2022年高考物理一轮复习夯实核心素养-带电粒子在复合场中的运动（解析版）

10.3带电粒子在复合场中的运动

必备知识清单

一'电场与磁场的组合

1.组合场中的两种典型偏转.

\垂直电场线进入匀强电场（不计重垂直磁感线进入匀强磁场（不计重

力）力）

受力电场力FE=qE,其大小、方向不洛伦兹力Fn=qvB,其大小不

情况变，与速度。无关，碎是恒力变，方向随。而改变，出是变力

轨迹抛物线圆或圆的一部分

运动•i,••

Ww二N二__・

轨迹

0

mv

利用类平抛运动的规律求解：半径：r=—

qB

"=。，X=Vot

02兀勿

求解qEqE周期：T=—

2qB

vy=—t,y=——t

方法m2m偏移距离歹和偏转角（p要结合圆

、vyqEt

偏转角8：tan9=—=--的几何关系，利用圆周运动规律

vxmvO

讨论求解

运动X(P(pm

t=­/——T=—

时间vO2兀qB

动能变化不变

2.常见模型

（1）从电场进入磁场

电场中：加速直线运动

磁场中：匀速圆周运动

电场中：类平抛运动

U

磁场中：匀速圆周运动

(2)从磁场进入电场

磁场中：匀速圆周运动

••••JV

~r

U

电场中：匀变速直线运动(0与£同向或反向)

/

磁场中：匀速圆周运动/

/E

••••/

U

K

电场中：类平抛运动(。与E垂直)

二'带电粒子在叠加场中的运动

1.带电粒子在包含匀强磁场的叠加场中无约束情况下运动的几种常见形式

受力特点运动性质方法规律

其他场力的合力与洛伦兹

匀速直线运动平衡条件

力等大反向

除洛伦兹力外，其他力的牛顿第二定律、圆周运

匀速圆周运动

合力为零动的规律

除洛伦兹力外，其他力的

动能定理、能量守恒定

合力既不为零，也不与洛较复杂的曲线运动

律

伦兹力等大反向

2.带电粒子在叠加场中有约束情况下的运动

带电粒子在叠加场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道约束的情况下，常见的运动形

式有直线运动和圆周运动，分析时应注意：

(1)分析带电粒子所受各力，尤其是洛伦兹力的变化情况，分阶段明确物体的运

动情况。

(2)根据物体各阶段的运动特点，选择合适的规律求解。

①匀速直线运动阶段：应用平衡条件求解。.

②匀加速直线运动阶段：应用牛顿第二定律结合运动学公式求解。

③变加速直线运动阶段：应用动能定理、能量守恒定律求解。

命题点精析（一）磁场与磁场的组合

典型例题

【例1】（多选）如图所示，直线A/N与水平方向成60。角，的右上方存在垂直

于纸面向外的匀强磁场，左下方存在垂直于纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁

感应强度大小均为以一粒子源位于上的。点，能水平向右发射不同速

率、质量为制重力不计）、电荷量为式4>0）的同种粒子，所有粒子均能通过

上的b点，已知ab=L9则粒子的速度可能是（）

&BL小qBL

A.-----B.——

6m3m

小qBL小qBL

D.-----

2mm

【答案】AB

【解析】由题意可知粒子可能的运动故迹如图所示，所有圆弧的圆心角均为

小L,

120°,所以粒子一运动的半径为尸=---（/?=1,2,3,…），由:各伦兹力提供向心

3n

v2qBr小qBL1

力得qvB=m—，则o=---=-------(〃=1,2,3,…)，所以A、B正确。.

rm3mn

M、...........

X''、

xX*心：

XXXX脸.

N,

【练1】如图所示，在。xy平面的第一象限内存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为8的

匀强磁场。一带电粒子从y轴上的M点射入磁场，速度方向与y轴正方向的夹角

6=45°。粒子经过磁场偏转后在N点（图中未画出）垂直穿过x轴。已知

粒子电荷量为q,质量为m,重力不计。则（）

八y

XX

XX

XX

XX

qBa

A.粒子带负电荷B.粒子速度大小为加.

