云南省部分学校2023-2024学年高三年级上册12月联考数学试题

高三数学考试卷

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在

答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.本试卷主要考试内容:高考全部内容。

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.已知z=2—i,则|z—i|=

A.2B.4C.272D.8

2.曲线歹=/+/在点（1,2）处的切线的斜率为

A.2B.3C.6D.7

3.从2023年12月14日13：00到当天13：25,某时钟的舒针装动的弧度为

C——n一打

A-.—6B,—3u6U3

4.已知知是圆=l上一点点是圆D：（工一3>+G+4）2=3上一点点IJIPQI的最小

值为

A.'a4-73C.2D,3—久

5.若某圆锥的母线与底面所成的角为45°,且母线长为4,则该圆锥的体积为

A.挈“B学C,警北D.鼻

6.在在比数咧K%）中，已知©工的+，=4,%+（»5+。6=-32,则%=

A.一胃B.42128「256

Gr3D3

7.设x>0,向量电=5。一法）在向量祀=（1,2）上的投影向量为入前，则大的最小值为

C.-D.，

AR5

•飞ob

8.曲线W具有如下3个性质：

（1）曲线W上没有一个点位于第一、三象限;（2）曲线W上位于第二象限的任意一点到点（0,1/

距离等于到直线y=一1的距离；（3）曲线附上位于第四象限的任意一点到点（2,0）的距离笔

于到直线工二-2的距离.

那么，曲线W的方程可以为

1

A.(x2-4>)(8x—j/2)=0By=-4

2-/2x，/>0

「(2»x<0,

C.y=<D.4

1-2y/2x，1>0、-2G,^>0

【高三数学第1页（共4页）］­24-199C•

二、选择题:本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，密多项符合题目要

求.全部选对的得5分，部分选对.的得2分，有选错的得0分.

9.已知Z（A）表示集合A中整数元素的全数,若集合M=心一9）（2工+1）<0},集合N=

则

AZ（M）=9B.MnN=（x|0<x<9}

C.Z（MCN）=D.（「N）UM={H|工<9}

10.在正四棱柱ABCD—AiBiGR中,AB=2,AAi=2而，则

A,该正四棱柱外接球的表面积为187r

丛异面直线A|D与BG所成的角为皿°

C.该正四棱柱外接球的表面积为207r

D.异面直线AiD与8G所成的角大于60°

11.若函数f（N）=sin（x+十一在［0,得）上恰有10个零点，则3的值可能为

A.50B.54C.51D.58

12.已知函数义］）=耳普詈的值域为［〃，Ml，nV0,m>0,m+“>0,则正剌函数的最大值

为m的是

产4

A.g(H)=1+2161gX

犬+2十(3—74)收工一1

B.g(x)=

1+2/lgX

N-3彳2收H

C.g(x)=

X3-1g工

3121g工一N

D.gGr)

——1X

三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.

13.（x-2y2）5的展开式中，工2y的系数为▲

14.尸杏碧:是▲（填AT曾“奇'”啡奇非偶”中的5）函数,y的最小值是

15.已知椭圆C：3+£=l（a>'>°）的右顶点、上顶点分别为A，B,直线AB与直线工=-2&

相交于点D,且点D到x轴的距离为a,则C的离心率为▲.

16.某企业招聘新员工,先由人力资源部两位工作人员对求职者的简历进行初审.若能通过两位

工作人员的初审，则通知求职者参加面试;若两位工作人员对简历的初审均未予通过，则不

通知求职者来面试.若恰能通过一位工作人员的初审，则再由人力赞源部领导对简历进行贪

审,若能通过复审，则通知求职者参加面试，否则不通知求职者来面试•设每一位求职者的简

历能通过两位工作人员中的任意一位初审的概率为/>（方74），复审的简历能通过人力

资源部领导复审的概率为名，简历评审是否通过相互独立.记X表示10位求职者中能被通

知参加面试的人数，则E（X）的最大值为▲.

［高三数学第2页（共4页）】•24-

四、解答题:本建共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)

在AABC中,AB=2,AC-6,A为锐角且^ABC的面积小于3.

(D求人的取值范围，

(2)求BC?的取值范用.

18.(12分)

为了了解云陶省大学生关注记者节犬会是否与性别有关，某大学学生会随机抽取1000名云

南省大学生进行统计，得到如F2X2列联表：

男大学生女大学生合计

关注记者节大会300250550

不关注记者节大会200250450

合计5005001000

(I)从关注记者节大会的650名大学生中任选1人,求这人是女大学生的概率.

