1－2x＝\f(49,25).又∵－\f(π,2)＜x＜0，∴x＜0，x＞0，x－x＜0，故x－x＝－\f(7,5).(2)由(1)得x－x＝－\f(7,5)，故由\b\\{\\(\a\4\\1(x＋x＝\f(1,5)x－x＝－\f(7,5)))，得x＝－\f(3,5)，x＝\f(4,5)，∴x＝\f(x)＝\f(－\f(3,5),\f(4,5))＝－\f(3,4).小结：一个口诀诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．两个防范1.利用诱导公式进展化简求值时，要注意函数名称和符号确实定．2．在利用同角三角函数的平方关系时，假设开方，要注意判断三角函数值的符号．三种方法在求值及化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式α＝\f(αα)进展弦、切互化．(2)和积转换法：利用(θ±θ)2＝1±2θθ的关系进展变形、转化．(3)巧用“1〞的变换：1＝2θ＋2θ＝2θ(1＋2θ)＝\f(π,4)等．课后作业(十七)同角三角函数的根本关系式及诱导公式一、选择题1．(2021·郑州模拟)记(－80°)＝k，则100°＝()\f(\r(1－k2))B．－\f(\r(1－k2))\f(k,\r(1－k2))D．－\f(k,\r(1－k2))【解析】由(－80°)＝k，得80°＝k，∴80°＝\r(1－k2)，∴100°＝(180°－80°)＝－80°＝－\f(\r(1－k2)).【答案】B2．(2021·温州模拟)假设(\f(π,2)＋θ)＝\f(\r(3),2)，且|θ|＜\f(π,2)，则θ＝()A．－\r(3)\f(\r(3),3)C．－\f(\r(3),3)\r(3)【解析】∵(\f(π,2)＋θ)＝\f(\r(3),2)，∴－θ＝\f(\r(3),2)，即θ＝－\f(\r(3),2)，∵|θ|＜\f(π,2)，∴θ＝－\f(π,3)，∴θ＝(－\f(π,3))＝－\r(3).【答案】A3．(2021·济南模拟)α∈(－\f(π,2)，0)，(－α－\f(3π,2))＝\f(\r(5),5)则(－π－α)＝()\f(\r(5),5)\f(2\r(5),5)C．－\f(\r(5),5)D．－\f(2\r(5),5)【解析】∵(－α－\f(3π,2))＝－(\f(3π,2)＋α)＝α＝\f(\r(5),5)，且α∈(－\f(π,2)，0)，∴α＝－\r(1－2α)＝－\r(1－\f(5,25))＝－\f(2\r(5),5)，∴(－π－α)＝－(π＋α)＝α＝－\f(2\r(5),5).【答案】D4．(2021·保定模拟)θ＝2，则2θ＋θθ－22θ＝()A．－\f(4,3)\f(5,4)C．－\f(3,4)\f(4,5)【解析】2θ＋θθ－22θ＝\f(2θ＋θθ－22θ2θ＋2θ)＝\f(2θ＋θ－22θ＋1)＝\f(4＋2－2,4＋1)＝\f(4,5).【答案】D5．(2021·普宁模拟)假设\f(θ＋θθ－θ)＝2，则\f(θ3θ)＋\f(θ3θ)的值为()A．－\f(817,27)\f(817,27)\f(820,27)D．－\f(820,27)【解析】∵\f(θ＋θθ－θ)＝2，∴θ＝3θ，∴\f(θ3θ)＋\f(θ3θ)＝\f(32θ)＋\f(1,272θ)＝\f(82,272θ)由\b\\{\\(\a\4\\1(θ＝3θ，2θ＋2θ＝1))得2θ＝\f(1,10)，∴\f(θ3θ)＋\f(θ3θ)＝\f(820,27).【答案】C6．假设α是5x2－7x－6＝0的根，则\f(－α－\f(3π,2)\f(3π,2)－α22π－α\f(π,2)－α\f(π,2)＋απ＋α)＝()\f(3,5)\f(5,3)\f(4,5)\f(5,4)【解析】方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－\f(3,5)，x2＝2，则α＝－\f(3,5).原式＝\f(α－α2αα－α－α)＝－\f(1α)＝\f(5,3).【答案】B二、填空题7．(\f(π,4)＋α)＝\f(\r(3),2)，则(\f(3π,4)－α)的值为．【解析】(\f(3π,4)－α)＝[π－(\f(π,4)＋α)]＝(\f(π,4)＋α)＝\f(\r(3),2).【答案】\f(\r(3),2)8．(2021·青岛模拟)α＝2，则72α＋32α＝.【解析】72α＋32α＝\f(72α＋32α2α＋2α)＝\f(72α＋32α＋1)＝\f(7×22＋3,22＋1)＝\f(31,5).【答案】\f(31,5)9．(x＋\f(π,6))＝\f(1,4)，则(\f(7π,6)＋x)＋2(\f(5π,6)－x)＝.【解析】原式＝－(\f(π,6)＋x)＋2(\f(π,6)＋x)＝－\f(1,4)＋(1－\f(1,42))＝\f(11,16).【答案】\f(11,16)三、解答题10．