2023年九年级数学中考复习圆综合压轴解答题训练（含答案）

2023年春九年级数学中考复习《圆综合压轴解答题》专题训练(附答案)

1.如图，四边形ABC。内接于4c是直径，AB=BC,连接80,过点。的直线与CA

的延长线相交于点E,且

(1)求证：直线QE是。。的切线；

(2)求证：8。平分NAQC；

(3)若AO=6,CD=8,求BO的长.

2.如图，在平面直角坐标系中，OP经过x轴上一点C,与y轴分别相交于4、B两点，连

接AP并延长分别交OP、x轴于点。、点E,连接。C并延长交)，轴于点F.若点尸的坐

标为(0,1),点。的坐标为(6,-1).

(1)求证：DC=FC-,

(2)判断0P与x轴的位置关系，并说明理由；

(3)求OP的半径；

(4)若弧BQ上有一动点M,连接AM,过B点作8NLAM,垂足为M连接£W,则

的最小值是.

3.如图，在。。中，AB=BC=CD,BD交0C于点F,E8是。0的切线，交04的延长线

于点E,EF交0B于点、G,连接8C.

(1)求证：AOBES/XOFB.

(2)设NCBD=x度,NOEB=y度,求x,y之间的数量关系.

(3)若。8=4,且0E平行△8CF的一边时，求出所有满足条件的所的长.

(4)若OG=BG,直接写出此时sin/OBF的值.

4.如图，在RtZ\4BC中，ZC=90°,8。平分NABC交AC于点力，。为AB上一点，。0

经过点B、D,且与BC、AB交于点E、F,连接DE.

(1)求证：AC是。。的切线；

(2)若sinA=±,AB=10,求的半径；

5

(3)求证：BD2=AB'BE.

5.如图，在aABC中，AC=«BC,以BC为直径的半圆。交边A8于点O,AC切半圆。

于点C,点G是加上不与点C、。重合的任意一点，连接8G,CD交于点E,连接CG

并延长，交AB于点H.

(2)①若AC=4,且点G是CD的中点，则DE的长为

②当四边形CODG是菱形时，则NG8£>=.

6.如图所示，。。是RtZ\ABC的外接圆，其中NB4C=90°,过点A作直线交CB的

延长线于。，且NBAQ=/C.

(1)求证：AO为。0的切线；

(2)①尸为0B中点，OEJL4c于E,连接OA、EF交于G点，探究EG与GF的关系

并说明理由；

②在①的条件下，延长A0交。。于从连接FH,若EF=FH,则NACB=度.

7.如图，在RtZ\A8C中，ZACB=90Q,以AC为直径的。。交A3边于点。，DELAC

于点E,尸为BC的中点，连接4尸交。E于点G,连接。尸.

(1)求证：DF=LBC；

2

(2)求证：。尸是。。的切线；

(3)若CF=GF,求sin/8AF的值.

8.在平面直角坐标系X。)，中，作。。分别交x轴、y轴于点A、8,点C在第三象限且在圆

上，。是弦A8的中点，。。的长为包巨.

2

(1)如图1所示，求半径的长度；

(2)如图1所示，若圆心。至U弦8c的距离0E=2V^，求C点的坐标；

(3)如图2所示，C点坐标同第(2)问，P是x轴下方的一个动点，使得/BPC：ZBOC

=1：2,四边形OBPC的面积是否存在最大值？若存在请算出面积，并直接写出P点坐

标；若不存在，请说明理由.

9.定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角.

(2)在(1)的条件下，若00的半径为4.①求8。的长：②如图2,在四边形A3CD

中，若。平分NBCD,求证：BC+CD=AC.

(3)在(1)的条件下，如图3,若AC是。。的直径，请用等式表示线段AB、BC、CD

之间的数量关系(直接写答案).

10.如图1,OO的弦BC=6,A为BC所对优弧上一动点且sin/BAC=3,△ABC的外角

5

平分线AP交。。于点尸，直线AP与直线8c交于点£

(1)求证：点P为南的中点；

(2)如图2,求OO的半径和PC的长；

(3)若aABC不是锐角三角形，求以“E的最大值为.

图1图2备用图

11.如图①，RtZXABC中，CA=CB,NAC8=90°,经过顶点B,C作。。，分别交边AB,

AC于点。，E,连接。E,DC.

(1)求证：AD=ED.

(2)当4E=4,CE=2时，求。0的半径.

(3)设空=x,tanZDCB=y.

EC

①求y关于x的函数表达式；

12.如图，在△ABC中，AB=AC,。0是△ABC的外接圆，连接OA、OB、0C,延长8。

与AC交于点。，与。0交于点F,延长BA到点G,使得/BGF=NGBC,连接fG.

