2023-2024学年海南省高考全真模拟卷（二）数学试题及答案

2023—2024学年海南省高考全真模拟卷（二）

数学

1.本试卷满分150分，测试时间120分钟，共4页.

2.考查范围：集合、常用逻辑用语、不等式、三角函数、平面向量、解三角形、函数和导

数.

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的）

1.命题sinx-x?<1”的否定是（）

A.3x<1,sinx-x2>1B.>1,sinx-x2>1

C.Vx<l,sinx-x2>1D.Vx>1,sinx-x2>1

2.已知集合〃={8,2-7》<0},8={x|x>4},则ZU3=（）

A.0B.（4,7）C.（0,+8）D.（0,4）

3.己知加=（2,-3）,n=（-1,4）,p=（2,1）,若卜%+3〃）_Lp,则丸=（）

1

A.9B.-9D.---

9

4.声强级乙（单位：dB）由公式£/=101g给出,其中/为声强（单位：W/m2）.若学校图书规

定：在阅览室内，声强级不能超过40dB,则最大声强为（）

A.10^W/m2B.IO-7W/m2

C.10-8W/m2D.IO-9W/m2

3

5.已知函数/（x）的图象在区间［1,3］上连续不断，则"/（x）在［1,3］上存在零点”是“Z〃i）=O,

/=1

i€N*”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.我们把顶角为36。的等腰三角形称为“最简三角形”.已知cos36°=则“最美三角形”的顶角与

4

一个底角之和的余弦值为（）

A.匕立1—^5

C2-亚D.q

B.------「4

48

2万

7.已知函数/(%)=sinCDX---3---->-o)在0,奈上恰有5个极值点，则当⑦取得最小值时，/（x）图象

3

的对称中心的横坐标可能为（）

7万84_11乃2乃

A.—B.—C.-----D.——

3015153

|x|-3,x<3,

8.已知函数/（x）=<若函数g（x）=[/（x）]2-4（x）+2有6个零点，则a的值可能为

-x2+6x-9,x>3,

()

A.—1B.—2C.-3D.-4

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.已知〃,6cR,且。>b>0,则（)

22

A.a-2a>b-2bB.2log5a>log3b

JL

11।

C.D.(石—2产>(布—2广

j2a+5J26+5

10.下列命题正确的是（）

A.BXGR,4X2+9<12X

B.VxeR,2sin2x-5sinx+3>0

1

c.若命题“VxeR,(2a+3)x2-ax+—>0”为真命题，则实数a的取值范围为（―8,—l）U（3,+oo）

4

若依目0,3],3xe[l,2],使得log5（x；+l）z1-m，则实数加的最小值为工

D.2

''329

11.数学与生活存在紧密联系，很多生活中的模型多源于数学的灵感.已知某建筑物的底层玻璃采用正六边形

为主体，再以正六边形的每条边作为正方形的一条边构造出六个正方形，如图所示，则在该图形中，下列说法

正确的是（）

H

B.BE=BD+近而

2

D.IC^^-BD+^-CF

3264

12.已知函数/'(x)=4j^sinxcosx-tan2x,则()

A.%是/（x）的一个周期B.〃x）的图象关于（一］,0j中心对称

C./（x）〈也在［03〕上恒成立D.y=/（x）——］在［一二且］上的所有零点之和为4万

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知集合工={》|。＜：2一4=0},8=卜利=五2_4+〃72卜若工口8=/，则实数。的值可以是

.（写出一个满足条件的值即可）

14.若函数/（x）=83、+加N%".sinx的图象关于y轴对称，则加=.

I7

15.已知正数a,b满足，+1=2&,若（a-。）？N4（ab）3,则/+〃=______

ah

—75c—

16.在△/BC中，角力，B,C所对的边分别为Q,b,c,已知c=4,C=60°,BD=，+DA,则

2

汉•丽的最大值为.

四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（10分）

在△ZBC中，角4,B,C所对的边分别为a,h,c,且4acos8=c?-4bcosZ.

（I）求c的值；

（11）若。=&,a+b=4日求△N5C的面积.

3

18.（12分）

已知函数/（力=y2-4Inx+1.

（I）求曲线y=/（x）在处的切线方程；

（II）求/（X）的单调区间与极值.

19.（12分）

某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元.己知生

产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产x万件电子芯

片需要投入的流动成本为/（X）（单位：万元），当年产量不超过14万件时，/（X）=jx2+4x；当年产量超

过14万件时，/（x）=17x+^-80.假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完.

（I）写出年利润g（x）（万元）关于年产量X（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入一固定成

本一流动成本）

（II）如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？

20.（12分）

在△Z8C中，角4,B,C所对的边分别为a,h,c,加=（c,6）,n=cos//,cos（/+3））,且

tn//n.

（I）若a=4,c=^b,求△NBC的周长；

（II）若由=2砺，|万7|=3,求a+6的最大值.

21.（12分）

如图为函数/（》）=2（；00（蛆+夕）［@>0,闸<5）的部分图象，且|CD|=?,言,—2）.