C.粒子在磁场中运动的轨道半径为aD.N与。点相距（、历+1）。

【答案】AD

【解析】

A.粒子向下偏转，根据左手定则判断洛伦兹力，可知粒子带负电，A正确;

BC.粒子运动的轨迹如图

由于速度方向与y轴正方向的夹角°=45°,根据几何关系可知.

AOMOy=ZOO.M=45°OM=OO}=a

则粒子运动的轨道半径为

r—0[M=\[la

洛伦兹力提供向心力

V

qvB=m—

r

解得.

yjlqBa

BC错误;

D.N与。点的距离为

NO=OOi+r=(g+T)a

D正确。

故选ADo

【练2】真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方

向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁

场。已知电子质量为m,电荷量为e,忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线

圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为（）

XxxxX

/xx_xx\

XX:"]'、'、、Xx\

X

3mv机v,imv3mM

A.2aeB.AEC.4aeQSae

【答案】C

【解析】

电子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力

则磁感应强度与圆周运动轨迹关系为

er

即运动轨迹半径越大，磁场的磁感应强度越小。令电子运动轨迹最大的半径为小X,为

了使电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，其最大半径的运动轨迹与实线圆相

切，如图所示.

A点为电子做圆周运动的圆心，电子从圆心沿半径方向进入磁场，由左手定则可得,

LOB,A48O为直角三角形，则由几何关系可得

（3"%ax）2=/+a2

\max/max

解得

4

々ax—a

3

解得磁场的磁感应强度最小值

mv3/nv

故选Co.

命题点精析(二)带电粒子在电场和磁场中的运动

【例2】如图所示的空间中有一直角坐标系Oxy,第一象限内存在竖直向下的匀强

电场，第四象限x轴下方存在沿x轴方向足够长，宽度d=(5+5/)m的匀强

磁场，磁场方向垂直于纸面向外，磁感应强度大小8=0.4T,一带正电粒子质

量加=3.2义10-4kg、所带电荷量q=0.16C,从y轴上的P点以。0=1.0X103

m/s的速度水平射入电场，再从x轴上的。点进入磁场，已知。尸=9m,粒子

进入磁场时

其速度方向与x轴正方向夹角。=60。，不计粒子重力，求:

(1)0。的距离;

(2)粒子在磁场中运动的半径;

(3)粒子在磁场中运动的时间。(兀值近似取3)

【答案】(1)附m(2)10m(3)7.5X10-3s

【解析】(1)由于粒子进入磁场时其速度方向与x轴正方向夹角9=60。，设粒子

在Q点竖直向下的分速度为%,

vy

根据运动的合成与分解可得：tan。=一，

所以4,=\尻0，.

设粒子从尸点运动到Q点的时间为/,

水平方向上根据匀速直线运动可得：vQt=sOQ，

1

竖直方向上根据位移时间关系：9yt=hp(),

联立解得：S0°=附m;

(2)设粒子进入磁场的速度为。，由几何关系可得:

vQ

V=-------=2u>

cos00

粒子在磁场中运动时，洛伦兹力充当向心力，有:

v2

qvB=m-9.

解得R=10m;

(3)设粒子在磁场中运动的圆心为0,由几何关系可得:

«=60°,尸30。

可得粒子在磁场中转过的圆心角9=90。，

2TIR

由周期公式T=—可得粒子在磁场中运动的时间

v

(P12nR

t'=——T=-X——=7.5义10―3So

36004v

【练3】平面直角坐标系xOy中，第I象限存在垂直于平面向里的匀强磁场，第HI现象存在沿

y轴负方向的匀强电场，如图所示.一带负电的粒子从电场中的Q点以速度々沿x轴正方向

开始运动，Q点到y轴的距离为到x轴距离的2倍.粒子从坐标原点。离开电场进入磁场，

最终从x轴上的P点射出磁场，P点到y轴距离与Q点到y轴距离相等.不计粒子重力，

问：

(1)粒子到达。点时速度的大小和方向；

(2)电场强度和磁感应强度的大小之比.