(1)求证：FG是的切线；

(2)若。。的半径为3.

①当0。=2,求AZ)的长度；

②当△0C。是直角三角形时，求△4BC的面积.

GG

备用图

13.(1)【操作】如图1,请用尺规作图确定圆的圆心P,保留作图痕迹，不要求写作法；

(2)【探究】如图2,若(1)中的圆尸的半径为2,放入平面直角坐标系中，使它与x

轴，y轴分别切于点8和C,点A的坐标为(8,0),过点A的直线与圆尸有唯一公共点

D(与8不重合)时，求点。的坐标；

(3)【拓展】如图3,点M从点A(8,0)出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向点O

运动，同时.，点N从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿y轴向上运动，设运动时间

为过点M,N,。三点的圆，交第一象限角平分线OG于点E,当t为何

值时，MN有最小值，求出此时S四如OMEN,并探索在变化过程中S四边形OMEN的值有变

化吗？为什么？

图1图2图3

14.AABC内接于。。，弦CQLAB于点E,AFLBC于点F交弦CQ于点G.

(1)如图1,求证：DE=EG；

(2)如图2,连接B。、OF,若BD=®FG,求证：FO平分NAFC；

(3)如图3,在(2)的条件下，点，在线段CG上，连接F”，若NCFH=NABD,FH

15.如图，在0。中，直径A8LCD于点E,连接CO并延长交AO于点F,且CFLAO,

求NOCF的度数.

(1)请解答本题.

(2)解完本题后，小芳对本题作进一步思考.她认为：如果去掉“CFLAD”这一条件，

而增加条件“/CD4=60°”，则有CFLA。.你认为小芳的观点正确吗？如果正确，请

给出证明；如果不正确，请说明理由.

(3)解完本题后，同学小颖也对本题进行了反思.她认为：在图中所有的线段中，若已

知某一条线段的长度，则能求出扇形AOC的面积.请你在“CD,EB,DF”这三条线段

中，选择其中一条并赋于长度，然后计算扇形AOC的面积.

16.己知AB为圆。的直径，弦于M.

(1)如图1,求证：AB平分ND4E；

(2)如图2,点C为。。上一点，且满足12=前，求/CD4的度数；

(3)如图3,在(2)的条件下，过点C作C凡LAE于尸，交A。于G,交AB于K,若

CG：EF=5：9,CD=2近,AF<CD,求AK的长.

17.我们曾经研究过：如图1,点尸在。。外或点尸在O。内，直线尸。分别交00于点A、

B,则线段以是点P到。。上各点的距离中最短的线段，线段P8是点尸到。0上各点

【运用】在RtZXABC中，NBAC=90°,AB=AC=2,点£是AC的中点.

(1)如图2,若尸是边上一动点，将△CEF沿EF所在的直线翻折得到△€"'EF,

连接CB,则CB的最小值是

(2)如图3,若取AB的中点。，连接。E,得等腰Rt/VIDE,将AABC绕点A旋转,

点尸为射线8。，CE的交点，点。是AE的中点.

①3。与CE的位置关系是

②连接PQ,求PQ的最大值和最小值.

二一4

图3B

【拓展】喜欢研究的小聪把上述第（2）问图中的△AOE绕点A旋转，而△A8C不动,

记点P为射线BD,CE的交点（如图4）,他发现在旋转过程中线段PB的长度存在最值,

请直接写出PB的最小值

18.折弦定理：一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上

的射影，就是折弦的中点.

①定理认识：如图1所示，AB,3c是圆。的两条弦（折弦），M是血的中点，MDL

BC,垂足为D,求证：.

②定理证明：“截长补短”是证明线段和差倍分的常用办法，下面有三位同学提出了不同

的辅助线作法以达到“截长补短”效果.同学1：在CO上截取CE=AB同学2：过点”

作AB的垂线交AB的延长线于点E同学3：利用平行弦夹等弧的正确结论（本题可直接

使用）过点M作BC的平行弦交。0于点N.请你参考上述三位同学辅助线作法并用两

种方法完成证明.

③定理应用：如图2,已知等边△ABC内接于。。，AB=3近,。为圆上一点，ZABD

=45°,AELBD与点E,则△8OC的周长是.

图1

图2

19.问题背景：如图1,在四边形AO8C中，ZACB=ZADB=90a,AD=BD,探究线段

AC、BC、CO之间的数量关系.

小亮同学探究此问题的思路是：将△8CD绕点。逆时针旋转90°到处.点8、C

分别落在点A、E处(如图2),易证点C、4、E在同一条直线上，并且△CDE是等腰直

角三角形，所以CE=&CO,从而得出结论：AC+BC=y/2CD.

