2013-2014学年高中数学人教A版选修1-1抛物线的简单几何性质

2．3抛物线2.3.2抛物线的简单几何性质

圆锥曲线与方程

1．关于抛物线的几何性质抛物线的几何性质，只要与椭圆、双曲线加以对照，很容易把握；但由于抛物线的离心率等于1，所以抛物线的焦点弦具有很多重要性质，而且应用广泛，例如：已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点的直线交抛物线于A、B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有下列性质：2．直线与抛物线的位置关系直线方程与抛物线方程联立后得到一元二次方程：ax2＋bx＋c＝0.当a≠0时两者位置关系的判定与椭圆、双曲线相同，用判别式法即可；但如果a＝0，则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时，直线与抛物线相交，但只有一个公共点．过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦，称为抛物线的通径．求顶点在原点，且通径长为8的抛物线的方程，并指出它的焦点坐标和准线方程．解析：由于焦点位置不确定，因而要分四种情况讨论．①当焦点在x轴的正半轴上时，设方程为y2＝2px(p＞0)，由题意得2p＝8.∴y2＝8x，焦点为(2,0)，准线方程为x＝－2.②当焦点在x轴的负半轴上时，设方程为y2＝－2px(p＞0)，由题意得2p＝8.∴y2＝－8x，焦点为(－2,0)，准线方程为x＝2.③当焦点在y轴的正半轴上时，设方程为x2＝2py(p＞0)，由题意得2p＝8.∴x2＝8y，焦点为(0,2)，准线方程为y＝－2.④当焦点在y轴的负半轴上时，设方程为x2＝－2py(p＞0)，由题意得2p＝8.∴x2＝－8y，焦点为(0，－2)，准线方程为y＝2.变式迁移1．抛物线顶点在坐标原点，以y轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，则抛物线方程为______________．解析：∵过焦点且与对称轴y轴垂直的弦长等于p的2倍．∴所求抛物线方程为x2＝±16y.答案：x2＝±16y抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，点到焦点距离是6，则抛物线方程为_____．解析：∵对称轴是x轴，不妨设其焦点坐标为F(x,0)，则∴x2＋10x＋9＝0，x1＝－1，x2＝－9.求出相应的p1＝2，p2＝18，则相应的抛物线方程为y2＝－4x和y2＝－36x.答案：y2＝－4x和y2＝－36x变式迁移2．抛物线y2＝2px(p>0)上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则此抛物线焦点与准线的距离为________．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(

)解析：抛物线y2＝8x的准线方程为x＝－2，点Q(－2,0)，设直线l的斜率为k，方程为y＝k(x＋2)，联立,消去y得，k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0⇒Δ＝(4k2－8)2－16k4≥0⇒－64k2＋64≥0⇒－1≤k≤1.答案：C变式迁移3．如果过两点A(a,0)和B(0，a)的直线与抛物线y＝x2－2x－3没有交点，那么实数a的取值范围是________．已知抛物线y2＝x上存在两点关于直线l：y＝k(x－1)＋1对称，求实数k的取值范围．分析：利用尽可能少的字母，表示重要的点的坐标，使关系简捷明了．解析：设抛物线上的点A(y，y1)，B(y，y2)关于直线l对称．则点评：本题是抛物线中点的轴对称问题，其解决办法与椭圆、双曲线中的相应问题的解决办法相同．变式迁移4．过点(－1，－6)的直线l与抛物线y2＝4x相交于A、B两点(A、B不重合)求直线l的斜率k的取值范围．一辆卡车高3m，宽1.6m，要通过横断面为抛物线型的隧道，已知拱底AB宽恰好是拱高CD的4倍，若拱宽为am，求能使卡车通过的a的最小整数值．5．已知抛物线型拱桥的顶点距水面2m，测得水面宽度为8m．当水面上升1m后，水面宽度为______m.变式迁移基础训练1．若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y2＝2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使＋取