高一上学期第一次月考数学试卷（提高篇）（解析版）

2023-2024学年高一上学期第一次月考数学试卷（提高篇）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2023·全国·高三专题练习）下列命题的否定是真命题的是（

）A．∀a∈RB．每个正方形都是平行四边形C．∃D．存在一个四边形ABCD，其内角和不等于360°【解题思路】对A，全称命题的否定为特称命题，再由判别式的符号即可判断真假；对B，全称命题的否定为特称命题，再由正方形与平行四边形的关系即可判断真假；对C，特称命题的否定为全称命题，由m=0，计算即可判断真假；对D【解答过程】解：对A，∀a∈R其否定为：∃a∈R由△=a对B，每个正方形都是平行四边形，其否定为：存在一个正方形不是平行四边形，原命题为真命题，其否定为假命题；对C，∃m∈N，m2+1由m=0时，0+1对D，存在一个四边形ABCD，其内角和不等于360°，其否定为任意四边形ABCD，其内角和等于360°，连接四边形的一条对角线，可得两个三角形，则其四边形的内角和为360°，可得原命题为假命题，其否定为真命题．故选：D.2．（5分）（2023·江苏·高一假期作业）非空集合A具有下列性质：（1）若x、y∈A，则xy∈A；（2）若x、y∈A，则x+y∈A，下列判断一定成立的是（

①﹣1∉A；②20202021∈A；③若x、y∈A，则xy∈A；④若x、y∈A，则x﹣y∉AA．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④【解题思路】对于①：假设-1∈A，令x=对于②：由题意知，1∈A，再得1+1=2∈A,2+1=3∈A,⋯,2020∈A对于③：由1∈A,x∈A，得1对于④：1∈A,2∈A，由x=2,【解答过程】解：对于①：假设-1∈A，则令x=y=-1，则x令x=-1,y=1，则xy=-1∈A,x+y=0∈对于②：由题意知，1∈A，则1+1=2∈A,2+1=3∈A,⋯,2020∈A对于③：1∈A,x∈A对于④：1∈A,2∈A，若x=2,y所以一定成立的是①②③，故选：C.3．（5分）（2023·全国·高三专题练习）已知命题p:a∈D，命题q:∃x0∈R，xA．(-∞,-6]∪[2,+∞) B．(-∞,-4)∪(0,+∞)C．-6,2 D．【解题思路】先由命题q中的a的范围，再由p是q成立的必要不充分条件，得选项.【解答过程】命题q:∃x0∈R所以Δ=a2-4(-又p是q成立的必要不充分条件，所以(-∞,-6]∪[2,+∞)D，所以区间D可以为(-∞,-4)∪(0,+∞)，故选：B.4．（5分）（2023春·辽宁抚顺·高二校联考期末）已知x>y>1>A．a>c>b BC．b>c>a D【解题思路】由x>y>1>z>0，得【解答过程】因为x>y>1>z所以aa-b=a-c=c-b=所以a>b且故选：D.5．（5分）（2022秋·湖南张家界·高一校考阶段练习）已知集合A=xx<-3或x>1，BA．3<a<4 B．3≤a<4 C．【解题思路】可根据题意得出∁RB＝{x|﹣4＜x≤a}，根据条件得出A∩（∁RB）＝{x|﹣4＜x＜﹣3或1＜x≤a}，从而可得出a的取值范围．【解答过程】根据题意，a＞﹣4，则∁RB＝{x|﹣4＜x≤a}，又A＝{x|x＜﹣3或x＞1}，A∩（∁RB）中恰好含有2个整数，∴A∩（∁RB）＝{x|﹣4＜x＜﹣3或1＜x≤a}，∴3≤a＜4．故选：B．6．（5分）（2023·全国·高三专题练习）若对任意实数x>0,y>0，不等式x+xyA．2-12 B．2-1 C【解题思路】分离变量将问题转化为a≥x+xyx+y对于任意实数x>0,【解答过程】由题意可得，a≥x+xyx+y对于任意实数x>0,y>0恒成立，则只需求x+xyx+y的最大值即可，x+所以a≥2+12，即实数故选：D.7．（5分）（2023·全国·高三专题练习）已知关于x的不等式组x2-2x-A．-5,3∪4,5 B．-5,3∪4,5【解题思路】解不等式x2-2x-8>0，得x>4或【解答过程】解不等式x2-2x解方程2x2+(2k（1）当k>72，即-k此时不等式组x2-2若不等式组的解集中仅有一个整数，则-5≤-k<-4（2）当k<72，即-k此时不等式组x2-2若不等式组的解集中仅有一个整数，则-3<-k≤5综上，可知k的取值范围为-故选：B.8．（5分）（2023·全国·高三专题练习）已知a>0，b∈R，若x>0时，关于x的不等式ax-A．2 B．25 C．