沪科版九年级上册数学期末考试试卷（含答案）

沪科版九年级上册数学期末考试试题

一、选择题。(每小题只有一个正确答案)

1.式子2cos30。-tan45。的值是()

A.1-变B.0C.>/3-1D.73--

22

2.下列函数解析式中，一定是二次函数的是（）

A.y=3x-lB.y=2x?-2x+lC.y=ax2+bx+cD.y=^+—

x

3.将抛物线y=x2+l先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数

关系式是()

A.y=(x+2)2+2B.y=(x+2)2-2C.y=(x-2)2+2D.y=(x-2)2-2

4.在RSABC中，ZC=90°,ACM,BC=3,则sinA是

A.3B,1c.3D.i

5543

2

5.对于反比例函数丁=—,下列说法中不正确的是()

x

A.点(-2,-1)在它的图象上B.它的图象在第一、三象限

C.>随X的增大而减小D.当x<0时，，'随X的增大而减小

6.如图，已知ADE•和二ABC的相似比是1:2,且.AQE的面积是1,则四边形。8CE的面

积是()

C.4D.5

7.如图是二次函数y二ax2+bx+c图象的一部分，且过点A(3,0),二次函数图象的对称轴

是直线x=l,下列结论正确的是(）

ac>0C.2a-b=0D.a-b+c=0

8.如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似

1

图形，且相似比为:，点A,B,E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6,则C点坐标为

A.(3,2)B.(3,1)C.(2,2)D.(4,2)

9.在平面直角坐标系xO），中，将一块含有45。角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐

标为（1,0）,顶点A的坐标为（0,2）,顶点8恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角

三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C的对应

点C的坐标为（）

35

A.(-,0)B.(2,0)C.(-,0)D.(3,0)

22

10.如图A8C和,。都是边长为2的等边三角形，它们的边在同一条直线/上,

点C,E重合，现将AABC沿着直线/向右移动，直至点B与尸重合时停止移动.在此过程

中，设点移动的距离为x,两个三角形重叠部分的面积为了，则》随x变化的函数图像大致

为（）

2

二、填空题

11.已知点P是线段MN的黄金分割点，MP>NP,fiMP=(75-l)cm,则MN等于

____________cm.

12.已知A(0,3),B(2,3)是抛物线；=二上两点，该抛物线的顶点坐标是

13.矩形ABCD中，AB=6,BC=8.点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足

△PBE-ADBC,若AAPD是等腰三角形，则PE的长为数.

14.如图，己知一次函数y=Ax+6的图象与反比例函数y=—的图象交于点A(3,a),点、B

x

(14-2a,2).若一次函数图象与y轴交于点C,点。为点C关于原点0的对称点，KUACD

的面积.

15.如图，在AABC中，点。是边A8的四等分点，DE//AC,DF//BC,AC=12,BC=16,

则四边形DECF的周长

三、解答题

3

16.计算：(-1)2-2sin45°+(兀-2018)°+|—&|.

17.若9=^=5且3a—力+c=9,求2〃+4h—3c的值(。，b,c均不为0)

578

18.已知二次函数的图象以A(-l,4)为顶点，且过点5(2,-5)

(1)求该函数的关系式；

(2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标；

19.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，ZABC的顶点都在

格点上，建立平面直角坐标系.

(1)点A的坐标为，点8的坐标为，点C的坐标为.

(2)以原点。为位似中心，将ZABC放大，使变换后得到的Z4BG与4A8C对应边的比

为2：1,请在网格内画出ZA山Ci.

20.随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起.高铁大大缩

短了时空距离，改变了人们的出行方式.如图，A,B两地被大山阻隔，由A地到B地需要

4

绕行C地，若打通穿山隧道，建成A,B两地的直达高铁，可以缩短从A地到B地的路程.已

知：/CAB=30。，ZCBA=45°,AC=640公里，求隧道打通后与打通前相比，从A地到B

地的路程将约缩短多少公里？(参考数据：V3-1.7,72=1.4)

21.如图，在RtAABC中，NC=90°,点尸是边AC上的一个动点，过点尸作PQ/A8交

点。，点。为线段PQ的中点，且AO平分NBAC.

(1)求证：△ABCs

(2)若AB=13,BC=\2,求AP的长.

22.如图，已知反比例函数y=8(x>0)的图象与一次函数y=-5x+4的图象交于A和B

X2

(6,n)两点.