(2)试根据小概率值。=0.005的独立性检验，能否认为关注记者节大会与性别有关联？说

明你的理由.

附以Jb尉篝捍际？其中“r+"c+4

a0.10.050.010.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

19.(12分)

1rH

巳知数列满足2,%~h24r+2+4〃-4.

(D证明，(峙与为等差数列.

(2)求匕力的前〃项和S”.

【高三数学第3页(共4页)】•24-199C-

20.(12分)

已知函数/a)=--aa:+l(fl>l).

⑴证明:“Z)在(4,e)上存在极值.

■Ja

⑵证明：当z£(0,+8)时,/殳)〈片2一工+1.

21.（12分）

如图，在四棱锥P-ABC。中,/ABC=NBAD=9O°,BC=2AD=2女,△PAB与△PAD

均为正三角形.

(D证明:AD〃平面PBC.

(2)证明：PB_L平面PCD.

⑶设平面PABA平面PCD=h，平面PADCI平面PBC=/2，若直线h与h确定的平面为

平面a,线段AC的中点为N,求点N到平面a的距离.

22.(12分)

已知过点(9,/旃)的双曲线。：,一£=1(。>0,6>0)的渐近线方程为y=±yx.

(1)求。的方程；

(2)已知A,B是C的实轴端点，过点(3,0)的直线/与C交于M,N(异于A,B)两点，直线

MA与NB交于点P,证明:点P在一条定直线上.

【高三数学第4页(共4页)】

高三数学考试卷参考答案

1.C【解析】本题考查复数的模,考查数学运算的核心素养.

因为z=2—i,所以|之一“=|2—2“=，22+（-2）2=2々.

2.D【解析】本题考查导数的几何意义，考查数学运算的核心素养.

因为3/=5d+2z,所以当才=1时,y'=7.

3.C【解析】本题考查弧度的概念，考查逻辑推理的核心素养与应用意识.

因为分针是按照顺时针方向旋转，所以转动的角为负角，所以分针转动的弧度为一系冗=

Ov

_57t

~~6,

4.B【解析】本题考查圆与圆的位置关系，考查直观想象与数学运算的核心素养.

因为|CD|=5,所以|PQ的最小值为ICDIT一点=4一点.

5.A【解析】本题考查圆锥的体积与线面角,考查空间想象能力与运算求解能力.

因为该圆锥的母线与底面所成的角为45°.所以该圆锥的高与底面半径相等，且都等于《=

a

2疙，所以该圆锥的体积•一/»=gnX（2盒尸=玲但兀

6.C【解析】本题考查等比数列，考查数学运算的核心素养.

设设”}的公比为q,则。4+。5+。6=炉（。1+。2+。3）=@=—32,解得q=—2,所以m+a2+

2

。3=41（1+4+9）=3%=4,解得勺=白，所以a6=。1/=白又（一2）s=一早.

JJJ

7.A【解析】本题考查向量的数量积与投影向量，考查数学运算的核心素养.

向量蓊在向量充上的投影向量为•等^=三数求，则入=2产=

生笆二^>一4"，当且仅当7=2时，等号成立,所以;I的最小值为一名

8.B【解析】本题考查抛物线的定义与方程，考查直观想象与逻辑推理的核心素养.

根据抛物线的定义，到点（0,1）的距离等于到直线）=—1的距离的点的轨迹为以（0,1）为焦

点，直线》=-1为准线的抛物线，其方程为12=4）.同理可得.到点（2,0）的距离等于到直线

■r=-2的距离的点的轨迹方程为y=8.r.根据性质（1）可得A错误.根据性质（2）与（3）得,

（—^2,^*<^0,

曲线w的方程可以为4

I—2y/2xx^>0.

9.ABD【解析】本题考查集合的运算，考查数学运算的核心素养.

因为乂={用一/〈工<9},3{川上>0},所以Z（W=9,MnN=U|O<x<9},

（CRN）UM={j-|j-<9},Z（MnN）=8.

【高三数学•参考答案第1页（共6页）】・24—199c.

10.BC【解析】本题考查正四棱柱的外接球的表面积与异面直线所成的角，

考查空间想象能力与数学运算的核心素养.

