《高等数学》课程入学水平测试网上辅导材料

《高等数学》课程入学水平测试网上辅导材料一、参考书目《高等数学（上）》（第一分册）二、内容要求一元函数微分学、一元函数积分学两个部分，包括函数、极限与连续、导数与微分、导数的应用、不定积分、定积分及其应用等方面的知识。试题类型分为单项选择题、填空题和解答题。单项选择题的形式为四选一，即在每题的四个备选答案中选出一个正确答案；填空题只要求直接填写结果，不必写出计算过程和推理过程；解答题要求写出文字说明、演算步骤。三种题型分数的百分比大约为：单项选择题与填空题40%，解答题60%。水平测试试题按其难度分为容易题、中等题和较难题，其分值在试卷中的比例为：4:4:2。水平测试采用闭卷笔试形式，卷面满分为150分，考试时间为90分钟。（一）函数1．理解函数的概念；掌握函数中符号f()的含义；了解函数的两要素；会求函数的定义域及函数值；会判断两个函数是否相等。两个函数相等的充分必要条件是定义域相等且对应关系相同。2．了解函数的主要性质，即单调性、奇偶性、有界性和周期性若对任意，有，则称为偶函数，偶函数的图形关于轴对称。若对任意，有，则称为奇函数，奇函数的图形关于原点对称。3．熟练掌握基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形。基本初等函数是指以下几种类型：常数函数：幂函数：指数函数：对数函数：三角函数：反三角函数：4．了解复合函数、初等函数的概念，会把一个复合函数分解成较简单的函数。如函数,可以分解，，，。分解后的函数前三个都是基本初等函数，而第四个函数是常数函数和幂函数的和。5．会列简单的应用问题的函数关系式。（二）极限与连续1．了解极限的概念，会求左右极限极限存在的充分必要条件是左、右极限存在且相等2．了解无穷小量的概念，了解无穷小量的运算性质（1）若函数时的无穷小量（2）有界变量与无穷小量的乘积仍是无穷小3．掌握极限的四则运算法则，掌握两个重要极限，掌握求简单极限的常用方法(1)极限的四则运算法则设，则。(2)两个重要极限第一重要极限：第二重要极限：4．了解函数连续性的定义，会判断函数的连续性(1)函数连续性的定义(2)初等函数在其定义域内连续（三）导数与微分1．理解导数与微分概念（微分用定义），了解导数的几何意义，会求曲线的切线和法线方程，知道可导与连续的关系（1）在点处可导是指极限存在，且该点处的导数就是这个极限。导数极限还可写成（2）在点处的导数的几何意义是曲线上点处的切线斜率。曲线在点处的切线方程为函数在点可导，则在点连续。反之函数在点连续，在点不一定可导。2．熟记导数与微分的基本公式，熟练掌握导数与微分的四则运算法则3．熟练掌握复合函数的求导法则4．了解高阶导数概念，掌握求显函数的二阶导数的方法（四）导数的应用1．掌握洛比塔法则，能用它求“”、“”型不定式极限；2．掌握用一阶导数求函数单调区间、极值与极值点（包括判别）的方法，了解可导函数极值存在的必要条件，知道极值点与驻点的区别与联系；3．掌握求解一些简单的实际问题中最大值和最小值的方法，以几何问题为主。（五）不定积分1．理解原函数与不定积分概念，了解不定积分的性质以及积分与导数（微分）的关系；（1）若，则是的一个原函数；的全体原函数是。（2）（3）（4）（5）2．熟练掌握积分基本公式和直接积分法；3．熟练掌握第一换元积分法和分部积分法；（1）（2）（六）定积分及其应用1．了解定积分的性质2．会求变上限定积分的导数若，则3．熟练掌握牛顿—莱布尼兹公式，掌握定积分的换元积分法和分部积分法（1）（2）4．了解无穷积分收敛性概念，会判断无穷积分的收敛性或计算无穷积分当时收敛，当时发散；当时收敛，当时发散。6．会用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积（直角坐标系）（1）由曲线和及直线围成的面积，有（2）当为奇函数时有（3）当为偶函数时有三、综合练习答案（一）单选题1．设函数，，则该函数是（ ）．A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数2．下列函数中，（ ）是偶函数．A． B．C． D．3．当时，下列变量中，无穷小量是( )．A． B． C．D．4.设，则=（）．A.2eB.eC.D.5．=（ ）．A．B．C． D．6．下列无穷限积分收敛的是（）．A．B．C．D．（二）填空题1．若函数，则 ．2．极限 ．3．设，则k= ．4．曲线在点（1，0）处的切线是5.若函数，则 ．6．已知函数的驻点是，则 ．7．函数的单调减少区间是．8．经过点(2,10)，且在每一点的切线斜率都等于3x的曲线方程是．9.（三）计算题1．求函数的极限（1）(2)(3)（4）(5)2．求函数的导数或微分（1）已知，求(2)设，求．（3）设，求．（4）设，求．（5）设，求．3．求函数的不定积分（1）（2）（3）（4）（5）4．求函数的定积分（1）（2）（3）(4)（5）参考答案单项选择题1．A2.C3.B4.D5.A6.C（二）填空题1.2.3.4.5.-16.27．（-1，0）8．9.（三）计算题1．求函数的极限（1）解：（2）解：（3）解：连续利用罗比塔法则两次（4）解：连续利用罗比塔法则两次(5)解：利用第二重要极限公式===2．求函数的导数或微分解：(x)===(2)解：，（3）解：（4）解：=（5）解：，3．求函数的不定积分（1）解：利用不定积分的第一换元法（2）解：利用不定积分的第一换元法）解：利用不定积分的第一换元法（4）解：先整理被积函数后，再用积分基本公式和第一换元法解：利用不定积分的第一换元法==