(1)求k和n的值；

(2)若点C(x,y)也在反比例函数y二七(x>0)的图象上，求当20x^6时，函数值y的

x

5

取值范围.

23.某公司投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品.公

司按订单生产（产量=销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件.此产品年

销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y=-x+26.

（1）求这种产品第一年的利润Wi（万元）与售价x（元/件）满足的函数关系式；

（2）该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？

（3）第二年，该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）再次投入研发，

使产品的生产成本降为5元/件.为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一

年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件.请计算该公司第二年的利润W2至

少为多少万元.

24.如图1,在平面直角坐标系中，过点4（5,4）作轴于点8,作4CJ_），轴于点C,

D为AB上一点,把AACD沿CD折叠，使点4恰好落在边上的点E处.

（1）已知抛物线y=2x2+/>x+c经过A、E两点，求此抛物线的解析式；

27

（2）如图2,点F为线段CD上的动点，连接8F,当△8OF的面积为历时，求tan/BFD

的值；

（3）将抛物线），=2X2+fcc+c平移，使其经过点C,设抛物线与直线AC的另一个交点为M,

问在该抛物线上是否存在点N,使得△CMN为等边三角形？若存在，求出点N的坐标；若

不存在，请说明理由.

6

参考答案

1.C

【分析】

把30。的余弦值、45。的正切值代入，计算即可.

【详解】

解：2cos300-tan45°,

=2文2-1,

2

=6-1,

故选：C.

【点睛】

本题考查特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值实际课题关键.

2.B

【分析】

二次函数的解析式必须是含自变量的整式，二次项系数不为0.

7

【详解】

A.y=3x-1,是一次函数;

B.y=2x2-2x+l,是二次函数;

C.y=ax2+bx+c,二次项系数a不能确定是否为0,不是二次函数；

D.y=x2+4不是含自变量的整式，不是二次函数

故答案选B.

【点睛】

本题考查的知识点是二次函数的定义，解题的关键是熟练的掌握二次函数的定义.

3.B

【详解】

二次函数图象与平移变换.

【分析】直接根据“上加下减，左加右减''的原则进行解答：

将抛物线y=x2+l先向左平移2个单位所得抛物线的函数关系式是：y=(x+2)2+l；

将抛物线y=(x+2A+1先向下平移3个单位所得抛物线的函数关系式是:y=(x+2)2+1—3,

即y=(x+2)2-2.故选B.

4.A

【分析】

根据题意画出图形，由勾股定理求出AB的长，再根据三角函数的定义解答即可.

【详解】

如图，在Rt2\ABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,

；.AB=JAC?+BC。=5,

.•.s・mA=BC=—3,

AB5

故选A.

8

R

【点睛】

本题考查锐角三角函数的定义.关键是熟练掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边,

余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边.

5.C

【分析】

根据反比例函数的性质用排除法解答，当系数k>0时，函数图象在第一、三象限，当x>0

或x<0时，y随x的增大而减小，由此进行判断.

【详解】

2

A、把点(-2,-1)代入反比例函数丫=—得-1=-1,本选项正确：

x

B、•.*=2>0,.•.图象在第一、三象限,本选项正确;

C、•.次=2>0,...图象在第一、三象限内y随x的增大而减小，本选项不正确；

D、当x<0时，y随x的增大而减小，本选项正确.

故选C.

【点睛】

考查了反比例函数y=&(k#0)的性质：①当k>0时，图象分别位于第一、三象限；当k

X

<0时，图象分别位于第二、四象限.②当k>0时，在同一个象限内，y随X的增大而减小；

当k<0时，在同一个象限，y随x的增大而增大.

6.B

【分析】

根据相似三角形面积比等于相似比的平方求出△ABC的面积，进而可得答案.

【详解】

和ABC的相似比是1:2,dADE的面积是1,

9

・S&ADE_J_\2_J_

•，S'(2)-4，

•.二4)E的面积是1,

••SAABC-4＞

S|iqa®DBC"SAABC-SAAO-3，

故选：B

【点睛】

本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形面积比等于相似比的平方求出△ABC的面积

是解题关键.

7.D

【分析】

根据二次函数的图像与性质逐项进行判断即可.

