2024三年级奥数计算综合数阵图与幻方（A级）含答案

须M4巨行军奥出。济僧及管。生噂圈周闻为《缶军》

一、数阵图定义及分类:

定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.

数阵：是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型

数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.

二、解题方法：

解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：

第一步：区分数阵图中的普通点（或方格）和关键点（或方格）；

第二步：在数阵图的少数关键点（一般是交叉点）上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系,

得到关键点上所填数的范围；

第三步：运用已经得到的信息进行尝试.这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对

数学方法的综合运用.

三、幻方起源：

幻方也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方.幻方起源于我国，古

人还为它编撰了一些神话.传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都

无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖

着数是3歹1J,每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什

么意思.一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来："瞧多有趣啊，这些点点不论

横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！"于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，

河水果然从此不再泛滥了.这个神奇的图案叫做“幻方"，由于它有3行3列，所以叫做，三阶幻方"，

这个相等的和叫做"幻和洛书"就是幻和为15的三阶幻方.如下图:

F

3

我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解："九宫者，二四为肩，六八为足，左

三右七，戴九履一，五居中央.”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久.三

阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的："四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七

六郎赏月半，周围十五月团圆."幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们.

四、幻方定义：

幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的3x3的数阵称作三阶

幻方，4x4的数阵称作四阶幻方，5x5的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，

115144

12679

810115

133216

五、解决这幻方常用的方法：

⑴适用于所有奇数阶幻方的填法有罗伯法.口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连.上出框时往

下填，右出框时往左填.排重便在下格填，右上排重一个样.

⑵适用于三阶幻方的三大法则有：

①求幻和：所有数的和+行数(或列数)

②求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数"，中心数=幻和+3.

③角上的数=与它不同行、不同列、不同对角线的两数和+2.