(I)求0,0的值：

(II)将/(x)的图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍(纵坐标不变)，再向右平移3个单位长度，得到

函数g(x)的图象，讨论函数y=g(x)-。在区间-兀的零点个数.

22.(12分)

已知函数/(x)=ax2+2sinx,/(X)的导函数为/'(X).

(I)若/(x)在y,y上单调递减，求实数a的取值范围；

(H)当xe［O,句时，记函数/'(x)的极大值和极小值分别为2,〃，求证：2/124+3.

2023—2024学年海南省高考全真模拟卷(二)

数学•答案

I.B因为全称量词命题的否定为存在量词命题，故sinx-/<1”的否定是,

sinx-x2...1",故选B.

2.C因为4={8,2-7工<0}={川0<%<7},故〃U8=(0,+8)，故选C.

3.A依题意，m+3n=(-1,9),故(zw+3〃>p=-X+9=0,解得2=9,故选A.

4.C依题意，101g(V1y40,贝巾高口，104,则10-8,故选C.

3

5.B»。)=0，zeN*o/(l)+/(2)+/(3)=0.“〃x)在［1,3］上存在零点”时,不一定有

/=1

33

“£/(i)=0,ieN*"，但“£/(i)=0,ieN*”时,一定有"/(x)在［1,3］上存在零点”，故选B.

/=］/=］

6.A依题意，“最美三角形”的顶角与一个底角之和为108。，则

COS108°=cos(180°-72°)=-cos72°=1-2cos236°=1-2xjj=故选

A.

7%3万5万

____।________

7.B令cox-女-=±+k7i'k,故x=+后wZ),<6啰。6解得5,,①(卫

321)6/小77乃4万5乃5

---1--->—,

.669CO6

故当0取得最小值时，/（x）=sin（5x—冷），令5》一节=左万HeZ）,贝ijx=：左乃+荒，所以

令/（x）=f,则由题意可得/一“+2=0有2个不同的实数解小t2,且4小€（—3,0）,

/—8>0,

9+3a+2>0,解得一与<。<一2及，观察可知，a=—3满足题意，故选C.

则4

-3<-<0,

2

1111

9.CD对于A,令a=—,b=—,可知矿9一2。<69—2b,故A错误；对于B,当。=r=,力二一时，

24V53

210g5Q=T，log3Z）=-l,此时210g5。=logs8，故B错误；对于C,因为飞2ci+5〉，21+5,所以

1■<■-,1'>故C正确；对于D,因为二<3，且0〈后一2<1,所以

J2a+512b+5a2b2

11

（遥一2）/>（、另一2）正,故D正确，故选CD.

10.BD对于A,因为\7xeR,4x2+9...2-2x-3=12%,当且仅当x=2时，等号成立，故A错误；对于

2

B,令£=sinxe,则Zsin'-Ssinx+S..0,即为2/-5/+3...0,而y=2»-5/+3在［-1,1］上单调

递减，故0,,外10,故B正确；对于C,显然2。+3>0,且力一2a—3<0,解得—1<。<3,故C错误;

对于D,当XE[0,3]时，[logsg+i)]=0,当xw[l,2]时，[二一加)=--/w,故0…，一切，所以

minX3/min99

m...-,故D正确，故选BD.

9

11.ACD易知器=5，故G〃=GZ+ZE+E〃=25C+8O=[乎+1)8。，而GHj]BD,故人

■’.一・‘’■•，-I।■■■、/A■•一.I■

正确；易知CF=2DE,BE=BD+DE=BD+—CF,故B错误；GB=GA+AB=—BD--CF,

232

故C正确；而CC=LB+BC,BC=-BD--CF,

24

岳="旃=乌瑟+而卜立仁丽+2方]=亚而+且而，故元=三立丽+也口方,

33、,3(24J6464

故D正确，故选ACD.

12.ABDf(x)=2>/2sin2x-tan2x,贝!J

/(x4-^)=2V2sin2(x4-^)-tan2(x4-^)=2V2sin2x-tan2x=/(x),故乃是/(x)的一个周期，故A

正确因为/(一万-x)+/(x)=2及•sin[2(-;r-x)]-tan[2(-；T-x)]+2\/^・sin2x-tan2x=0,故/(%)

的图象关于［一工,0)中心对称，故B正确；易知/,(x)=4>/2cos2x——1—,当X€(O,2)时，令/'(力=0,

I2)cos2xL4J

解得x=(,故当xe(o,今|时，/'(x)>0，当xe(2,总时，,f(x)<0,故

/(X)max=/(故C错误；当XC彳片时,/，(%)<0,结合奇偶性和周期性作出/(X)在

对应区间上的大致图象如图所示，又y=」一，y=/(x)的图象均关于(工,0)中心对称，故D选项中对

2x-7r\2)

应区间上所有零点之和为4)，故D正确，故选ABD.

