高二数学上册各章节知识点总结大纲版

不等式单元知识总结

一、不等式的性质

1.两个实数a与b之间的大小关系

(l)a-b>O=a>b；

(2)a-b=0<=>a=b；

(3)a—bV0oaVb.

(4)：>l=a>b；

b

a

若a、bER+,贝小(5)--=1<=>a=b；

b

,a

⑹丁Vl=aVb.

b

2.不等式的性质

(l)a>bobVa(对称性)

a>b

(2)na>c（传递性）

b>c

(3)a>b=a+c>b+c(加法单调性)

a>b

、=>ac>bc

c>0

4乘法单调性

a>b

、=ac<bc

c<0

(5)a+b>cna>c—b(移项法则)

a>b

⑹c>dna+c>b+d（同向不等式可力口）

a>b

⑺c<dc>b-d（异向不等式可减）

⑻ca>bd>>0。E0bd（同向正数不等式可乘）

a>b>0ab

(9)=>->7(异向正数不等式可除)

0<c<dJcd

a>b>0'|

(10)卜=>an>bn(正数不等式可乘方)

neN

a>b>0

(11)neN声〉伤(正数不等式可开方)

!(正数不等式两边取倒数)

(12)a>b>0=>-

ab

3.绝对值不等式的性质

a(a20),

(l)lalNa；lal=<

(a<0).

2如果a>0,那么

Ixl<a<=>X2<a2o—a<x<a；

Ixl>a<=>X2>a2ox>a或x<-a.

3]a•b|=|a|,b|.

alai

(4)1-1=-(b#0)-

bIbl

5|a|一|b|W|a±b|Wla|+|b|.

6|a]+a?+...+a|W|aJ+|aJ+....+|a|.

二、不等式的证明

1.不等式证明的依据

(1)实数的性质：a、b同号0ab>0；a、b异号oabVO

a—b>0<=>a>b；a—b<0<=>a<b；a—b=0<=>a=b

2不等式的性质略

3重要不等式：①|a|N0；a2》0；a-b220a、bGR

②a2+bz22aba、b6R,当且仅当a=b时取"=”号

o,J_h

③一beR+,当且仅当a=b时取"=”号)

2.不等式的证明方法

1比较法：要证明a>ba<b,只要证明a-b>0a-b<0,这种证明不等式的方法叫做

比较法.

用比较法证明不等式的步骤是：作差——变形一一判断符号.

2综合法：从已知条件出发，依据不等式的性质和已证明过的不等式，推导出所要证

明的不等式成立,这种证明不等式的方法叫做综合法.

3分析法：从欲证的不等式出发，逐步分析使这不等式成立的充分条件，直到所需条

件已判断为正确时,从而断定原不等式成立,这种证明不等式的方法叫做分析法.

证明不等式除以上三种基本方法外,还有反证法、数学归纳法等.

三、解不等式

1.解不等式问题的分类

1解一元一次不等式.

2解一元二次不等式.

3可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式.

①解一元高次不等式；

②解分式不等式；

③解无理不等式；

④解指数不等式；

⑤解对数不等式；

⑥解带绝对值的不等式；

⑦解不等式组.

2.解不等式时应特别注意下列几点：

1正确应用不等式的基本性质.

2正确应用基函数、指数函数和对数函数的增、减性.

3注意代数式中未知数的取值范围.

3.不等式的同解性

f(x)>0

(l)f(x).g(x)>0^同解.

g(x)>()一[g(x)<0

f(x)>0

(2)f(x)•g(x)<0与同解.

g(x)<0一g(x)>0

f(x),f(x)>0.f(x)V0="

⑶V>0与或|同解.(g(x)WO)

g(x)〔g(x)>0[g(x)<0

f(x).[f(x)>0“[f(x)<Ora&n

(4)=4V0与八或1八同解.(g(x)WO)

g(x)[g(x)<0[g(x)>0

5|fx|Vgx与一gx<fx<gx同解.gx>0

6|fx|>gx①与fx>gx或fx<-gx其中gx》O同解；②与gx<0同解.