函数f(x)＝\f(1－x－\f(3π,2)＋x＋\f(π,2)＋\f(3,4)πx).(1)求函数y＝f(x)的定义域；(2)设α＝－\f(4,3)，求f(α)的值．【解】(1)由x≠0，得x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z，所以函数的定义域是{≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z}．(2)∵α＝－\f(4,3)，∴f(α)＝\f(1－α－\f(3π,2)＋α＋\f(π,2)＋\f(3,4)πα)＝\f(1－α－α－1α)＝\f(－α－αα)＝－1－α＝\f(1,3).11．(α＋\f(8,7)π)＝a.求证：\f(\f(15,7)π＋α＋3α－\f(13,7)π\f(20,7)π－α－α＋\f(22,7)π)＝\f(a＋3＋1).【证明】由得左边＝\f([π＋α＋\f(8,7)π]＋3[α＋\f(8π,7)－3π][4π－α＋\f(8,7)π]－[2π＋α＋\f(8,7)π])＝\f(－α＋\f(8,7)π－3α＋\f(8,7)π,－α＋\f(8,7)π－α＋\f(8,7)π)＝\f(α＋\f(8,7)π＋3α＋\f(8,7)π＋1)＝\f(a＋3＋1)＝右边，所以原等式成立．12．在△中，假设(2π－A)＝－\r(2)(π－B)，\r(3)A＝－\r(2)(π－B)，求△的三个内角．【解】由得\b\\{\\(\a\4\\1(A＝\r(2)B，①,\r(3)A＝\r(2)B，②))①2＋②2得22A＝1，即A＝\f(\r(2),2)或A＝－\f(\r(2),2).(1)当A＝\f(\r(2),2)时，B＝\f(\r(3),2)，又A、B是三角形的内角，∴A＝\f(π,4)，B＝\f(π,6)，∴C＝π－(A＋B)＝\f(7,12)π.(2)当A＝－\f(\r(2),2)时，B＝－\f(\r(3),2).又A、B是三角形的内角，∴A＝\f(3,4)π，B＝\f(5,6)π，不合题意．综上知，A＝\f(π,4)，B＝\f(π,6)，C＝\f(7,12)π.第三节三角函数的图象及性质学习目标：1.能画出y＝x，y＝x，y＝x的图象，了解三角函数的周期性．2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及及x轴的交点等)，理解正切函数在区间(－\f(π,2)，\f(π,2))内的单调性.考点梳理：1．周期函数和最小正周期对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x＋T)＝f(x)，则函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．假设在所有周期中，存在一个最小的正数，则这个最小的正数叫做f(x)的最小正周期．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y＝xy＝xy＝x图象定义域RR{≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z}值域[－1,1][－1,1]R单调性递增区间是[2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)](k∈Z)；递减区间是[2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)](k∈Z)递增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)；递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)递增区间是(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2))(k∈Z)最大值和最小值＝1；＝－1＝1；y＝－1无最大值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心(kπ，0)，k∈Z(kπ＋\f(π,2)，0)，k∈Z(\f(kπ,2)，0)，k∈Z对称轴x＝kπ＋\f(π,2)，k∈Zx＝kπ，k∈Z无对称轴最小正周期2π2ππ思考：1．是否每一个周期函数都有最小正周期？【提示】不一定．如常数函数f(x)＝a，每一个非零数都是它的周期．2．正弦函数和余弦函数的图象的对称轴及对称中心及函数图象的关键点是什么关系？【提示】y＝x及y＝x的对称轴方程中的x都是它们取得最大值或最小值时相应的x.对称中心的横坐标都是它们的零点．学情自测：1．函数y＝3x的定义域为()A．{≠\f(3,2)π＋3kπ，k∈Z}B．{≠\f(π,6)＋kπ，k∈Z}C．{≠－\f(π,6)＋kπ，k∈Z}D．