该正四棱柱外接球的半径R=，二+1尸2后2=后则该正四棱柱外接

球的表面积为43?2=20兀

如图.易证AD〃BC,则异面直线AD与BQ所成的角为BC与BG

所成的角.设B（nBG=O,

则OB】=OQ=返土罗&*=2=B£,所以△OBC为正三角形,所以异面直线AD与

BG所成的角为60°.

11.BD【解析】本题考查三角函数的图象与性质以及函数的零点，考查逻辑推理的核心素养.

当7£[0,专）时,卬7+强£]£*,费*9+菅）,令/（1）=0.得sin（3*+*）■，要使/（i）在

O000O0L

[。手上恰有1。个零点，则需满足票+8Y瓢+春《尹期，解得旄（52,6。].

12.AC【解析】本题考查对数的运算与函数的最大值，考查数学抽象与逻辑推理的核心素养.

因为/*）=叁帮=（*£>0）•所以/（M）=/土311g丁=0）,当z的

l+x^lgX1+J-1gl+2x1gT

取值范围为（0，+8）时,二的取值范围为（0,+8）・所以/（/）的最大值与八彳）的最大值

相等，均为“，A正确.

LU+2/（3-）lgR-174+6/2[g7+2合（3—父）lgX-13目

因为-----l+23g*一=1+2^1；.—1，所以g&）=-----l+2/g：一的最

大值为，〃一l，B错误.

J_+3_1J_J__3.1?

因为■/•（为二彳士吗!8点Cr>0）,所以人上）=1[8[=]一手且二二口：在肖齐，当，

l+/lg_r工l+±lg1l-4lgxzIK

TXX

的取值范围为（O,+8）时•十的取值范围为（0，+8），所以/（十）的最大值与/⑺的最大

值相等，均为小，所以的最大值为加，C正确.

=

3"3%：~~一..3G[—，—〃]，因为“V0,，”>0,，〃+”>0,所以一“中，〃，所以

1g1、l1g、Z"'；德”m

gG）=军荣子的最大值一定不是〃?，D错误•

13.-80【解析】本题考查二项式定理，考查数学运算的核心素养.

（x-2jz2）5的展开式中以2»6的系数为QX12X（-2）3=-80.

14.偶;6【解析】本题考查函数的奇偶性与基本不等式，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.

【高三数学•参考答案第2页（共6页）]-24-199C-

I4J3T,（_.r）2+15x2+15/+15旦/甲N制r

因为'L_=•所以y=一是偶图数.

/（r）2+67^+6xz/^+6

令，=尺=而为6,则^=生=，+三＞2西=6,当且仅当/=3时，等号成立，所以y的

最小值为6.

15,零【解析】本题考查椭圆的离心率,考查直观想象的核心素养.

0

设直线才=一加与H轴的交点为E,则|DE|=4,且耳且=匚二辿=3,所以2=4•，所

baa3

16.埸【解析】本题考查相互独立事件的概率与二项分布的数学期望以及导数的应用，考查数

乙I

学抽象与数学运算的核心素养.

1位求职者能被通知参加面试的概率为"+2立（1一/＞）*9=2立2—立3,

则X〜8（10,2力2一力3）.所以E（x）=10（2p2-p3）.

令函数/3=10（2〃一⑶，其中/&＜等，

则/（力）=10力（4-3力）＞0,可得八力）为增函数，则/（P）E=10X（2X看一给=爵.

故E（X）的最大值为堞.

乙•

17.解：（1）Z\ABC的面积S=】AB・ACsinA=6sinA＜3,...........................................2分

贝Usin......................................................................................................................3分

乙

因为A为锐角，所以A的取值范围是....................................5分

0

⑵由（1）知A的取值范围是（0,专），则cosA的取值范围是..............7分

bZ

由余弦定理得BGuAO+ABZ-ZAB。ACcosA=40—24cosA,...............................9分

所以B0的取值范围是（16,40—12石）.......................................10分

18.解：（1）从关注记者节大会的550名大学生中任选1人，

这人是女大学生的概率为割=条.............................................4分

（2）零假设为H。：关注记者节大会与性别无关联................................5分

根据列表中的数据，经计算得到

?_1000X（300X250—2OOX25O）2_1000、5„八

L500^X550X450=而＞1°'..........................................................9分

【高三数学•参考答案第3页（共6页）】・24—199c.