【答案】：(1)丫=扬。，方向与x轴方向的夹角为45。角斜向上

g=为

(2)B2

【解析】：⑴在电场中，粒子做类平抛运动，设Q点到x轴距离为L,到y轴距离为2L,

粒子的加速度为。，运动时间为3有

2£=%/①

L=—at2

2②,

V

设粒子到达O点时沿y轴方向的分速度为＜

v-at门

yv③

tana==

设粒子到达。点时速度方向与X轴正方向夹角为a，有%④.

联立①②③④式得a=45。⑤.

即粒子到达O点时速度方向与x轴正方向成45。角斜向上.

设粒子到达。点时速度大小为v,由运动的合成有"=’诏+学

联立①②③⑥式得"=a%⑦.

（2）设电场强度为£,粒子电荷量为q,质量为m,粒子在电场中受到的电场力为F,粒

_qE

Q---

子在电场中运动的加速度：m⑧.

设磁感应强度大小为B,粒子做匀速圆周运动的半径为R,洛伦兹力提供向心力，有：

V2

qvB-m—

R⑨.

根据几何关系可知：口=取⑩

整理可得：B2

V

【练4】如图所示，在平面内，有一电子源持续不断地沿1正方向每秒发射出N个速率均

为V的电子，形成宽为2b,在y轴方向均匀分布且关于、轴对称的电子流.电子流沿*方向

射入一个半径为R,中心位于原点。的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直xOy平面向里，

电子经过磁场偏转后均从P点射出，在磁场区域的正下方有一对平行于、轴的金属平行板

K和A,其中K板与P点的距离为d,中间开有宽度为2/且关于歹轴对称的小孔.K板接

地，A与K两板间加有正负、大小均可调的电压穿过K板小孔到达A板的所有电子

V3

b^—R,d^l

被收集且导出，从而形成电流.已知2,电子质量为m,电荷量为e,忽略

电子间相互作用.

（1）求磁感应强度B的大小；

（2）求电子从P点射出时与负'轴方向的夹角8的范围:

（3）当。.他=°时，每秒经过极板K上的小孔到达极板A的电子数;

（4）画出电流'随变化的关系曲线（在答题纸上的方格纸上）.

n=—N=0.S2N

3⑷k=0-82Ne

【解析】：由题意可以知道是磁聚焦问题，即

（1）轨到半径［^=「，

B嗤

（2）右图以及几何关系可知，上端电子从P点射出时与负y轴最大夹角购

sin0m=2得Om=60"

由几何关系R

同理下端电子从p点射出与负y轴最大夹角也是60度

范围是一60。48460。

V2

》'=Asina=T

每秒进入两极板间的电子数为n

二=J亚=0,82

Nb3解得：n=0.82N

U右=-----tnv^

⑷有动能定理得出遏止电压2e,与负y轴成45度角的电子的运动轨迹刚好与

U'^--mv2

A板相切，其逆过程是类平抛运动，达到饱和电流所需要的最小反向电压4e或

者根据(3)可得饱和电流大小'm”=0-82Ne

-1.0-05oosi.oUHX号e

命题点精析(三)带电粒子在叠加场中的运动

1.带电粒子在包含匀强磁场的叠加场中无约束情况下运动的几种常见形式

受力特点运动性质方法规律

其他场力的合力与洛伦兹

匀速直线运动平衡条件

力等大反向

除洛伦兹力外，其他力的牛顿第二定律、圆周运

匀速圆周运动

合力为零动的规律

除洛伦兹力外，其他力的

动能定理、能量守恒定

合力既不为零，也不与洛较复杂的曲线运动

律

伦兹力等大反向

2.带电粒子在叠加场中有约束情况下的运动

带电粒子在叠加场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道约束的情况下，常见的运动形

式有直线运动和圆周运动，分析时应注意：

(1)分析带电粒子所受各力，尤其是洛伦兹力的变化情况，分阶段明确物体的运

动情况。

(2)根据物体各阶段的运动特点，选择合适的规律求解。

①匀速直线运动阶段：应用平衡条件求解。

②匀加速直线运动阶段：应用牛顿第二定律结合运动学公式求解。

③变加速直线运动阶段：应用动能定理、能量守恒定律求解。.