f(x)>[g(x)]2

』f(x)，O

(7)回〉g(x)与，f(x)2OnV<同解.

g(x)<0

g(x)2O

,____ff(x)<[g(x)]2

(8)\m*)〈8状)与“依)〉0同解•

9当a>l时，a「x>agx与fx>gx同解，当0<a<l时，a&>a眇与fx<gx同解.

f(x)>g(x)

(10)当a>l时，logf(x)>logg(x)与L、、,、同解.

aa[f(X)>0

f(x)<g(x)

当时，logf(x)>logg(x)与，f(x)>0同解.

OVaVl""|g(x)>0

单元知识总结

一、坐标法

1.点和坐标

建立了平面直角坐标系后，坐标平面上的点和一对有序实数x.y建立了一一对应的

关系.

2.两点间的距离公式

设两点的坐标为Pxi(y|；Px7,y,,则两点间的距离

IPP1=J(x-x”+(y-y)2

12•2121

特殊位置的两点间的距离,可用坐标差的绝对值表示:

1当X]=X,时两点在y轴上或两点连线平行于y轴,则

|PPl=|y2-J

2当％=4时两点在x轴上或两点连线平行于x轴,则

3.线段的定比分点

(1)定义：设P点把有向线段PP分成PT和两两部分，那么有向

I212

线段PT和两的数量的比，就是P点分PP所成的比，通常用人表示,

1212

PP

即入=、，点p叫做分线段pP为定比X的定比分点.

PP12

2

当P点内分PP时，入>0;当P点外分P广时，X<0.

I2I2

2公式：分Pxi；力和务y淮线所成的比为X的分点坐标是

X+入X

X=-1--------2.

1+入

（入#一1）

y+人y

>i+入

特殊情况，当P是PP的中点时，入=1,得线段PP的中点坐标

1212

公式

X+X

1。

二、直线

1.直线的倾斜角和斜率

1当直线和X轴相交时，把X轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最

小正角，叫做这条直线的倾斜角.

当直线和X轴平行线重合时,规定直线的倾斜角为0.

所以直线的倾斜角aGO,n.

2倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜

JI

率，直线的斜率常用k表示，E|Jk=tana(a^―).

，当k，0时，a=arctank.锐角

当k<0时，a二冗—arctank.钝角

3斜率公式：经过两点匕x「y「Pj/%的直线的斜率为

y-V

k=L一"U(xWx)

x-xi2

2I

2.直线的方程

1点斜式已知直线过点x°,y°,斜率为k,则其方程为：y-y=kx-xo

2斜截式已知直线在y轴上的截距为b,斜率为k,则其方程为：y=kx+b

3两点式己知直线过两点x/匕和x2,y2,则其方程为：

4截距式已知直线在x,y轴上截距分别为a、b,则其方程为：

xy

+)=1

ab

5参数式已知直线过点Pxo,yo,它的一个方向向量是a,b,

x=x+at,,

则其参数式方程为。入。为参数)，特别地，当方向向量为

y=y+bt

io

vcosa,sinaa为倾斜角时，则其参数式方程为

x=x+1cosa

o(t为参数)

y=y+tsina

这时，t的几何意义是tv=p~"p,ltl=lp：；pl=%pl

6一般式Ax+By+C=0A、B不同时为0.

7特殊的直线方程

①垂直于x轴且截距为a的直线方程是x=a,y轴的方程是x=0.

②垂直于y轴且截距为b的直线方程是y=b,x轴的方程是y=0.

3.两条直线的位置关系

1平行：当直线1和1有斜截式方程时,k=k，且b^b.

