高一上学期期末复习【第二章 一元二次函数、方程和不等式】九大题型归纳（拔尖篇）（解析版）

高一上学期期末复习第二章九大题型归纳（拔尖篇）【人教A版（2019）】题型题型1利用作差法、作商法比较大小1．（2023下·辽宁抚顺·高二校联考期末）已知x>y>1>A．a>c>b BC．b>c>a D【解题思路】由x>y>1>z>0，得【解答过程】因为x>y>1>z所以aa-b=a-c=c-b=所以a>b且故选：D.2．（2023·上海·高三专题练习）设p=a2+aA．p>q B．p<q C．【解题思路】首先配方判断p、q均大于零，然后作商即可比较大小.【解答过程】p=q=则q=a故p≤q，当且仅当故选：D.3．（2023上·贵州六盘水·高一统考期中）从下列三组式子中选择一组比较大小：①设x>1,M=②设M=x+3③设a>b>0,M注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分.【解题思路】①利用有理根式可得M=1x+x②用作差法比较即可；③用作差法或作商法比较即可.【解答过程】解：①MM=因为x+1所以1x即x+1∴M②MM-∴M③M方法一（作差法）M=a因为a>b>0所以2ab所以a2∴M方法二（作商法）因为a>b>0所以MN所以a2∴M4．（2023·江苏·高一假期作业）下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？(1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了；(2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡；(3)如果向一杯糖水里加水，糖水变淡了.【解题思路】由题意建立不等式，利用作差法比较大小即可得证.【解答过程】（1）设糖水b克，含糖a克，糖水浓度为ab，加入m克糖，即证明不等式a+mb+m>ab(其中a，不妨用作差比较法，证明如下：a+mb+m∵a，b，m为正实数，且a<b，∴mb-a（2）设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为ab；另一份糖水d克，含糖c克，糖水浓度为cd，且ab<cd证明：∵ab<cd，且b＞a＞0，d∴ad<bcab即abcd即a（3）设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为ab，加入m克水，求证：ab>ab+m(其中b＞证明：ab∴a题型题型2利用不等式的性质求取值范围1．（2023上·山东济宁·高一曲阜一中校考期末）已知0<a-b<2，2<aA．4,8 B．6,10 C．4,10 D．6,12【解题思路】首先用a-b和a+b表示3【解答过程】设3a得x+y=3所以3a因为0<a-b<2，2<a所有3a+b故选：C.2．（2023上·陕西商洛·高二统考期末）已知实数a，b满足-3≤a+b≤-2，1≤A．92,412 B．6,19 C．【解题思路】由3a-【解答过程】因为3a由-3≤a+由1≤a-b所以6≤3a-5b=-(故选：B.3．（2023上·广东揭阳·高一统考期中）实数a，b满足4≤a+b(1)求实数a，b的取值范围；(2)求3a-【解题思路】（1）应用不等式性质线性运算可得；（2）用已知式子表示所求式子结合不等式性质线性运算即可.【解答过程】（1）∵4≤a+∴3≤a≤5，（2）3a-因为2≤a-b≤3又4≤a+b≤7所以3a4．（2023上·广东佛山·高一校考期中）设a∈-6,8(1)求2a(2)求a-(3)求ab【解题思路】根据不等式的性质求取值范围.【解答过程】（1）因为a∈-6,8又b∈2,3，所以（2）因为b∈2,3，所以因为a∈-6,8（3）因为b∈2,3，所以当a∈0,8时，当a∈-6,0所以ab题型题型3利用不等式的性质证明不等式1．（2023上·陕西榆林·高一校考期中）证明下列不等式：(1)已知a>b>(2)已知a>b>0,【解题思路】（1）依题意可得a-（2）利用作差法证明即可.