{≠\f(π,6)＋\f(kπ,3)，k∈Z}【解析】由3x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z得x≠\f(π,6)＋\f(kπ,3)，k∈Z，应选D.【答案】D2．函数f(x)＝2(x＋\f(5π,2))是()A．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为2π的偶函数C．最小正周期为2π的非奇非偶函数D．最小正周期为π的偶函数【解析】f(x)＝2(x＋\f(5,2)π)＝2(x＋\f(π,2))＝－2x，故f(x)是最小正周期为2π的奇函数．【答案】A3．(2021·福建高考)函数f(x)＝(x－\f(π,4))的图象的一条对称轴是()A．x＝\f(π,4)B．x＝\f(π,2)C．x＝－\f(π,4)D．x＝－\f(π,2)【解析】法一∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点，故令x－\f(π,4)＝kπ＋\f(π,2)，k∈Z，∴x＝kπ＋\f(3π,4)，k∈Z.取k＝－1，则x＝－\f(π,4).法二x＝\f(π,4)时，y＝(\f(π,4)－\f(π,4))＝0，不合题意，排除A；x＝\f(π,2)时，y＝(\f(π,2)－\f(π,4))＝\f(\r(2),2)，不合题意，排除B；x＝－\f(π,4)时，y＝(－\f(π,4)－\f(π,4))＝－1，符合题意，C项正确；而x＝－\f(π,2)时，y＝(－\f(π,2)－\f(π,4))＝－\f(\r(2),2)，不合题意，故D项也不正确．【答案】C4．比拟大小：(－\f(π,18))(－\f(π,10))．【解析】∵－\f(π,2)＜－\f(π,10)＜－\f(π,18)＜0，∴(－\f(π,18))＞(－\f(π,10))．【答案】＞5．函数y＝2－3(x＋\f(π,4))的最大值为，此时x＝.【解析】当(x＋\f(π,4))＝－1时，函数有最大值5，此时，x＋\f(π,4)＝π＋2kπ，k∈Z，即x＝\f(3,4)π＋2kπ，k∈Z.【答案】5\f(3,4)π＋2kπ，k∈Z典例探究：例1〔三角函数的定义域和值域〕(1)(2021·山东高考)函数y＝2(\f(πx,6)－\f(π,3))(0≤x≤9)的最大值及最小值之和为()A．2－\r(3)B．0C．－1D．－1－\r(3)(2)函数y＝\f(1x－1)的定义域为．【思路】(1)先确定\f(πx,6)－\f(π,3)的范围，再数形结合求最值；(2)由x－1≠0且x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z求解．【解答】(1)∵0≤x≤9，∴－\f(π,3)≤\f(π,6)x－\f(π,3)≤\f(7π,6)，∴(\f(π,6)x－\f(π,3))∈[－\f(\r(3),2)，1]．∴y∈[－\r(3)，2]，∴＋＝2－\r(3).(2)要使函数有意义，必须有\b\\{\\(\a\4\\1(x－1≠0，≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z，))即\b\\{\\(\a\4\\1(x≠\f(π,4)＋kπ，k∈Z，≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z.))故函数的定义域为{≠\f(π,4)＋kπ且x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z}．【答案】(1)A(2){≠\f(π,4)＋kπ且x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z},变式训练1：(1)函数y＝\r(2x－1)的定义域为．(2)当x∈[\f(π,6)，\f(7π,6)]时，函数y＝3－x－22x的最小值是，最大值是．【解析】(1)由2x－1≥0得x≥\f(1,2)，∴2kπ＋\f(π,6)≤x≤2kπ＋\f(5π,6)，k∈Z，故函数的定义域为[2kπ＋\f(π,6)，2kπ＋\f(5,6)π](k∈Z)．(2)∵x∈[\f(π,6)，\f(7,6)π]∴－\f(1,2)≤x≤1，又y＝3－x－22x＝22x－x＋1＝2(x－\f(1,4))2＋\f(7,8)，∴当x＝\f(1,4)时，＝\f(7,8)，当x＝1或－\f(1,2)时，＝2.【答案】(1)[2kπ＋\f(π,6)，2kπ＋\f(5π,6)](k∈Z)(2)\f(7,8)2例2〔三角函数的单调性〕(2021·北京高考)函数f(x)＝\f(x－x2x).(1)求f(x)的定义域及最小正周期；(2)求f(x)的单调递减区间．