专题02 巧解平行线中的折线问题（解析版）

人教版七年级数学下册《第五章相交线》复习专题训练专题训练二：巧解平行线中的折线问题专题概述★★专题概述★★当两条平行线不是被第三条直线所截,而是被一条折线所截时，平行线的性质则不能直接应用，因此需过折线的“转折点”作一条平行线,利用平行公理的推论得出三条直线互相平行，从而多次利用平行线的性质解决问题.灵活利用相交线、平行线中的基本图形和结论解决平行线中的折线问题，培养学生作平行线的思想.类型类型一：过拐点作平行线求角度◎【典例一】◎如图，AB∥DE，∠1＝25°，∠2＝110°，求∠BCD的度数．【考点】平行线的性质；【分析】过点C作CF∥AB，由平行公理的推论得出CF∥DE，再由平行线的性质求得∠4的度数为70°，再根据CF∥AB得∠3=∠1=25°，最后由角的和差求出∠BCD的度数即可．【解答】解：如图：过点C作CF∥AB，∵CF∥AB∴∠3＝∠1＝25°∵AB∥DE，∴DF∥CE，∵∠4+∠2=180°，又∵∠2＝110°，∴∠4＝180°﹣∠2＝180°﹣110°＝70°，∴∠BCD＝∠3+∠4＝25°+70°＝95°．■【变式1】如图，a∥b，M、N分别在a，b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3＝（）A．180° B．360° C．270° D．540°【考点】平行线的性质；【分析】首先作出PA∥a，根据平行线性质，两直线平行同旁内角互补，可以得出∠1+∠2+∠3的值．【解答】解：过点P作PA∥a，∵a∥b，PA∥a，∴a∥b∥PA，∴∠1+∠MPA＝180°，∠3+∠APN＝180°，∴∠1+∠MPA+∠3+∠APN＝180°+180°＝360°，∴∠1+∠2+∠3＝360°．故选：B．■【变式2】如图，直线l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝85°，则∠1+∠2＝（）A．30° B．35° C．36° D．40°【考点】平行线的性质；【分析】过点A作l1的平行线，过点B作l2的平行线，根据两直线平行，内错角相等可得∠3＝∠1，∠4＝∠2，再根据两直线平行，同旁内角互补求出∠CAB+∠ABD＝180°，然后计算即可得解．【解答】解：如图，过点A作l1的平行线，过点B作l2的平行线，∴∠3＝∠1，∠4＝∠2，∵l1∥l2，∴AC∥BD，∴∠CAB+∠ABD＝180°，∴∠3+∠4＝125°+85°﹣180°＝30°，∴∠1+∠2＝30°．故选：A．■【变式3】如图，已知AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BED＝115°．求∠BFD的度数．【考点】平行线的性质；【分析】过E作EG∥AB，过F作FH∥AB，依据平行线的性质，即可得到∠ABE+∠CDE=115°，再根据角平分线的定义以及平行线的性质，即可得出∠BFD的度数.【解答】解:如图，过E作EG∥AB，过F作FH∥AB，∵AB∥CD,∴EG∥CD，FH∥CD∴∠ABE=∠GEB，∠CDE∠GED∴∠BED=∠ABE+∠CDE=115°又∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∴∠ABF=∠ABE，∠CDF=∠CDE,∴∠ABF+∠CDF=(∠ABE+∠CDE)=57.5°，∵AB∥FH∥CD∴∠ABF=∠BFH，∠CDF=∠DFH,∴∠BFD=∠BFH+∠DFH=∠ABF+∠CDF=57.5°.故选C.●●方法归纳●以上的题中平行线间有个一折点，只需过折点处作一条辅助平行线即可，若有个多个折点，则需要过每一个折点作辅助平行线.类型二：过拐点作平行线证明题类型二：过拐点作平行线证明题◎【典例二】◎如图，AB∥CD，分别探讨下面四个图形中∠APC与∠A，∠C的关系，请你从所得的关系中任意选取一个加以说明．图（1）结论：；图（2）结论：；图（3）结论：；图（4）结论：；你准备证明的是图，请在下面写出完整的证明过程．【分析】图（1）首先过点P作PE∥AB，由AB∥CD，即可得AB∥PE∥CD，然后根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得答案；图（2）首先过点P作PE∥AB，由AB∥CD，即可得AB∥PE∥CD，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得答案；图（3）由AB∥CD，根据两直线平行，同位角线相等，即可求得答案；图（4）由AB∥CD，根据两直线平行，同位角线相等，即可求得答案．