2024届高三1月大联考考后强化卷（新课标II卷）数学试题及答案

绝密★启用前2024届高三1月大联考考后强化卷（新课标II卷）数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：292293192193A．B．C．D．1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。7，Bb,eb)C:yexCllC．1b2D．2b3A．1b0B．0b18．湖南第二届旅游发展大会于2023年9月15日至17日在郴州举行，为让广大学生知晓郴州，热爱郴州，亲身感受“”王仙岭旅游风景区、雄鹰户外基地三条线路中随机选择一条线路去研学，记事件A为“甲和乙至少有一所一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。P(B|)学校选择万华岩中小学生研学实践基地”，事件B为“甲和乙选择的研学线路不同”，则1．已知集合A{x|x22xB{xN|x，则AB15453414A．B．C．D．A．B．C．(D．D．42．已知复数z满足(43i)zi，则的虚部为z二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。444C．iiA．B．253，π2525π9．已知函数f(x)sin2xcos(2x)，则b，(2，|ab1a，则与的夹角等于63．已知平面向量a,b满足a2bf(x)ππ2π5πA．的最小正周期为A．B．C．D．6336πB．f(x)的图象关于直线x对称4．佛兰德现代艺术中心是比利时洛默尔市的地标性建筑，该建筑是一座全玻璃建筑，整体呈圆锥形，它利6ππC．f(x)的零点是{x|x(kZ26现代艺术中心的底面直径为8m，侧面积为8π229m，则该建筑的高为25ππD．f(x)的单调递增区间为[π,π](kZ)661051名同学，某次地理测试班级最高分为15050ybxy为原始成绩，试的原始成绩经过公式150分，最低分为80分，则下列说法正确的是A．若某同学本次测试的原始成绩为100分，则其折算成绩为115分B．将原始成绩和折算成绩分别从小到大依次排序后，它们的中位数的序号相同C．班级折算成绩的方差可能等于原始成绩的方差D．班级折算成绩的平均值高于原始成绩的平均值A．26mB．28mC．30mD．36mππ22a0与圆C:(x4)2r(r0)总有两个不同的交点M,N,O为坐标原11．已知直线l:axy2(y2)，且)2cos2，则sin5．已知24点，则3414143A．B．C．D．A．直线l过定点(2,4B．r(2,)x2y26．如图，已知F，F分别是双曲线C：1的左、右焦点，P，Q为双曲线C上两点，满足12a2b2|MN[4,6]C．当r3时，F∥FQ，且|FQ2|FP5|FP|，则双曲线C的离心率为D．当r=5时，CMCN的最小值为2512221数学试题第1页（共4页）数学试题第2页（共4页）n(adbc)2121的正方体ABCD中，E为线段的中点，F为线段AB的中点，11M,N分别为线附：2nabcd，其中.1111(ab)(cd)(acbd)段AC与线段BC上一点，则0.10.050.0100.0050.00111352.7063.8416.6357.87910.828A．直线1F与直线所成角的余弦值为1812分）254SB．点D到直线1F的距离为△△2aBabA.在中，角,B,C所对的边分别为a,b,c,的面积为S，已知5B（1）求角B；△1C．当,BNBC,∥平面ABCD时，111S（2）若b的周长为l，求的最大值.l6D．线段长度的最小值为1912分）6如图，在直三棱柱ABCABC中，3，⊥AC，D为AC的中点．11三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。的展开式中x13．x2y)y的系数为14．已知函数f(x)在定义域(上满足0111154f(x)f(x)(fa)f(4a)上单调递减，若，且在a，则的取值范围是．15．我国古代数学家沈括、杨辉、朱世杰等研究过二阶等差数列的相关问题．如果n1ab(nN*)，且nn（1）求证：ABBD；数列b}为等差数列，那么数列a}4项依次为13610，1nn（2）若点C到平面的距离为3，求平面与平面的夹角的正弦值．2012分）则该数列的第10项为．x2y216．已知椭圆E：ab0)的左、右焦点分别为F,F，O为坐标原点，A为椭圆E的上顶点，a为奇数2b212an已知数列n}中，2212，且n2．