13.1（答案不唯一）根据题意得8={—2,2},工08=/0/=8.若0,则z=0,满足题意；若

4

。＞0,则？=4,得。=1,故横线上填写的Q的值满足凡0或Q=1均可.

a

14.-1依题意，/（切=（4'+2加・4一）$山为偶函数，y=sinx为奇函数，则g（x）=4*+2加・4一”为奇

函数，故g（0）=l+2加=0,得用=—g.经检验，当加二—g时，g（x）为奇函数，/（力为偶函数，故

由得-—)，

15.6(a—bp…4(ab)3,…4ab即|—I—j-----...4cib9故cibH-----”2.又

ab[ab)abah

iI一ri仍=i,

ab+—...2Aab•一=2,当且仅当"=」-时，等号成立，此时八1广故/+/=6.

abVabab—+—=2。2,

\ab

16.-||作△ZBC的外接圆O.设Z8的中点为“，则由题意知友=2（而+而）=4诟，故

DM=-CM,而•丽=（而+血）•（而一必）=|丽12T忘F=|两|2_4,由NZCB=60。，故

点C的轨迹是以N8为弦，圆周角为g的优弧上，故当时，|丽|取最大值，即|切可取最大值,

此时△C48为等边三角形，|而卜孚而.丽卷一4=—1|.

17.解：(I)依题意，4acosB+AbcosA=c2,

由正弦定理得，4sin4cos5+4sin5cosJ=4sin(4+8)=4sinC=csinC,而sinCw0,故c=4.

(II)由余弦定理得，c2=/+〃—2abcosC=(a+b)2—3ab=32—3ab=16,得ab=与，

故S&ABC=1。加沦。=半

4

18.解：依题意，/"(x)=2x——,x>0.

(I)/'⑴=2x1-;=一2,/(l)=l-41nl+l=2,故所求切线方程为y-2=-2(%一1),即

2x+y-4=0.

(H)令/'(x)=0,解得x=及，故当xe(0,&)时，f(x)<0,当xe(也,+8)时，/'(x)〉0,

故/(x)的单调递减区间为伍,、汇)，单调递增区间为(、历,+8),

则/(x)的极小值为/(四)=3-21n2,无极大值.

19.解：(I)根据题意得，

2

当0”x„14时，g(x)=16x-/(x)-30=--x2+12x-30,

当14<x”35时，g(x)=16x-/(x)-30=50,

22

—x+12x—30,0„x”14,

故g(x)=[3

八)400

50-x--—,14<x„35.

x

(II)当0”x”14时，g(x)=——x2+12x-30,且当0”x„9时,g(%)单调递增,当9</14时，g(x)

单调递减，

2

此时g(x)max=g(9)=-§x81+12x9-30=24.

当14<x„35时，g(x)=50—x—竺50—2・卜蛔=10,当且仅当x=20时，等号成立.

因为24>10,故当x=9时，g(x)取得最大值24,

即为使公司获得的年利润最大，每年应生产9万件该芯片.

20.解：因为加〃〃，故ccos[四+8]=bcos，+，,

I2)2

j1p

由正弦定理得，sinfisinC=sin5cos-------.

2

d.c_|.A-\-B兀一C.C

XsinSw0,则nisinC=cos-------=cos-------=sin—,

222

es•CC.Ck.C八缶C12TT

即2sin—cos—=sin—,而sm—wO,故cos—=—,故0=——.

2222223

(I)由余弦定理得，c?=a2+/-2abcosC,即762=16+/一2*46乂(一3)=0,整理得3/—26—8=0,

解得6=2或一3(舍去)，c=2j7,故的周长为6+26.

3

(II)设NC4A/=ae(0,工］,^CMA=--a.由正弦定理得，色-=—生—=&_

(3)3sinasinZCMAsinC

2a

入。——

即丁3―=——---------=_^=2y/3,故Q=3VJsina,6=-VJsina+3cosa,

sina.7i।J3

sin----a--

(3)2

所以Q+6=2V§sina+3cosa=V^Tsin(a+0),

其中tan°=¥e]¥，l,限存,?)，则当a+夕、时，a+6取得最大值J元

y*-jr?冗

21.解：(I)根据题意得，亍=彳，故T=〃，3=学=2,故/(x)=2cos(2x+°).

一2)代入，得2x51jr

将/+(p=-7r+2k7r^keZ),^^(p=---\-2k7i:^keZ),

n

函数y=g(x)—a在区间_喂的零点个数即为函数g(x)的图象与直线y=a在—*上的交点个

数.

TT227r47r4

当xe-兀二时，-X-—e----,结合余弦函数图象可知,

_2」33L33_

当xe一肛一1时，g(x)单调递减，当xe[-会]时，g(x)单调递增,

旦g(一万)=.1，=l-g1_g)=_2，

作出函数g(x)在一吟上的大致图象如图所示.

观察可知，当。=一2或一1<41时，y=g(x)-a有1个零点；

当一2<。„一1时，y=g(x)—a有2个零点；

当a<-2或。>1时，y