【解答】解：图（1）∠APC+∠A+∠C=360°；图（2）∠APC=∠A+∠C；图（3）∠APC=∠A﹣∠C；图（4）∠APC=∠C﹣∠A；图（1）的证明：∠APC+∠A+∠C=360°．过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴∠A+∠1=180°，∠2+∠B=180°，∵∠A+∠1+∠2+∠C=360°，∴∠APC+∠A+∠C=360°；图（2）的证明：∠APC=∠A+∠C．过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴∠1=∠A，∠2=∠C，∴∠APC=∠1+∠2=∠A+∠C；图（3）的证明：∠APC=∠A﹣∠C．过点P作PE∥AB，∵AB∥BC，∴AB∥PE∥CD，∴∠CPE=∠C，∠APE=∠A，∵∠APC=∠APE﹣∠CPE，∴∠APC=∠A﹣∠C；图（4）的证明：∠APC=∠C-∠A．过点P作PE∥AB，∵AB∥BC，∴AB∥PE∥CD，∴∠CPE=∠C，∠APE=∠A，∵∠APC=∠CPE﹣∠APE，∴∠APC=∠C﹣∠A．■【变式4】如图,已知∠1=70°，∠2=30°,EF平分∠BEC,∠BEF=50°，求证：AB//CD.【分析】先过点E在∠BEC的内部作EM//AB，求出∠BME的度数，根据角平分线求出∠BEC的度数，从而求出∠CEM的度数，然后根据∠CEM=∠2，利用内错角相等，两直线平行得出EM//AB.【解答】证明：如图，过点E在∠BEC的内部作EM//AB，∵EF平分∠BEC,∠BEF=50°,∴∠BEC=2∠BEF=2×50°=100°，∵EM//AB,∴∠BEM=∠1=70°，∴∠CEM=∠BEC﹣∠BEM=100°﹣70°=30°，∵∠2=30°，∴∠CEM=∠2，.∴EM//CD,又∵EM//AB∴AB//CD.■【变式5】如图，点E在线段AC上，AB∥CD，∠1=∠B，∠2=∠D．求证：BE⊥DE.【分析】过点E在∠BED的内部作EM∥AB，先根据平行线的性质得出∠1=∠BEM，∠DEM=∠2然后根据∠AEC=180°得出∠1+∠BEM+∠DEM+∠2=180°，从而得到∠BEM+∠DEM=90°,即可证明BE⊥DE.【解答】证明：过点E在∠BED的内部作EM∥AB，则∠B=∠BEM，∵∠1=∠B，∴∠1=∠BEM，又∵AB//CD，EM//CD，∴∠D=∠DEM，∵∠2=∠D，∠DEM=∠2，∴∠1+∠BEM+∠DEM+∠2=180°，∴∠BEM+∠DEM=90°,即∠BED=90，∴BE⊥DE.●●方法归纳●对于两条平行线间“折线”与“拐点”的证明题，一般都是在拐点处作平行线，使问题转化，从而构造一些相等的角或互补的角，使已知和未知一目了然，达到解题的目的，具体步骤是：①作辅助线（过拐点处作平行线）②找特殊角（找相等的角或互补的角）③解决问题（找到数量关系）复复习专题突破练基础基础练1、已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板（∠BAC=30°）按如图所示方式放置，并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1=22°，则∠2的度数是（）A．38°B．45°C．58°D．60°【考点】平行线的性质；【分析】过点B作BD∥a，可得∠ABD=∠1=22°，a∥b，可得BD∥b，进而可求∠2的度数．【解答】解：如图，过点B作BD∥a，∴∠ABD=∠1=22°，∵a∥b，∴BD∥b，∴∠2=∠DBC=∠ABC-∠ABD=60°﹣22°=38°．故选：A．2、如图，AD∥CE，∠ABC=110°，则∠2﹣∠1的度数是（）A．50°B．60°C．70°D．110°【答案】C【考点】平行线的性质．【分析】作BF∥AD，利用平行线的性质分析得出答案．【解答】解：如图，作BF∥AD，∵AD∥CE，∴AD∥BF∥EC，∴∠1=∠3，∠4+∠2=180°，∠3+∠4=110°，∴∠1+∠4=110°，∴∠2﹣∠1=70°．故选：C．3、一大门栏杆的平面示意图如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，若∠BCD＝150°，则∠ABC的是.