4，为偶数过点F作平行于AF的直线l与椭圆E交于B，C两点，M为弦BC的中点且直线l的斜率与OM的斜12（1）求数列n}的通项公式；34率乘积为，则椭圆E的离心率为；若|OM|319，则直线l的方程为第（2）求数列a}的前项和nS．nn2112分）已知抛物线一空2分，第二空3分）C:y2px(p0)过点p)，直线l与该抛物线C相交于M，N两点，过点M作x轴的垂2四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。yx线，与直线（1）求抛物线C的方程；Q(2,0)QHl交于点G，点M关于点G的对称点为P，O为坐标原点，且O，N，P三点共线．1710分）某学校现有1000（2作HQT|HT|，垂足为（不与点，使得为定值？若存n收集了名学生某周使用手机上网时间的样本数据（单位：时）.将数[0,2](2,(4,6](6,8](8,10]，并整理得据分为6组：，，，，，在，求出该定点和该定值；若不存在，请说明理由．.2212分）（1）估计该校学生一周使用手机上网时间的平均数（同一组中的数据用f(x)xax2已知函数.（1）当a1时，讨论函数f(x)的单调性；（2）将一周使用手机上网时间在内的定义为“长时间使用手机上f(x)aea)xx2x恒成立，求实数a的取值范围.（2）若不等式网”；一周使用手机上网时间在内的定义为“不长时间使用手机上网”.在样本数据中，有0.25n名学生不近视，请补充完整该周使用手机上网时间与近视程度的列联表.若为100，试根据小概率值0.001的独立性检验，能否认为该校学生一周使用手机上网时间与近视程度有关联？n近视不近视合计长时间使用手机不长时间使用手机合计0.15n0.25n数学试题第3页（共4页）数学试题第4页（共4页）2024届高三1月大联考考后强化卷（新课标II卷）数学·全解全析123456789101112BADCDBCBACABDACDACD8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。x，zBiAB.故选B.1．B【解析】由题意，知A{x|0，所以i(4344i，所以iz，所以的虚部为2．A【解析】因为(43i)z选A..故4(43i)(4252525b，(2，所以|a3|b2，3．D【解析】因为a23，，a设与的夹角为bπ]，因为|ab|(ab)2a22abb232|a||b|cos4，，35π所以3232cos41，解得cos，所以，故选D.2612xhπ8x8π2294．C【解析】设该建筑的母线长为，高为，则由其侧面积为8π229m2，可得，解得x2229m，所以h24230m．故选C．xπ225．D【解析】因为cos()2cos2，所以sin2(cos2sin2)，4221所以sin)sinsin)，2π)，所以cos0,sin0sin又，所以0，2113所以cos故选D.sin，两边同时平方，得1sinsin，所以.2446．B【解析】设双曲线C的半焦距为，如图，延长cQFCF∥FP与双曲线交于点P，因为，根据对122称性知|FP||FP|，设|FP|FPt|2Pt|2Qt，则，，可得|FP||FPt2a，即121221226310ta，所以|PQ|t8a，则||||2aa，|FP||FP|a，1212332|FP||1|22FPQF90，可知，112即|PQ|1104c29在△PFF中，由勾股定理得|FP||FP||FF|，即(a)2(a)4c2，解得e2222.12211233a3故选B.数学全解全析第1页（共12页）7．C【解析】由yex，得ye，设切点为(x,e)，所以直线l的斜率为e0，所以直线l的方程为0xx0ye0e0(x0)，代入点(0,0)，则e0e0(0)，解得01，即斜率为e，由l，得e1b，结合图形知b0．b令()exfxx，x0，则f(x)e1exe，所以1b2．f(x)在)上单调递减，在上单调递增．f10f(2)e2e10，所以2因为，故选C.8．B【解析】依题意，甲、乙随机选择一条线路去研学的试验有32个基本事件，事件A含有的基本事件数54是2215，则P()，事件含有的基本事件数为224，则P(AB)，99P(AB)45P(B|)所以.故选B.P()4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。3113π9．AC【解析】f(x)sin2xcos2xsin2xsin2xcos2xsin(2x).222232π对于A，f(x)的最小正周期为π，故A正确；2πππ对于B，当x时，2x0，所以直线xf(x)不是的图象的对称轴，故B错误；636ππππf(x)0sin(2x)02xπ(kZ)x(kZ)，故C正确；对于C，由，得，所以，所以3326数学全解全析第2页（共12页）πππ5ππ2π2x2π(kZ)πxπ(kZ)f(x)的单调对于D23212125ππ递增区间为[故选AC.