简单应用：

(1)在图1中，若AC=2近,BC=4圾,则8=.

(2)如图3,AB是圆。的直径，点C、。在圆。上，弧A。等于弧8£>,若A8=13,

BC=12,求弦c。的长；

拓展延伸：

(3)如图4,NACB=NAD8=90°,AD=BD,若AC=m,BC=nGn<〃),求CO的

长(用含如〃的代数式表示).

20.在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点。在图形N上，称

线段尸。长度的最小值为图形M,N的“雅近值”，记为d(M,N),特别地，若图形”，

N有公共点，规定d(M,N)=0.

(1)如图1,00的半径为2,

①点A(1,0),B(3,4),则"(A,。0)=,d(B,。0)=.

②已知直线/：y=gx+4与。O,求直线/与。。的雅近值4(/,。0).

3

(2)如图2,C为x轴正半轴上的一点，0c的半径为1,直线y=ax+%(”W0)与x轴

交于点力，与y轴交于点E.

①若“=-近，6=皂巨，线段OE与。C的“雅近值”“(OE,。0)<A,请直接

332

写出圆心C的横坐标机的取值范围；

②若b=2版,圆心C的横坐标m=&,直线DE与OC的“雅近值”d(DE,QC)

=0,求”的取值范围.

参考答案

1.(1)证明：连接。

,?OC=OD,

：.ZOCD=ZODCf

〈AC是。。的直径，

・・・NADC=90°,

•：4EDA=4ACD,

：.ZADO+ZODC=ZEDA+ZADO=90°,

AZEDO=ZEDA+ZADO=90°,

:.OD上DE,

TO。是半径，

・•・直线DE是。。的切线；

(2)证明：:AC是OO的直径，

AZABC=90°,

U：AB=BC,

・・・△ABC是等腰直角三角形，

：.ZBAC=ZBCA=45°,

AZADB=ZBCA=45°,ZCDB=ZBAC=45°,

・・・ZADB=ZCDBf

二•BO平分NAOC；

(3)过点3作交。C延长线于点”，

E、

D

A

«

、、i

、、»

、、•

、、、：

、、、、，

H

：.ZDBH=90°,

：AC是O。的直径，

.•.NA8C=90°,

；NABD=90°-ZDBC,NC84=90°-ZDBC,

:.NABD=NCBH,

•••四边形ABC。内接于O。，

：.ZBAD+ZBCD=\SO0,

'：ZBCD+ZBCH=\SOa,

:.NBAD=NBCH,

"：AB=CB,

:.AABDq/\CBHCASA）,

：.AD=CH,BD=BH,

"：AD=6,CD=8,

：.CH=6,

：.DH=CD+CH=14,

在中，BD2=DH2-BH2,BD=BH,

.•.2B£>2=196,

:.BD=1近.

2.（1）证明：如图，过点。作力H_Lx轴于点〃，则/CHO=/CO尸=90°.

:点尸的坐标为（0,1）,点。的坐标为（6,-1）,

:.DH=OF,

在△FOC与△Q4C中，

"ZFC0=ZDCH

•ZF0C=ZDHC=90o,

OF=HD

：./\FOC^/\DHC(A4S),

：.DC=FC-,

(2)解：OP与x轴相切.理由如下:

如图，连接CP.

'：AP=PD,DC=CF,

CP//AF,

：.ZPCE=ZAOC=90a,即PCJLr轴.

又PC是半径，

•••0尸与x轴相切;

(3)由(2)可知，CP是△。砌的中位线,

：.AF=2CP.

'：AD=2CP,

：.AD=AF.

连接BD.

是OP的直径,

.".ZABD=90°,

：.BD=OH=6,OB=DH=FO=l.

设A。的长为M则在直角△48。中，由勾股定理，得

X2=62+(x-2)2,

解得x=10.

：.AD=]Of

・・・OP的半径为5.

(4)如图2中，取A3的中点K,连接NK,DK.

由题意：P(3,-5),A(0,-9),B(0,-1),A8=8,

・.・8N_LAM,

AZANB=90°,

■:AK=BK,

.•.KN=」AB=4,

2

,：K(0,-5),D(6,-1),

DK-5/424.52-2VT3，

■:DN'DK-KN,

：.DN^2\[ri-4,

...CW的最小值是2岳-4.