六、数独简介：

数独前身为“九宫格"，最早起源于中国。数千年前，我们的祖先就发明了洛书，其特点较之现在

的数独更为复杂，要求纵向、横向、斜向上的三个数字之和等于15,而非简单的九个数字不能重复。

中国古籍《易经》中的“九宫图”也源于此，故称“洛书九宫图"。而"九宫”之名也因《易经》在中华文

化发展史上的重要地位而保存、沿用至今。

1783年，瑞士数学家莱昂哈德・欧拉发明了一种当时称作“拉丁方块"(LatinSquare)的游戏，这

个游戏是一个nxn的数字方阵，每一行和每一列都是由不重复的n个数字或者字母组成的。19世

纪70年代，美国的一家数学逻辑游戏杂志《戴尔铅笔字谜和词语游戏》（DellPuzzleMagazines）开始

刊登现在称为“数独"的这种游戏，当时人们称之为"数字拼图"（NumberPlace）,在这个时候，9x9的

81格数字游戏才开始成型。填充完整后1984年4月，在日本游戏杂志《字谜通讯Nikoil》（《/弋犬及通

信二=111》）上出现了"数独"游戏，提出了"独立的数字”的概念，意思就是"这个数字只能出现一次"或

者"这个数字必须是唯一的"，并将这个游戏命名为“数独"（sudoku）。

一位前任香港高等法院的新西兰籍法官高乐德（WayneGould）在1997年3月到日本东京旅游时,

无意中发现了。他首先在英国的《泰晤士报》上发表，不久其他报纸也发表，很快便风靡全英国，之

后他用了6年时间编写了电脑程式，并将它放在网站上，使这个游戏很快在全世界流行。从此，这个

游戏开始风靡全球。后来更因数独的流行衍生了许多类似的数学智力拼图游戏，例如：数和、杀手数

独。

中国大陆是在2007年2月28日正式引入数独.2007年2月28日，北京晚报智力休闲数独俱乐部

（数独联盟sudokufederation前身）在新闻大厦举行加入世界谜题联合会的颁证仪式,会上谜题联合会秘

书长皮特-里米斯特和俱乐部会长在证书上签字，这标志着北京晚报智力休闲俱乐部成为世界谜题联合

会的39个成员之一，这也标志着俱乐部走向国际舞台，它将给数独爰好者带来更多与世界数独爰好

者们交流的机会。

七'解题技巧：

数独游戏中最常规的办法就是利用每一个空格所在的三个单元中已经出现的数字（大小数独一个

空格只位于两个单元之内，但是同时多了一个大小关系作为限制条件）来缩小可选数字的范围。

总结4个小技巧：

1、巧选突破口：数独中未知的空格数目很多，如何寻找突破口呢？首先我们要通过规则的限制来

分析每一个空格的可选数字的个数，然后选择可选数字最少的方格开始，一般来说，我们会选

择所在行、所在列和所在九宫格中已知数字比较多的方格开始，尽可能确定方格中的数字；而

大小数独中已知的数字往往非常少，这个时候大小关系更加重要，我们除了利用已知数字之外

更加需要考虑大小关系的限制。

2、相对不确定法：有的时候我们不能确定2个方格中的数字，却可以确定同一单元其他方格中肯

定不会出现什么数字，这个就是我们说的相对不确定法。举例说明，A1可以填入1或者2,A2

也可以填入1或者2,那么我们可以确定，1和2必定出现在A1和A2两者之中，A行其他位置

不可能出现1或者2.

3、相对排除法：某一单元中出现好几个空格无法确定，但是我们可以通过比较这几个空格的可选

数字进行对比分析来确定它们中的某一个或者几个空格。举例说明，A行中已经确定5个数字,

还有4个数字（我们假设是1、2、3、4）没有填入，通过这4个空格所在的其他单元我们知道

A1可以填入1、2、3、4,A2可以填入1、3,A3可以填入1、2、3,A4可以填入1、3,这个

时候我们可以分析，数字4只能填入A1中，所以A1可以确定填入4,我们就可以不用考虑A1,

这样就可以发现2只能填入A3中，所以A3也能确定，A2和A4可以通过其他办法进行确定。

4、假设法：如果找不到能够确定的空格，我们不妨进行假设，当然，假设也是原则的，我们不能

进行无意义的假设，假设的原则是：如果通过假设一个空格的数字，可以确定和这个空格处在

同一个单元内的其它某一个或者某几个空格的数字，那么我们就以选择这样的空格来假设为佳。

举例说明，B3可以填入1或者2,A3可以填入2或者3,B4可以填入1或者2,这个时候我们

就应该假设B3填入2,这样就可以确定A3填入3,B4填入1,然后以这个为基础进行推理。

一、辐射型数阵图

【例1】把1991,1992,1993,1994,1995分别填入图2的5个方格中，使得横排的三个方格中的数的

和等于竖列的三个方格中的数的和。则中间方格中能填的数是。

【巩固】将1〜5五个数字，分别填入右图的五个。中，使横、竖线上的三个数字和都是10。

【例2】请你把1〜7这七个自然数，分别填在下图（1）的圆圈内，使每条直线上的三个数的和都相等.

应怎样填？

(1)

【巩固】将1〜7七个数字，分别填入图中的各个。内，使每条线上的三个数和相等。

【例3】将1〜11十一个数字，填入下图各。中，使每条线段上的数字和相等。

【巩固】将10〜20填入左下图的。内，其中15已填好，使得每条边上的三个数字之和都相等。

二、封闭型数阵

【例4】把2、3、4、5、6、7六个数字，分别填入。中，使三角形各边上的数字和都是12。

【巩固】在如图6所示的。内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是12,若A、B、C的和为

18,则三个顶点上的三个数的和是____________0

AB

C

【例5】把1〜9九个数字，分别填入下图。中，使每边上四个数的和都是21。

【巩固】将1至6这六个数字填入图中的六个圆圈中（每个数字只能使用一次），使每条边上的数字和相

等.那么，每条边上的数字和是.

三、复合型数阵图

【例6】右边的一排方格中，除9、8外，每个方格中的字都表示一个数（不同的字可以表示相同的数），已

知其中任何3个连续方格中的数相加起来都为22,则“走”+“进”+“数”+“学”+“花”+“园”=

|走|进|9|数|学|花|8|园|

【巩固】请在下图中每个方格中填一个数，使横行任意三个相邻方格内的数字之和都是15,竖列任意三

个相邻方格内的数字之和都是18.

