数学-河南南阳第一中学2023-2024学年高一上学期12月月考带答案

一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．若两个正实数x，y满足＝1，则x+2y的最小值为()的最小值为()3．已知a＝ln1.21，b＝0.21，c＝e0.2﹣1，则()A．a＞b＞cB．c＞a＞bC．c＞b＞aD．b＞c＞a4．若4a＝6b＝24，则的值等于()5．已知函数的图像与直线y＝k﹣x有3个不同的交点，则实数k的取值范围是()6．一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差为2的等差数列{an}，若a1，a3，a7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是()7．某校为落实“双减”政策．在课后服务时间开展了丰富多彩的体育兴趣小组活动，现有甲、乙、丙、丁四名同学拟参加篮球、足球、乒乓球、羽毛球四项活动，由于受个人精力和时间限制，每人只能等可能的选择参加其中一项活动，则恰有两人参加同一项活动的概率为()8．已知函数，函数y＝f（xa有四个不同的零点，从小到大依次为x1，x2，x3，x4，则x1x2+x3+x4的取值范围为()A5，3+e]B．[4，4+e）C．[4，+∞)D.(﹣∞,4]二．多选题（共4小题，每题5分，共20分。在每题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。）9．已知函数，m∈R，则下列说法正确的是()A．若函数f（x）的定义域为R，则实数m的取值范围是B．若函数f（x）的值域为R，则实数m的取值范围是，C．若函数f（x）在区间[2，+∞)上为增函数，则实数m的取值范围是[0，+∞)D．若m＝0，则不等式f（x1的解集为<3时，f（x）=﹣x2+1，则下列结论正确的是()B．f（x+7）为奇函数D．方程f（x）+lgx＝0仅有6个实数解11．已知10个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的8个样本数据的方差为，平均数；最大和最小两个数据的方差为，平均数；原样本数据的方差为S2，平均数，若，则()A．剩下的8个样本数据与原样本数据的中位数不变C．剩下8个数据的下四分位数大于原样本数据的下四分位数12．设函数f（x2x，对于任意的x1，x2（x1≠x2下列命题中正确的是()A．f（x1+x2f（x1）•f（x2）B．f（x1•x2f（x1）+f（x2）)三．填空题（共4小题，每题5分，共20分。）14．若函数y＝lg（ax2﹣ax+1）的值域为R，则实数a的取值范围是.15．甲同学在“附中好声音“歌唱选拔赛中，5位评委评分情况分别为76，77，88，90，94，则甲同学得分的方差为16．已知函数（e为自然对数的底数若关于x的方程f(﹣x）=﹣f（x）有且仅有四个不同的解，则实数k的取值范围是.四．解答题（共6小题）1710分）已知f（xlog3（mx+1x（m＞0，且m≠1）是偶函数.（2）若关于x的不等式在R上有解，求实数a的最大整数值.1812分）已知函数f（xlogax（a＞0且a≠1）在区间上的最大值是2.（2）若函数的定义域为R，求不等式a1﹣3m＞4中m的取值范围.1912分）在新冠肺炎疫情期间，口罩是必不可少的防护用品．某小型口罩生产厂家为保障抗疫需求，调整了口罩生产规模．已知该厂每月生产口罩的固定成本为1万元，每生产x万件，还需投入0.1x万元的原材料费，全部售完可获得p（x）万元，当月产量不足5万件时当月产p()-13~1号.1，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩当月可以全部售完.