43 D【解题思路】根据题意设y=ax-2，y=x2+bx-【解答过程】设y=ax-2（x>0因为a>0，所以当0<x<当x=2a当x>2a由不等式(ax-2)x2即当0<x≤2当x≥2a所以当x=2a时，y=x则当a>0时，b当且仅当5a2=所以b+4a故选：B.二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）（2023春·湖南长沙·高二校考阶段练习）下列说法正确的是（）A．命题“∀x∈R，xB．命题“∃x∈(-3,+∞)，x2≤9”C．“x>y”是“x>D．“m<0”是“关于x的方程x2-【解题思路】根据全称、特称命题的否定判断选项AB；根据不等式与必要条件的判定判断选项C；根据充要条件的判定结合一元二次方程根与系数的关系判断选项D.【解答过程】对于A选项，命题“∀x∈R,x2>-1”的否定是“对于B选项，命题“∃x∈(-3,+∞)，x2≤9”的否定是“∀对于C选项，|x|>|y|不能推出x>y，x>y也不能推出|x|>|y对于D选项，关于x的方程x2-2x+m=0有一正一负根，则Δ=4-4m>0x1x2=m<0，解得故选：BD.10．（5分）（2023春·浙江宁波·高一校考开学考试）19世纪戴德金利用他提出的分割理论，从对有理数集的分割精确地给出了实数的定义，并且该定义作为现代数学实数理论的基础之一可以推出实数理论中的六大基本定理.若集合A、B满足：A∩B=∅，A∪B=N*，则称A,B为N*A．设A={x|x=3k,B．设A={x|x=2nC．存在一个N*的二划分A,B，使得对于∀x，y∈A，xD．存在一个N*的二划分A,B，使得对于∀x，y∈A，x<y，则x【解题思路】根据若集合A、B满足：A∩B=∅，A∪B=【解答过程】解：对于A选项，因为A={x|x=3k,k∈N*}，对于B选项，因为A={x由于2m+3⋅2n≠2k,k,对于C选项，存在A={x|x=2k-1,k∈N*}，B={x对于D选项，存在A={x|x=3k+1,k∈N}，B={x|x=3k或x=3k-故选：BCD.11．（5分）（2023春·江西上饶·高二统考期末）已知x>0，y>0，且x+A．xy的取值范围是(0,1] B．x+yC．x+2y的最小值是42-3【解题思路】利用基本不等式构造一元二次不等式即可判断A,B；利用多变量变单变量即可判断CD.【解答过程】对于A，因为x>0,所以x+y≥2由x+即3-xy≥2xy即0<xy≤1，对于B，由x>0,y>0,3-(得(x所以x+又3-(所以x+y<3，即2≤对C选项，因为x>0,y>0,得x=-y+3y所以x+2当且仅当4y+1=2(y+1)对于D选项知:x+5当且仅当4y+1=5(但由于y+1>1，因此等号不成立，故D不正确故选：AC.12．（5分）（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数y=ax2+bx+A．abcB．当a≤xC．关于x的不等式ax4+bD．若关于x的函数t=x2+bx+1【解题思路】A选项，由开口方向，与y轴交点，及对称轴，求出a,b,c的正负，得到A正确；B选项，当a≤x≤1-a时，数形结合得到函数随着x的增大而减小，从而求出最大值；C选项，结合【解答过程】A选项，二次函数图象开口向上，故a>0对称轴为x=-b2图象与y轴交点在y轴正半轴，故c>0所以abc<0，故abc+abcB选项，因为b=-2a，故因为a>0，所以1-当a≤x≤1-a<1所以x=a时，y取得最大值，最大值为y=C选项，因为b=-2a，所以ax故不等式ax4+因为a>0，x2>2，解得：x>2D选项，t=x2+bx+1=xy=t2+bt+1=t所以-b2≥1-b2即b-1≥5故选：ACD.三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2023春·四川绵阳·高二校考期中）若命题“∃x∈R,x2+mx+2m-【解题思路】写出命题的否定，利用不等式对应的二次函数的图像与性质建立不等关系，即可求出实数m的取值范围.【解答过程】由命题“∃x∈R,x2+因为命题“∃x∈R,x2+所以Δ=m2则实数m的取值范围是2,6.故答案为：2,6.14．（5分）（2023秋·湖南长沙·高三校考阶段练习）正实数x,y满足1x+4y=2，且不等式x【解题思路】将问题转化为(x+y4【解答过程】因为不等式x+所以(x因为x>0,y>0所以x+当且仅当2xy=所以(x+y4)解得-1≤故答案为：-1,215．