2023年中考数学复习 二次函数中角度问题压轴真题训练（解析版）

挑战2023年中考数学解答题压轴真题汇编

专题04二次函数中角度问题压轴真题训练

1.(2022•南充)抛物线y=y+fcc+c与x轴分别交于点A,B(4,0),与y

轴交于点C(0,-4).

(1)求抛物线的解析式.

(2)如图1,I3BCPQ顶点尸在抛物线上，如果EIBCPQ面积为某值时，符合

条件的点尸有且只有三个，求点P的坐标.

(3)如图2,点M在第二象限的抛物线上，点N在M。延长线上，OM=WN,

连接BN并延长到点。，使ND=NB.MD交x轴于点E,NDEB与NDBE均

为锐角，tanNOE8=2tan/DBE,求点M的坐标.

D

图2

【解答】解：(1)由题意得,

(12

Vx4+4b+c=0

4o，

c=-4

.fb=4

••4O9

c=-4

*v—]2—1J.

,•y~3X石x-4'

(2)如图1,

作直线/〃3C且与抛物线相切于点P|,直线/交y轴于E,作直线加〃3c且

直线m到BC的距离等于直线/到BC的距离，

•・・3。的解析式为尸x-4,

・••设直线/的解析式为：产x+m,

由工4=x+m得，

33

x2-4%-3(m+4)=0,

:A=0,

-3(加+4)=4,

♦•・"mI=_”16‘，

3

Ax2-4x+4=0,y=x-—,

3

.,.x=2,y=-—,

3

.•.Pi(2,-12.)，

3

•:E(0,-JA),c(0,-4),

3

：.F(0,-4X2-(-西))，

3

即(0,-1),

3

二直线m的解析式为：,

3

f_121,

.f-jX-4

8

y=x/

'x1=2+2&xf2-2近

••\n,4Q9

y,=2V2-yy=-2'/2-y

1Sl乙2o

:.P[(2-2V2--2&-Z),P3(2+2V2.2&-Z),

33

综上所述：点P(2,-12)或(2-2&,-2&-Z)或(2+2&,2&-

33

2)；

3

(3)如图2,

图？

作MG，x轴于G,作轴于“，作MKJ_QR交OF的延长线于K,

设。点的横坐标为a,

•:BN=DN,

：.BD=2BN,N点的横坐标为：空£

2

2

'：NH//DF,

：.△BHNS^BFD,

•NHBN1

"DF"BD

：.DF=2NH,

同理可得：AOMGsAONH,

•MG0GONc

•.丽=丽而=2，

：.MG=2NH,OG=2OH=a+4,

：.KF=MG=DF,

VlanZDEB=2tanZ£)BE

DF=2«DF,

EFBF

EF=^'

BF=4-a.

七/=/(4-a>

EF//MK,

△DEFsADMK,

更=雪

MKDK'

y(4-a)]

2a+4'2"

a=0,

OG=a+4=4,

G(-4,0),

当x=-4时,y=lx(-4)2-yX(-4)

Ooo

：.M(-4,旦).

3

2.(2022•益阳)如图，在平面直角坐标系，中，抛物线E：y=-(%-机)

2+2m2(m<0)的顶点P在抛物线F：上，直线与抛物线E,尸分

别交于点A,B.

(1)求a的值;

(2)将A,8的纵坐标分别记为如，冲，设5=刊-班，若s的最大值为4,

则机的值是多少？

(3)。是无轴的正半轴上一点，且PQ的中点M恰好在抛物线F上.试探究:

此时无论为何负值，在y轴的负半轴上是否存在定点G,使/PQG总为直

角？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由.

【解答】解：(1)由题意可知，抛物线E：产-(x-W)2+2nr(/n<0)的

顶点P的坐标为Cm,2m2),

•••点尸在抛物线R丁=加上，

'.anr=1nc,

，。=2.

(2)•・•直线%=/与抛物线E,b分别交于点4B,

:・»=-(/-m)2+2nr=-尸+2加什加2,y^=2?,

.•・$=y月-yB

=-尸+2〃7计〃？-2户

=-3P+2mt+m2

=-3(L)2+Jbn2,

33

•・•-3<0,

:.当f=Ln时，s的最大值为生后

33

•・•$的最大值为4,

/.Am2=4,解得加=±y，

3

Vm<0,

m—~*\/3-

(3)存在，理由如下：

设点M的横坐标为〃，则M(〃，2/),

：•Q(2〃-/〃，4/-27n2),

・・•点。在X轴正半轴上，

/.2n-m>0且4n2-2/=0,

工〃=-返坂，

2

AM(-,nr)，Q(-y[2rn-m,0).