【解答过程】（1）∵a>b∴a-d（2）∵a∴-c∴a则ea∴2．（2023·高一课时练习）阅读材料：（1）若x>y>0，且（2）若a<b,请依据以上材料解答问题：已知a，b，c是三角形的三边，求证：ab【解题思路】利用三角形两边的和大于第三边，结合给定材料推理作答.【解答过程】因为a，b，c是三角形的三边，则b+c>a>0同理ba+c<2ab所以原不等式成立.3．（2023上·河南·高一阶段练习）如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：yx(1)证明榶水不等式；(2)已知a,b,【解题思路】（1）由作差法证明；（2）由糖水不等式变形证明．【解答过程】（1）y+因为x>y>0,所以mx-y（2）因为a,b,由（1）知ab同理ba所以ab所以原不等式成立．4．（2023·上海·高一专题练习）（1）已知a>b,（2）已知a>b（3）已知bc-ad【解题思路】根据不等式的基本性质，逐项推理、运算，即可求解.【解答过程】（1）因为a>b,c>0又因为f<e，可得（2）因为c<d<0又因为a>b>0，所以a因为a>b>0，根据不等式的性质，可得a（3）因为bd>0，要证a+b展开得ad+bd≤bc+又因为bc-ad≥0题型题型4利用基本不等式证明不等式1．（2023上·江西新余·高三统考期末）已知a>0，b>0，且a(1)a2(2)a【解题思路】（1）首先将不等式左边进行变形，利用公式2=a（2）首先将不等式左边变形为a2+【解答过程】（1）a2因为a>0,b>0，2=a+b≥2所以a2（2）a=====而a2+b所以a32．（2023上·河南·高一校联考期末）证明下列不等式，并讨论等号成立的条件．(1)若0≤x≤1，则(2)若ab≠0，则b【解题思路】（1）利用基本不等式即可证明；（2）讨论ab>0和ab<0【解答过程】（1）证明：因为0≤x≤1，所以0≤x所以x1-当且仅当x=1-x，即（2）证明：因为ab≠0，当ab>0时，当且仅当a=当ab<0时，b当且仅当a=-综上，若ab≠0，则ba+3．（2023上·河南新乡·高一校联考期末）已知a>0,(1)若a-b=4(2)若a2+9b【解题思路】（1）由a-b=4（2）由a2+9【解答过程】（1）由a-b=4所以a+当且仅当b+1=4b即a+（2）因为a2所以34(a则a+3所以a+3b的最大值为4．（2023上·山东菏泽·高一校考期末）已知a，b都是正数.(1)若a+b=1(2)当a≠b时，证明：【解题思路】（1）根据基本不等式乘“1”法即可求解，（2）根据作差法即可求解.【解答过程】（1）证明：由于a，b都是正数，b=1a当且仅当a=b=14（2）证明：a=a因为a≠b，a>0,b>0，所以a-题型题型5基本不等式的恒成立问题1．（2023上·广东广州·高一校考期末）若正数x,y满足x+y=1，且不等式4A．447 B．275 C．143【解题思路】将x+y=1变成x【解答过程】解：∵x>0，y>0∴x∴4x当且仅当4yx+1=x+1y因为不等式4x所以4x+1所以，实数m的最大值为92故选：D．2．（2023上·河南郑州·高三校联考期末）已知正数a，b满足a+b=3，若a5+A．-∞,812 B．(-∞,【解题思路】先参变分离得a4b+b4a【解答过程】依题意，a4又a+而a≥≥a当且仅当a=b，即a=前后两个不等号中的等号同时成立，所以λ的取值范围为-故选：B3．（2023上·湖北宜昌·高一校考阶段练习）（1）已知a>0，b>0，若不等式3a（2）若关于x的不等式3x2+bx+3≥0在【解题思路】（1）分离变量，利用基本不等式求解；（2）当x=0时，不等式显然成立；当0<x【解答过程】（1）因为a>0，b>0，则而(3当且仅当9ba=依题意，不等式m≤(3a所以m的最大值为12；（2）当x=0时，不等式3x2当0<x≤2时，又因为3(x+1x)≥3×2所以-b≤6，即即实数b的取值范围为{b4．