（5分）（2023秋·湖南长沙·高一校考期末）已知实数a，b满足0<b<1+a，若关于x的不等式a2-1x2+2bx【解题思路】先对不等式左边进行因式分解，再结合a>-1对a进行分类讨论，分a∈(-1,1)，a=1和a>1【解答过程】(a2-因为0<b<1+a其中a>-1当a∈(-1,1)时，y当a=1时，2bx-b2当a>1时，y因为b1-a<0此时要想不等式解集中有且仅有3个整数，则这3个整数解为0，-1，-2，则必有-3≤b1-a<-2所以2(a-1)<1+综上：a∈(1,3)故答案为：(1,3).16．（5分）（2023·全国·高三专题练习）设集合S,T,S⊆N·,T⊆N·,S,T中，至少有两个元素，且S,T满足：①对于任意x,y∈S，若【解题思路】由题可知S有4个元素，根据集合的新定义，设集合S=p1,p2,p3,p4【解答过程】解：由题可知，S⊆N·,T若取S=2,4,8,16，则T=8,16,32,64,128，此时具体如下：设集合S=p1,p则p1p2<p同理p4若p1=1，则p2≥2，则p3又p4>p4p故S=1,p2,若p1≥2，则p2p1又p4>p4p故S=p1若q∈T，则qp13即q∈p1此时S∪T=p1,故答案为：7.四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2023秋·山东青岛·高一统考期末）已知全集为R,(1)求M∩(2)若C=x∣1-2a≤x【解题思路】（1）利用补集和交集的定义即可求解；（2）由C∪M=C【解答过程】（1）因为M=[-2,2]，N所以∁RN={所以M∩（2）因为C∪M=所以a≥1-2aa故a的取值范围为2,+∞18．（12分）（2023秋·广东江门·高一校考期中）已知命题P:∃x∈(1)求实数m的取值集合B；(2)设A=x3a<x<【解题思路】（1）由命题的真假转化为方程无实根，再利用判别式进行求解；（2）先根据A为非空集合求出a<2，再将充分不必要条件转化为集合间的包含关系进行求解【解答过程】（1）解：由题意，得关于x的方程x2所以Δ=16-4m<0即B=(4,+∞)（2）解：因为A={所以3a<a因为x∈A是则3a≥4，即所以4319．（12分）（2023秋·河南郑州·高一校考期末）已知全集U=R，集合A=x1<x≤3，集合B=x2m<x<1-(1)若m=-1，求A(2)若集合A，B满足条件__________（三个条件任选一个作答），求实数m的取值范围．【解题思路】（1）可将m=-1带入集合B中，得到集合B（2）可根据题意中三个不同的条件，列出集合A与集合B之间的关系，即可完成求解.【解答过程】（1）当m=-1时，集合B={x|-2<x（2）i.当选择条件①时，集合B={当B=∅时，A当集合B≠∅时，即集合2m＜1-m此时要满足A∩∁UB=∅结合m＜13，所以实数m的取值范围为（ii.当选择条件②时，要满足x∈A是x∈集合A是集合B的子集，即{2m≤1所以实数m的取值范围为（-∞,-2iii.当选择条件③时，要使得∀x1∈A,∃x2∈B，使得x1=所以实数m的取值范围为（-∞,-2故，实数m的取值范围为（-∞,-220．（12分）（2023·高一课时练习）（1）比较x3与x（2）已知a>b>①求证：ca②求ca【解题思路】（1）对两式作差，然后因式分解并分x=1，x>1，（2）①由a>b>c且②由题意，有a>0,c<0，又【解答过程】解：（1）x3当x=1时，(x2当x>1时，(x2当x<1时，(x2（2）①证明：∵a>b∴c∵a∴a-c又∵c∴ca②∵a>b∴a所以ca<0，因为a+b+c=0所以-ca-综上，-2<21．（12分）（2022·高一课时练习）已知x、y、z都是正数．(1)求证：x-(2)若xy2+【解题思路】（1）将所证不等式等价转化为证明x2（2）化简得出m2-2m【解答过程】（1）证明：要证x-左右两边同乘以xyz可知即证x2即证x2因为x、y、z都是正数，由基本不等式可知x2+y2≥2当且仅当x=将上述三个不等式两边分别相加并除以2，得x2所以，原不等式得证．（2）解：xy因为x2-xy所以，m2-2m-故实数m的取值范围为-1≤22．（12分）（2023秋·广东深圳·高一统考期末）设函数f(（1）若关于x的不等式fx≥-2有实数解，求实数（2）若不等式fx≥-2对于实数a∈（3）解关于x的不等式：f(【解题思路】(1)将给定的不等式等价转化成ax2+(1-a)(2)将给定的不等式等价转化成(x(3)将不等式化为ax2【解答过程】(1)依