【详解】

•••抛物线与x轴有两个交点，.•.从-4四＞0,即从＞4双,所以A选项错误;

•抛物线开口向上，••.a〉。，；抛物线与y轴的交点在x轴下方，...cVO,...acVO,所以B

选项错误；

•.•二次函数图象的对称轴是直线x=l,...-3=1,...Za+buO,所以C选项错误；

2a

•••抛物线过点A(3,0),二次函数图象的对称轴是x=l,.•.抛物线与x轴的另一个交点为

(-1,0),a-b+c=O,所以D选项正确；

故选D.

【点睛】

本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解答本题的关

键.

8.A

【详解】

・・・正方形ABCD与正方形8E/G是以原点。为位似中心的位似图形，且相似比为;,

.AD1

•・二一,

BG3

•；BG=6,

：.AD=BC=29

10

9：AD//BG,

:・/\OADs丛OBG,

.OA1

••=一«

OB3

.OA1

••=1,

2+OA3

解得：。4=1,：.0B=3,

，C点坐标为：(3,2),

故选A.

9.C

【分析】

过点5作3。_1_无轴于点。，易证△AC0gZ\3C£>(A4S),从而可求出B的坐标，进而可求

出反比例函数的解析式，根据解析式与A的坐标即可得知平移的单位长度，从而求出C的

对应点.

【详解】

解：过点3作3。_Lx轴于点。，

VNACO+N5CD=90。，

NOAC+NACO=90。，

：,/OAC=/BCD,

/OAC=/BCD

在△ACO与△BCD中，ZAOC=/BDC

AC=BC

•••△ACO丝△BCD(AAS)

：.OC=BD,OA=CD,

'：A(0,2),C(1,0)

：・OD=3,BD=T,

：.B(3,1),

设反比例函数的解析式为y=4,

X

将B(3,1)代入y=工，

x

:・k=3,

11

3

・,•把y=2代入产一，

x

当顶点A恰好落在该双曲线上时，

3

此时点A移动了,个单位长度，

・・・c也移动了1个单位长度，

此时点C的对应点C的坐标为(!■,())

本题考查反比例函数的综合问题，涉及全等三角形的性质与判定，反比例函数的解析式，平

移的性质等知识，综合程度较高，属于中等题型.

10.A

【分析】

根据图象可得出重叠部分三角形的边长为x,根据特殊角三角函数可得高为无x,由此得出面

2

积y是x的二次函数，直到重合面积固定，再往右移动重叠部分的边长变为(4—x),同时可得

【详解】

C点移动到F点，重叠部分三角形的边长为x,由于是等边三角形,则高为3科面积为

2

224

B点移动到F点，重叠部分三角形的边长为(4—x),高为日(4-x),面积为

y=(4-x)管(4-x).g=¥(4_xy,

12

两个三角形重合时面积正好为G.

由二次函数图象的性质可判断答案为A,

故选A.

【点睛】

本题考查三角形运动面积和二次函数图像性质，关键在于通过三角形面积公式结合二次函数

图形得出结论.

II.2

【分析】

把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分

割叫做黄金分割，他们的比值(叵口)叫做黄金比.

2

【详解】

根据黄金分割点的概念，得MP=避二1MN,

2

MP

.,.MN=75-1,且MP=(否-*m

2

；.MN=2.

故填：2.

【点睛】

考查了黄金分割点的概念，解题的关键是熟知黄金比的值.

12.(1,4).

【详解】

试题分析：把A(0,3),B(2,3)代入抛物线\=一/—c可得b=2,c=3,所以

；.=-x：+k+3=-(x-D：-4,即可得该抛物线的顶点坐标是(1,4).

考点：抛物线的顶点.

13.3或1.2

【分析】

由APBEsaDBC,可得/PBE=/DBC,继而可确定点P在BD上，然后再根据△APD是

等腰三角形，分DP=DA、AP=DP两种情况进行讨论即可得.

【详解】

13

:四边形ABCD是矩形，/.ZBAD=ZC=90°,CD=AB=6,BC=8,.,.BD=10,

VAPBE^ADBC,

，ZPBE=ZDBC,，点P在BD上,

如图1,当DP=DA=8时，BP=2,

VAPBE^ADBC,

APE：CD=PB：DB=2：10,

APE：6=2：10,

VAPBE^ADBC,

APE：CD=PB：DB=1：2,

APE：6=1：2,

；.PE=3；

综上，PE的长为1.2或3,

故答案为1.2或3.

【点睛】

本题考查了相似三角形的性质，等腰三角形的性质，矩形的性质等，确定出点P在线段BD

上是解题的关键.