当a=0.005时，工《=7.879V10,...........................................10分

根据小概率值a=0.005的独立性检验，推断Ho不成立，.........................11分

即认为关注记者节大会与性别有关联.........................................12分

19.⑴证明：因为a»+i=2a”+2"+i+4〃-4,

p.a〃+1+4(〃+1)_a”+4〃_+4(〃+1)—2(a“+4〃)

2〃2"+i

2a“+2"+1+4〃-4+4(〃+1)—2(。“+4〃)2'+1]

又"拦=1,所以｛宅?｝为等差数列，且首项为1,公差为1....................4分

乙匕

(2)解：由(1)知^£^^=〃，.....................................................5分

所以a“=〃X2”-4〃......................................................6分

S,=1X2+2X2Z4---HX2'-4(1+24---卜加,.................................7分

2S„=1X2Z+2X234---|-nX2"+1-8(1+24--F”)，..........................8分

则一&=(2+22]---F2")-nX2"+1+4(l+2H--H?)..........................9分

^2_自2*+4*中=(一〃)2“+-2+2〃(〃+1),...............11分

所以S“=（〃-D2"+I—2〃2—2〃+2.......................................12分

20.证明：（1）/Cr）=^^a=l—I，；一心：.................................1分

令g（i）=l—In彳一a〃，因为"＞（）,所以g（z）在（o,+8）上单调递减.............2分

又因为g（《）=l+ln4a—l=ln，7＞0,g（e）=_ae2＜0».....................3分

Ja

所以g1）在（［，e）上存在唯一零点".

va

当时,gCr）＞0,/（T）＞0；当_re（m,e）时,g（H）V0,f（H）V0........5分

所以/Gr）在x=zn处取得极大值*即人］）在（J,e）上存在极值....................6分

va

（2）因为a＞l,所以/（h）V?—z+L.....................................7分

令/"》=¥-r+l,由⑴可知，Q）在（。,+8）上单调递减.又，（1）=0,所以立丁）在

（0,1）上单调递增.在（1,+8）上单调递减.则人（力（做1）.即¥—7+1=0......9分

令〃7）=/-2—7+1,76（0,+8）,则丫（1）=^一2—1.则分工）在（0,2）上单调递减，在（2,

+8）上单调递增,所以展工）＞以2）=0,即eL2-_r+l）0....................11分

综上，当HG（0,+8）时,/（2）＜^-2一1+1................................12分

【高三数学•参考答案第4页（共6页）】•24-199C•

21.(1)证明：因为NABC=/BAD=90°,所以43,3。,43，人。,所以人。〃3。，.....1分

因为ADU平面PBCBCU平面PBC,所以AD〃平面PBC.......................................2分

(2)证明:取BC的中点E,连接DE.则四边形ABED为正方形.

过P作PO_L平面ABCD,垂足为。.连接OA,OB,OD,OE.

由△尸AB和4PAD均为正三角形，得PA=PB=PD,

所以OA=OB=OD,即点。为正方形ABED对角线的交点，.....................3分

则OE±BD,因为PO,平面ABCD,所以PO±OE,又BDC\PO=O,

所以OE,平面PBD...........................................................................................................4分

所以OELPB.因为。是BD的中点,E是BC的中点，所以OE//CD,

因此PB_LCD.......................................................................................................................5分

因为BDuABZ+ADZuP杼+PD2,所以PB，PD,......................................................6分

又CDDPD=D，所以PBJ_平面PCD...........................................................................7分

(3)解:设ABC\CD=Q,连接PQ,则直线乙为直线尸Q，因为AD〃

BC,平面PADCI平面尸BC=/z，所以〃以............8分

由(1)知,OE,OB,OP两两垂直,以。为坐标原点.7优的方向为工叁恚^

轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.则8(0,1,0),产壬

C(2,—1»0),A(—1,0,0),P(0,0,1),Q(—2,—1,0),N(《，—i-,0)...........................9分

W=(-,皮=(2.—2,0),设平面a的法向量为〃=Cr,“7),则n±Bt'.7i175^,

-2x—y-z=0

所以10分

2x~2y=O,

取y=l,得3).11分

又网=(》一9♦一1),所以点N到平面a的距离4=口空3_3y/11

yir-ii"...........

......................................................................................................................................12分

22.(1)解：因为C的渐近线方程为)=土所以！=§,........................1分

又点(9,e)在。上，所以竽一,=1,..........................................................................2分

解得/=3,〃=1,故。的方程为《一丁=1...................................................................4分