【例7】如图所示，圆圈中分别填人0到9这10个数，且每个正方形顶点上的四个数之和都是18,则中

间两个数A与B的和是0

【巩固】将1〜8这八个数分别填入右图的。中，使两个大圆上的五个数之和都等于21。

【例8】把1〜8的数填到下图中，使每个四边形中顶点的数字和相等。

【巩固】把2〜10九个数字，分别填入下图。中，使每条直线上的三个数和为15。

四、数阵图与数论

【例9】把。一9这十个数字填到右图的圆圈内，使得五条线上的数字和构成一个等差数列，而且这个等

差数列的各项之和为55,那么这个等差数列的公差有种可能的取值.

【巩固】将1~9填入下图的。中，使得任意两个相邻的数之和都不是3,5,7的倍数.

五、数独

【例10］在下图中的每个□填入一位适当的数字，使每一行、每一列、每一宫中包含数字1到4,并且每

个数字只出现一次。

【巩固】如图.4x4方格被分成了五块；请你在每格中填入1、2、3、4中的一个，使得每行、每列的四

个数各不相同，且每块上所填数的和都相等。则A、B、C、D四处所填数字之和是。

AB

DC

六、幻方

【例11】3x3的正方形中，在每个格子里分别填入1~9的9个数字，要求每行每列及对角线上的三个数

的和相等（请给出至少一种填法）.

【巩固】3x3的正方形格子中，在每个格子里分别填入2~10的9个数字，要求每行每列及对角线上的三

个数的和相等（请给出至少一种填法）.

【例12］在图的九个方格里，每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，则心

【巩固】在下面两幅图的每个空格中，填入7个自然数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和等

于21.

88

4

4

【随练1】将1〜9九个数字，填入下图各。中，使纵、横两条线上的数字和相等。

【随练2】将1〜7这七个自然数填入左下图的七个。内，使得每条边上的三个数之和都等于10。

【随练3】将1〜8八个数字，分别填入下图。中，使每个面的四个数和相等。

【随练4】如图，请将1个1,2个2,3个3,……，7个7,8个8填入6x6的表格中，使得相同的数所

在的方格都连在一起（相连的两个方格必须有公共边）；现在已经给出了其中8个方格的数，并

且知道A、B、C、D、E、F各不相同，那么，六位数是o

56

ABCDE尸

12

34

78

【作业1】把1〜5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。

【作业2】把1〜5这五个数填入下页左上图中的。里（0已填入5）,使两条直线上的三个数之和相等。

1

^

6

【作业3】把1〜5这五个数填入右图中的。里，使每条0直线上的三个数之和相等。

6

6一O

【作业4】将1〜8这八个自然数分别填入下图中的八个。内，使四边形每条边上的三个数之和都等于14,

且数字1出现在四边形的一个顶点上.应如何填？

【作业5】用11,13,15,17,19,21,23,25,27编制成一个三阶幻方。

【作业6】在图1所示的和方格表中填入合适的数，使得每行、每列以及每条对角线上的三个数的和相等。

那么标有“☆”的方格内应填入的数是______.

学生对本次课的评价

。特别满意。满意。一般

家长意见及建议

家长签字：

一、数阵图定义及分类：

定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.

数阵：是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型

数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.

二、解题方法：

解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：

第一步：区分数阵图中的普通点（或方格）和关键点（或方格）；

第二步：在数阵图的少数关键点（一般是交叉点）上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，

得到关键点上所填数的范围；

第三步：运用已经得到的信息进行尝试.这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对

数学方法的综合运用.

三、幻方起源：

幻方也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方.幻方起源于我国，古

人还为它编撰了一些神话.传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都

无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖

着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什

么意思.一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论

横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，

河水果然从此不再泛滥了.这个神奇的图案叫做"幻方"，由于它有3行3列，所以叫做"三阶幻方"，

这个相等的和叫做"幻和洛书"就是幻和为15的三阶幻方.如下图：

我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左

三右七，戴九履一，五居中央.”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久.三

—/-T-AT7ntnmJ、I/.r^i人业Jn-f-FSZ1>—，一r-^―/.T7-IvZ-llT-IlL

阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七

六郎赏月半，周围十五月团圆.”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们.