121212

ABC

当/和/是一般式方程时，—

12ABC

222

2重合：当1和1有斜截式方程时,k=k且b=b,当1和1是

12121212

一般方程时，3=2=3

ABC

222

3相交：当11(1是斜截式方程时,％#与

AR

当/,/是一般式方程时，/

12AB

22

Ax+By+C0

交八占、、•..I11c的解

Ax+By+Cu

①222

k—k

斜＜到角：l至〃的角tan。=,2,3(1+kkWO)

121+kki2

交12

k_k

夹角公式：/和/夹角tan0=1jjl(l+kkWO)

i21+kk।2

12

士当/和/有叙截式方程时，kk=-1

②垂直V1212

当/和/是一般式方程时，AA+BB=0

i121212

4.点Px°,y°与直线1：Ax+By+C=O的位置关系:

Ax+By+C=OoP在直线/上(点的坐标满足直线方程)

oo

Ax+By+CW0OP在直线/外.

00

一天/士/人,IAx+By+Cl

点P(x,y)到直线/的距离为：d=-----q。—

°0JA2+B2

5.两条平行直线,：Ax+By+C=O,1„：Ax+By+C=0间

IC-CI

的距离为：d=-J。一.

JA2+B2

6.直线系方程

具有某一共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程的特点是除含坐标变量

x,y以外,还含有特定的系数也称参变量.

确定一条直线需要两个独立的条件，在求直线方程的过程中往往先根据一个条件写

出所求直线所在的直线系方程，然后再根据另一个条件来确定其中的参变量.

1共点直线系方程：

经过两直线1:Ax+Bj+C=0,1„：A.x+B2y+C=O的交点的直线系方程为：A|X+

BJ+C+XAx+B2y+C=0,其中X是待定的系数.

在这个方程中,无论X取什么实数,都得不到Ax+Bj+C^O,因此它不表示1”.当X

=0时,即得A^+By+C=0,此时表示

2平行直线系方程：直线y=kx+b中当斜率k一定而b变动时,表示平行直线系方

程.与直线Ax+By+C=O平行的直线系方程是Ax+By+入=0入#C,A是参变量.

3垂直直线系方程：与直线Ax+By+C=0AW0,BW0垂直的直线系方程是：Bx-Ay

+入=0.

如果在求直线方程的问题中，有一个已知条件，另一个条件待定时,可选用直线系方

程来求解.

7.简单的线性规划

1二元一次不等式Ax+By+C>0或<0表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的

平面区域.

二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，即各

个不等式所表示的平面区域的公共部分.

2线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,称为线性

规划问题，

例如，z=ax+by,其中x,y满足下列条件：

Ax+By+C20（或WO）

111

Ax+By+C20（或WO）

〈222（*）

Ax+Bx+C20（或W0）

nnn

求z的最大值和最小值,这就是线性规划问题,不等式组是一组对变量x、y的线性

约束条件,z=ax+by叫做线性目标函数.满足线性约束条件的解X,y叫做可行解，由所有

可行解组成的集合叫做可行域,使线性目标函数取得最大值和最小值的可行解叫做最优

解.

三、曲线和方程

1.定义

在选定的直角坐标系下,如果某曲线C上的点与一个二元方程fx,y=0的实数解建立

了如下关系：

1曲线C上的点的坐标都是方程fx,y=0的解一点不杂;

2以方程fx,y=0的解为坐标的点都是曲线C上的点一点不漏.

这时称方程fx,y=0为曲线C的方程；曲线C为方程fx,y=0的曲线图形.

设P={具有某种性质或适合某种条件的点},Q={x,y|fx,y=O},若设点M的坐标为

x0,y。,则用集合的观点,上述定义中的两条可以表述为：

(l)MGP=>(x,y)GQ,即P=Q；

oo

(2)(x,y)GQ=>MGP,即Q=P.

oo-

以上两条还可以转化为它们的等价命题逆否命题：

(l)(x,y)eQnMeP；

00

(2)MwPn(x,y)£Q.

00

显然，当且仅当PqQ且Q=P,即P=Q时，才能称方程f(x,y)=0

为曲线C的方程；曲线C为方程fx,y=O的曲线图形.

