2019年高考数学一轮复习(文理通用)-第7章-立体几何-第7讲

立体几何第七章第七讲立体几何中的向量方法(理)立体几何第七章第七讲立体几何中的向量方法(理)1知识梳理2考点突破3名师讲坛4思想方法1知识梳理2考点突破3名师讲坛4思想方法知识梳理知识梳理知识点一利用空间向量求空间角1．两条异面直线所成的角(1)范围：两条异面直线所成的角θ的取值范围是__________．(2)向量求法：设异面直线a，b的方向向量为a，b，直线a与b的夹角为θ，a与b的夹角为φ，则有cosθ＝____________．|cosφ|知识点一利用空间向量求空间角|cosφ|2．直线与平面所成的角(1)范围：直线和平面所成的角θ的取值范围是__________．(2)向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为θ，a与u的夹角为φ，则有sinθ＝____________或cosθ＝sinφ．|cosφ|2．直线与平面所成的角|cosφ|3．二面角(1)二面角的取值范围是____________．(2)向量求法：若AB，CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB与CD的夹角(如图①)．[0，π]3．二面角[0，π]2019年高考数学一轮复习(文理通用)-第7章--立体几何-第7讲2019年高考数学一轮复习(文理通用)-第7章--立体几何-第7讲BB(4)已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为45°．A．0 B．1C．2 D．3[解析]

(1)(3)(4)不正确，(2)正确，故选B．2019年高考数学一轮复习(文理通用)-第7章--立体几何-第7讲DD2019年高考数学一轮复习(文理通用)-第7章--立体几何-第7讲AA2019年高考数学一轮复习(文理通用)-第7章--立体几何-第7讲2019年高考数学一轮复习(文理通用)-第7章--立体几何-第7讲CCCC[解析]

如图，过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，以O为原点，过O作DA的平行线为x轴，过O作AB的平行线为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．[解析]如图，过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，以O为原2019年高考数学一轮复习(文理通用)-第7章--立体几何-第7讲考点突破考点突破考点1利用向量求线线角例1C考点1利用向量求线线角例1C2019年高考数学一轮复习(文理通用)-第7章--立体几何-第7讲2019年高考数学一轮复习(文理通用)-第7章--立体几何-第7讲2019年高考数学一轮复习(文理通用)-第7章--立体几何-第7讲2019年高考数学一轮复习(文理通用)-第7章--立体几何-第7讲向量法求异面直线所成的角的方法(1)基向量法：利用线性运算．(2)坐标法：利用坐标运算．注意：向量法求异面直线所成角与向量夹角的区别，尤其是取值范围．2019年高考数学一轮复习(文理通用)-第7章--立体几何-第7讲〔变式训练1〕B〔变式训练1〕B2019年高考数学一轮复习(文理通用)-第7章--立体几何-第7讲考点2利用向量求线面角例2考点2利用向量求线面角例22019年高考数学一轮复习(文理通用)-第7章--立体几何-第7讲2019年高考数学一轮复习(文理通用)-第7章--立体几何-第7讲2019年高考数学一轮复习(文理通用)-第7章--立体几何-第7讲2019年高考数学一轮复习(文理通用)-第7章--立体几何-第7讲2019年高考数学一轮复习(文理通用)-第7章--立体几何-第7讲(1)向量法求线面角的两大途径①分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)．②通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．提醒：在求平面的法向量时，若能找出平面的垂线，则垂线上取两个点可构成一个法向量．2019年高考数学一轮复习(文理通用)-第7章--立体几何-第7讲(2)利用平面的法向量求线面角时的注意点①求出直线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)，取其余角即为所求．②若求线面角的余弦值，要注意利用平方关系sin2θ＋cos2θ＝1求出其值．不要误以为直线的方向向量与平面的法向量所夹角的余弦值为所求．(2)利用平面的法向量求线面角时的注意点〔变式训练2〕〔变式训练2〕2019年高考数学一轮复习(文理通用)-第7章--立体几何-第7讲2019年高考数学一轮复习(文理通用)-第7章--立体几何-第7讲2019年高考数学一轮复习(文理通用)-第7章--立体几何-第7讲2019年高考数学一轮复习(文理通用)-第7章--立体几何-第7讲考点3利用向量求二面角例3考点3利用向量求二面角例32019年高考数学一轮复习(文理通用)-第7章--立体几何-第7讲2019年高考数学一轮复习(文理通用)-第7章--立体几何-第7讲2019年高考数学一轮复习(文理通用)-第7章--立体几何-第7讲2019年高考数学一轮复习(文理通用)-第7章--立体几何-第7讲(1)利用向量法确定二面角大小的常用方法①找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小．②找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．(2)向量法应用(二面角大小(范围))的技巧建立恰当的空间直角坐标系，将两平面的法向量用与待求相关的参数(字母)表示，利用两向量的夹角公式构建方程或不等式或函数，进而求解．2019年高考数学一轮复习(文理通用)-第7章--立体几何-第7讲〔变式训练3〕〔变式训练3〕2019年高考数学一轮复习(文理通用)-第7章--立体几何-第7讲2019年高考数学一轮复习(文理通用)-第7章--立体几何-第7讲2019年高考数学一轮复习(文理通用)-第7章--立体几何-第7讲考点4利用空间向量求距离例4考点4利用空间向量求距离例4[解析]

取CD中点O，连接OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD．又平面MCD⊥平面BCD，则MO⊥平面BCD，从而OM⊥OB．取O为原点，直线OC，BO，OM为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．[解析]取CD中点O，连接OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥2019年高考数学一轮复习(文理通用)-第7章--立体几何-第7讲2019年高考数学一轮复习(文理通用)-第7章--立体几何-第7讲〔变式训练4〕C〔变式训练4〕C2019年高考数学一轮复习(文理通用)-第7章--立体几何-第7讲[点拨]

空间中的距离问题一般都可以转化成点到点的距离、点到线的距离和点到面的距离．其中点到点的距离、点到线的距离可用空间向量的模来求解，点到面的距离可借助于平面的法向量求解．[点拨]空间中的距离问题一般都可以转化成点到点的距离、点到名师讲坛名师讲坛思考方法——巧用向量法解立体几何中的探索问题(二)探索性问题的求解策略(1)对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等．(2)对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数．思考方法——巧用向量法解立体几何中的探索问题(二)例5例52019年高考数学一轮复习(文理通用)-第7章--立体几何-第7讲2019年高考数学一轮复习(文理通用)-第7章--立体几何-第7讲2019年高考数学一轮复习(文理通用)-第7章--立体几何-第7讲〔变式训练5〕〔变式训练5〕[解析]

方法一：(几何法)(1)如图1，连接AD1，由ABCD－A1B1C1D1是正方体，知BC1∥AD1．当λ＝1时，P是DD1的中点，又F是AD的中点，所以FP∥AD1．所以BC1∥EP．而FP⊂平面EFPQ，且BC1⊄平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ．2019年高考数学一轮复习(文理通用)-第7章--立体几何-第7讲2019年高考数学一轮复习(文理通用)-第7章--立体几何-第7讲2019年高考数学一轮复习(文理通用)-第7章--立体几何-第7讲2019年高考数学一轮复习(文理通用)-第7章--立体几何-第7讲2019年高考数学一轮复习(文理通用)-第7章--立体几何-第7讲2019年高考数学一轮复习(文理通用)-第7章--立体几何-第7讲思想方法思想方法两点注意：1.用向量来求空间角，都需将各类角转化成对应向量的夹角来计算，问题的关键在于确定