【思路】(1)求定义域时考虑分母不为零，然后对f(x)解析式进展化简，转化成正弦型函数的形式，再求周期；(2)求单调递减区间时利用整体代换，把ωx＋φ当作一个整体放入正弦的减区间内解出x即为减区间，不要忽略对定义域的考虑．【解答】(1)由x≠0得x≠kπ(k∈Z)，故f(x)的定义域为{x∈≠kπ，k∈Z}．因为f(x)＝\f(x－x2x)＝2x(x－x)＝2x－2x－1＝\r(2)(2x－\f(π,4))－1，所以f(x)的最小正周期T＝\f(2π,2)＝π.(2)函数y＝x的单调递减区间为[2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)](k∈Z)．由2kπ＋\f(π,2)≤2x－\f(π,4)≤2kπ＋\f(3π,2)，x≠kπ(k∈Z)，得kπ＋\f(3π,8)≤x≤kπ＋\f(7π,8)(k∈Z)．所以f(x)的单调递减区间为[kπ＋\f(3π,8)，kπ＋\f(7π,8)](k∈Z)．变式训练2:(2021·武汉模拟)函数y＝(\f(π,3)－2x)，求：(1)函数的周期；(2)求函数在[－π，0]上的单调递减区间．【解】由y＝(\f(π,3)－2x)可化为y＝－(2x－\f(π,3))．(1)周期T＝\f(2π,ω)＝\f(2π,2)＝π.(2)令2kπ－\f(π,2)≤2x－\f(π,3)≤2kπ＋\f(π,2)，k∈Z，得kπ－\f(π,12)≤x≤kπ＋\f(5π,12)，k∈Z.所以x∈R时，y＝(\f(π,3)－2x)的减区间为[kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5π,12)]，k∈Z.取k＝－1,0可得函数在[－π，0]上的单调递减区间为[－π，－\f(7π,12)]和[－\f(π,12)，0].例3〔三角函数的奇偶性、周期性和对称性〕设函数f(x)＝(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜\f(π,2))，给出以下四个论断：①它的最小正周期为π；②它的图象关于直线x＝\f(π,12)成轴对称图形；③它的图象关于点(\f(π,3)，0)成中心对称图形；④在区间[－\f(π,6)，0)上是增函数．以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题(用序号表示即可)．【思路】此题是一个开放性题目，依据正弦函数的图象及单调性、周期性以及对称性逐一判断．【解答】假设①、②成立，则ω＝\f(2π,π)＝2；令2·\f(π,12)＋φ＝kπ＋\f(π,2)，k∈Z，且|φ|＜\f(π,2)，故k＝0，∴φ＝\f(π,3).此时f(x)＝(2x＋\f(π,3))，当x＝\f(π,3)时，(2x＋\f(π,3))＝π＝0，∴f(x)的图象关于(\f(π,3)，0)成中心对称；又f(x)在[－\f(5π,12)，\f(π,12)]上是增函数，∴在[－\f(π,6)，0)上也是增函数，因此①②⇒③④，用类似的分析可得①③⇒②④.因此填①②⇒③④或①③⇒②④.【答案】①②⇒③④或①③⇒②④,变式训练3：函数f(x)＝(πx－\f(π,2))－1，则以下说法正确的选项是()A．f(x)是周期为1的奇函数B．f(x)是周期为2的偶函数C．f(x)是周期为1的非奇非偶函数D．f(x)是周期为2的非奇非偶函数【解析】周期T＝\f(2π,π)＝2，f(x)＝(πx－\f(π,2))－1＝－πx－1，因此函数f(x)是偶函数，应选B.【答案】B小结：两条性质1.假设f(x)＝(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝\f(π,2)＋kπ(k∈Z)；(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．2．对称性：正、余弦函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形且最值点在对称轴上，正切函数的图象只是中心对称图形．三种方法求三角函数值域(最值)的方法：(1)利用x、x的有界性；(2)化为y＝(ωx＋φ)＋k的形式，逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把x或x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．课后作业(十八)三角函数的图象及性质一、选择题1．(2021·银川模拟)以下函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x＝\f(π,3)对称的函数是()A．y＝2(2x＋\f(π,3))B．y＝2(2x－\f(π,6))C．y＝2(\f(x,2)＋\f(π,3))D．y＝2(2x－\f(π,3))【解析】根据函数的最小正周期为π，排除C，又图象关于直线x＝\f(π,3)对称，则f(\f(π,3))＝2或f(\f(π,3))＝－2，代入检验知选B.