【例3】如图，在竖直的平面内有一个半径为火的圆形区域与x轴相切于O

点，在圆形区域外(包括圆形边界)的空间存在垂直于纸面向外的匀强磁场，

平面内有沿y轴负方向的匀强电场。现从坐标原点。以速率。向第一象限内的

不同方向发射相同的带电小球，小球的质量为用、电荷量为一认户0)，所有小

球均在磁场中做匀速圆周运动，且都能沿平行于x轴的方向进入圆形区域并再

次通过。点，不计小球间的相互作用，重力加速度为g,求:

⑴匀强电场的电场强度大小；

(2)匀强磁场的磁感应强度大小；

(3)沿与x轴正方向成60。角发射的小球从开始运动到再次通过0点经历的时

间。.

mgmv

【答案】⑴」⑵次

q

(A0n+3我R

(3>

3v

【解析】

(1)小球在磁场中做匀速圆周运动，则电场力和重力平衡即qE=mg

mg

匀强电场的场强片=-3;.

q

(2)小球从O点以与x轴成夕角射入第一象限，运动轨迹如图,

轨迹圆心。与交点。的连线平行于y轴，由几何关系可知，四边形COCO是

菱形

小球在磁场中运动的轨道半径r=R.

v2

洛伦兹力提供向心力，即Bqv=m—

mv

可得磁感应强度8=—

qR

TI

（3）小球从o点以与x轴成e=-角射入第一象限

2TIR

小球在磁场中的运动周期T=——

v

2TI~0

小球在磁场中运动时间tt=2X-----T

2兀

由上式可知小球在圆形区域做匀速直线运动，通过的距离L=2Rsin6

27?sin9

运动时间t2=--------.

v

从。点出发到再次回到。点的运动时间

（4兀+2sin-一2夕）7?

t=tx4-12=--------------------

v

.7t（10兀+34）7?

将。=一代入，解得/=-------------

33v

【练5】如图4所示，竖直平面工帆，其x轴水平，在整个平面内存在沿x轴正方向的匀强电

场E,在第三象限内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为8=0.2T.现有一比

q

荷为一=25C/kg的带电微粒，从第三象限内某点以速度即向坐标原点。做直线运动，为

m

与x轴之间的夹角为。=45。，取重力加速度g=10m/s2.求：

E

图4

(1)微粒的电性及速度。o的大小；

(2)带电微粒在第一象限内运动时所到达的最高点的坐标.

［答案］(1)带正电2、/2m/s(2)(0.6m,0.2m)

【解析】.

(1)带电微粒在第三象限内受重力、电场力和洛伦兹力的作用，做直线运动，则其一定做

匀速直线运动，合力为零.若微粒带负电，由左手定则知洛伦兹力斜向右下，又重力竖直

向下，电场力水平向左，合力不可能为零；同理，可判断微粒带正电；

对带电微粒受力分析，如图所示，根据平衡条件可得：Bqa=/mg

解得:伙)=2、/2m/s;

(2)带电微粒进入第一象限后做曲线运动，设最高点为从。到A/所用的时间为/,则将

微粒从。到A1的运动分解为沿x轴方向上的匀加速直线运动和沿)，轴方向上的匀减速直线

运动

y轴方向上:O=t>osin45°—gZ

oOsin45°

x轴方向上：qE—mgtan45°=max

1

2

x=Uocos45°t+-axt

解得x=0.6m,y=0.2m..

即带电微粒在第一象限内运动时所达到的最高点的坐标为(0.6m,0.2m)

【练6】如图所示，竖直平面内有一直角坐标系xQy,x轴沿水平方向.第二、三象限有垂直

于坐标平面向里的匀强磁场，与x轴成9=30。角的绝缘细杆固定在二、三象限：第四象限

同时存在着竖直向上的匀强电场和垂直于坐标平面向里、磁感应强度大小为8的匀强磁

场，一质量为加、电荷量为g的带电小球。(可视为质点)穿在细杆上沿细杆匀速下滑，在

N点脱离细杆后恰能沿圆周轨道运动到x轴上的A点，且速度方向垂直于x轴.已知/点

3y/3qBB兀g

到坐标原点。的距离为”小球。与绝缘细杆的动摩擦因数%重加口

速度为g,空气阻力忽略不计.求:

XXXXXXXXXX

⑴带电小球的电性及电场强度的大小E；

⑵第二、三象限里的磁场的磁感应强度大小

20兀/

(3)当带电小球a刚离开N点时，从y轴正半轴距原点。为h=—^。点(图中未画出)以

某一初速度水平向右平抛一个不带电的绝缘小球/可视为质点)，h球刚好在运动到x轴时

与向上运动的。球相碰，则b球的初速度为多大？

【解析】

(1)由带电小球〃在第四象限内做圆周运动，知小球4所受电场力竖直向上，且mg=qE,

mg

故小球4带正电，£=—

q

(2)带电小球4从N点运动到/点的过程中，洛伦兹力提供小球做圆周运动的向心力，设运

v2

动半径为火，有：qvB=m—

R

3

由几何关系有R+Rsin6=-1

2

解得R=l,v=

带电小球〃在杆上匀速下滑时，由平衡条件有

阳gsin0=〃(qvB\—mgcos0)

7tng

解得a=一

q10K/

2nR6兀/

(3)带电小球〃在第四象限内做匀速圆周运动的周期T=—=2

v5g.

2v1071/

带电小球4第一次在第一象限从4点竖直上抛又返回到A点所用的时间为访=1=

3g

2人一2IOn/

绝缘小球b平抛运动至x轴上的时间为1=

3g

小球〃从N点第一次到4点所用时间为人,

T

则八=3</

TT

故两球相碰有r=-+A2(/0+-)(A?=0J,2•••)

联立解得”=1

7

设b球的初速度为VQ,则-R=v()t

【.例4］如图所示，空间中存在着水平向右的匀强电场，电场强度大小£=5^N/C,同时存

在着垂直纸面向里的匀强磁场，其方向与电场方向垂直，磁感应强度大小2=0.5T.有一带

正电的小球，质量加=”10-6kg,电荷量夕=2x10-6C,正以速度y在图示的竖直面内做

匀速直线运动，当经过尸点时撤掉磁场(不考虑磁场消失引起的电磁感应现象)，取g=10

m/s2,求：

XXXXX

xpxxxxxE

(1)小球做匀速直线运动的速度V的大小和方向；

(2)从撤掉磁场到小球再次穿过P点所在的这条电场线经历的时间t.

【答案】

(l)20m/s方向与电场方向成60。角斜向上

⑵2扬

【解析】

(1)小球做匀速直线运动时受力如图甲，其所受的三个力在同一平面内，合力为零,

甲

有qvB=qq2E2+m2g2①.

代入数据解得o=20m/s②

速度v的方向与电场E的方向之间的夹角满足tan^=—③.

mg

代入数据解得tanO=在

。=60。④

(2)解法一撤去磁场，小球在重力与电场力的合力作用下做类平抛运动，如图乙所示，设

设撤去磁场后小球在初速度方向上的分位移为X,有x=vt®.

1

设小球在重力与电场力的合力方向上的分位移为y,有歹=于於⑦

tan8=%),

x

联立④⑤⑥⑦⑧式，代人数据解得，=2小s⑨.

解法二撤去磁场后，由于电场力垂直于竖直方向，它对竖直方向的分运动没有影响，以

尸点为坐标原点，竖直向上为正方向，小球在竖直方向上做句减速运动，其初速度为马=

usin0@

1

若使小球再次穿过2点所在的电场线，仅需小球的竖直方向上分位移为零，则有卬一于《

=0®.

联立⑤⑥式，代入数据解得f=2由s..

核心素养大提升

带电粒子在交变电磁场中的运动

(1)先分析在一个周期内粒子的运动情况，明确运动性质，判断周期性变化的电场或磁场对

粒子运动的影响.(2)画出粒子运动轨迹，分析轨迹在儿何关系方面的周期性.

