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文档简介

第六节正定二次型

第六节实二次型的正定性正（负）定二次型的判定正（负）定二次型的概念二次型的规范形及惯性定理第六节正定二次型第六节实二次型的正定性正（负1

一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，其标准形一般来说是不唯一的,但标准形中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩．

下面我们限定所用的变换为实变换，来研究二次型的标准形所具有的性质．一个实二次型，既可以通过正交变换化为标下面我们限定所2再实施线性变换则二次型化为这种系数为1或-1的二次型称为二次型的规范形一、二次型的规范形及惯性定理再实施线性变换则二次型化为这种系数为1或-1的二次型称为二次3个人数字图书馆-科技文献检索与写作4个人数字图书馆-科技文献检索与写作5则称实二次型正定，恒有若对任何非零向量若对任何恒有则称实二次型二、正(负)定二次型的概念定义负定,并称对称矩阵A为负定矩阵.是实二次型，A为正定矩阵；并称对称矩阵则称实二次型正定，恒有若对任何非零向量若对任何恒有则称实二次6为正定二次型为负定二次型例如为正定二次型为负定二次型例如7实二次型为正定的充分必要条件是：它的标准形的n个系数全为正。充分性：三、正定二次型的判定定理定理设可逆变换证明

实二次型为正定的充分必要条件是：它的标准形的n个系数全为正。8必要性：反证法。假设有这与f为正定相矛盾。这就证明了

实对称矩阵A正定A的特征值全为正。推论必要性：反证法。假设有这与f为正定相矛盾。这就证明了9，子式称为矩阵A的i阶顺序主子式。A的各阶顺序主子式定义实二次型正定定理，子式称为矩阵A的i阶顺序主子式。A的各阶顺序主子式10A的各阶顺序主子式实二次型负定定理负正相间，A的各阶顺序主子式实二11例

判断下列实二次型是否正定解

（1）f的矩阵为所以f是正定的。例判断下列实二次型是否正定解（1）f的矩阵为12解

（2）f的矩阵为所以f是负定的。解（2）f的矩阵为所以f是负定的。13例求参数t的范围，使下列二次型为正定二次型解

二次型的矩阵为使式大于零，而正定，要求A的各阶顺序主子例求参数t的范围，使下列二次型为正定二次型解14推得即所以当时正定。推得即所以当时正定。152.

正定二次型（正定矩阵）的判别方法：(1)定义法；(2)顺次主子式判别法；(3)特征值判别法.1.正定二次型与正定矩阵的概念3.根据正定二次型的判别方法，可以得到负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法，请大家自己推导．小结2.正定二次型（正

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