【答案】B2．函数y＝(\f(π,4)－x)的定义域是()A．{≠\f(π,4)}B．{≠－\f(π,4)}C．{≠kπ＋\f(π,4)，k∈Z}D．{≠kπ＋\f(3π,4)，k∈Z}【解析】y＝(\f(π,4)－x)＝－(x－\f(π,4))，由x－\f(π,4)≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z，得x≠nπ＋\f(3π,4)，k∈Z，应选D.【答案】D3．函数y＝2x＋x－1的值域为()A．[－1,1]B．[－\f(5,4)，－1]C．[－\f(5,4)，1]D．[－1，\f(5,4)]【解析】f(x)＝(x＋\f(1,2))2－\f(5,4)，∵x∈[－1,1]，∴－\f(5,4)≤f(x)≤1，∴f(x)的值域为[－\f(5,4)，1]．【答案】C4．(2021·日照质检)函数y＝2x的图象向右平移φ(φ＞0)个单位，得到的图象关于直线x＝\f(π,6)对称，则φ的最小值为()\f(5π,12)\f(11π,6)\f(11π,12)D．以上都不对【解析】函数y＝2x的图象平移后所得图象对应的函数解析式为y＝2(x－φ)＝(2x－2φ)，其图象关于x＝\f(π,6)对称，所以2·\f(π,6)－2φ＝kπ＋\f(π,2)(k∈Z)，解得φ＝－\f(k,2)π－\f(π,12)(k∈Z)，故当k＝－1时，φ的最小值为\f(5π,12).【答案】A5．(2021·北京模拟)函数f(x)＝x＋\r(3)x，设a＝f(\f(π,7))，b＝f(\f(π,6))，c＝f(\f(π,3))，则a，b，c的大小关系是()A．a＜b＜cB．c＜a＜bC．b＜a＜cD．b＜c＜a【解析】∵f(x)＝x＋\r(3)x＝2(x＋\f(π,3))，∴函数f(x)的图象关于直线x＝\f(π,6)对称，从而f(\f(π,3))＝f(0)，又f(x)在[0，\f(π,6)]上是增函数，∴f(0)＜f(\f(π,7))＜f(\f(π,6))，即c＜a＜b.【答案】B6．函数f(x)＝2(ωx＋φ)，x∈R，其中ω＞0，－π＜φ≤π.假设f(x)的最小正周期为6π，，且当x＝\f(π,2)时，f(x)取得最大值，则()A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数【解析】∵T＝6π，∴ω＝\f(2π)＝\f(2π,6π)＝\f(1,3)，∴\f(1,3)×\f(π,2)＋φ＝2kπ＋\f(π,2)，∴φ＝2kπ＋\f(π,3)(k∈Z)．∵－π＜φ≤π，∴令k＝0得φ＝\f(π,3).∴f(x)＝2(\f(x,3)＋\f(π,3))．令2kπ－\f(π,2)≤\f(x,3)＋\f(π,3)≤2kπ＋\f(π,2)，k∈Z，则6kπ－\f(5π,2)≤x≤6kπ＋\f(π,2)，k∈Z.易知f(x)在区间[－2π，0]上是增函数．【答案】A二、填空题7．(2021·延吉模拟)f(x)＝(ωx＋φ)，f(α)＝A，f(β)＝0，|α－β|的最小值为\f(π,3)，则正数ω＝.【解析】由|α－β|的最小值为\f(π,3)知函数f(x)的周期T＝\f(4,3)π，∴ω＝\f(2π)＝\f(3,2).【答案】\f(3,2)8．函数f(x)＝3(ωx－\f(π,6))(ω＞0)和g(x)＝2(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全一样，假设x∈[0，\f(π,2)]，则f(x)的取值范围是．【解析】依题意得ω＝2，所以f(x)＝3(2x－\f(π,6))．因为x∈[0，\f(π,2)]，所以2x－\f(π,6)∈[－\f(π,6)，\f(5,6)π]，所以(2x－\f(π,6))∈[－\f(1,2)，1]，所以f(x)∈[－\f(3,2)，3]．【答案】[－\f(3,2)，3]9．函数f(x)＝x(x∈R)，给出以下四个命题：①假设f(x1)＝－f(x2)，则x1＝－x2；②f(x)的最小正周期是2π；③f(x)在区间[－\f(π,4)，\f(π,4)]上是增函数；④f(x)的图象关于直线x＝\f(3π,4)对称．其中真命题是．【解析】f(x)＝\f(1,2)2x，当x1＝0，x2＝\f(π,2)时，f(x1)＝－f(x2)，但x1≠－x2，故①是假命题；f(x)的最小正周期为π，故②是假命题；当x∈[－\f(π,4)，\f(π,4)]时，2x∈[－\f(π,2)，\f(π,2)]，故③是真命题；因为f(\f(3π,4))＝\f(1,2)\f(3,2)π＝－\f(1,2)，故f(x)的图象关于直线x＝\f(3,4)π对称，故④是真命题．【答案】③④三、解答题10．函数f(x)＝x＋2x，(1)求f(\f(π,4))的值；(2)假设x∈[0，\f(π,2)]，求f(x)的最大值及相应的x值．