（1）求月利润y（万元）关于月产量x（万件）的函数关系式，并求出月产量为3万件时，该厂这个月生产口罩所获得的利润；（2）月产量为多少万件时，该口罩生产厂家所获得月利润最大？最大约为多少万元精确到0.1）参考数据：ln2≈0.69.2012分）郑州市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利，已知该线路通车后，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足2≤t≤20，t∈N*，经测算，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当10≤t≤20时地铁可达到满载状态，载客量为1200人，当2≤t＜10时，载客量会减少，减少的人数与（10﹣t）的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时载客量为560人，记地铁载客量为p（t）.（2）若该时段这条线路每分钟的净收益为Q=﹣360（元问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线路每分钟的净收益最大？2112分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度）以[160，180[180，200[200，220[220，240[240，260[260，280[280，300）分组的频率分布直方图如图：（2）求月平均用电量的中位数；（3）在月平均用电量为[220，240[240，260[260，280[2中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则在月平均用电量为[220，240）的居民中应抽取多少户？2212分）在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球（其体积、质地完全相同旁边立着一块小黑板写道：摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱.（1）摸出的3个球为白球的概率是多少？（2）摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少？（3）假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按30天计）能赚多少钱？参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）【分析】因为＝1，所以x+2yx+2y将其进行化简，利用基本不等式得出x+2y的最小值．【解答】解：∵＝1，x，y＞0，∴x+2yx+2y+5≥2+5＝9∴x+2y的最小值为9．【分析】分析函数f（x）的单调性和奇偶性，可得出a+2b＝2，利用乘1法展开后利用基本不等式可求的最小值．【解答】解：对任意的x∈R，ex+1＞0，所以函数f（x）的定义域为R，因为fxf（x即函数f（x）为奇函数，又因为f（x1且函数y＝ex+1在R上为增函数，所以函数f（x）在R上为增函数，对任意的正数a、b满足f（a）+f（2b﹣20，则f（af（2b﹣2f（2﹣2b所以a＝2﹣2b，即a+2b＝2，所以＝2≥2+2＝4，当且仅当a＝2b且a+2b＝2，即a＝1，b＝时取等号．故选：B.【分析】构造函数f（xln（1+xx，x＞0，利用函数的单调性比较出a＜b；通过计算1.215和e的大小，比较出b＜c.【解答】解：构造f（xln（1+xx，x＞0，f′（x）=﹣10，函数f（x）在（0，+∞)上单调递减，且f（00，所以f（xf（00，即ln（1+xx，当x＝0.21时，ln1.21＜0.21，即a＜b；构造g（xex﹣1﹣x﹣,x＞0，g′（xex﹣1﹣x，又g′（x）的导数为y＝ex﹣1，当x＞0时，y＝ex﹣1恒大于0，所以g′（xex﹣1﹣x在（0，+∞)上单调递增，且g′（00，即ex＞1+x+，当x＝0.2时，e0.2＞1+0.2+×0．