2.曲线方程的两个基本问题

1由曲线图形求方程的步骤：

①建系，设点：建立适当的坐标系,用变数对x,y表示曲线上任意一点M的坐标；

②立式：写出适合条件p的点M的集合p={M|pM)；

③代换：用坐标表示条件pM,列出方程fx,y=0；

④化简：化方程fx,y=O为最简形式；

⑤证明：以方程的解为坐标的点都是曲线上的点.

上述方法简称“五步法”，在步骤④中若化简过程是同解变形过程；或最简方程的

解集与原始方程的解集相同，则步骤⑤可省略不写,因为此时所求得的最简方程就是所求

曲线的方程.

2由方程画曲线图形的步骤：

①讨论曲线的对称性关于x轴、y轴和原点；

②求截距：

方程组I；"一的解是曲线与X轴交点的坐标；

y=0

'f(xv)=0

方程组':一的解是曲线与y轴交点的坐标；

x=0

③讨论曲线的范围;

④列表、描点、画线.

3.交点

求两曲线的交点,就是解这两条曲线方程组成的方程组.

4.曲线系方程

过两曲线f|X,y=0和fx,y=0的交点的曲线系方程是/x,y+Xf,x,y=0XeR.

四、圆

1.圆的定义

平面内与定点距离等于定长的点的集合轨迹叫圆.

2.圆的方程

1标准方程X—aa+y—b2=rz.a,b为圆心,r为半径.

特别地:当圆心为0,0时,方程为X2+y2=rz

2一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0

.DED?+E2-4F

配方（x+y）2+（y+-）2=-----------

DE

当D2+E2—4F>0时，方程表示以（一爹，一妻）为圆心，以

；m+E2—4F为半径的圆；

DE

当D2+E2—4F=0时，方程表示点（一了，一亍）

当I）2+E2-4F<0时,方程无实数解,无轨迹.

3参数方程以a,b为圆心，以r为半径的圆的参数方程为

x=a+rcos9

."（。为参数）

y=bu+rsin0

特别地，以0,0为圆心，以r为半径的圆的参数方程为

x=rcos0

.（6为参数）

y=rsineo

3.点与圆的位置关系

设点到圆心的距离为d,圆的半径为r.

(1)点在圆外od>r；

(2)点在圆上=d=r；

(3)点在圆内odVr.

4.直线与圆的位置关系

设直线1：Ax+By+C=0和圆C：X—as+y—b2=r2,则

IAa+Bb+CI

d二———.

JA2+B2

(1)相交o直线与圆的方程组成的方程组有两解，△>()或dVr；

(2)相切=直线与圆的方程组成的方程组有一组解，△=0或d=r；

(3)相离o直线与圆的方程组成的方程组无解，△V0或d>r.

5.求圆的切线方法

1已知圆xz+yz+Dx+Ey+F=0.

①若已知切点xo,y。在圆上,则切线只有一条,其方程是

D(x+x)E(y+y)

xx=yyd-----------4-+---------J+F=0・

o,0，22

X4-XV4-V

当(x，y)在圆外时，xx+yy+D(—5：—)+E(——)+F=0表示

oooo22

过两个切点的切点弦方程.

②若已知切线过圆外一点x/y',则设切线方程为y-y=kx-xo)再利用相切条件求k,

这时必有两条切线,注意不要漏掉平行于y轴的切线.

③若已知切线斜率为k,则设切线方程为y=kx+b,再利用相切条件求b,这时必有两

条切线.

2已知圆xz+y2=r2.

①若已知切点Pnxo)y°在圆上,则该圆过P。点的切线方程为xox+yoy=r2.

②已知圆的切线的斜率为k,圆的切线方程为y=kx±rjk2+1.

6.圆与圆的位置关系

已知两圆圆心分别为1、0°,半径分别为\、Q则

(1)两圆外切QI00l=r+r；

1212

(2)两圆内切olO0l=lr-rI；

I212

(3)两圆相交olr-rl<IO0Kr+r.

I21212

单元知识总结

一、圆锥曲线

1.椭圆

1定义

定义1：平面内一个动点到两个定点F「％的距离之和等于常数大于|FR|,这个动

点的轨迹叫椭圆这两个定点叫焦点.