【解】(1)∵f(x)＝x＋2x，∴f(\f(π,4))＝\f(π,4)\f(π,4)＋2\f(π,4)＝(\f(\r(2),2))2＋(\f(\r(2),2))2＝1.(2)f(x)＝x＋2x＝\f(1,2)2x＋\f(1－2x,2)＝\f(1,2)(2x－2x)＋\f(1,2)＝\f(\r(2),2)(2x－\f(π,4))＋\f(1,2)，由x∈[0，\f(π,2)]得2x－\f(π,4)∈[－\f(π,4)，\f(3π,4)]，所以，当2x－\f(π,4)＝\f(π,2)，即x＝\f(3,8)π时，f(x)取到最大值为\f(\r(2)＋1,2).11．设函数f(x)＝(2x＋φ)(－π＜φ＜0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝\f(π,8)，(1)求φ；(2)求函数y＝f(x)的单调增区间．【解】(1)∵直线x＝\f(π,8)是函数f(x)图象的一条对称轴，∴2×\f(π,8)＋φ＝\f(π,2)＋kπ，k∈Z，即φ＝\f(π,4)＋kπ，k∈Z，又－π＜φ＜0，∴φ＝－\f(3,4)π.(2)由(1)知f(x)＝(2x－\f(3,4)π)，令－\f(π,2)＋2kπ≤2x－\f(3,4)π≤\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，得\f(π,8)＋kπ≤x≤\f(5π,8)＋kπ，k∈Z.因此y＝f(x)的单调增区间为[\f(π,8)＋kπ，\f(5,8)π＋kπ]，k∈Z.12．(2021·潍坊模拟)向量a＝(ωx，ωx)，b＝(θ，θ)，f(x)＝a·b＋1，其中A＞0，ω＞0，θ为锐角．f(x)的图象的两个相邻对称中心的距离为\f(π,2)，且当x＝\f(π,12)时，f(x)取得最大值3.(1)求f(x)的解析式；(2)将f(x)的图象先向下平移1个单位，再向左平移φ(φ＞0)个单位得g(x)的图象，假设g(x)为奇函数，求φ的最小值．【解】(1)f(x)＝a·b＋1＝ωx·θ＋ωx·θ＋1＝(\a\4\(ωx)＋θ)＋1，∵f(x)的图象的两个相邻对称中心的距离为\f(π,2)，∴T＝π＝\f(2π,ω)，∴ω＝2.∵当x＝\f(π,12)时，f(x)的最大值为3，∴A＝3－1＝2，且有2·\f(π,12)＋θ＝2kπ＋\f(π,2)(k∈Z)．∴θ＝2kπ＋\f(π,3)，∵θ为锐角，∴θ＝\f(π,3).∴f(x)＝2(2x＋\f(π,3))＋1.(2)由题意可得g(x)的解析式为g(x)＝2[2(x＋φ)＋\f(π,3)]，∵g(x)为奇函数，∴2φ＋\f(π,3)＝kπ，φ＝\f(kπ,2)－\f(π,6)(k∈Z)，∵φ＞0，∴当k＝1时，φ取最小值\f(π,3).第四节函数y＝(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的应用学习目标：1.了解函数y＝(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．2．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.考点梳理：1．y＝(ωx＋φ)的有关概念y＝(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相AT＝\f(2π,ω)f＝\f(1)＝\f(ω,2π)ωx＋φφ2.用五点法画y＝(ωx＋φ)一个周期内的简图用五点法画y＝(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示x－\f(φ,ω)\f(\f(π,2)－φ,ω)\f(π－φ,ω)\f(\f(3,2)π－φ,ω)\f(2π－φ,ω)ωx＋φ0\f(π,2)π\f(3π,2)2πy＝(ωx＋φ)0A0－A03.由y＝x的图象变换得到y＝(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的图象(1)先平移后伸缩(2)先伸缩后平移思考：1．五点作法作y＝(ωx＋φ)的图象，首先确定哪些数据？【提示】先确定ωx＋φ，即先使ωx＋φ等于0，\f(π,2)，π，\f(3π,2)，2π，然后求出x的值．2．在图象变换时运用“先平移后伸缩〞及“先伸缩后平移〞两种途径，向左或向右平移的单位个数为什么不一样？【提示】可以看出，前者平移|φ|个单位，后者平移\f(φ,ω)|个单位，原因在于相位变换和周期变换都是针对变量x而言的，因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移及伸缩的先后顺序，否则会出现错误．学情自测：1．简谐运动f(x)＝2(\f(π,3)x＋φ)(|φ|＜\f(π,2))的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为()A．