故答案为：2V13-4-

3.(1)证明：；定=祕=而，

：.ZBOE=ZBOC,OCVBD,

是O。的切线，

：.NOBE=NOFB=90°,

:•△OBESAOFB：

(2)VOC±BD,

AZCBD+ZC=90°,

•：NCBD=x°，

・・・NC=(90-x)°，

：.ZBOE=ZBOC=2x°,

:・NOEB=(90-2x)0=y0,

.•.2x+y=90；

(3)如图，当OE〃B。时，作E"J_OC交C。的延长线于点儿

■:OE//BC,

：.ZEOB=ZOBC,

•：OB=OC,

：.ZOBC=ZC,

VAB=BC=CD,

/./AOB=/BOC,

：.ZBOC=ZOBC=ZC,

.♦.△30C是等边三角形，

・・・OB=OC=4,。尸=2,

；・NEOB=60°,

•；NOBE=90°,

：.ZOEB=30°,

・・・OE=2OB=2X4=8,

在RtZ\EO〃中，NHOE=60°,

AOH=4,EH=4-^3,

在RtAEFH中，EF^VEH2+FH2=V(4V3)2+62=2收，

如图，当OE〃BF时,

D

；NOF8=90°,

；.NBOE=NBOF=NOBF=45°,

：.0F=2近,0E=4®

在RtAOEF中，EF=^QE2+Qp2=(^[2)2+(2V2)2=2，

综上所述，EF的长为2&I或2；

(4)如图，作“〃。。交。8的延长线于点P,

在RtZSOB/中，OG=GB,

：.OG=GB=GF,

'：EP//OC,

:./BOC=/P=NEOP,

"：OBLEB,

：QG_FG1

.OB=BP,PG'EG"3

设OG=GB=GF=1,则EG=3,

:.BE=2近,OE=2我，

sinNOBF=sinNOEB=^-==返

OE2V33

4.(1)证明：如图，连接OD,

'：OB=OD,

：.ZOBD=ZODB,

：8。平分/ABC,

:.NOBD=NDBE,

:.NODB=NDBE,

：.OD//BC,

VZC-90°,

；.NOD4=90°,

；。。为。。的半径，

...AC是。。的切线；

(2)解：在Rt"BC中，BC=ABsinA=10x3=6,

5

设。。的半径r,

'JOD//BC,

：./\AOD^^ABC,

•.•-A-O---0-D—,

ABBC

•・•-1-0---r-—_—r,

106

解得：，=①，

4

二。。的半径为」立；

(3)证明：如图，连接EF,

AZBEF=90°=ZC,

J.EF//AC,

:・/BFE=NA,

•・•NBFE=ZBDEf

：.NA=NBDE,

*.*/ABD=/BDE,

：.AABDs^DBE,

.ABBD

••—r

BDBE

：.BD1=AB-BE.

5.(1)证明：:BC为直径，

AZBDC=90°,

：.ZCDH=90a,

■:NDBG=NDCG,

:.ABDESACDH,

.BD=DE.

"CDDH'

(2)①如图，连接O。，OG,

切半圆。于点C,

ZACB=90°,

：AC=V^BC=4,

/.tanZABC=星■=6BC=禽,BC=^^~,

BCBC3

AZABC=60°,

AZCOD=2ZABC=\20<>,

：G是而的中点，

.,.ZCOG=ZDOG=60Q,

AZBOD=60°,ZDBG=30",

.,.ZBCD=30°,

VZBDC=90°,

：.BD=BC'cosZABC=^^-Xcos600

3323

DE=tanZDBG=Xtan30°=义巨又强_=2,

3333

故答案为：1.

3

②如图，连接。G,

•.•四边形CODG是菱形,

：.DG=OD,

'：OD=OG,

:.DG=OD=OG,

...△ODG是等边三角形，

：.ADOG=60°,

AZGBD=—ZD<?G=30°,

2

故答案为：30°.

6.(1)证明：'：OA=OC,

：.ZC=ZOAC,

,：ZBAD^ZC,

：.ZOAC^ZBAD,

VZBAC=90°,

...NOAC+NOAB=90°,

：.ZBAD+ZOAB=90°,

；OA为。。的半径，

'.AD为。。的切线；

(2)@EG=FG,

理由：如图，取OA的中点K,连接尸K,

E

FBD

・・•尸是。8的中点，K是0A的中点,

・・・FK是△045的中位线，

:・FK〃AB,FK=—AB,

VOE±AC,

・・.£是AC的中点，

;。是8c的中点，

・・・。七是△CAB的中位线,

AOE//AB,OE=—ABf

：.OE//FK,OE=FK,

：・/OEG=/KFG,NGOE=NGKF

：./\GOE^/\GKF(ASA),

②如图，延长尸K交AC于M,连接AF,

VOE1AC,OE//FK.

：.FK1,AC9

•：OF=FB,OE//MF//AB,

；.EM=AM,

・・・bM垂直平分

：.EF=AF,

♦：EF=FH,

：.AF=FH,

'：AO=OH,

：.FO±AH,

：.ZA0F=9Q°,

.,.ZC=45°,

故答案为：45.