四、幻方定义：

幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的3x3的数阵称作三阶

幻方，4x4的数阵称作四阶幻方，5x5的称作五阶幻方......如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，

115144

12679

810115

133216

五、解决这幻方常用的方法：

⑴适用于所有奇数阶幻方的填法有罗伯法.口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连.上出框时往

下填，右出框时往左填.排重便在下格填，右上排重一个样.

⑵适用于三阶幻方的三大法则有：

①求幻和：所有数的和+行数(或列数)

②求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫"中心数"，中心数=幻和+3.

③角上的数=与它不同行、不同列、不同对角线的两数和+2.

六、数独简介：

数独前身为"九宫格”，最早起源于中国。数千年前，我们的祖先就发明了洛书，其特点较之现在

的数独更为复杂，要求纵向、横向、斜向上的三个数字之和等于15,而非简单的九个数字不能重复。

中国古籍《易经》中的"九宫图"也源于此，故称“洛书九宫图"。而"九宫"之名也因《易经》在中华文

化发展史上的重要地位而保存、沿用至今。

1783年，瑞士数学家莱昂哈德・欧拉发明了一种当时称作"拉丁方块"(LatinSquare)的游戏，这个

游戏是一个nxn的数字方阵，每一行和每一列都是由不重复的n个数字或者字母组成的。19世纪

70年代，美国的一家数学逻辑游戏杂志《戴尔铅笔字谜和词语游戏》(DellPuzzleMagazines)开始刊

登现在称为"数独"的这种游戏，当时人们称之为"数字拼图"(NumberPlace),在这个时候，9x9的81

格数字游戏才开始成型。填充完整后1984年4月，在日本游戏杂志《字谜通讯Nikoil》心通信

二口外〉)上出现了"数独"游戏，提出了“独立的数字”的概念，意思就是“这个数字只能出现一次”或者

“这个数字必须是唯一的"，并将这个游戏命名为"数独"(sudoku)。

一位前任香港高等法院的新西兰籍法官高乐德(WayneGould)在1997年3月到日本东京旅游时，

无意中发现了。他首先在英国的《泰晤士报》上发表，不久其他报纸也发表，很快便风靡全英国，之

后他用了6年时间编写了电脑程式，并将它放在网站上，使这个游戏很快在全世界流行。从此，这个

游戏开始风靡全球。后来更因数独的流行衍生了许多类似的数学智力拼图游戏，例如：数和、杀手数

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独。

中国大陆是在2007年2月28日正式引入数独.2007年2月28日，北京晚报智力休闲数独俱乐部

（数独联盟sudokufederation前身）在新闻大厦举行加入世界谜题联合会的颁证仪式，会上谜题联合会秘

书长皮特-里米斯特和俱乐部会长在证书上签字，这标志着北京晚报智力休闲俱乐部成为世界谜题联合

会的39个成员之一，这也标志着俱乐部走向国际舞台，它将给数独爱好者带来更多与世界数独爱好

者们交流的机会。

七、解题技巧：

数独游戏中最常规的办法就是利用每一个空格所在的三个单元中已经出现的数字（大小数独一个

空格只位于两个单元之内，但是同时多了一个大小关系作为限制条件）来缩小可选数字的范围。

总结4个小技巧：

1,巧选突破口：数独中未知的空格数目很多，如何寻找突破口呢？首先我们要通过规则的限制来

分析每一个空格的可选数字的个数，然后选择可选数字最少的方格开始，一般来说，我们会选

择所在行、所在列和所在九宫格中已知数字比较多的方格开始，尽可能确定方格中的数字；而

大小数独中已知的数字往往非常少，这个时候大小关系更加重要，我们除了利用已知数字之外

更加需要考虑大小关系的限制。

2、相对不确定法：有的时候我们不能确定2个方格中的数字，却可以确定同一单元其他方格中肯

定不会出现什么数字，这个就是我们说的相对不确定法。举例说明，A1可以填入1或者2,A2

也可以填入1或者2,那么我们可以确定，1.和2必定出现在A1和A2两者之中，A行其他位置

不可能出现1或者2.