（2023·高一课时练习）已知x>0，y(1)若xy=2，x>y，不等式x(2)若不等式1x+1(3)若x+y=1．且1【解题思路】（1）将x2+y2-4（2）将1x+1y+m（3）根据x+y=1，【解答过程】（1）解：∵x>∴x-∴x2+y又xy=2∴x2当且仅当x-y=4x-y∴4m∴m≤1故实数m的取值范围是-∞,1（2）∵x>0，y∴1x+1又x+y1x+∴-m≤4，即∴实数m的最小值为－4．（3）∵x+y=1∴1x+ay=又1x∴a+1∴a+1≥3或a∴a≥4故正实数a的最小值为4．题型题型6基本不等式的有解问题1．（2023上·广东深圳·高二校考期末）若两个正实数x，y满足4x+y=xy且存在这样的x，y使不等式xA．(-1,4) B．(-4,1) C．(-∞,-4)∪(1,+∞【解题思路】依题意可得4y+1x=1，再利用乘“1”法及基本不等式求出【解答过程】解：因为x>0，y>0且4x所以x+当且仅当4xy=所以m2+3m>4，即(m所以m的取值范围是(-∞故选：C.2．（2023上·河北沧州·高一校联考阶段练习）若存在正实数x，y满足于4y+1x=1，且使不等式xA．-4,1 B．C．-∞,-4∪【解题思路】利用乘“1”法及基本不等式求出x+y4的最小值，即可得到【解答过程】因为x>0，y>0且所以x+当且仅当4xy=所以m2-3m>4，即m所以m的取值范围是-∞故选：D．3．（2023上·江苏南通·高二校考阶段练习）已知函数fx=ax（1）若关于x的不等式fx>x-2（2）解关于x的不等式fx【解题思路】（1）利用分离常数法将fx>x-2转化为（2）将不等式fx≥1转化为a-1x+1x-【解答过程】（1）fx>x-2在1,+∞因为x>1,所以ax>x-因为x+当且仅当x=所以a>2（2）axx-1≥1，a-1）a=1时，不等式化为x-1>0，解得x当a≠1时，方程a-1x+12）a>1时，-1a-1<1，所以原不等式解得3）0<a<1时，-1a-4）a=0时，-5）a<0时，-1a-14．（2023上·辽宁丹东·高一校考阶段练习）关于x的不符式-x(1)若a=2(2)若∃x∈3,+∞时，不等式【解题思路】（1）利用一元二次不等式的解法直接求解即可，（2）将问题转化为当x>3时，a≥(x-3)+【解答过程】（1）当a=2时，-x2(x-2)(所以不等式的解集为(2,3)；（2）由-x2+a(因为∃x∈3,+所以当x>3时，a因为x>3，所以x所以x-3+4x所以a≥7，即实数a的取值范围为[7,+题型题型7由一元二次不等式的解确定参数1．（2023上·辽宁沈阳·高一沈阳市第四十中学校考期末）已知函数fx=x2+ax+ba,b∈R的值域为A．9 B．8 C．0 D．6【解题思路】由题意可得b=a24，然后求出不等式fx<【解答过程】由题意知fx因为函数fx的值域为0,+∞，所以，b-由fx<c可知c>0，且有所以，m=-a2所以，6=m+6-故选：A.2．（2023下·江苏南通·高一统考期末）关于x的不等式x2-2m+1x+4A．52,3 B．52,3 C．【解题思路】不等式化为(x-2)(x-2m【解答过程】原不等式可化为(x若m⩽1，则不等式的解是[2m不等式的解集中不可能有4个正整数，所以m>1，不等式的解是[2，2所以不等式的解集中4个正整数分别是2，3，4，5；令5⩽2m所以m的取值范围是[52，故选：B．3．（2023上·山东潍坊·高一统考期末）已知二次函数fx=x2+(1)求函数fx(2)解关于x的不等式a+1x2【解题思路】（1）由一元二次不等式的性质结合根与系数的关系得出函数fx（2）分类讨论a的值，结合一元二次不等式的解法求解即可.【解答过程】（1）由题意知，在fx=x2∴x2+∴-2+3=-b,-2×3=∴（2）由题意得，a将fx=xa∴即ax+1当a=0时，不等式化为：x+3>0，解集为：当a<0时，-1a即x+1当a>0时，-1a<0，不等式化为若-1a=-3，即a=若-1a<-3，即0<a<13若-1a>-3，即a>13，则不等式综上所述：当a<0时，不等式的解集为x当a=0时，不等式的解集为{当0<a<13时，不等式的解集为当a=13当a>13时，不等式的解集为x4．