7.(1)证明：连接CD,

是。。的直径,

AZADC=90°,

AZCOB=90°,

•.•/为BC的中点,

.".£>F=ABC；

2

(2)连接。。，OF,

为BC的中点，DF=^BC,

2

：.DF=CF,

在△0。尸与△OC尸中，

'OD=OC

<OF=OF,

DF=CF

:.△ODFQ/XOCF(555),

：.NODF=NOCF=90°,

是OO的切线.

(3)解：过点尸作于点M,过点尸作式NJ_B。于点M

'.'DELAB,

/AEE>=NABC=90°,

：.DE//BC,

.♦.△AEGszMCF,△ACGs/XABF,

.EG_AGDG_AG

,育WBF"AF'

•EGDG

••~•，

CFBF

•：BF=CF,

:・DG=EG,

•:DF=CF=FG,FA71DG,

：.DM=MG,

•：NAEG=NFMG,NAGE=NFGM,

：.AAEGs△/MG,

•・.F—G=G—M=—1，

AGEG2

：.AG=2FG,

设CF=DF=FG=x,则AF=3x,BF=x,

/MC=VAF2-CF2=2近x,

/MS=VAC2+BC2=V(2V2X)2+(2X)2=2V3X>

*.*sin/NFB=sinZCBA,

.NFAC

BFAB

.NF2V2x

••----=----7=---，

X2V3x

:.NF=^-X,

3

%

AF3x9

8.(1)'：OA=OB,NAO8=90°,

：.ZOAB=45°,

；。力经过圆心。点，。是AB的中点,

：.OD±AB,

：.OA=2X

(2)'：OE±BC,

；.E是3c的中点，

,:B(0,-5),

设C为(x,y),则E为(三，工包),

-22

"：OC=5,

，7+y2=25,

•：OE=2娓,

：.(x)2+(y-5)2=80,

・・・/+/-10y+25=80,

A25-lQy+25=80,

解得y=-3,x=±4,

・・・c在第三象限，

：.C(-4,-3)；

(3)•；NBPC：ZBOC=\：2,

①如图，P点的轨迹在上，此时不构成四边形OBPC,不符合题意;

②尸点的轨迹如图所示在。M上(OM与。。是等圆)，

•..四边形OBPC面积最大，则延长0M与相交，交点即为P,0P与BC交于点N,

；.0P垂直平分BC,

VC(-4,-3),B(0,-5),

BC=yJ42+22=^V5>

ON=VOB2-BN2=2娓,

，OM=2ON=2X2遥=4代，

"：OP=OM+PM,

二。尸=4粕+5,

，四边形OBPC面积最大值为■|QP・BC=20+5遥，

VC(-4,-3),B(0,-5),N为BC的中点，

：.N(-2,-4),

：.M(-4,-8),

设尸(zn,n),

.fm2+n2=(4V5+5)2

••<，

.(nt+4)2+(n+8)2=52

是x轴下方的一个动点，

.fm=-4-V5

ln=-8-2V5，

：.P(-4-V5--8-2V5).

综上所述，四边形OBPC面积最大值为20+、而，P(-4-V5--8-2V5).

9.解：(1)由题意得：ZA=AZC,而/A+NC=180°,

2

.,.ZA=60°.

故答案为：60.

(2)①如图1,连接。。并延长交圆于£点，连接BE,

则NE=NA=60°，BO=E£>・sinE=4百.

②证明：如图2：连接8£>,

843=60°,

AZBCD=120",

：CA平分NBC。，

.•./ACB=NACO=60°,

AZABD=ZACD=60a,ZADB=ZACB=60°,

△ABO为等边三角形，

延长CB到E,使得BE=CD,

又：AB=A。，NEBA=NCDA,

A(SAS),

：.ZE=ZACD=60°,ZEAB=ZDAC,

：./EAC=NEAB+NBAC=ZBAC+ZDAC^60°,

...△4CE为等边三角形，

：.AC=CE,

"：BC+BE=BC+CD=CE,

：.AC=BC+CD,

(3)如图3,延长BC和A£>交于点”，

VZABH=90°,ZBAH=60°,

ZH=30Q,

•.•NA£>C=NCW/=90°,

：.CH=2CD,tanNBA"=理~=EC旦=EM'』.=tan60°=我,

ABABAB

：.BC+2CD=yf3AB.

故答案为BC+2CD=^AB.