3、相对排除法：某一单元中出现好几个空格无法确定，但是我们可以通过比较这几个空格的可选

数字进行对比分析来确定它们中的某一个或者几个空格。举例说明，A行中已经确定5个数字，

还有4个数字（我们假设是1、2、3、4）没有填入，通过这4个空格所在的其他单元我们知道

A1可以填入1、2、3、4,A2可以填入1、3,A3可以填入1、2.3,A4可以填入1、3,这个

时候我们可以分析，数字4只能填入A1中，所以A1可以确定填入4,我们就可以不用考虑A1,

这样就可以发现2只能填入A3中，所以A3也能确定，A2和A4可以通过其他办法进行确定。

4、假设法：如果找不到能够确定的空格，我们不妨进行假设，当然，假设也是原则的，我们不能

进行无意义的假设，假设的原则是：如果通过假设一个空格的数字，可以确定和这个空格处在

同一个单元内的其它某一个或者某几个空格的数字，那么我们就以选择这样的空格来假设为佳。

举例说明，B3可以填入1或者2,A3可以填入2或者3,B4可以填入1或者2,这个时候我们

就应该假设B3填入2,这样就可以确定A3填入3,B4填入1,然后以这个为基础进行推理。

—/-T-AT7ntnmJ、I/.r^i人业Jn-f-FSZ1>—，一r-^―/.T7-IvZ-llT-IlL

一、辐射型数阵图

【例1】把1991,1992,1993,1994,1995分别填入图2的5个方格中，使得横排的三个方格中的数的

和等于竖列的三个方格中的数的和。则中间方格中能填的数是。

【考点】辐射型数阵图【难度】1星【题型】填空

【解析】由题意，横行两端两个数的和应该等于竖列两端两个数的和，也就是除去中间方格中的数，其余

的四个数可以分为和相等的两组。所以中间方格中能填的数为：1991,1993,1995。

【答案】中间方格能填的数可以为：1991,1993,1995,答案不唯一。

【巩固】将1〜5五个数字，分别填入右图的五个。中，使横、竖线上的三个数字和都是10。

【考点】辐射型数阵图【难度】1星【题型】填空

【解析】已给出的五个数字和是：1+2+3+4+5=15。题中要求横、竖每条线上数字和都是10,两条线

合起来便是20了。20-15=5,怎样才能增加5呢？因为中心的一个数是个重复使用数。只有

5连加两次才能使五个数字的和增加5,关键找到了，中心数必须填5。确定了中心数后，按余下

的1、2、3、4,分别填在横、竖线的两端，使每条线上数的和是10,便可以了。通过尝试，可

以填为：

【答案】①一g~~⑷o

【例2】请你把1〜7这七个自然数，分别填在下图（1）的圆圈内，使每条直线上的三个数的和都相等.

应怎样填？

(1)

—1-T-AT7ntn、I/.r^i人业J“4rsi>—/./.T7、-trL-il-r-Hr-

【考点】辐射型数阵图【难度】2星【题型】填空

【解析】为叙述方便，先在圆圈中标上字母，如下图（2）,

设a+b+e=a+c+f=a+d+g=k,

贝I(a+b+e)+(a+c+f)+(a+d+g)=3k

3a+b+c+d+e+f+g=3k

2a+(a+b+c+d+e+f+g)=3k

2a+(1+2+3+4+5+6+7)=3k

2a+28=3k

a为1、4或7,若a=l,则k=10,直线上另外两个数的和为9.在2、3、4、5、6、7中，2+7=3+6=4+5=9,

因此得到一个解为：a=l,b=2,c=3,d=4,e=7,f=6,g=5.

若a=4,则k=12,直线上另外两个数的和为8.在1、2、3、5、6、7中，1+7=2+6=3+5=8,因此得

到第二个解为：a=4,b=l,c=2,d=3,e=7,f=6,g=5.

