2021新高考数学新课程一轮复习学案第三章第2讲同角三角函数的基本关系及诱导公式

第2讲同角三角函数的基本关系及诱导公式[考纲解读]1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，eq\f(sinα,cosα)＝tanα，并能熟练应用同角三角函数关系进行化简求值．(重点)2.理解并掌握eq\f(π,2)±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，理解“奇变偶不变，符号看象限”的含义，并能利用诱导公式进行化简．(重点、难点)[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲内容在高考中一般不单独命题，但它是三角函数的基础．预测2021年高考将以诱导公式为基础内容，结合同角三角函数关系式及三角恒等变换进行考查，试题以客观题为主，难度小，具有一定的技巧性.1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：eq\o(□,\s\up4(01))sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：eq\o(□,\s\up4(02))eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).2．三角函数的诱导公式1．概念辨析(1)对任意α，β∈R，有sin2α＋cos2β＝1.()(2)若α∈R，则tanα＝eq\f(sinα,cosα)恒成立．()(3)(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.()(4)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角．()答案(1)×(2)×(3)√(4)×2．小题热身(1)若sinα＝eq\f(\r(5),5)，eq\f(π,2)<α<π，则tanα＝________.答案－eq\f(1,2)解析因为sinα＝eq\f(\r(5),5)，eq\f(π,2)<α<π，所以cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)))2)＝－eq\f(2\r(5),5)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(1,2).(2)化简：eq\f(cos2α－1,sinαtanα)＝________.答案－cosα解析原式＝eq\f(－sin2α,sinα·\f(sinα,cosα))＝－cosα.(3)sin2490°＝________；coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(52π,3)))＝________.答案－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)解析sin2490°＝sin(7×360°－30°)＝－sin30°＝－eq\f(1,2).coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(52π,3)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(16π＋π＋\f(π,3)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,3)))＝－coseq\f(π,3)＝－eq\f(1,2).(4)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝eq\f(3,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则sin(π＋α)＝________.答案－eq\f(4,5)解析因为sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝cosα＝eq\f(3,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(4,5)，所以sin(π＋α)＝－sinα＝－eq\f(4,5).题型一同角三角函数关系式的应用角度1化简与求值1．(2019·唐山模拟)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点A(2sinα，3)，则cosα＝()A.eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(\r(3),2)答案A解析由任意角三角函数的定义得tanα＝eq\f(3,2sinα)，即eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(3,2sinα)，所以3cosα＝2sin2α＝2(1－cos2α)．整理得2cos2α＋3cosα－2＝0，解得cosα＝eq\f(1,2)或cosα＝－2(舍去)．角度2sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα三者之间的关系2.(2019·四川石室中学模拟)已知α为第二象限角，且sinα＋cosα＝eq\f(1,5)，则cosα－sinα＝()A.eq\f(7,5) B．－eq\f(7,5)C．±eq\f(7,5)D.eq\f(24,25)答案B解析因为sinα＋cosα＝eq\f(1,5)，所以(sinα＋cosα)2＝eq\f(1,25)，即1＋2sinαcosα＝eq\f(1,25)，所以2sinαcosα＝－eq\f(24,25).所以(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1＋eq\f(24,25)＝eq\f(49,25).又因为α为第二象限角．所以cosα<0，sinα>0.所以cosα－sinα<0.所以cosα－sinα＝－eq\f(7,5).角度3“齐次式”问题3．已知eq\f(sinα＋3cosα,3cosα－sinα)＝5，则cos2α＋sinαcosα的值是()A.eq\f(3,5) B．－eq\f(3,5)C．－3 D．3答案A解析因为eq\f(sinα＋3cosα,3cosα－sinα)＝5，所以eq\f(tanα＋3,3－tanα)＝5，解得tanα＝2，所以cos2α＋sinαcosα＝eq\f(cos2α＋sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(1＋tanα,tan2α＋1)＝eq\f(1＋2,22＋1)＝eq\f(3,5).1.应用同角三角函数关系式化简、求值的方法(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用eq\f(sinα,cosα)＝tanα可以实现角α的弦切互化．如举例说明1.(2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论.2.sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα之间的关系问题(1)方法：利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα可以知一求二.(2)关注点：根据角α终边的位置确定sinα＋cosα，sinα－cosα的符号．如举例说明2.3.sinα，cosα的齐次式的解法(1)常见的结构①sinα，cosα的二次齐次式(如asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α)的问题常采用“切”代换法求解；②sinα，cosα的齐次分式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(如\f(asinα＋bcosα,csinα＋dcosα)))的问题常采用分式的基本性质进行变形.(2)巧用“1”的变换：1＝sin2α＋cos2α.如举例说明3.1.若α是第二象限角，则tanαeq\r(\f(1,sin2α)－1)化简的结果是()A.－1 B．1C.－tan2α D．tan2α答案A解析因为α是第二象限角，所以sinα>0，cosα<0，所以tanαeq\r(\f(1,sin2α)－1)＝eq\f(sinα,cosα)·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(cosα,sinα)))＝－eq\f(sinα,cosα)·eq\f(cosα,sinα)＝－1.2.若sin(π－α)＝－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))，则sinαcosα的值等于()A.－eq\f(2,5) B．－eq\f(1,5)C.eq\f(2,5)或－eq\f(2,5) D.eq\f(2,5)答案A解析由sin(π－α)＝－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))，可得sinα＝－2cosα，则tanα＝－2，所以sinαcosα＝eq\f(sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tanα,1＋tan2α)＝－eq\f(2,5).3.