T＝6，φ＝\f(π,6)B．T＝6，φ＝\f(π,3)C．T＝6π，φ＝\f(π,6)D．T＝6π，φ＝\f(π,3)【解析】由题意知f(0)＝2φ＝1，∴φ＝\f(1,2)，又|φ|＜\f(π,2)，∴φ＝\f(π,6)，又T＝6，应选A.【答案】A2．把y＝\f(1,2)x的图象上点的横坐标变为原来的2倍得到y＝ωx的图象，则ω的值为()A．1B．4\f(1,4)D．2【解析】横坐标变为原来的2倍，则x变为\f(1,2)x，故得到的函数解析式为y＝\f(1,4)x，应选C.【答案】C3．将函数y＝x的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把所得图象上所有的点向右平行移动\f(π,10)个单位，得到图象的函数解析式为()A．y＝(2x－\f(π,10))B．y＝(2x－\f(π,20))C．y＝(\f(1,2)x－\f(π,10))D．y＝(\f(1,2)x－\f(π,20))【解析】将y＝x的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到的图象解析式为y＝\f(1,2)x，再把所得图象上所有点向右平移\f(π,10)个单位，得到的图象解析式为y＝\f(1,2)(x－\f(π,10))＝(\f(1,2)x－\f(π,20))．【答案】D4．函数y＝(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜\f(π,2))的局部图象如图3－4－1所示，则()图3－4－1A．ω＝1，φ＝\f(π,6)B．ω＝1，φ＝－\f(π,6)C．ω＝2，φ＝\f(π,6)D．ω＝2，φ＝－\f(π,6)【解析】由图象知A＝1，T＝4(\f(7,12)π－\f(π,3))＝π，∴\f(2π,ω)＝π，ω＝2，排除A，B，再由2×\f(π,3)＋φ＝\f(π,2)，得φ＝－\f(π,6).【答案】D5．(2021·安徽高考)要得到函数y＝(2x＋1)的图象，只要将函数y＝2x的图象()A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位C．向左平移\f(1,2)个单位D．向右平移\f(1,2)个单位【解析】∵y＝(2x＋1)＝2(x＋\f(1,2))，∴只要将函数y＝2x的图象向左平移\f(1,2)个单位即可，应选C.【答案】C典例探究：例1〔函数y＝(ωx＋φ)的图象变换〕(1)(2021·浙江高考)把函数y＝2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是()(2)(2021·大连模拟)设ω＞0，函数y＝(ωx＋\f(π,3))＋2的图象向右平移\f(4π,3)个单位后及原图象重合，则ω的最小值是()\f(2,3)\f(4,3)\f(3,2)D．3【思路】(1)写出变换后的函数解析式，再根据图象变换找图象；(2)平移后及原图象重合，则平移量是周期的整数倍．【解答】(1)y＝2x＋1\o(→,\s\7(横坐标伸长2倍),\s\5(纵坐标不变))y＝x＋1\o(→,\s\7(向左平移1个单位长度))y＝(x＋1)＋1\o(→,\s\7(向下平移1个单位长度))y＝(x＋1)．结合选项可知应选A.(2)设函数的周期为T，由题意知＝\f(4,3)π，k∈Z，∴T＝\f(4π,3k)，∴ω＝\f(3,2)k，k∈Z，又ω＞0，∴k＝1时，ω有最小值\f(3,2)，应选C.【答案】(1)A(2)C变式训练1：(1)(2021·济南模拟)要得到函数y＝(2x－\f(π,3))的图象，只需将函数y＝2x的图象()A．向左平移\f(π,12)个单位B．向右平移\f(π,12)个单位C．向左平移\f(π,6)个单位D．向右平移\f(π,6)个单位(2)(2021·青岛质检)将函数y＝(x－\f(π,3))的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移\f(π,3)个单位，则所得函数图象对应的解析式为()A．y＝(\f(1,2)x－\f(π,3))B．y＝(2x－\f(π,6))C．y＝\f(1,2)xD．y＝(\f(1,2)x－\f(π,6))【解析】(1)∵y＝(2x－\f(π,3))＝2(x－\f(π,6))，∴只需将函数y＝2x的图象向右平移\f(π,6)个单位即可．(2)将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到y＝(\f(1,2)x－\f(π,3))的图象，然后将所得图象向左平移\f(π,3)个单位得到y＝[\f(1,2)(x＋\f(π,3))－\f(π,3)]＝(\f(1,2)x－\f(π,6))的图象．