若a=7,贝|k=14,直线上另外两个数的和为7.在1、2、3、4、5、6中，1+6=2+5=3+4=7,因此得

到第三个解为：a=7,b=l,c=2,d=3,e=6,f=5,g=4.

解：共得到三个解：如下图.

例2为辐射型数阵图，填辐射型数阵图的关键在于确定中心数a和每条直线上几个圆圈内数的和

【巩固】将1〜7七个数字，分别填入图中的各个。内，使每条线上的三个数和相等。

【考点】辐射型数阵图【难度】2星【题型】填空

—/-V-AT7ntnmJ、Ifdr/.r^i人业J“4FSZ1>—，一r-^―/.T7-IvZ-ill-IlL

【解析】图中共有3条线，若每条线数字和相等，三条线的数字总和必为3的倍数。设中心数为a,则a

被重复使用了2次。即，1+2+3+4+5+6+7+2a=28+2a

28+2a应能被3整除。（28+2a）+3=28+3+2a+3其中28+3=9…余1,所以2a+3应余2„由土匕，

便可推得a只能是1、4、7三数。

当a=l时，28+2a=3030+3=10,其他两数的和是10T=9,只要把余下的2、3、4、5、6、

7,按和为9分成三组填入两端即可。

同理可求得a=4、a=7两端应填入的数。

【例3】将1〜11H^一个数字,填入下图各。中,使每条线段上的数字和相等。

【考点】辐射型数阵图【难度】3星【题型】填空

【解析】图中共有五条线段，全部数字的总和必须是5的倍数，每条线上的数字和才能相等。1~11十一

个数字和为66,66+5=13余1,必须再增加4,可使各线上数字和为14。共五条线，中心数重复

使用4次，填1恰符合条件。

此题的基本解法是：中心数重复使用次数与中心数的积，加上原余数1,所得的和必须是5的倍

数。据此，中心数填6、11均可得解。

【答案】

【巩固】将10〜20填入左下图的。内，其中15已填好，使得每条边上的三个数字之和都相等。

【考点】辐射型数阵图【难度】3星【题型】填空

【解析】与例2类似，中间O内的15是重叠数，并且重叠了四次，所以每条边上的三个数字之和等于

[(10+11+…+20)+15,4户5=45。剩下的十个数中，两两之和等于(45-15=)30的有10,20;11,19;

12,18;13,17;14,16.于是得到右上图的填法。

二、封闭型数阵

【例4】把2、3、4、5、6、7六个数字，分别填入。中，使三角形各边上的数字和都是12。

【考点】封闭型数阵图【难度】3星

【解析】要使三角形每边上的数字和都是12,则三条边的数字和便是12x3=36,而2+3+4+5+6+7=

27,36与27相差9。三个角顶的数字都重复使用两次，只有这三个数字的和是9,才能符合条

件。确定了角顶的数字，其他各数通过尝试便容易求得了!

这题还可有许多解法，上图只是其中一种。

【答案】答案不唯一。

—Al-Anntn、Ifxir入业J“4rsi>—/./.T7、-l»4.ilTHr-

【巩固】在如图6所示的。内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是12,若A、B、C的和为

18,则三个顶点上的三个数的和是____________0

【考点】封闭型数阵图【难度】1星【题型】填空

【解析】设三个顶点为D,E,F,求。£凡观察容易发现，三条边的和为36,D+A+E+E+C+F+F+B+D=36

18+2(D+E+F)=36,所以D+E+F=9.

【答案】9。

【例5】把1〜9九个数字，分别填入下图。中，使每边上四个数的和都是21。

【考点】封闭型数阵图【难度】1星【题型】填空

【解析】要使三角形每条边上的数字和是21,则三条边的数字和便是：21x3=63。而1~9九个数字的

和只有45。45比63少18,只有使三角形三个顶角的数字和为18,重复使用两次，才能使总和

增加18。所以应确定顶点的三个数。下面是填法中的一种。

确定了顶角的数后，其他各数便容易了。

【答案】

【巩固】将1至6这六个数字填入图中的六个圆圈中(每个数字只能使用一次)，使每条边上的数字和相

—/-T-AT7ntnmJ、I/.r^i人业Jn-f-FSZ1>—，一r-^―/.T7-IvZ-llT-IlL

【考点】封闭型数阵图【难度】2星【题型】填空

【解析】如图，用字母表示各个圆圈中的数，那么每条边上的数字和为:

(1+2+•••+Z?+c)-3=15+a+b+c,由于0+/,+c最小为1+2+3=6,最大为

3

4+5+6=15,所以每条边上的数字和最小为17,最大为20,如下两图为每条边上的数字和分别

为17和20时的填法.