14.18.

【分析】

根据点A(3,a),点B(14-2a,2)在反比例函数上先求出这两点坐标，再求一次函数表

14

达式，求出点C,再求出点。，即可求出面积.

【详解】

・.•点4(3,。)，点8(14-26/,2)在反比例函y=-的图象上，

x

；・3xa=(14-2。)x2,解得：。=4,

，点A、3的坐标分别为(3,4)、(6,2),

13&+8=4k=--

设直线A3的表达式为：y=kx^h,则/,‘解得3,

6攵+。=2./

i［。=6

2

・••一次函数的表达式为：y=--x+6；

当x=0时，y=6,故点C(0,6),

;点D为点C关于原点。的对称点，

：.D(0,-6),

：.CD=2OC=\2,

/.△ACO的面积=—XCD*XA=—x12x3=18,

22

故答案为18.

【点睛】

此题考查反比例函数与一次函数交点问题中有关三角形面积的计算，难度一般，求函数表达

式根据表达式求坐标点是关键.

15.26

【分析】

根据平行四边形的判定得出四边形QPCE是平行四边形，ffiAADF-AABC,得出

npApAn1

2=芸=警=代入求出OF、DE即可求出答案.

BCACAB4

【详解】

解：U：DE//AC,DF//BC,

・・・四边形DFCE是平行四边形，

：.DE=FC,DF=EC

♦：DF〃BC,

：.△A。/"△ABC,

.DFAFAD\

**BC-AC-AB-4?

15

VAC=12,8c=16,

."尸=3,DF=4

：.FC=AC-AF=\2-3=9,

：.DE=FC=9,DF=EC=4

：.四边形DECF的周长是DF+CF+CE+DE=9+4+9+4=26.

故答案为26.

【点睛】

本题考查的知识点是平行四边形的性质和判定和相似三角形的性质和判定，关键是求出

DE=CF,DF=CE,主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力.

16.2.

【解析】

【分析】

选进行乘方运算、代入特殊角的三角函数值、进行0次募运算、化简绝对值，然后再按运算

顺序进行计算即可.

【详解】

原式=1-2x—+1+^

2

=1-五+1+也

=2.

【点睛】

本题考查了实数的混合运算，涉及了乘方运算、特殊角的三角函数值、0指数慕运算等，熟

练掌握各运算的运算法则是解题的关键.

17.14

【分析】

设比值为k,然后用k表示出a、b、c,再代入等式求出k的值，从而得到a、b、c的值，

然后代入代数式进行计算即可得解.

【详解】

^―=—=-=k(k#0),

578

则a=5k,b=7k,c=8k,

代入3a-2b+c=9得，15k-14k+8k=9,

16

解得k=l,

所以，a=5,b=7,c=8,

所以，2a+4b-3c=2x5+4x7-3x8=10+28-24=14.

【点睛】

本题考查了比例的性质，此类题目，利用“设k法”求解更简便.

18.(1)y=-(x+l)2+4；(2)该函数的图像与坐标轴的交点是。，0),(—3,0),(0,3)

【分析】

(1)根据图象的顶点A(-1,4)来设该二次函数的关系式，然后将点B代入，即用待定

系数法来求二次函数解析式；

(2)令y=0,然后将其代入函数关系式，解一元二次方程即可，再令x=0,求出与y轴交

点.

【详解】

(1)由顶点A(-1,4),可设二次函数关系式为y=a(x+1)2+4(a和).

•.•二次函数的图象过点B(2,-5),

.•.点B(2,-5)满足二次函数关系式，

5=a(2+1)之+4,

解得a=-l.

二二次函数的关系式是y=-(x+1)2+4；

(2)令x=0,则y=-(0+1)2+4=3,

，图象与y轴的交点坐标为(0,3)；

令y=0,则0=-(x+1)2+4,

解得Xl=-3,X2=l,

故图象与x轴的交点坐标是(-3,0)、(1,0).

答：图象与y轴的交点坐标为(0,3),与x轴的交点坐标是(-3,0)、(1,0).

【点睛】

本题考查的是利用待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是熟知待定系数法的运用.

19.(1)(-2,1)；(-3,-2)；(1,-2)；(2)见解析.