【答案】(1)D(2)D例2〔作函数y＝(ωx＋φ)的图象〕函数f(x)＝2x－2x－2x.图3－4－2(1)将f(x)化为y＝(ωx＋φ)的形式；(2)用“五点法〞在给定的坐标中，作出函数f(x)在[0，π]上的图象．【思路】(1)运用二倍角公式及两角和及差的余弦公式化为y＝(ωx＋φ)的形式；(2)在表中列出[0，π]上的特殊点及两个区间端点，根据变化趋势画出图象．【解答】(1)f(x)＝2x－2x－2x＝2x－2x＝\r(2)(\f(\r(2),2)2x－\f(\r(2),2)2x)＝\r(2)(2x＋\f(π,4))．(2)列表：2x＋\f(π,4)\f(π,4)\f(π,2)π\f(3,2)π2π\f(9,4)πx0\f(π,8)\f(3,8)π\f(5,8)π\f(7,8)ππf(x)10－\r(2)0\r(2)1图象为：变式训练2：函数f(x)＝(2x＋\f(π,3))．(1)求函数y＝f(x)的单调递增区间；(2)画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象．【解】(1)由2kπ－\f(π,2)≤2x＋\f(π,3)≤2kπ＋\f(π,2)(k∈Z)得kπ－\f(5π,12)≤x≤kπ＋\f(π,12)(k∈Z)，∴所求单调增区间为[kπ－\f(5π,12)，kπ＋\f(π,12)](k∈Z)．(2)∵0≤x≤π，∴\f(π,3)≤2x＋\f(π,3)≤\f(7π,3).列表如下：2x＋\f(π,3)\f(π,3)\f(π,2)π\f(3π,2)2π\f(7π,3)x0\f(π,12)\f(π,3)\f(7π,12)\f(5π,6)πy\f(\r(3),2)10－10\f(\r(3),2)画出图象如下图．例3〔求函数y＝(ωx＋φ)的解析式〕(1)(2021·无锡模拟)函数f(x)＝(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0)的局部图象如图3－4－3所示，则f(0)的值是．图3－4－3(2)(2021·厦门模拟)函数f(x)＝(\f(π,6)x＋φ)(A＞0,0＜φ＜\f(π,2))的局部图象如图3－4－4所示，P、Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为(2，A)，点R的坐标为(2,0)．假设∠＝\f(2π,3)，则y＝f(x)的最大值及φ的值分别是()图3－4－4A．2\r(3)，\f(π,6)\r(3)，\f(π,3)\r(3)，\f(π,6)D．2\r(3)，\f(π,3)【思路】(1)观察函数f(x)的图象特征，可求A、T，根据图象过定点可求φ，最后求f(0)．(2)根据图象过点P(2，A)可求φ，根据周期可求点Q的横坐标，解直角三角形求A.【解答】(1)由题图知A＝\r(2)，\f(T,4)＝\f(7π,12)－\f(π,3)＝\f(π,4)，T＝π，又T＝\f(2π,ω)，∴ω＝2，根据函数图象的对应关系，得2×\f(π,3)＋φ＝2kπ＋π，∴φ＝2kπ＋\f(π,3)，k∈Z.令k＝0，取φ＝\f(π,3)，∴函数解析式为f(x)＝\r(2)(2x＋\f(π,3))，∴f(0)＝\r(2)\f(π,3)＝\f(\r(6),2).(2)由题意知，(\f(π,6)×2＋φ)＝A，∴(\f(π,3)＋φ)＝1，又0＜φ＜\f(π,2)，∴φ＝\f(π,6)，∵∠＝\f(2,3)π，∴∠＝\f(π,6)，∵周期T＝12，∴Q(8，－A)，∴\f(π,6)＝\f(A,6)，∴A＝2\r(3)，因此函数f(x)的最大值为2\r(3)，φ＝\f(π,6)，应选A.【答案】(1)\f(\r(6),2)(2)A变式训练3：如图3－4－5是函数y＝(ωx＋φ)＋2(A＞0，ω＞0)的图象的一局部，它的振幅、周期、初相各是()图3－4－5A．A＝3，T＝\f(4π,3)，φ＝－\f(π,6)B．A＝1，T＝\f(4π,3)，φ＝\f(3π,4)C．A＝1，T＝\f(4π,3)，φ＝－\f(3π,4)D．A＝1，T＝\f(4π,3)，φ＝－\f(π,6)【解析】由图象知，A＝\f(3－1,2)＝1，\f(T,2)＝\f(5,6)π－\f(π,6)＝\f(2,3)π，∴T＝\f(4,3)π，ω＝\f(3,2)，由\f(5,6)π×\f(3,2)＋φ＝\f(π,2)＋2kπ，得φ＝－\f(3,4)π＋2kπ，k∈Z，令k＝0得φ＝－\f(3,4)π，应选C.【答案】C例4〔三角函数模型的简单应用〕如图3－4－6为一个缆车示意图，该缆车半径为m，圆上最低点及地面距离为m,60秒转动一圈，图中及地面垂直，以为始边，逆时针转动θ角到，设B点及地面间的距离为h.(1)求h及θ间关系的函数解析式；(2)设从开场转动，经过t秒后到达，求h及t之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？图3－4－6