而每条边上的数字和能否为18或19呢？答案是否定的，现说明如下.

如果每条边上的数字和为18,那么a+〃+c=(18-15)x3=9,而a伤M+=98，即9,

得到c=d,与题意不符，所以每条边上的数字和不能为18.如果每条边上的数字和为19,类似

分析可得到b=e,也与题意不符，所以每条边上的数字和不能为19.

所以每条边上的数字和为17或20.

【答案】17或20。

三、复合型数阵图

【例6】右边的一排方格中，除9、8外，每个方格中的字都表示一个数(不同的字可以表示相同的数)，已

知其中任何3个连续方格中的数相加起来都为22,贝卜走”+“进”+“数”+“学”+“花”+“园”=

走进g数学花8园

【考点】复合型数阵图【难度】2星【题型】填空

【解析】“走”+“进”+9=22,9+“数”+“学”=22,“花”+8+“园”=22,所以

“走”+“进”+“数”+“学”+“花”+“园”=22-9+22-9+22-8=40

【答案】40。

【巩固】请在下图中每个方格中填一个数，使横行任意三个相邻方格内的数字之和都是15,竖列任意三

个相邻方格内的数字之和都是18.

3

8

7

3

5285285285

7

3

8

【考点】复合型数阵图【难度】3星【题型】填空

—/-T-AT7ntn、I^Eir/.r^i人业J“4rsi1—/.ATI、-l»4.ilTHr-

【解析】竖列任意三个相邻方格内的数字之和都是18,从上至下第二个数与第三个数的和是18-3=15,

第二个数+第三个数+第四个数=18,第四个数等于3,以此类推，从上至下第一个数等于第四个

数等于第七个数，第二个数等于第五个数等于第八个数，所以竖行从上至下依次为3、8、7、3、

8、7、3、8;同理，横行任意三个相邻方格内的数字之和都是15,由左至右第六个数是8,所以

横行由左至右依次为5、2、8、5、2、8、5、2、8、5,如右上图所示.

3

8

7

3

5285285285

7

3

8

【答案】

【例7】如图所示，圆圈中分别填人0到9这10个数，且每个正方形顶点上的四个数之和都是18,则中

间两个数A与2的和是0

【考点】复合型数阵图【难度】3星【题型】填空

【解析】若每个正方形中数的和都是18,那么总和为54,而这10个数的和为45,其中4、8各多算了一

次，故A+B=9。

【答案】9。

【巩固】将1〜8这八个数分别填入右图的。中，使两个大圆上的五个数之和都等于21。

【考点】复合型数阵图【难度】3星【题型】填空

【解析】中间两个数是重叠数，重叠次数都是1次，所以两个重叠数之和为:21x2-(l+2+…+8尸6。在已知

的八个数中，两个数之和为6的只有1与5,2与4。每个大圆上另外三个数之和为21-6=15。如

果两个重叠数为1与5,那么剩下的六■个数2,3,4,6,7,8平分为两组，每组三数之和为15

的只有:2+6+7=15和3+4+8=15,

故有右下图的填法。

—/-T-AT7ntn、I/.r^i人业J“4rsi1—/.ATI、-l»4.ilTHr-

如果两个重叠数为2与4,那么同理可得下图的填法。

【例8】把1〜8的数填到下图中，使每个四边形中顶点的数字和相等。

【考点】复合型数阵图【难度】3星【题型】填空

【解析】

【巩固】把2〜10九个数字，分别填入下图。中，使每条直线上的三个数和为15。

【考点】复合型数阵图【难度】3星【题型】填空

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【解析】2~10九个数字的和为：2+3+4+........+10=6x9=54若排成每个三角形每边的数字和都是15,