【考点】作图—应用与设计作图；平行线的判定与性质；【分析】根据平行于同一条直线的两条直线平行和平行线的判定与性质即可求∠ABC的度数．【解答】解：如图，过点B作BF∥CD，∵CD∥AE（已知），∴BF∥CD∥AE（平行于同一条直线的两条直线平行），∴∠CBF+∠BCD＝180°，∠FBA+∠BAE＝180°，（两条直线平行，同旁内角互补），∵∠BCD＝150°，∠BAE＝90°，∴∠CBF＝30°，∠FBA＝90°，∴∠ABC＝∠CBF+∠FBA＝120°．∴∠ABC的度数为120°．故答案为：120°.4、已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE=140°．请你探索出一种（只须一种）添加辅助线求出∠BCD度数的方法，并求出∠BCD的度数．【考点】平行线的性质．【分析】过C作CF∥DE．根据∠BCD=∠BCF﹣∠DCF，求出∠BCF，∠DCF即可．【解答】解：过C作CF∥DE．∵CF∥DE，AB∥DE∴AB∥DE∥CF（平行于同一条直线的两条直线平行）∴∠BCF=∠B=80°（两直线平行，内错角相等）∠DCF+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）又∵∠D=140°（已知）∴∠DCF=40°（等量代换）又∵∠BCD=∠BCF﹣∠DCF=80°﹣40°=40°，∴∠BCD=40°．5、如图摆放的一副学生用直角三角板，∠F＝30°，∠C＝45°，AB与DE相交于点G，当EF∥BC时，∠EGB的度数是．【考点】平行线的性质；【分析】过点G作HG∥BC，则有∠HGB＝∠B，∠HGE＝∠E，又因为三角形DEF和三角形ABC都是特殊直角三角形，∠F＝30°，∠C＝45°，可以得到∠E＝60°，∠B＝45°，有∠EGB＝∠HGE+∠HGB即可得出答案．【解答】解：过点G作HG∥BC，∵EF∥BC，∴GH∥BC∥EF，∴∠HGB＝∠B，∠HGE＝∠E，在三角形DEF和三角形ABC中，∠F＝30°，∠C＝45°，∴∠E＝60°，∠B＝45°，∴∠HGB＝∠B＝45°，∠HGE＝∠E＝60°，∴∠EGB＝∠HGE+∠HGB＝60°+45°＝105°，故∠EGB的度数是105°，故答案为：105°．6、如图所示，AB∥CD，则∠A+∠E+∠F+∠C等于（）A．180° B．360° C．540° D．720°【考点】平行线的性质；【分析】分别过E、F作AB或CD的平行线，运用平行线的性质求解．【解答】解：作EM∥AB，FN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EM∥FN∥CD．∴∠A+∠AEM＝180°，∠MEF+∠EFN＝180°，∠NFC+∠C＝180°，∴∠A+∠AEF+∠EFC+∠C＝540°．故选：C．提升练提升练7、如图，直线AB、CD被直线AC所截，一直角三角板顶点放在AC上的点E处，三角板的两直角边分别交AB、CD于M、N，∠1＝∠2，∠3＝∠4，试说明：AB∥CD．【考点】平行线的判定；【分析】先根据直角三角板的性质得出∠1+∠3＝90°，再由∠1＝∠2，∠3＝∠4可知∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，故∠A+∠C＝180°，由此可得出结论．【解答】证明：∵过点E作EF∥AB,∵EF∥AB,∴∠MEF=∠4=∠3，∵∠MEN＝90°，∴∠1+∠3＝90°，∴∠1+∠MEF=90°，∴∠1=∠NEF=∠2，∴EF∥CD，又∵EF∥AB,∴AB∥CD.8、阅读下列解题过程：如图，已知AB∥CD，∠B＝35°，∠D＝32°，求∠BED的度数．解：过E作EF∥AB，则AB∥CD∥EF（平行线的性质）AB∥CD⇒∠B＝∠1＝35°又CD∥EF⇒∠D＝∠2＝32°∴∠BED＝∠1+∠2＝35°+32°＝67°（等量代换）然后解答下列问题：如图．是明明设计的智力拼图玩具的一部分，现在明明遇到两个问题，请你帮他解决：问题（1）：∠D＝30°，∠ACD＝65°，为了保证AB∥DE，∠A=.问题（2）：∠G、∠F、∠H之间有什么关系时，GP∥HQ？【考点】平行线的判定与性质；【分析】（1）过C作CM∥DE，推出∠D＝∠1＝30°，求出∠2＝∠A，推出CM∥AB即可；（2）过F作FN∥GP，得出∠G+∠4＝180°，求出∠3+∠H＝180°，推出FN∥HQ即可．