【分析】

(1)利用点的坐标的表示方法求解；

17

(2)把A、B、C的横纵坐标都乘以-2(或乘以2)得到4、4、G的坐标(或&,、B,、、

G的坐标)，然后描点即可；

【详解】

解：(1)A(-2,l),8(—3,-2),C(1-2)；

故答案为(-2,1),(-3,-2),(1,-2)；

(2)如图，△ABG为所作；

【点睛】

本题考查了作图-位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延

长位似中心和能代表原图的关键点；根接着据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点;

然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形.

20.224

【分析】

过点C作CD1.AB于点D,利用锐角三角函数的定义求出CD及AD的长，进而可得出结

论.

【详解】

过点C作CD1.AB于点D,

18

DB

在RtAADC和RtABCD中，

VZCAB=30°,ZCBA=45°,AC=640,

ACD=320,AD=320®

:.BD=CD=320,BC=320夜，

AC+BC=640+320夜a1088,

AB=AD+BD=320>/3+320®864,

A1088-864=224(公里),

答：隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短224公里.

【点睛】

本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造

直角三角形解决问题，需要熟记锐角三角函数的定义.

21.(1)见解析;(2)||.

【分析】

(1)根据尸。〃AB得到NBAC=NQPC,问题得证，

(2)先根据PQ//A8和平分NBAC证明办=PD,进而证明尸Q=2AP,设AP=x,根据

△ABC^/\PQC,得到空=多，进而得到关于x的方程，即可求解.

ABCA

【详解】

解：(1)证明：'：PQ//AB,

：.ZB=ZPQC,ZBAC=ZQPC,

：.△ABCs/XPQC；

(2)在ABC中，AC==/AB2-BC2〜⑶-/=5,

'：PQ//AB,

：./BAD=NADP,

'：A£>平分ABAC,

：.ZDAP=ZDAB,

19

，ZDAP=ZADP,

J.PA^PD,

•••点。为线段P。的中点，

：.PQ=2PD,

：.PQ=2AP,

设AP=x,

MABCsXPQC,

•PQ=CP

"~AB~~CA'

在==

135

解得x=”，

23

.365

•»AP=—.

23

【点睛】

本题考查了相似三角形的性质与判定，理解相似三角形的性质与判定定理，根据题意证明

PQ=2AP是解题关键.

22.(1)n=l,k=6.(2)当2WxW6时，KyW3.

【详解】

【分析】(1)利用一次函数图象上点的坐标特征可求出n值，进而可得出点B的坐标，再

利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值；

(2)由k=6>0结合反比例函数的性质，即可求出:当2W烂6时，lWyW3.

【详解】(1)当x=6时，n=-yx6+4=l,

二点B的坐标为(6,1).

•反比例函数y=(过点B(6,1),

X

k=6xl=6；

(2)Vk=6>0,

...当x>0时，y随x值增大而减小，

/•当2<x<6时，1<y<3.

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的性质，用到了点在函

数图象上，则点的坐标就适合所在函数图象的函数解析式，待定系数法等知识，熟练掌握相

20

关知识是解题的关键.

23.(1)Wi=-x2+32x-236；(2)该产品第一年的售价是16元；(3)该公司第二年的利润

W2至少为88万元.

【分析】

(1)根据总利润=每件利润x销售量-投资成本，列出式子即可；

(2)构建方程即可解决问题；

(3)根据题意求出自变量的取值范围，再根据二次函数，利用而学会设的性质即可解决问

题.

【详解】

(1)Wi=(x-6)(-x+26)-80=-x2+32x-236.

(2)由题意：20=-x2+32x-236.

解得：x=16,

答：该产品第一年的售价是16元.

(3)由题意：14<x<16,

W2=(x-5)(-x+26)-20=-x2+31x-150,

V14<x<16,

抛物线的对称轴x=15.5，又14<x<16

.x=14时,W2有最小值,最小值=88(万元)，

答：该公司第二年的利润W2至少为88万元.

【点睛】

本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建

方程或函数解决问题.

24.(1)y=2x2-14x+24；(2)匕(3)存在，点N的坐标为(迫，工)或(-昱,-)

22222

【分析】

(1)解直角三角形求出E,A两点坐标，再利用待定系数法解决问题即可.

(2)如图2中，过点F作尸G_LA3于G,交CD的延长线于设。E=AZ)=x,

在中，DE?^BE?+BD2,由此构建方程求出x,再利用相似三角形的性质解决问题

即可.

(3)如图3中，设平移后的抛物线为丫=2炉+桁+4