22，则c＝e0.2﹣1＞0.2+×0．22＝0.22＞0.21＝b，即b＜c.故选：C.【分析】先由指数化为对数，再由对数的运算可得答案.【解答】解：∵4a＝6b＝24，∴a＝log424，b＝log624，∴,,∴.故选：B.【分析】作函数f（x）的大致图像（实线平移直线y＝k﹣x，数形结合得出实数k的取值范围.【解答】解：如图，作函数f（x）的大致图像（实线平移直线y＝k﹣x，由k﹣x＝x2+2x+2可得，x2+3x+2﹣k＝0，,故当时，直线与曲线y＝x2+2x+2（x≤0）相切；当k＝0时，直线y=﹣x经过点（0，0且与曲线y＝x2+2x+2（x≤0）有2个不同的交点；当k＝2时，直线y＝2﹣x经过点（0，2且与f（x）的图像有3个不同的交点.由图分析可知，当k∈（0，2]时，f（x）的图像与直线y＝k﹣x有3个不同的交点.故选：D.【分析】根据等比中项以及等差数列可得a1＝4，由此可得等差数列的10项值，再根据平均数和中位数的定义可求得.【解答】解：依题意a32＝a1a7，∴（a1+4）2＝a1（a1+6×2解得a1＝4，所以此样本的平均数为＝13，中位数为＝13.故选：B.【分析】首先分析得到四名同学总共的选择为44个选择，然后分析恰有两人参加同一项活动的情况为，则剩下两名同学不能再选择同一项活动，他们的选择情况为，然后进行计算即可.【解答】解：∵每人只能等可能的选择参加其中一项活动，且可以参加相同的项目，∴四名同学总共的选择为44个选择，恰有两人参加同一项活动的情况为，剩下两名同学的选择有种，∴恰有两人参加同一项活动的概率为=.故选：C.【分析】根据导函数判断函数f（x）的单调性，画出函数图像，将y＝f（xa有四个零点转化为y＝f（x）的图像与y＝a有四个不同交点，分析可知1＜a≤e，由韦达定理可得x1x2+x3+x4＝4+a﹣lna，设g（a4+a﹣lna，1＜a≤e，由导函数分析函数单调性，即可求出范围.【解答】解：∵x≤0时∴,∴f（x）在(﹣∞,﹣1）上单调递减，在(﹣1，0）上单调递增，f(﹣11，f（0）∵x＞0时∴f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞)上单调递画出f（x）的图像如图，y＝f（xa有四个零点即y＝f（x）的图像与y＝a有四个不同交点，由图可得1＜a≤e，x1，x2是方程，即x2+2x+1﹣lna＝0的两根，x3，x4是方程，即x23+a）x+4＝0的两根，∴x1x2＝1﹣lna，x3+x4＝3+a，则x1x2+x3+x4＝1﹣lna+3+a＝4+a﹣lna（1＜a≤e设g（a4+a﹣lna，1＜a≤e，则，∴当1＜a≤e时，g（1g（a）≤g（e即5＜g（a）≤3+e，所以x1x2+x3+x4的取值范围为（5，3+e].故选：A.二．多选题（共4小题）【分析】函数f（x）的定义域为R等价于mx2+2x+m﹣1＞0恒成立，由此即可列出不等式组，即可求出实数m的取值范围，即可判断A；若函数f（x）的值域为R等价于y=mx2+2x+m﹣1的值域有子集（0，+∞),即可求出实数m的值，从而判断B；函数f（x）在区间[2，+∞)上为增函数等价于函数y＝mx2+2x+m﹣1在区间[2，+∞)上为增函数且mx2+2x+m﹣1＞0恒成立，由此即可列出不等式组，即可求出实数m的取值范围，从而判断C；若m＝0，f（xlog2（2x﹣1即可解出不等式f（x1；即可判断D.