【解答】解：（1）∠A＝35°，理由如下：过C作CM∥DE，如图2，则∠D＝∠1＝30°，∴∠2＝∠ACD﹣∠1＝35°，∴∠2＝∠A，∴CM∥AB，，又∵CM∥DE，∴AB∥DE；（2）当∠G+∠F+∠H＝360°时，GP∥HQ，理由如下：过F作FN∥GP，如图3，则∠G+∠4＝180°，又∵∠G+∠GFH+∠H＝360°，∴∠3+∠H＝180°，∴FN∥HQ，∴GP∥HQ．9、已知AB∥CD，点E为AB，CD之外任意一点．（1）如图①，探究∠BED与∠B，∠D的数量关系，并说明理由；（2）如图②，探究∠CDE与∠B，∠E的数量关系，并说明理由．【分析】在①中过点E作EF∥AB，由平行线的性质可得∠BEF=∠B，∠D=∠DEF，再根据∠BEF=∠BED+∠DEF等量代换即可得到结果；在②中过点E作EF∥AB，同①的方法，可找到∠BED与∠B、∠CDE的数量关系.【解答】解：（1）∠B=∠BED+∠D理由如下:如图，过点E作EF∥AB，又∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD∴∠BEF=∠B,∠D=∠DEF，∴∠BEF=∠BED+∠DEF，∴∠B=∠BED+∠D.（2）∠CDE=∠B+∠BED，理由如下:如图，过点E作EF∥AB，又∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD∴∠B+∠BEF=180°，∠CDE+∠DEF=180°，又∵∠DEF=∠BEF﹣∠BED，∴∠CDE+∠BEF﹣∠BED=∠B+∠BEF，即：∠CDE=∠B+∠BED10、如图所示，已知：AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BFD＝140°，∠BED的度数为．【考点】平行线的性质；【分析】过点F作直线MF∥AB，再由AB∥CD可知，AB∥CD∥MF，由平行线的性质可知∠1＝∠ABF，∠2＝∠CDF，再根据∠1+∠2＝∠BFD＝140°，可知∠ABF+∠CDF＝140°，因为BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，所以∠ABF＝∠EBF，∠CDF＝∠EDF，故∠EBF+∠EDF＝∠ABF+∠CDF＝140°，再根据四边形的内角和为360°即可得出结论．【解答】解：过点F作直线MF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥MF，∴∠1＝∠ABF，∠2＝∠CDF，∵∠1+∠2＝∠BFD＝140°，∴∠ABF+∠CDF＝140°，∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∴∠ABF＝∠EBF，∠CDF＝∠EDF，∴∠EBF+∠EDF＝∠ABF+∠CDF＝140°，∴∠BED＝360°﹣∠BFD﹣（∠EBF+∠EDF）＝360°﹣140°﹣140°＝80°．故答案为：80°．11、【问题情境】我们知道，“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用．已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，长方形DEFG中，DE∥GF．【问题初探】（1）如图（1），若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点M，AB⊥DE于点N，求∠EMC的度数．分析：过点C作CH∥GF，则有CH∥DE，从而得∠CAF＝∠HCA，∠EMC＝∠MCH，从而可以求得∠EMC的度数由分析得，请你直接写出：∠CAF的度数为，∠EMC的度数为.【类比再探】（2）若将三角板ABC按图（2）所示方式摆放（AB与DE不垂直），请你猜想写出∠CAF与∠EMC的数量关系，并说明理由．【考点】平行线的判定与性质；【分析】（1）利用∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC求出∠CAF度数，求∠EMC度数转化到∠MCH度数；（2）过点C作CH∥GF，得到CH∥DE，∠CAF与∠EMC转化到∠ACH和∠MCH中，从而发现∠CAF、∠EMC与∠ACB的数量关系．【解答】解：（1）过点C作CH∥GF，则有CH∥DE，所以∠CAF＝∠HCA，∠EMC＝∠MC