（2022上·江苏南京·高一校考阶段练习）已知f(x)=2x2(1)求f((2)不等式组f(x)>0f((3)若对于任意x∈[-1，1]，不等式t⋅f(【解题思路】（1）结合根与系数关系求得b，c；（2）根据不等式组f(x)>0f(（3）对t进行分类讨论，结合函数的单调性求得t的取值范围.【解答过程】（1）因为f(x)=2x2所以2，3是一元二次方程2x可得2+3=-b22×3=c+12（2）不等式f(x)>0解得x>5,x<0-k<x可得到7<5-k⩽8，解得-3⩽k<-2（3）因为对于任意x∈[-1，1]，不等式t⋅f当t=0时，-当t>0时，函数y=tx2-5tx-当t<0时，函数y=tx2-5tx-1在x∈[-1综上，t的取值范围是[-1题型题型8一元二次不等式恒成立问题1．（2022上·内蒙古包头·高一统考期末）若不等式2kx2+kx-3A．-3<k≤0C．k≤-3或k≥0 D．k【解题思路】由2kx2+kx-38【解答过程】2kx2①k=0时，-②k≠0时，k<0Δ综上可得，-3<故选：A.2．（2023上·安徽马鞍山·高一统考期末）已知对一切x∈[2,3]，y∈[3,6]，不等式mx2-A．m≤6 B．C．m≥0 D．【解题思路】令t=yx，分析可得原题意等价于对一切t∈【解答过程】∵x∈[2,3]，y∈[3,6]，则∴yx又∵mx2-可得m≥令t=yx∈1,3∵y=t-则当t=1时，y=t故实数m的取值范围是m≥0故选：C.3．（2023·全国·高三专题练习）函数f(（1）当x∈R时，f(（2）当x∈-2,2时，f（3）当a∈4,6时，f(【解题思路】（1）当x∈R时，x2（2）当x∈-2,2时，f(x)≥a恒成成立，令g(x)=x2+（3）令h(a)=xa+x2+3，f(x)≥0恒成立，即【解答过程】（1）当x∈R时，f(则Δ=a2-所以实数a的取值范围是-6,2（2）当x∈-2,2时，f(x)≥a①当-a2≤-2，即a≥4时，函数g(x)②当-2<-a2<2，即-4<a<4时，函数g(x)在③当-a2≥2，即a≤-4时，函数g(x)在-综上可知，实数a的取值范围是-7,2（3）令h(a)=xa+x2函数h(a)是关于a的一次函数，其图像在x∈R上是单调的，所以要h(a)≥0，只需h所以实数x的取值范围是-∞,-3-4．（2023上·浙江台州·高一校联考期中）已知函数fx=2x2(1)当a=1时，解不等式f(2)若任意x>0，都有fx>(3)若∀x1∈0,1，∃x2【解题思路】（1）作差后解一元二次不等式即可.（2）解法一：构造函数，分类讨论求解二次函数最小值，然后列不等式求解即可；解法二：分离参数，构造函数k=（3）把问题转化为fxmin【解答过程】（1）当a=1时，fx所以fx-gx=x2（2）若对任意x>0，都有fx>gx解法一：设hx=x2+1-a①当a-12≤0，即a≤1时，hx在②当a-12>0，即a>1时，h所以hx>ha-1所以1<a综上，a<1+解法二：不等式可化为a-1x<x2+由题意，只须a-1<k当且仅当x=154x即所以a-1<15（3）若对任意x1∈0,1，存在x即只需满足fxmin>gx=x2-x+a2gxmin=g12=①a4≤0即a≤0时，fx在②0<a4<1即0<a<4时，ffxmin=fa4=③a4≥1即a≥4时，fx在0,1递减，所以a2-a综上：a∈题型题型9一元二次不等式有解问题1．（2023上·山东青岛·高三统考期末）若命题“∃x∈R，1-ax2A．a≤1 B．C．a≤-32或a【解题思路】利用一元二次不等式能成立以及存在量词命题的概念求解.【解答过程】因为命题“∃x∈R，若1-a=0，即a=1，则∃若1-a<0，即a>1即4a2-3≥0，解得又因为a>1，所以此时a若1-a>0，即a<1，则满足命题“∃x综上，a∈故选:D.2．（2022上·广东佛山·高一校考阶段练习）若关于x的不等式x2-6x+11-a