【解答】解：对于A：因为f（x）的定义域为R，所以mx2+2x+m﹣1＞0恒成立，当m＝0时2x﹣1＞0，显然不恒成立，故m≠0，故A正确；对于B：因为f（x）的值域为R，所以函数y＝mx2+2x+m﹣1（x∈R）的值域有子集（0，+∞),当m＝0时，此时f（xlog2（2x﹣1）的定义域为，值域为R，符合题意；当m≠0时，解得，综上可得实数m的取值范围是，故B错误；对于C，因为函数f（x）在区间[2，+∞)上为增函数，当m＝0时，f（xlog2（2x﹣1函数在定义域上单调递增，符合题意；当m≠0时解得m＞0；综上可得m≥0，故C正确；对于D，当m＝0时，f（xlog2（2x﹣1由f（x1，即log2（2x﹣11，可得0＜2x﹣1＜2，解得，即不等式f（x1的解集为，故D错误.故选：AC.【分析】根据f（x﹣1）为奇函数，f（x+1）为偶函数，推出函数f（x）的一个周期为8、f（x）的图象关于点(﹣1，0）对称、关于直线x＝1对称，再根据这些性质可判断A错误，B正确，C错误；作出f（x）与y=﹣lgx的大致图象，结合图像可判断D正确.【解答】解：因为f（x+1）为偶函数，所以f（x+1f(﹣x+1所以f（x﹣1+1f(x﹣1）+1即f（xf(﹣x+2因为f（x﹣1）为奇函数，所以f（x﹣1）=﹣f(﹣x﹣1所以f(﹣x+3﹣1）=﹣f(﹣(﹣x+31即f(﹣x+2）=﹣f（x﹣4所以f（x）=﹣f（x﹣4所以f（x﹣4）=﹣f（x﹣4﹣4）=﹣f（x﹣8所以f（xf（x﹣8所以f（x+8f（x即函数f（x）的一个周期为8.在f（xf(﹣x+2）中，令，得号，在f（x﹣1）=﹣f(﹣x﹣1）中，令，得，又，所以，故A错误；因为f（x）=﹣x2+1在区间(﹣1，0）上是增函数，且f（x）的一个周期为8，因为f（x+8f（x所以f（x+7f（x﹣1所以f(﹣x+7f(﹣x﹣1）=﹣f（x﹣1）=﹣f（x﹣1+8）=﹣f（x+7从而f（x+7）为奇函数，故B正确；因为f（x﹣1）为奇函数，所以f（x）的图象关于点(﹣1，0）对称，因为f（x+1）为偶函数，所以f（x）的图象关于直线x＝1对称，作出f（x）与y=﹣lgx的大致图象，如图所示.其中y=﹣lgx单调递减且﹣lg12<﹣1，所以两函数图象有6个交点，故方程f（x）+lgx＝0仅有6个实数解，故D正确.故选：BD.【分析】设10个样本数据从小到大排列分别为x1，x2，x3...x10，再根据中位数、平均数、百分位数与方差的定义与公式推导即可.【解答】解：设10个样本数据从小到大排列分别为x1，x2，x3...x10，则剩下的8个样本数据为x2，x3...x9.对于选项A：原样本数据的中位数为，剩下的8个样本数据中位数为，故A正确；,,.……)，故……,故原样本数据的下四分位数为x3，又x4≥x3，故下8个数据的下四分位数大于原样本数据的下四分位数，故C正确；,,….故故，故D正确.故选：ABCD.【分析】根据指数的运算性质和指数函数的单调性以及凹凸性对各命题进行逐一进行判定即可.【解答】解所以A成立，+≠,所以B不成立，函数f（x2x，在R上是单调递增函数，若x1＞x2则f（x1f（x2则，若x1＜x2则f（x1f（x2则，故C正确说明函数是凹函数，而函数f（x2x是凹函数，故D正确故选：ACD.三．填空题（共4小题）【分析】利用指数幂的运算性质和对数的运算法则即可得出.【解答】解：lg8﹣e0++lg25原式＝+lg25﹣1=lg4+lg25+3﹣1=lg100+2故答案为：4【分析】令（0，+∞)为函数y＝ax2﹣ax+1的值域的子集，根据二次函数的性质列出不等式组即可得出a的范围.【解答】解：∵函数y＝lg（ax2﹣ax+1）的值域为R，∴（0，+∞)为函数y＝ax2﹣ax+1的值域的子集，∴,解得a≥4.故答案为[4，+∞).【分析】根据题意，由数据计算可得甲同学得分平均数，由方差的计算公式计算可得答案.【解答】解：根据题意，5位评委评分情况分别为76，77，88，90，94，其平均数＝＝85；故答案为：52.【分析】设F（xf（x）+f(﹣x由题可得当x＞0时，F（x）有两个零点，进而可得2xex＝2kx﹣k有两个正数解，令g（x2xex（x＞0考查直线y＝2kx﹣k与曲线g（x2xex（x＞0）相切时k的值，数形结合可得出实数k的取值范围.