10.(1)证明：①如图1,连接OC,AB,

：AP平分/8AF,

：.ZBAP^ZPAF,

,：ZPAF+ZPAC=\^°,

Zfi4C+ZPBC=180°,

J.ZPAF^ZPBC,

又NBAP=NPCB,

ZPBC=ZPCB,

：.PB=PC,

.•.弧PB=MPC,

...点尸为血的中点;

(2)解：连接08,0C,过。作0MJ_BC于M,

垂直平分BC,

.•.8M=CM=aBC=3,/B0M=2/B0C=/BAC,

22

'：sinZBAC=—,

5

.入吊/8。加=型=§,

OB5

：.OB=5,

.••OO的半径是5,

在Rt/XOMC中，0例={0,2©2=4,

在RtAPMC中，PM=OM+OP=9,

•••PC=、PM2+MC2=3折;

(3),/ZACE+ZBCA=ZBPE+ZBCA=\^O°,

NACE=NBPE,

同理，ZCAE^ZPBC^ZPAB,

△ACEs△APB,

•.•ACAE,

APAB

：.PA'AE=AC*AB,

如图4,过C作CQ±AB于Q,

；sinNBAC=四，

AC

：.CQ=AC*sinZBAC,

：.SMBC=-AB-CQ=-^-AB'AC,

210

：.PA-AE=^-SMBC,

3

「△ABC非锐角三角形，且BC=6,

...当A运动到使NAC8=90°时，

△A8C面积最大，

在RtZ^ABC中，BC=6,AB=10,

,AC=VAB2-BC2=8，

.*.S/\ABC=—BC*AC=24,

2

此时,。此肘=80,

即外的最大值为80,

故答案为：80.

图4

11.(1)证明：,：ZACB=Wa,且。0经过8、C、E,

二直线8E为。。的直径，

:.NBDE=90°,

.,.ZCBD+ZCED=180°,

VZAED+ZCED=180°,

・•・/AED=NCBD,

VCA=CB,

：.ZCAD=ZCBA,

：.ZDEA=ZDAEf

:.AD=ED.

(2)解：VZEZ)A=ZACB=90°,ZDAE=ZCBA=45Q,

XADEsXCAB,

・・・AE=4,AD=DE,

:.AD=DE=上=2®,C4=AE+CE=2+4=6,且更型

V2CAAB

即岖」，

6AB

，AB=6亚，

：.DB=AB-AD=442>

22

•**BE=VBD+DE=V(4V2)2+(2V2)2=2V1U，

.，•00的半径为.

(3)①连接。8,

：NACB=90°,

为。。的直径，E、。、8共线,

•：NDCB=NDEB,

・・・tanNQE3=tanNQC3=y=器,

设EC=mf则AE=mx,

.'.AC—(x+1)〃?，AB="\[2(x+1)m,

AD=DE=J^mx,

2

BD—AB-AD=y/2(x+1)m-^^-mx=(

m，

2

（亚冬）mi

•v=班

3DBV2

21nx

为BE的中点，S.OF//BD,

.•.0尸=工。=工(&+亚x)m,

222

S®E《X宗亚)mX冬廿乌留

ZZZZo

SAABC=—(X+1)%2,

2

(2+x)m2x

,△ODE=8=(2+x)x=叵，

2

,△ABC(x+1)2m24(x+1)64

~2~

化简得，/+2x-15=0,

解得，xi=3,xi--5(舍去)，

-x3

12.(1)证明：连接AF,如图1,

为。。的直径，

：.ZBAF=90°,ZMG=90°,

：.ZBGF+ZAFG=90Q,

：AB=AC,

ZABC^ZACB,

VZACB=ZAFB,/BGF=NABC,

：.ZBGF=ZAFB,

：.ZAFB+ZAFG^90°,即NOFG=90°,

：.OFLFG,

又丁。尸为半径，

.••FG是。。的切线；

(2)解：①连接CF,如图2,则

"：AB=AC,AO=AO,BO=CO,

：./XABO^^ACOCSSS),

：./ABO=ZBAO=/C40=NACO,

：.ZCAO=ZACF,

J.AO//CF,

.AD=OD

•⑥而'

•半径是3,OD=2,

:.DF=OF-OD=\,BD=OB+OD=5,

AAD=0D=2>即CQ=4A£>,

CDDF2

NABD=NFCD,ZADB=NFDC,

：.△ADBsXFDC,

.AD=BD

"DFCD'

；.AD・CD=BD・DF,

：.AD'CD=5,即上加=5,

2

.•MD-A/10(负值舍去)；

②如图3,

•••△OQC为直角三角形，/DC。不可能等于90°,

存在/。。。=90°或NCO£>=90°,

当NODC=90°时，

由①知NACO=NACF,

:.OD=DF=3,BD=，,

22

'：OD±AC,

：.AD^CD,

由①可知AD'CD=BD'DF,

.•.4Z>C£)=AZ)2=9xg=&,

_224

：.AD=^&-,

2

：.AC=2AD=3y/3^

.•.SZXABC=2XACX8O=工X3代、且=空应;