定义2：点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常

c

数e=—(OVeVl)时，这个点的轨迹是椭圆.

a

2图形和标准方程

图8—1的标准方程为：—+^=l(a>b>0)

a2b2

图8—2的标准方程为：+—=l(a>b>0)

b2a2

3几何性质

条件{MIMFIl+IMF2l=2a,23>^^21}

IMFIIMF1

fMl点M到1的距离一点M到1防距离—0<e<l}

12

标准方程X2y2X2y2

—+=i(>b>0)_+2_=i(a>b>0)

a2b2ab2a2

顶点Aj(—a,0),々(a,0)A1(0,—a),&(。，a)

B](0,—b),B2(0,b)Bj(—b,0),B2(b,0)

轴对称轴：x轴，y轴.长轴长IA],l=2a,短轴长IB]BJ=2b

焦点F](—c,0),F,(c,0)FJO,-c),F2(0,C)

焦距IF]F212c(c>0),c2=a2-b2

e=£(0<e<l)

离心率

a

.a2a2J_a2_a2

准线方程/：x=-—；/：x=—4：y=一"丫="

1c2c

IMFJ=a+ex,IMFJ=a+ey,

隹占半径Q0

IMF2I=a—exQIMF2I=a—eyQ

>外

点和椭圆统•+/-=lo(x,y)在椭圆上

的关系a2b2oo

<内

（k为切线斜率），(k为切线斜率)，

y=kx±，a2k2+b2y=kx±Jb2k2+a2

切线方程A»A+=iA()A+y。，=i

a2b2b2a2

(x(),y0)为切点(x°,y°)为切点

(x，%)在椭圆外(X,%)在椭圆外

切点弦生+%=1

_(l—+-11-.=I

方程a2b2b2a2

lx—xljl+k.2或ly—y111+—

2112\k2

弦长公式

其中（X[,Y1）,（x2,丫2）为割弦端点坐标，k为割弦所在后

线的斜率

2.双曲线

1定义

定义1：平面内与两个定点匕、%的距离的差的绝对值等于常数小于1尺|的点的轨

迹叫做双曲线这两个定点叫双曲线的焦点.

定义2：动点到一定点的距离与它到一条定直线的距离之比是常数ee>l时,这个动

点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点.

2图形和标准方程

08-3

图8-3的标准方程为:

X2V2

--=l(a>0,b>0)

a2b2

图8-4的标准方程为:

V2X2

---=l(a>0,b>0)

a2b2

3几何性质

P={MIMF1l-IMF2l=2a,a>0,22<屈禺}・

_IMFl_IMF1_

条件

P〈Ml点M到i而距离点M到1而距离e，e>1),

12

X2V2V2x2

标准方程一一2_=l(a>0,b>0)2_--=l(a>0,b>0)

a2b2a2b2

顶点A((-a,0),々(a,0)AJO,—a),&(0，a)

轴对称轴：x轴，y轴，实轴长A1A2=2a,虚轴长IB]B2=2b

焦点F](—c,0),F2(C(0)F](0,-c),F2(0,C)

焦距IF|F,l=2c(c>0),c2=a2+b2

离心率e=-(e>l)

a

.a2a2JH-.a2

I:X=——；/：x=—(y-qY--

准线方程1c2c

渐近线.b—x2y2

y=+—x(或一——=0)y=±-x(^(———=0)

方程aazb2ba2b2

共渐近线X2v2v2x2

—-2_=k(k^0)2_--=k(k^0)

的双曲线a2b2a2b2

系方程

IMFjl=ex。+a,IMFJ=ey0+a,

焦点半径

IMF_I=ex_—aIMF1=ey-a

一X-vU9?h。Y7-Irv-+-UK??

(k为切线斜率)（k为切线斜率）

k>2或k<-P。二或z一？

xxavvavvbxxb

JJ

切线方程i)—()=1%）—n=1