【解答】解：令F（xf（x）+f(﹣x可得F(﹣xf(﹣x）+f（xF（x所以函数F（x）为偶函数，点，且当x＞0时x＜0，可得，令F（x0，可得2kx﹣k＝2xex，令g（x2xex，其中x＞0，则g'（x2（x+1）ex＞0，故函数g（x）在（0，+∞)上为增函数，下面考查直线y＝2kx﹣k与函数g（x）的图象相切的情形：设直线y＝2kx﹣k与函数g（x）的图象相切于点（t，g（t其中t＞0，函数g（x）的图象在x＝t处的切线斜率为2（t+1）et，故曲线y＝g（x）在点（t，g（t的切线的方程为y﹣2tet＝2（t+1）et（x﹣t即y＝2（t+1）etx﹣2t2et，结合图形可知，当k＞2e时，直线y＝2kx﹣k与曲线y＝g（x）在（0，+∞)上的图象有两个交点，即此时函数F（x）在（0，+∞)上有两个零点，因此，实数k的取值范围是（2e，+∞).故答案为2e，+∞).四．解答题（共6小题）【分析】（1）函数为偶函数，利用f（xf(﹣x）求m的值；数最小值，可得实数a的最大整数值.【解答】解1）函数f（x）定义域为R，由函数为偶函数，有f（xf(﹣x则有，即，得log3m＝2，所以m＝9.则===,依题意有g（x）min≤0，由基本不等式>，当且仅当，即x＝0时等号成立，由二次函数的性质可知h（t）在[2，3]上单调递减，在[3，+∞)上单调递增，,则有得一，所以实数a的最大整数值为5.【分析】（1）分0＜a＜1和a＞1两种情况利用对数函数单调性列方程可求出a的值；（2）由函数的定义域为R，可得Δ=a2﹣1＜0，再结合（1）可求出a，然后利用指数函数的单调性可求出m的取值范围.【解答】解1）当0＜a＜1时，函数f（x）在区间上是减函数，当a＞1时，函数f（x）在区间上是增函数，故或a＝4；))的定义域为R，所以Δ=a2﹣1＜0，则﹣1＜a＜1，即，代入不等式a1﹣3m＞4，得，则1﹣3m<﹣2，解得m＞1，因此m的取值范围是（1，+∞).生产厂家所获得月利润最大，最大月利润约为8.9万元.【分析】（1）根据已知条件，结合利润＝销售收入﹣固定成本﹣产品生产成本的公式，分0＜x＜5，x≥5两种情况讨论，即可求解.（2）根据已知条件，结合二次函数的性质，以及利用导数研究函数的单调性，分别求解分段函数的最大值，再通过比较大小，即可求解.【解答】解1）当0＜x＜5时当x≥5时故月利润y关于月产量x的函数关系式为，当x＝3时，故月产量为3万件时，该厂这个月生产口罩所获得的利润为7.5万元．、故当x＝4时，y取得最大值，最大值为8万元，当x≥5时当5≤x＜8时，y'＞0，当x＞8时，y'＜0，所以在[5，8）上单调递增，在（8，+∞)上单调递减，故当x＝8时，y取得最大值，且ymax＝12﹣ln8﹣1＝11﹣3ln2≈8.9，因为8.9＞8，所以当月产量约为8万件时，该口罩生产厂家所获得月利润最大，最大月利润约为8.9万元.【分析】（1）先分别写出分段函数，再结合p（2560，即可求解.（2）根据已知条件，分段求出净收益Q，再通过比较大小，即可求解.【解答】解1）当2≤t＜10时，当10≤t≤20时，∵p（21200﹣k（10﹣2）2＝1200﹣64k＝560，∴k＝10，当2≤t＜10时，Q40-60(要)≤840﹣60×2=840﹣60×12＝120，当且仅当，即t＝6时，等号成立，当10≤t≤20时，Q=≤384﹣360＝24，当t＝10时，等号成立，综上所述，当发车时间间隔为6分钟时，该时段这条线路每分钟的净收益最大.【分析】对于（1由各组数据频率之和即所有矩形面积之和为1可得答案；对于（2在频率分布直方图中，中位数左边和右边直方图面积相等，据此可得答案；对于（3利用频率估计月平均用电量为[220，240）的居民在四组中所占比例，即可得答案.【解答】解1）因直方图中，各组数据频率之和即所有矩形面积之和为1，则（0.002+0.0025