2

如图，过点。作x轴的垂线KN,分别过点P,G作x轴的平行线，与KN分

别交于K,N,

：.ZK=ZN=90°,ZQPK+ZPQK=90°,

VZPQG=90°,

:./PQK+/GQN=90°,

：.ZQPK=ZGQN,

:./\PKQS/\QNG,

：.PK：QN=KQ：GN,即PK・GN=KQ'QN.

*：PK=-y[2m-m-m=-2m,KQ=2nr,GN=-&〃？-m,

(-y[2m-Im)(-V2w_m)=2m2*QN

解得QN=3V1+4

：.G(0,-3^+4).

2

3.(2022•西宁)如图，抛物线＞=加+区+3与x轴交于点A(3,0),与y轴

交于点B,点C在直线AB上，过点。作COLx轴于点。(1,0),WAACD

沿CO所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处.

(1)求抛物线解析式；

(2)连接BE,求△BCE的面积；

(3)抛物线上是否存在一点P,使NPEA=NBAE?若存在，求出尸点坐标;

若不存在，请说明理由.

【解答】解：(1)•••将△AC。沿CO所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线

上的点E处，点A的坐标为(3,0),点。的坐标为(1,0),

.•.点E的坐标为(-1,0).

将A(3,0),£(-1,0)代入＞=加+法+3,

得：(9a+3b+3=0,解得：卜=-1,

Ia-b+3=0Ib=2

抛物线的解析式为y=-f+2x+3.

(2)当x=0时，y=-1X02+2X0+3=3,

.•.点8的坐标为(0，3).

设直线A3的解析式为(m^O),

将A(3,0),B(0,3)代入y=〃tr+〃，

得：［3mn=0,解得：

In=3\n=3

/.直线AB的解析式为y=-x+3.

•点C在直线AB上，CQLx轴于点。(1,0),当x=l时，y=-1X1+3

=2,

.•.点C的坐标为（1,2）.

•••点A的坐标为（3,0）,点8的坐标为（0,3）,点C的坐标为（1,2）,

点E的坐标为（-1,0）,

：.AE=4,08=3,CD=2,

：.S^BCE=SAABE-S^ACE=^AE*OB-1AE*CD=1X4X3-1X4X2=2,

2222

.'.△BCE的面积为2.

（3）存在，理由如下：

••,点A的坐标为（3,0）,点B的坐标为（0,3）,

：.OA=OB=3.

在RtZXAOB中,ZAOB=90°,OA=OB,

:.NBAE=45°.

•.•点P在抛物线上，

，设点尸的坐标为（〃［，-m2+2ni+3）.

①当点尸在x轴上方时记为Pi,过点Pi作P\MLx轴于点

在中，ZPiEA=45°,ZPiME=90°,

：.EM=P\M,BPm-（-1）=-m2+2m+3,

解得：〃zi=-1（不合题意，舍去），加2=2,

.••点Pi的坐标为（2,3）；

②当点P在x轴下方时记为Pi,过点Pi作PiNLx轴于点M

在RtZ^ENP2中，ZP2EN=45°,ZP2NE=9Q°,

：.EN=P2N,即〃L（-1）=-（-nr+2m+3）,

解得:m\=-1（不合题意，舍去），加2=4,

二点尸2的坐标为（4,-5）.

综上所述，抛物线上存在一点P,使NPE4=NB4E,点尸的坐标为（2,3）

或（4,-5）.

x交于原点。和点B,与x轴交于

另一点A,顶点为D

（1）直接写出点8和点。的坐标；

（2）如图1,连接。。，P为x轴上的动点，当tanNPOO=工时，求点P的

2

坐标;

（3）如图2,M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，

它的横坐标为机（0〈机〈5）,连接M0,BQ,M。与直线QB交于点E.设

,求包的最大值.

△BE。和△3EM的面积分别为Si和S2

S2

图1

图2

【解答】解：（1）令y=f-4x=x,

解得x=0或x=5,

：.B(5,5)；

*.*y=x2-4x=Cx-2)。4,

.,•顶点。(2,-4).

