线性微分方程解的结构

关于线性微分方程解的结构高阶线性微分方程的一般理论n阶线性方程的一般形式为第2页,共48页，2024年2月25日，星期天二阶线性微分方程的一般形式为通常称第二式为第一式的相对应的齐方程。注意：我们讨论二阶线性方程的一般理论，所得结论可自然推广至n阶线性方程中。复习:一阶线性方程通解:非齐次方程特解齐次方程通解Y这种解法叫常数变易法。第3页,共48页，2024年2月25日，星期天1.二阶齐次线性微分方程的性质和解的结构(1)叠加原理:则它们的线性组合第4页,共48页，2024年2月25日，星期天的解，则它们的线性组合也是方程(2)的解。问题:例：设y1为(1)的解,则y2=2y1是方程(1)的解,但

y=C1y1+C2y2不为方程(1)的通解.第5页,共48页，2024年2月25日，星期天又如.

对于二阶常系数线性齐次微分方程容易验证:但这个解中只含有一个任意常数C,显然它不是所给方程的通解.由定理知都是它的解.也是它的解.在什么情况下，叠加所得可以成为方程(1)的通解？为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与线性无关概念.第6页,共48页，2024年2月25日，星期天(2)线性无关、线性相关定义:是定义在区间I

上的

n个函数,使得则称这

n个函数在I

上线性相关,否则称为线性无关.若存在不全为0

的常数第7页,共48页，2024年2月25日，星期天在区间I上线性相关存在不全为0的线性无关常数思考:中有一个恒为0,

则必线性相关两个函数在区间I

上线性相关与线性无关的充要条件:(不妨设第8页,共48页，2024年2月25日，星期天例1：

在(,)上都有故它们在任何区间I

上都线性相关;3.如：若在某区间

I

上则根据二次多项式至多只有两个零点,必需全为0,可见在任何区间

I

上都线性无关.第9页,共48页，2024年2月25日，星期天由三角函数知识可知，这是不可能的，故第10页,共48页，2024年2月25日，星期天(一)二阶齐线性微分方程解的结构的两个线性无关的特解，则是方程(1)的通解。例如第11页,共48页，2024年2月25日，星期天推论：是

n

阶线性齐次微分方程

的n

个线性无关的特解,

则方程的通解为：第12页,共48页，2024年2月25日，星期天下面要用到的几个重要的结论（要记住）通过观察可得方程的一个特解：第13页,共48页，2024年2月25日，星期天又容易看出：由叠加原理，原方程的通解为第14页,共48页，2024年2月25日，星期天代入方程（1）中，得怎么做？关于z的一阶线性方程该问题的解决归功于数学家刘维尔。第15页,共48页，2024年2月25日，星期天即故有两边积分，得这是关于z的一阶线性方程刘维尔公式第16页,共48页，2024年2月25日，星期天由刘维尔公式故原方程的通解为第17页,共48页，2024年2月25日，星期天（二)二阶非齐线性微分方程解的结构的一个通解，则证将代入方程（2）的左端得是非齐次方程的解,又y中含有两个独立任意常数,因而是通解.第18页,共48页，2024年2月25日，星期天是对应齐次方程的n

个线性无关特解,推广:给定n

阶非齐次线性方程是非齐次方程的特解,则非齐次方程的通解为齐次方程通解非齐次方程特解第19页,共48页，2024年2月25日，星期天例1：方程有特解对应齐次方程有通解：因此该方程的通解为第20页,共48页，2024年2月25日，星期天第21页,共48页，2024年2月25日，星期天是其对应的齐方程的一个特解。第22页,共48页，2024年2月25日，星期天则该方程的通解是().例4.设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程的解,是任意常数,提示:都是对应齐次方程的解,且二者线性无关

(反证法可证)。由非齐线性微分方程解的结构定理可得（D）是正确的。第23页,共48页，2024年2月25日，星期天例5.设

是二阶线性非齐次方程的三个线性无关的解，试用

表示二阶线性非齐次方程的通解.都是对应齐次方程的解,且二者线性无关.(反证法可证)。第24页,共48页，2024年2月25日，星期天例6.

已知微分方程个解求此方程满足初始条件的特解.是对应齐次方程的解,且常数因而线性无关,故原方程通解为代入初始条件故所求特解为：有三第25页,共48页，2024年2月25日，星期天第26页,共48页，2024年2月25日，星期天解都是微分方程的解,是对应齐次方程的解,常数对应齐次方程的通解原方程的通解第27页,共48页，2024年2月25日，星期天例8.已知y=x及y=sinx为某二阶线性齐次方程的解,求该方程.解第28页,共48页，2024年2月25日，星期天解(1)由题设可得：解此方程组，得(2)原方程为由解的结构定理得方程的通解为第29页,共48页，2024年2月25日，星期天(非齐次方程之解的叠加原理)第30页,共48页，2024年2月25日，星期天(非齐次方程之解的叠加原理)第31页,共48页，2024年2月25日，星期天第32页,共48页，2024年2月25日，星期天下面介绍如何求方程（2）的特解？的通解，则是方程(2)的通解。第33页,共48页，2024年2月25日，星期天1、常数变易法复习:常数变易法:对应齐次方程的通解:设非齐次方程的解为代入原方程确定对二阶非齐次方程情形1.

已知对应齐次方程通解:设③的解为③由于有两个待定函数,所以要建立两个方程:④第34页,共48页，2024年2月25日，星期天⑤令于是将以上结果代入方程③:得⑥故⑤,⑥的系数行列式是对应齐次方程的解第35页,共48页，2024年2月25日，星期天积分得:代入③即得非齐次方程的通解:于是得说明:将③的解设为只有一个必须满足的条件即因此必需再附加一个条件,方程⑤的引入是为了简化计算.方程③第36页,共48页，2024年2月25日，星期天情形2.仅知③的齐次方程的一个非零特解代入③化简得设其通解为积分得(一阶线性方程)由此得原方程③的通解:③第37页,共48页，2024年2月25日，星期天常数变易法则有这是以下推导的前提。1、常数变易法第38页,共48页，2024年2月25日，星期天于是对上式两边关于x求导，得这两部分为零。即第39页,共48页，2024年2月25日，星期天联立

(3)、(4)

构成方程组解此方程组，再积分，并取积分常数为零，即可得到

在这一节中所讲述的理论均可推广到

n阶线性微分方程中去。第40页,共48页，2024年2月25日，星期天解：该方程所对应的齐方程为它就是前面刚刚讲过的例题，由刘维尔公式得其通解为由常数变易法，解方程组第41页,共48页，2024年2月25日，星期天两边积分，取积分常数为零，得两边积分，取积分常数为零，得故原方程有一特解从而原方程的通解为：第42页,共48页，2024年2月25日，星期天解：先将方程变形为第43页,共48页，2024年2月25日，星期天所以，对应的齐次的通解为设原方程的解为由常数变易法知，应有解之得所以原方程的通解为第44页,共48页，2024年2月25日，星期天例3.的通解为

的通解.解:

将所给方程化为:已知齐次方程求利用⑤,⑥建立方程组:故所求通解为⑤⑥积分得第45页,共48页，2024年2月2