2224

当NCOO=90°时,

：0B=0C=3,

••.△OBC是等腰直角三角形,

:.BC=3®

延长AO交8c于点M,则AMJ_8C,

2

，AM=3+^^,

2

ASAABC=—XBCXAM=AX3V2X(3+SV2_)=生如反,

13.解：（1）如图①所示，在圆中作任意两条弦的垂直平分线，由垂径定理可知这两条垂直

平分线必定与圆的2条直径重合，所以交点。即为所求;

（2）如图，过点。作。尸，x轴于点F,连接尸C,PB,

图2

由题意得：OP与坐标轴相切，

；.NOBP=NOCP=NCOB=90°,

四边形08PC是矩形.

,:PC=PB=2,

，四边形OBPC是正方形,

0C=0B=2,则AB=6,

由题意得AE与0尸相切于点D,

：.AB=AD=6,

设EC=ED=x,

在RtZXOAE中，ZAOE=900,A0=8,E0=x+2,AE=x+6,

由勾股定理得：OE2+OA2=AE2,

即：(x+2)2+82=(x+6)2,

解得x=4,

.•.AE=10,

'：ZDAF^ZEAO,ZDFA^ZEOA,

：.^ADF^/\AEO,

.ADDFAF

^AE=E0=A0'

即：AJLJF,

1068

DF-y-AF号，

则0F=8-普片，

bb

”3f).

(3)如图，在RtZ\OMN中，NMON=90°,OM=8-f,ON=t,

则MM=(8-t)2+?=2?-16/+64,

当/=4时，用储有最小值，即MN有最小值.

此时，0M=0N=4,

：.ZONM=ZOMN=45°,

TOG平分第一象限，

:・/NOE=/MOE=45°,

:./NME=/ENM=45°,

：.ZONE=ZOME=90°,

・•・四边形OMEN是正方形,

••S四边形OMEN=4X4=16•

在这个变化过程中，S四边形OMEN=16没有变化,

理由如下：

TOG平分第一象限，

：,/NOE=/NME=45°,

是等腰直角三角形，

：.NE=ME,

•,-NE2=yMN2=y(0M2-H3N2)=y[(8-t)2+t2]>

2

S四一a=SAMON+S△MEN=joN-OM4-NE

yt(8-t)-*jX-^[(8-t)2+t2]=>6.

14.(1)证明：连接AZ),

图1

VCE1A5,AF1.BC,

：.ZCEB=ZAFB=90°,

・・・NE4G+NAGE=90°,Z£AG+ZB=90°,

：.ZB=ZAGE,

VAC=AC,

：・NB=/D,

：.ZD=ZAGEf

：.AD=AG,

VAE1DG,

:,DE=EG,

由（1）知，直线A8垂直平分。G,

:.BD=BG,

,:BD=®FG,

:・BG=®FG,

..V2

・・sin/GBF二

：.ZGBF=45°，

:.BF=FG,

VZCGF=ZAGE=ZABF,NAFB=NCFG=90°,

AAAFB^ACFG(AAS),

:.AF=CF,

•：OF=OF,AO=C。，

AAAFO^ACFO(555),

・・・ZAFO=ZCFO,

：.。/平分NAFC；

(3)解：过尸作MACG于点L,

图3

VAD=AD,

・•・/ABD=NACD,

ZCFH=ZABD,

:・/CFH=/ACD,

：.ZFHG=ZCFH+ZHCF=ZACEH-ZHCF=ZACFf

VZAFC=90°,AF=CF,

，NAC/=45°,

：.ZFHG=45°,

；・LH=FL=FH・sin/FHG=4,

•：NFGL+NGFL=90°,ZCFL+ZGFL=90°,

:"FGL=ZCFL,

tanZFGL=tanZCFL,

•・•—FL二—CL1,

GLFL

设GL=x,则CL=10-x,

•・•4_10-x,

x4

解得：x=2或8,

9：CF=AF>FG,

AtanZFGL>1,

：.x>2,

tanZFGL=2,

:.CF=2GF,

在Rt/XLFG中，

GF2+(2GF)2=1()2,

:.GF=2而或-2店(舍去)，CF=4娓,

:.BF=FG=2娓,

:.BC=6娓,

过。作。M_LBC于点M，ON_L4F于点N,

:.BN=NC=3匹,

；.OF平分NAFC,

：.OM=ON,

...四边形。MFN是正方形，

OM=MF=FN=ON=5/5，

:.NG=FG-NF=S

：.OG=410-

15.解：(1)A8是直径，且AB_LCQ,

AZA+ZCDA=90.,DE=CE=2CD,

2

\'CFLAD,且CF过圆心O,

NC+NCDA=90°,AF=DF=—AD,

2

NA=/C,

在△AOF1和△<%>£中,

Z=NC

<OA=OC,

ZAOF=ZCOE

.".△AOF^ACOE(ASA},

：.AF=CE,

：.DF=^CD,

2

".'CF1.AD,

AZDCF=30°；

(2)小芳观点正确，理由如下:

如图，连接OC,

'：ABLCD,ZCDA=60°,

nF

：.AD=—UE°=2DE,CD=2DE,

cos60

J.AD^CD,

在△AOD和△COD中，

'OA=OC

<OD=OD.

AD=CD

.♦.△AO。丝△COO(SSS),

：.NA=/C,

,/NADE=NCDF,

：.ZCFD=ZAED=90t,,

即C尸_LA£)；

(3)若8=4我，

•：ABLCD,且AB为直径,

.•.CE=」CZ)=2瓶,

2

由(1)知/£>CF=30°,则NAOC=NDCF+NAEC=30°+90°=120°

在RtAiCOE中，OC=—四=-=4,

cos30

120打X_16H

:，S扇形40C=

360~~~3~

'：AB为圆O的直径，DEVAB,

BD=BE,

；.NBAD=NBAE,

."8平分NOAE；

(2)解:如图2,

图2

连接OC,

VAC=BC,NAOB=180°,

.•.NAOC=NBOC=/NAOB=9。。，

AZCDA=^ZAOC=45°,

2

(3)解：如图3,

连接AC,连接0C,作CHLAD于H,

••.NCAB=/NBCIC=45°，

在RtZ\CDH中，ZADC=45°,CD=2近,

：.CH=DH=242*sin45°=2,

设CG=5,EF=9x,ZBAD^ZBAE=a,

：.ZCAD=45°-a,ZAGF=90°-/GAF=90°-2a,

AAGF=2ACAD,

,/ZAGF=ZCAD+ZACG,

：.ZCAD=ZACG,

•»AG=CG=5Xf

ZCHG=ZAFG=90°,

/AGF=/CGH,

：.^CGH^/\AGF(A4S),

：.AF=CH=2,

：.AD=AE=9x+2,

♦：DH=2,

：.AH=9xf

：.GH=AH-AG=4xf

•••CH=VCG2-GH2=3x，

：.3x=2,

•••rX—-2»

3

：.AH=EF=6,

AG—CG—5x-,

3

FG=GH=4x=区,

3

作KTA.AD于K,

：.KT=FK,

由SAATG—S^AFK+S^AGKW,

yAF-FG=yAF-FK+yAG-TK-

;.2X^-=2FK+^-FK,

33

：.FK=l,

AK=^/AF2+FK2=娓­

17.解：【运用】

(1)连接BE,如图：

VACEF沿EF所在的直线翻折得到△(:'EF,

：.EC=EC^—AC=1,

2

二。的轨迹是E为圆心，1为半径的半。£,

二。在BE上时,BC最小,此时BC=BE-CE,

在RtZ\ABE中，BE=JAB2+AE2=心

：.BC=yf5-1，

故答案为：Vs-।；

(2)①如图：

Dt

C

B

•••△4DE是等腰直角三角形，

：.AD=AEfND4£=90°,

VZBAC=90°,

：.ZDAB=900-ZBAE=ZEAC,

而AB=ACr

：./\DAB^/\EAC(SAS),

：.ZDBA=ZECA,

VZECA+ZAGC=90°,

/AGC=/BGP,

：.ZDBA^ZBGP=90°,

：.ZP=90°,

：.CELBD,

故答案为：CE工BD；

②由①知，CE工BD,即在△£)“中，ZDPE=90°,

・・・尸的轨迹是以OE为直径的圆，设了为OE中点，

当PQ最大时，线段尸。过T,如图：

B

•••△AOE是等腰直角三角形，AE=AQ=1,

22

•**DE=7AE+AD=&'

PT=DT=ET=—DE=走

22

而。7是△4OE中位线,

.•.7Q=_^AO=*,

...加=丹+1,

故PQ的最大值为&+I，P。的最小值为1-I;

22

：.BP=BUsin/BCP,

而BC=VAB2+AC2=2近，

：.BP=2如sinNBCP,

当NBCP最小时，8P最小，而/ACB=45°,

...当/ACE最大时，NBCP最小，此时AE_LCP,

在Rt/XAEC中