(2)如图，过点。作轴于点£,

：.DE=2,0E=4,

•*.tanZDOE=—,

2

VtanZPDO=1,

2

：.ZDOE=ZPDO,

①当点P在线段OD的右侧时，OP〃丁轴，如图,

：.P(2,0)；

②当点P在线段。。左侧时，设直线OP与y轴交于点G,则△OOG是等腰

三角形，

,OG=DG,

设OG=t,则DG=t,GE=4-t,

在RtADGE中,产=22+(4-r)2,

解得f=S，

2

：.G(0,-1),

2

...直线。G的解析式为：y=-lx-A,

42

令y=0,则-当-金=0,

42

解得x=-世，

3

：.P(一20).

3

综上，点尸的坐标为(2,0)或(-12,0).

3

(3)•.•点8(5,5)与点例关于对称轴x=2对称，

：.M(-1,5).

如图，分别过点M,。作y轴的平行线，交直线08于点MK,

:.N(-1,-1),MN=6,

♦.•点。横坐标为加，

/.Q(〃？,m2-4/n),K(〃？,m),

:・KQ=m-(序-4根)=-川+5根.

'：S\=1QK(XB-XE)，S2—MN(XB-XE)，

22

.,.三-=里="—(m2-5m)=-—(tn-A)-+2^.,

S2MN66224

•；-1<0,

6

当加=5时，包的最大值为空.

2S224

提示：本题也可分别过点M,0作8。的垂线，用加分别表示高线，再求比,

也可得出结论.

5.（2022•苏州）如图，二次函数y=-d+Z/nx+Zm+l（〃2是常数，且加＞0）的

图象与x轴交于A,B两点（点A在点3的左侧），与y轴交于点C,顶点为

D.其对称轴与线段BC交于点E,与x轴交于点F.连接AC,BD.

（1）求A,B,。三点的坐标（用数字或含机的式子表示），并求N08C的

度数；

（2）若NACO=NCBD,求机的值；

（3）若在第四象限内二次函数y=-/+2加计2加+1（"?是常数，且机＞0）的

图象上，始终存在一点P,使得NACP=75°,请结合函数的图象，直接写出

【解答】解：(1)当y=0时，-W+2/nv+2w+l=0,

解方程，得xi=-l,X2=2m+1,

•.•点A在点8的左侧，且m>Q,

：.A(-1,0),B(2/n+l,0),

当x=Oll寸，y=2m+l,

：.C(0,2m+l),

OB—OC—2wi+1，

VZBOC=90°,

：.ZOBC=45°；

•；y=-x1+2inx+2in+1=-(x-m)2+(m+l)2,

.'.DGn,(m+1)2),F(m,0),

DF=(m+1)2,OF=m,BF=m+l,

'：A,8关于对称轴对称，

:.AE=BE,

：.ZEAB=ZOBC=45°,

VZACO=ZCBD,ZOCB=ZOBC,

：.ZACO+ZOCB=ZCBD+ZOBC,即NACE=/DBF,

'：EF//OC,

tanZACE=-^.=—

CECEOFm

理包=〃[+],

m

.\m=i或-1,

••722—1；

（3）如图，设PC交x轴于点Q.

当点P在第四象限时，点。总是在点3的左侧，此时NCQA>NC84,即N

CQA>45°,

'：ZACQ=15°,

：.ZCAO<60°,

2/n+l<V3>

2

又YNCA0>15°,

同法可得加〉上巨，

2

,；?n>0,

2

6.（2022•黄石）如图，抛物线y=-Z3+Zr+d与坐标轴分别交于A,B,C三

33

点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为根.

（1）A,B,C三点的坐标为,,.

（2）连接AP,交线段于点。，

①当CP与x轴平行时，求理的值；

DA

②当CP与x轴不平行时，求包■的最大值；

DA

（3）连接CP,是否存在点P,使得N8CO+2NPCB=90°,若存在，求m

的值，若不存在，请说明理由.

：.C(0,4)；

令y=0,则-ZX2+ZVKQO,

33

'.x=-2或x=3,

.M(-2,0),B(3,0).

故答案为：(-2,0)；(3,0)；(0,4).

(2)@'：CP//x^\,C(0,4),

：.P(1,4),

/.CP=1,AB=5,

'：CP//x^,

•PD=CP=1

••—■■-一■(

DAAB5

设点P的横坐标为m,

2

则P(in,-2/〃2+27n+4),Q(J^--2jrr+^-ni+4).