π,π](kZ)，故D错误.1212150ab15010ABD50ab80a0.7y0.7x45x时，y115Ab45yx450.3xxyx0知yx，故当原始成绩低于150分时，折算成绩均高于原始成绩，即除150分不变外，其余成绩折算后均提高，所以将原始成绩和折算成绩分别从小到大D(y)D(0.7x0.49D(x)D(x)依次排序后，它们的中位数的序号相同，故B，D均正确；，故折算成绩的方差必小于原始成绩的方差，故C错误.故选ABD.11．ACD【解析】axy22a0可化为a(x2)(y2)0，即直线l过定点P(2,2)，所以A正确；因为直线l与圆C总有两个公共点，可得点r5，所以B不正确；P(2,2)在圆C内部，所以(22(22r2，解得当r3的方程为的最小值为2r|CP|4，最大值即为6，所以C正确；当r=5时，圆C的方程为当直线l过圆心C1C(x4)2(y29CP(2,2)|CP|5|MN|22(x4)2(y225，则CMCN|CM||CN|cosMCN25cosMCN，cosMCN的最小值为1，所以CMCN的最小值为时，，所以25，故D正确.故选ACD．12ACDD为坐标原点，,DC,DD的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间xyz111直角坐标系，则CFD(0,0),E,0)，122数学全解全析第3页（共12页）121所以CF,0),1,0).，12110354|CF,|对于A，1，所以A正确；545412|CF|3525d1(11)22(2)对于B，，所以B错误；|CF|514对于C，BNBC)11111())，1101因为//平面ABCD，所以，即，所以C正确；对于D，由题意，知,BNBC(,，A0,0),BC0)，1111设M(x,y,zN(x,y,z)，111222则(1y,z)(，(xyz(1,0,，11222M,,N)解得所以|1)，2(2(1)212162224222()2)2，2312316,所以当时，|min，所以D正确.266故选ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．10【解析】x2y)5的通项为r1Cr5x5r(2y)rCr5(2)rx5ryr，当r1时，TC(2)x154y10xy.42故答案为：10.5514．(,)【解析】∵fa)f(4a)0，∴fa)f(4a).43f(x)f(x)fa)fa4).∵，∴11a154531a41a∴，解得，1aa4数学全解全析第4页（共12页）55(,)a∴的取值范围是.4355故答案为：(,).4315．55【解析】由题意，得123421b1322，因为n}为等差数列，且公差为2b11，首项为2，所以bn1n，故n1nnn1，因此21b1，aab322，aab，1099累加可得1012345678910，所以101234567891055，故答案为：55.116．；3xy1530【解析】设点B(x,y)，C(x,y)，因为点B,C在椭圆E上，11222x22y22所以111①，abx222y2221②，ab34因为kCBkOM，y211y2211234所以③，y2yyy2112ba212x222y212y222x2122y21y2222x①②，得，0，即0，所以112由，aabba2b2ba223由③得4c2214c1e，则.所以aa2因为∥2，kkAF,(0,b2(c,0)所以，BC2数学全解全析第5页（共12页）b所以kBC3.c设直线BC的方程为y3xm，my3x联立，整理，得15x28mx4m2b0，23x2y21b2b28m4mm所以xx，则M(,)，1215557m24mm25919，所以|()()319,即221515由题意m0，所以m153，所以y3x153,即直线l的方程为3xy1530.1故答案为:；3xy1530.2四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1710分）1）根据频率分布直方图可估计该校学生一周使用手机上网时间的平均数为x10.025230.100250.150270.125290.0752110.0252.