图中含有每边都三个数字的三角形有两个，共六条边，数字总和应是15x6=90。54比90少36。

在外围的六个数都被重复使用了两次，它们又分属于两个三角形。所以，每个三角形三个顶角的

数和应为：36+2=18。这样，便可以先填外三角形三个顶角的数。三个数和为18的有很多组，

可以通过试验筛选出适宜的一组。填好了外围三角形各个数后，里面的三角形，因为顶角的数已

知，其他各数便容易填写了。下面是填法中的一种:

【答案】答案不唯一。

四、数阵图与数论

【例9】把0—9这十个数字填到右图的圆圈内，使得五条线上的数字和构成一个等差数列，而且这个等

差数列的各项之和为55,那么这个等差数列的公差有种可能的取值.

【考点】数阵图与数论【难度】3星【题型】填空

【解析】设顶点分别为A、B、C、D、E,<45+A+B+C+D+E^55,所以4+B+C+£>+£=10,所以A、B、C、

D、E分别只能是0-4中的一个数字.则除之外的另外5个数(即边上的)为45-10=35.设所形成的

等差数列的首项为al,公差为d.利用求和公式5(al+al+4d)2=55,得al+2d=11,故大于等

于0+1+5=6,且为奇数，只能取7、9或11,而对应的公差d分别为2、1和0.经试验都能填出来

所以共有3中情况，公差分别为2、I、0.

【答案】2种可能

【巩固】将1~9填入下图的。中，使得任意两个相邻的数之和都不是3,5,7的倍数.

【考点】数阵图与数论【难度】4星【题型】填空

—1-T-AT7ntn、I/.r^i人业J“4rsi>—/./.T7、-trL-il-r-Hr-

【解析】根据题意可知1的两边只能是3与7；2的两边只能是6与9；3的两边只能是1、5或8；4的两

边只能是7与9.可以先将3—1—7-写出来，接下来7的后面只能是4,4的后面只能是9,9的

后面只能是2,2的后面只能是6,可得：3—1—7一4^9—2—6--,还剩下5和8两个数.由于

6+8=14是7的倍数，所以接下来应该是5,这样可得：3—1—7—4—9—2—6—5—8—3.检验

可知这样的填法符合题意.

【答案】3—1—7^—9—2—6—5—8—3。

五、数独

【例10］在下图中的每个口填入一位适当的数字，使每一行、每一列、每一宫中包含数字1到4,并且每

个数字只出现一次。

【考点】数独【难度】3星【题型】填空

【解析】略。

【巩固】如图.4x4方格被分成了五块；请你在每格中填入1、2、3、4中的一个，使得每行、每列的四

个数各不相同，且每块上所填数的和都相等。则A、B、C、D四处所填数字之和是。

口I[B]

i1T

【考点】数独【难度】3星【题型】填空

【解析】首先16个方格的和为4x(1+2+3+4)=40,所以每一决的和位40+5=8,4个数和为8只有1+2+3+2

和1+1+2+4两种，3个数和为8有1+3+4、2+2+4、2+3+3两种.其中只有1+3+4,三个加数各不

相同，所以A所在的三格只能填1、3、4,所以B只能是2,B所在块中另外两个数只能是3+3

(排除)或2+4.

再看C所在的块，这能填1+2+3+1或1+1+2+4,其中C右侧的数只能填重复的数

□□n3□□3

H1HN1N

□q□□□□二

□Z]□□□Z]□□

事实上以上两个中2可以确定位置.剩下的尝试即可得出.

所以和为10.

【答案】10。

六、幻方

【例11】3x3的正方形中，在每个格子里分别填入1~9的9个数字，要求每行每列及对角线上的三个数

的和相等（请给出至少一种填法）.

【考点】构造幻方【难度】1星【题型】填空

【解析】方法一：第一步：求幻和：（1+2+3+…）=15

第二步：求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，仔细观察可以发现：除了对角线