332233

.".PQ=m-(A/n2-Jun)---l/n2+-^jn,

2222

,JPQ//AB,

.-.PD=PQ=1(m.3)2+9

DAAB10240

，当加=3时，也的最大值为_L.

2DA40

另解：分别过点P,A作y轴的平行线，交直线BC于两点，仿照以上解法即

可求解.

(3)假设存在点P使得NBCO+2N8CP=90°,即0＜加＜3.

过点C作。/〃》轴交抛物线于点F,

VZBCO+2ZPCB=90°,ZBCO+ZBCM+ZMCF=90°,

ZMCF=ZBCP,

延长CP交x轴于点M,

OC/〃x轴,

.".ZPCF=ZBMC,

.'.ZBCP=ZBMC,

...△CBM为等腰三角形，

,:BC=5,

：.BM=5,OM=S,

：.M(8,0),

直线CM的解析式为：y=-lx+4,

2

令-2/+&+4=--kx+4,

332

解得x=_Z_或x=0(舍)，

4

...存在点尸满足题意，此时机=工.

4

7.(2022•锦州)如图，抛物线y=o?+法+3交x轴于点A(3,0)和点B(-1,

0),交y轴于点C

(1)求抛物线的表达式；

(2)。是直线AC上方抛物线上一动点，连接。。交AC于点N,当处的值

0N

最大时，求点。的坐标；

(3)P为抛物线上一点，连接CP,过点P作PQLCP交抛物线对称轴于点Q,

当tan/PCQ=3时，请直接写出点P的横坐标.

备用图

【解答】解：(1)把点A(3,0)和B(-1,0)代入得：(9a+3b+3=0

Ia-b+3=0

解得：卜二一1,

lb=2

二抛物线的解析式为y=-f+2x+3；

(2)过点。作轴，交AC于点”，如图所示：

y

由(1)可得：C(0,3),

..」3k+b=0,解得：(k=-l,

Ib=3Ib=3

直线AC的解析式为y=-x+3,

:・H(m,-m+3),

:・DH=-加2+3加，

,・・O”〃y轴，

:•△OCNS/XDHN,

•DNDH-m2+3m1,3、23

,>0N=0C=_3__=_T(m_I)7

<*0，

o

.•.当•时，理■的值最大，

2ON

（3）由题意可得如图所示:

过点尸作y轴的平行线PH,分别过点C、Q作CGLPH于G,QHLPH于H,

,JPQLCP,

：.ZCPQ=ZCGP=ZPHQ=90°,

:.ZCPG+ZPCG=/CPG+NQPH=90°,

：.ZPCG=ZQPH,

：./\PCG^/\QPH,

:.QH_PQ,

一闲胃，

..3

•tan/PCQy

QH_PQ_3

「而百Nr

设点P(n,-n2+2n+3),

由题意可知：抛物线的对称轴为直线x=l,C(0,3),

：.QH=\n-1|,PG=\-n2+2n|,

・qo

••In-l|q|-n+2n卜

当n_]=,(_n2+2n)时，解得：n-

3O

当n-1=—(-n2+2n)时，解得：n-

综上：点P的横坐标为1厢或或5混或&WS.

3333

8.(2022•西宁)如图，抛物线y=o？+8x+3与尤轴交于点A(3,0),与y轴

交于点8,点C在直线AB上，过点C作。轴于点。(1,0),将△AC。

沿CO所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点七处.

(1)求抛物线解析式；

(2)连接BE,求△BCE的面积；

(3)抛物线上是否存在一点P,使NPEA=NBAE?若存在，求出P点坐标；

若不存在，请说明理由.

【解答】解：（1）•.•将△ACO沿CD所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线

上的点E处，点A的坐标为（3,0）,点。的坐标为（1,0）,

.••点E的坐标为（-1,0）.

将A（3,0）,E（-1,0）代入y=af+foc+3,

得：（9a+3b+3=0,解得：卜=-1,

Ia-b+3=0Ib=2

，抛物线的解析式为y=-f+2x+3.

（2）当尤=0时，y=-1X02+2X0+3=3,

.••点8的坐标为（0,3）.

设直线A3的解析式为（〃层0）,

将A（3,0）,B（0,3）代入y=mx+〃，

得：4n=0,解得：（m=-l,

In=3{n=3

，直线AB的解析式为y=-x+3.

•.•点C在直线AB上，COLx轴于点D（1,0）,当x=l时，-1X1+3

=2,

.•.点C的坐标为（1,2）.