（4分）（2）由频率分布直方图可得上网时间在所以可得22列联表为和内的人数之比为0.250.753，近视0.65n不近视合计长时间使用手机0.10n0.15n0.25n0.75n不长时间使用手机0.10n0.25n合计0.75nn（7分）n若为100，则22列联表为近视不近视合计长时间使用手机6510107525不长时间使用手机数学全解全析第6页（共12页）合计7525100（8分）零假设为H0:该校学生一周使用手机上网时间与近视程度无关.100(65151010)2221.7810.8280.001分）0.001H09根据列联表中的数据，经计算，得到75257525根据小概率值程度有关，此推断犯错误的概率不大于0.001.（10分）1812分）4SaBabA，21）因为B142所以=a+1分）2即2cBaBbA分）22sinCBsinABsinBAsin(AB)由正弦定理，得3分）因为ABπC，所以2sinCBsinC分）412Cπ)sinC0B因为，所以，所以5分）πBπ)B又，所以.（6分）3（2）由余弦定理，得b2a2c22acB，即9a2c2ac7分）19(ac)2ac，即=[a+c(2-]分）8所以313因为SacsinBac，l=a+c+3，24Slac4(ac3[(ac)9]2所以9分）12(acSl3所以(ac10分）(ac)2又ac（当且仅当acac34(ac)2所以9(ac)2ac（当且仅当4所以ac6（当且仅当ac311分）数学全解全析第7页（共12页）Sl333(ac(6（当且仅当ac3所以12124S3即的最大值为.（12分）l41912分）1）如图，连接1B，因为四边形AABB为正方形，所以1B1分）111在直三棱柱ABCABC中，平面BB平面平面ABC，11111111BBABCAB由⊥AC得1AB，又平面，111111111所以1平面AABB3分）11又平面AABB，所以ACAB，111111AB1AAC又1B11，平面，平面，A1111所以平面A4分）11又BD平面1，所以ABBD.（5分）1（2A为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，xyz1设2a，则(0,0)C(0,2a,0)，B(3,0)，，D(0,a,3)，(3,0)，2a,0)，a,3)6分）n(x,y,z)设是平面ABD的一个法向量，3z0n0ay，即3x0x0za，令，则y则，得3，n0所以n(0,3,a)为平面ABD7分）数学全解全析第8页（共12页）|ACn||n|2a3，解得a1，由题意，得3a2所以(3,0)，CD(0,3)．i(p,q,r)设为平面BCD的法向量，3p2q0i0则，即，iCD0qr0令q3，则p2，r1，即i(2,为平面j(0,.10分）BCD9分）易知平面ABC的一个法向量为设平面和平面的夹角为（，|ij||i||j|12cos则11分）422(3)211214所以sin1cos2，414所以平面与平面的夹角的正弦值为12分）42012分）1）当为奇数时，由nan2n2n2a1分）n2，得所以数列n}的奇数项成等差数列，且公差为2，又11，所以an.（2分）nn2n43分）n当为偶数时，由an24a，可得n所以数列n}的偶数项成等比数列，且公比为4，又22，所以n2n1.（4分）,an所以数列n}的通项公式为.（5分）2n1,n（2）当为奇数时，Saaa(aaa)(aan1)（6分）n12n13n24n1n1(n4)(n22n228分）3n)(282n2)221443n当为偶数时，Saaa(aaa)(aaa)（9分）n12n13n124n数学全解全析第9页（共12页）nnn414)n22n12.10（分）23n(282n1)2243222n(n,为奇数43S综上，.（12分）n12n22n,为偶数432112分）1）因为抛物线C:y22px(p0)过点p)，所以p22p，又p0，所以p22分）所以抛物线C的方程为2y4x3分）21yxy214y224y214y214（2）设点M(,1)，N(,y)，联立4，得G(yx,)4分）2又因为点M关于点G的对称点为P，y214y212所以点P(,1)5分）y2121y22由O，N，P三点共线，可得kONkOP，即，y21y244化简得2(1y2)1y20.（6分）xn设直线l的方程为xmyn，联立y，消去x，得2y44n07分）24x(4m)24(4n)0，即m2n则0，yy4n根据根与系数的关系，得1y24m，8分）12代入2(1y2)1y20，得8m4n0，所以n2m9分）xmy2mxm(y2)，所以直线l的方程为，即E(0,2)所以直线l过定点QHl10分）因为，所以点H在以为直径的圆上，圆心为，半径为211分）T|HT|，使得所以存在定点为定值，该定值为212分）数学全解全析第10