【例5】如图所示，真空中四个相同的矩形匀强磁场区域，高为4d,宽为d,.中间两个磁场

区域间隔为2d,中轴线与磁场区域两侧相交于。、0,点，各区域磁感应强度大小相等.某

粒子质量为m、电荷量为+q,从。沿轴线射入磁场.当入射速度为。时，粒子从。上方

d_

2处射出磁场.取sin53°=0.8,cos53°=0.6.

（1）求磁感应强度大小B；

（2）入射速度为时，求粒子从。运动到。，的时间t；

（3）入射速度仍为50,通过沿轴线。。，平移中间两个磁场（磁场不重叠），可使粒子从

。运动到。'的时间增加At,求位的最大值.

XXXX••••••••XXXX

XXXX••••••••XXXX

XXXX••••••••XXXX

XXXX••••••••XXXX

XXXX••••••••XXXX

OXXXX••••••••XXXX

-1

XXXX••••••••XXXX

4d

XXXX••••••••XXXX

XXXX••••••••XXXX

XXXX••••••••XXXX

XXXX••••••••XXXX

WXXXX••••••••XXXX

_____________

—df-df---2d---►-df—df

【答案】见解析

【解析】

叫d

（1）粒子圆周运动的半径qB由题意知4,

解得qd

（2）设粒子在矩形磁场中的偏转角为a

4

由d=rsina,得sina=5,即a=53°

a2兀〃2,537td

‘1=----o-----'1=Z

在一个矩形磁场中的运动时间360°qB,解得720%

2d,2d

/2=---‘2

直线运动的时间y,解得5%

3兀+72d

/=44+%?=(

180%

则

（3）将中间两磁场分别向中央移动距离x

粒子向上的偏移量y=2r（1-cosa）+xtana

x<-d

由y<2d,解得4

-d

则当Xm=4时，At有最大值

2X

C=m+（2.-2.=Ad

粒子直线运动路程的最大值mcosa，n

增加路程的最大值=sm-2d=d

△tdJ

5mq

增加时间的最大值v

1.【练7】如图甲所示，间距为d、垂直于纸面的两平行板P、Q间存在匀强磁场。取垂直

于纸面向里为磁场的正方向，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示。t=0时刻，一质

量为m、带电量为q的粒子（不计重力），以初速度V。由Q板左端靠近板面的位置，沿垂

直于磁场且平行于板面的方向射入磁场区。当仇和兀取某些特定值时，可使t=0时刻入射

的粒子经At时间恰能垂直打在P板上（不考虑粒子反弹）。上述m、q、d、V。为己知量。

（1）若△£=2TB,求80；

3

⑵若△t=5j8,求粒子在磁场中运动时加速度的大小；

统二号

⑶若qd，为使粒子仍能垂直打在P板上，求正。

【答案】见解析.

【解析】

说

R

(1)设粒子做圆周运动的半径为生,由牛顿第二运动定律得qv0B0=m'

据题意由几何关系得：&=d。

叫

联立解得：8。=qd。

(2)设粒子做圆周运动的半径为&，加速度大小为a,由圆周运动公式得.

.

R

a=2

据题意由几何关系得：3%=d。

3年

联立解得：a=d.

(3)设粒子做圆周运动的半径为R,周期为T,由圆周运动公式得.

2位

T=%。

R

由牛顿第二运动定律得qv0B0=m

由题意知，B0=qd

联立解得：d=4R。

粒子运动轨迹如图所示，01、0z为圆心，连线与水平方向的夹角为，在每个时间内，只

有A、B两个位置才有可能垂直击中P板，旦均要求：0<9<n/2o由题意可知：

设经历完整7s的个数为"(n=0,l,2,3,-).

若在A点击中P板，据题意由几何关系得：R+2(R+Rsmd)n=d

当n-0时，无解。

7C

当n=l时，解得sin氏05。=6。

7id

3V

联立解得：TB=°o.

当"22时，不满足0＜。＜90。的要求。

若在B点击中P板，据题意由几何关系得：R+2Rs-\nO+2(R+Rs-mO)n=d

当〃二0时、无解。

]_j_

当n=l时，解得sing4,^=arcsin(4)o

7t1d

联立解得：TB=[2+arcsin(4)]2v°»

当n22时,不满足0＜庆90。的