••,点A的坐标为（3,0）,点8的坐标为（0,3）,点C的坐标为（1,2）,

点E的坐标为（-1,0）,

：.AE=4,OB=3,C£)=2,

SABC£=5AABE-SMCE=LE・OB-1AE*CD=1X4X3-1X4X2=2,

2222

...△BCE的面积为2.

（3）存在，理由如下：

•.•点A的坐标为（3,0）,点8的坐标为（0,3）,

：.OA=OB=3.

在RtaAOB中，ZAOB=9Q°,OA=OB,

：.ZBAE=45°.

••,点产在抛物线上，

.••设点P的坐标为（"?，-〃尸+2〃?+3）.

①当点P在x轴上方时记为P,过点P作PMLx轴于点M,

在RtaEMPi中，NPiEA=45°,ZP\ME=90°,

：.EM=P\M,B[Jm-（-1）=-mi+2m+3,

解得：〃“=-1（不合题意，舍去），"22=2,

.•.点Pl的坐标为（2,3）；

②当点P在X轴下方时记为P1,过点P2作PiNLx轴于点N,

在RtZ\ENP2中，ZP2EN=45°,ZP2^E=90°,

:.EN=PiN,即，"-（-1）=-（-*+2加+3）,

解得：，川=-1（不合题意，舍去），〃及=4,

.•.点尸2的坐标为（4,-5）.

综上所述，抛物线上存在一点P,使NPEA=NBAE,点P的坐标为（2,3）

或（4,-5）.

9.(2022•盘锦)如图，抛物线y=f+/?x+c与x轴交于A,B(4,0)两点(A

在8的左侧)，与y轴交于点C(0,-4).点尸在抛物线上，连接8C,BP.

(1)求抛物线的解析式;

(2)如图1,若点尸在第四象限，点。在线段BC上，连接P。并延长交x

轴于点E,连接CE,记的面积为$,△DBP的面积为S2，当Si=S2

时，求点尸的坐标;

(3)如图2,若点P在第二象限，点尸为抛物线的顶点，抛物线的对称轴/

与线段交于点G,当NP8C+NCFG=90°时，求点P的横坐标.

【解答】解：(1)将3(4,0)、C(0,-4)两点代入y=x2+fox+c得,

'16+4b+c=0,

0+0+c=_4

解得:b=-3

c=-4

二抛物线的解析式为：y=jr-3x-4；

(2)方法一：由y=x^-3x-4可得，A(-1,0),

设点P(m,irr-3m-4),

则SABCE40CBE=2BE，SABPE=7(m2-3m-4)BE'

*：S&BCE=S\+S&BDE，SABPE=S2+S4BDE，S]=§2，

•••SABCE=S^BPE，

•1Q

•--y(m-3m-4)BE=2BE»

解得：加i=3,加2=0(舍去)，

：.P(3,-4)；

方法二：\-Si=S2,

S^PBE~S^CBEf

，PC〃x轴，

点尸与C关于对称轴x=W对称，

2

：.P(3,-4)；

(3)如图，作CE，/于E,P。，8c于。，PN_Lx轴于N,连接PC交x轴于

点H,

图2

设尸(小/一3〃-4),PC的表达式为：y=kx+ddWO),

将P,C代入y=Ax+d(AWO)得，

(9

n^-3n-4=nk+d

-4=0+d

解得：[k=n-3,

ld=-4

...PC的表达式为：y=(〃-3)x-4,

将y=0代入y=(〃-3)x-4得,

0=(72-3)x-4,

即X」

n-3

4

•e•H('0)，

n-3

丁SAPCB=SMHB+SAHCB，

：.PQ*BC=PN，HB+OC・HB,

，/fiC，=<\/0B2+0C2=V42+42=4V2，

24

.2PNHB40C-HB%*4+4)(三)近、

,，PQ=—BC—=---------亚---------丁仁-4n)，

PB=7PN2+NB2=V(n2-3n-4)2+(4-n)2=(4-n)7(n+l)2+l)

由题可知，1：x=-*-3，

2X12

将x=^•代入y=/-3x-4得，至,

x2y4294

'：ZPBC+ZCFG=90°，PQLBC,CELI,

：.ZPBQ=ZFCE,ZCEF=ZPQB,

：./\CEF^>/\PQB,

3日

.PB=CF=4二任

••丽怎=9二3'

7

.(4-n)V(n+1