已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，sinαcosα＝eq\f(2\r(2),9)，则sinα－cosα＝________.(提示(2eq\r(2)－1)2＝9－4eq\r(2))答案eq\f(1－2\r(2),3)解析因为sinαcosα＝eq\f(2\r(2),9)，所以(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1－eq\f(4\r(2),9)＝eq\f(9－4\r(2),9)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(2)－1,3)))2.又因为α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，所以sinα－cosα<0，所以sinα－cosα＝eq\f(1－2\r(2),3).题型二诱导公式的应用1.化简sin(－1071°)sin99°＋sin(－171°)sin(－261°)的结果为()A.1 B．－1C．0 D．2答案C解析原式＝(－sin1071°)sin99°＋sin171°sin261°＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°)＝sin9°cos9°－sin9°cos9°＝0.2.(2020·安徽六校教育研究会联考)若sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(\r(5),5)，那么coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))的值为()A.eq\f(2\r(5),5) B．－eq\f(2\r(5),5)C.eq\f(\r(5),5) D．－eq\f(\r(5),5)答案D解析coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝－eq\f(\r(5),5).3.若coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))＝a，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋θ))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－θ))的值为________.答案0解析因为coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋θ))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))＝－a.sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－θ))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))＝a，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋θ))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－θ))＝0.(1)诱导公式的两个应用方向与原则①求值，化角的原则与方向：负化正，大化小，化到锐角为终了.②化简，化简的原则与方向：统一角，统一名，同角名少为终了.(2)应用诱导公式的基本流程(3)巧用口诀：奇变偶不变，符号看象限.(4)注意观察已知角与所求角的关系，如果两者之差或和为eq\f(π,2)的整数倍，可考虑诱导公式，如举例说明2中eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(π,2).1.(2020·石家庄高三摸底)在平面直角坐标系xOy中，角α的终边经过点P(3,4)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(2021π,2)))＝()A.－eq\f(4,5) B．－eq\f(3,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)答案B解析因为角α的终边经过点P(3,4).所以cosα＝eq\f(3,\r(32＋42))＝eq\f(3,5).所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(2021π,2)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2)－1010π))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2)))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝－cosα＝－eq\f(3,5).2.已知k∈Z，化简：eq\f(sinkπ－αcos[k－1π－α],sin[k＋1π＋α]coskπ＋α)＝________.答案－1解析当k为偶数时，原式＝eq\f(sin－αcos－π－α,sinπ＋αcosα)＝eq\f(－sinα－cosα,－sinαcosα)＝－1.当k为奇数时，原式＝eq\f(sinπ－αcos－α,sinαcosπ＋α)＝eq\f(sinαcosα,sinα－cosα)＝－1.综上知，原式＝－1.题型三同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用1.(2019·郑州模拟)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2019π,2)＋α))＝eq\f(1,2)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，则cosα＝()A.eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(3),2)答案C解析因为coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2019π,2)＋α))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1008π＋\f(3π,2)＋α))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＝sinα＝eq\f(1,2)，又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，所以cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(\r(3),2).2.在△ABC中，eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－A))＝3sin(π－A)，且cosA＝－eq\r(3)cos(π－B)，则C等于()A.eq\f(π,3)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,2)D.eq\f(2π,3)答案C解析因为eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－A))＝3sin(π－A)，所以eq\r(3)cosA＝3sinA，所以tanA＝eq\f(\r(3),3)，又0<A<π，所以A＝eq\f(π,6).因为cosA＝－eq\r(3)cos(π－B)，即cosA＝eq\r(3)cosB，所以cosB＝eq\f(1,\r(3))coseq\f(π,6)＝eq\f(1,2)，又0<B<π，所以B＝eq\f(π,3)，所以C＝π－(A＋B)＝eq\f(π,2).故选C.3.(2019·武威六中第一次阶段性检测)已知f(α)＝eq\f(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))tanπ＋α－cosπ－α))2－1,4sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＋cosπ－α＋cos2π－α).(1)化简f(α)；(2)若－eq\f(π,3)<α<eq\f(π,3)，且f(α)<eq\f(1,4)，求α的取值范围.解(1)f(α)＝eq\f(cosαtanα＋cosα2－1,－4cosα－cosα＋cosα)＝eq\f(sinα＋cosα2－1,－4cosα)＝eq\f(2sinαcosα,－4cosα)＝－eq\f(1,2)sinα.(2)由已知得－eq\f(1,2)sinα<eq\f(1,4)，∴sinα>－eq\f(1,2)，∴2kπ－eq\f(π,6)<α<2kπ＋eq\f(7π,6)，k∈Z.∵－eq\f(π,3)<α<eq\f(π,3)，∴－eq\f(π,6)<α<eq\f(π,3).故α的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3))).同角三角函数关系式和诱导公式综合应用题的解法(1)使用诱导公式把求解的三角函数式化为只含一个角的三角函数式．如举例说明3.(2)使用同角三角函数的基本关系式求解该三角函数式的值，求解中注意公式的准确性.1.(2019·湖北八校联考)已知sin(π＋α)＝－eq\f(1,3)，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2