数学基本概念 修正版

数学基本概念作者：张易第一修正版复数复数是指能写成如下形式的数a+bi,这里a和b是实数，i是虚数单位（即-1开根）。

若两个复数z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，a)复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区别，最主要的是在运算中将i^2=－1结合到实际运算过程中去。（1）加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i；（2）减法：z1－z2=(a1－a2)+(b1－b2)i；（3）乘法：z1·z2=(a1a2－b1b2)+(a1b2+a2b1)i；b)复数的除法：复数的除法是复数乘法的逆运算，由于两个共轭复数的积是实数，因此复数的除法可以通过将分母实化得到，即.复数的四则运算复数（4）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。（5）特殊复数的运算：①

(n为整数)的周期性运算；②(1±i)^2=±2i；复数z=a+bi的模，|a|=,且=a^2+b^2.

共轭复数定义：对于复数z=a+bi，称复数=a-bi为z的共轭复数。即两个实部相等，虚部（虚部不等于0）互为相反数的复数互为共轭复数(conjugatecomplexnumber）。复数z的共轭复数记作ˊ

。表示方法为在字母z上方加一横线即共轭符号。

复数根据定义，若z=a+bi(a，b∈R），则

ˊ=a－bi（a,b∈R）。共轭复数所对应的点关于实轴对称.在复平面上。表示两个共轭复数的点关于X轴对称.而这一点正是"共轭"一词的来源。两头牛平行地拉一部犁，它们的肩膀上要共架一个横梁，这横梁就叫做"轭".共轭复数有些有趣的性质：(1)︱a+bi︱=︱a-bi︱(2)(a+bi)*(a-bi)=a^2+b^2(3)若z=a+bi，则

，

=2a为实数，

=2bi为纯虚数(b≠0).参数方程

参数方程

直线与椭圆的位置关系

直线与圆的位置关系有哪几种？怎么判断它们之间的位置关系？d>rd<rd=r∆>0∆<0∆=0几何法：代数法：判断它们之间的位置关系？能用几何法吗？

不能！因为他们不像圆一样有统一的半径。所以只能用代数法----求解直线与二次曲线有关问题的通法。直线与二次曲线相交弦长的求法

1、直线与圆相交的弦长A（x1,y1）dr2、直线与其它二次曲线相交的弦长（1）联立方程组（2）消去y（3）利用弦长公式:（记得前面代工式）|AB|=k表示直线(弦)的斜率，x1、x2表示弦的两端点横坐标，一般由韦达定理求得x1+x2与x1·x2通法B（x2,y2）设而不求例题已知点F是椭圆x2+2y2=4的左焦点

(1)作倾斜角为300的直线，则弦长|AB|=_______,(2)过F且垂直于x轴的直线所截得的弦长是_______

2通径:最短的焦点弦3、弦中点问题的两种处理方法：（1）代入法---联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理；（2）点差法---设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。1、直线与椭圆的三种位置关系及等价条件；2、弦长的计算方法：（1）垂径定理：|AB|=（只适用于圆）（2）弦长公式：

|AB|=（适用于任何曲线）

（3）焦点弦公式：(左焦点)|AB|=2a+e(x1+x2)；(右焦点)|AB|=2a-e(x1+x2)(适用于椭圆中过焦点的弦)立体几何一、平行与垂直关系的论证由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。四个判定定理：①若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。②如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，那么这两个平面平行。③如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。四个性质定理：①一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行。②两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行。③垂直于同一平面的两条直线平行。④两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

线线、线面、面面平行关系的转化：

线线、线面、面面垂直关系的转化：平行与垂直关系的转化

应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。”

唯一性结论：

三类角1.三类角的定义：（1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90°（2）直线与平面所成的角：0°≤θ≤90°

二面角：二面角的平面角θ，0°＜θ≤180°三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算” 即：（1）找出或作出有关的角；（2）证明其符合定义；（3）指出所求作的角；（4）计算大小。

异面直线所成角的范围：

思考：结论：一、线线角：直线与平面所成角的范围：

思考：结论：二、线面角：l将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图，设二面角的大小为，其中DCBA三、面面角：①方向向量法：二面角的范围：ll三、面面角：二面角的范围：②法向量法注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角小结：1.异面直线所成角：

2.直线与平面所成角：

lDCBA3.二面角：ll一进一出，二面角等于法向量的夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角。推理这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理.(简称;归纳)⑴对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；⑵提出带有规律性的结论，即猜想；⑶检验猜想。归纳推理的一般步骤：

归纳推理的几个特点;1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围.2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性.3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上.归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析的基础上.提出带有规律性的结论.需证明在两类不同事物之间进行对比,找出若干相同或相似点之后,推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式,称为类比推理.(简称;类比)类比推理的几个特点;1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果.2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,单它却有发现的功能.合情推理-类比推理演绎推理．从一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法，称为演绎推理．注：１．演绎推理是由一般到特殊的推理；２．“三段论”是演绎推理的一般模式；包括⑴大前提---已知的一般原理；⑵小前提---所研究的特殊情况；⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断.2.三段论是演绎推理的一般模式,包括:(1)大前提已知的一般原理;(2)小前提所研究的特殊情况;(3)结论根据一般原理,对殊情况做出的判断.特M是P，S是M，所以，S是P。☆用集合论的观点看,三段论的依据是:若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P.MSa演绎推理错误的主要原因（1）大前提不成立；（2）小前提不符合大前提的条件反证法综合法分析法特点由因索果由果索因条件充分条件不要条件格式P→Q1→Q2→...→Qn→QQ←P1←P2←...←Pn←P关系解答个一般方式解法的探讨实际证题过程，分析与综合是统一运用的P→Q1→Q2→...→Qn→

Q←Pn←...←P2←P1←P1.定义：从命题的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。2、反证法的基本思路：只要证明所求证的结论不成立是错误的，从而肯定求证的结论是成立的。

3.反证法证题的基本步骤假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立；从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；

(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。

归谬矛盾：（1）与已知条件矛盾；（2）与已有公理、定理、定义矛盾；（3）可能与临时假设矛盾；（4）自相矛盾。反证法的一般适用情形：（1）结论为否定性命题；（2）结论为“至少”、“至多”类命题；（3）结论为“唯一”类命题；（4）结论为“有无穷多个”类命题。数学归纳法3．用数学归纳法证明问题的步骤：①验证命题对第一个正整数n＝n0时成立．②假设命题当n＝k(k≥n0)时成立，证明n＝k＋1时命题成立．则由①②可知对一切n≥n0的正整数命题成立．整个证题过程可简记为：一验、二设、三证、四总结．由k到k＋1这一步，要善于分析题目的结构特点，进行适当的变形，常用分析、添项、拆项、作差等方法．排列组合排列定义

从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取r个的无重排列。排列的全体组成的集合用P(n,r)表示。排列的个数用P(n,r)表示。当r=n时称为全排列。一般不说可重即无重。可重排列的相应记号为P(n,r),P(n,r)。注：P=A组合定义从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的无重组合。组合的全体组成的集合用C(n,r)表示，组合的个数用C(n,r)表示，对应于可重组合有记号C(n,r),C(n,r)。1．加法原理2．加法原理的集合形式3．分类的要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)1．乘法原理2．合理分步的要求

任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同仅仅有条件概率一、条件概率 定义：

由上面讨论知，P(B|A)应具有概率的所有性质。例如：二项式这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做(a+b)n的

，其中（r=0,1,2,……,n）叫做