第五章 一元函数的导数及其应用 （解析版）

一元函数的导数及其应用一、选择题1．已知函数的图象在点处的切线过点，则()A.-1 B.-2 C.1 D.2答案：C解析：由题意得，，则函数的图象在点处的切线方程为.因为函数的图象在点处的切线过点，所以，解得，故选C.2．函数在区间上有最大值，则m的取值范围是（）A. B. C. D.答案：D解析：3．函数的图象在处的切线方程是，则()A.B.1C.2D.0答案：C解析：由题意可知，将代入切线方程，得，所以.4．已知是函数的导函数,且对于任意实数x都有,,则不等式的解集为()A. B.C. D.答案：C解析：令,①则,,,即,,②由①②知,,,又,,即,,不等式,即不等式的解集为,故选：C.5．设函数，a，b均为正整数，若的极小值点为2，则的极大值点为().A.1 B.3 C.1或3 D.不确定答案：B解析：对求导得，令，得，则该方程必有一根为2，代入，有，解得，则.因为2是的极小值点，且，所以为方程的较小根，从而，故.又a为正整数，所以.故的极大值点为3.6．已知函数，在区间上任取三个数，均存在以为边长的三角形，则k的取值范围是()A.B.C.D.答案：D解析：7．已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为()A. B.C. D.答案：B解析：8．已知函数，若函数有三个不同的零点，且的取值范围为()A． B． C． D．答案：C解析：二、多项选择题9．函数的部分图象如图所示,则下列说法中正确的有()A.的最小正周期T为B.向右平移个单位后得到的新函数是偶函数C.若方程在上共有4个根,则这4个根的和为D.图象上的动点M到直线的距离最小时,M的横坐标为.答案：ACD解析：因为经过点,所以,又在的单调递减区间内,所以,①,又因为经过点,所以,,又是在时最小的解,所以,②.联立①②,可得,解得,代入①,可得,又,所以,则.故的最小正周期,则A正确;向右平移个单位后得到的新函数是,则为奇函数,故B错误;设在上的4个根从大到小依次为,,,令,则,根据的对称性,可得,则由的周期性可得,所以,故C正确;作与直线平行的直线,使其与有公共点,则在运动的过程中,只有当直线与,相切时,直线与直线l存在最小距离,也是点M到直线的最小距离,令,则,解得,或,又,所以或或（舍去）,又,令,,,则由,可得到直线l的距离大于到直线l的距离,所以M到直线的距离最小时,M的横坐标为,故D正确.故选：ACD.10．已知函数在R上可导且，其导函数满足，对于函数，下列结论正确的是()A.函数在上为单调递增函数B.是函数的极小值点C.函数至多有两个零点D.时，不等式恒成立答案：ABC解析：因为，所以当时，；当时，.因为，所以，则当时，；当时，.所以函数在上为单调递增函数，在上为单调递减函数，则是函数的极小值点，则选项A，B均正确.当时，函数至多有两个零点，当时，函数有一个零点，当时，函数无零点，所以选项C正确.，又在区间上单调递减，所以当时，，又，所以，故选项D错误.故选ABC.11．已知函数,则()A.在区间上单调递增 B.是偶函数C.的最小值为1 D.方程无解答案：BC解析：因为,所以,所以为偶函数,B正确;令,当时,函数与均为减函数,所以在区间上单调递减,A错误;由偶函数对称性可知,在区间上单调递增,所以,C正确;令,所以,由零点存在定理可知方程有解,D错误.三、填空题12．曲线在处的切线与直线平行，则_______.答案：解析：，，故，，则.13．若函数在上存在单调递减区间，则m的取值范围是________.答案：解析：，则，函数在区间上存在减区间，只需在区间上有解，即在区间上有解，又，则，所以在区间上有解，所以，，令，，则，令，则在区间恒成立，所以在上单调递减，所以，即，所以.14．若定义在R上的函数满足，，则不等式的解集为__________________.答案：解析：构造函数，则，函数满足，，故在R上单调递增.又，，不等式，即，由在R上单调递增，可知.四、解答题15．已知函数,.（1）讨论的单调性;（2）若,证明：答案：（1）,在单调递增;,在单调递减,在单调递增（2）解析：（1）的定义域若,,在单调递增;若,,,单调递减,,,单调递增综上：,在单调递增;,在单调递减,在单调递增（2）,,设,在单调递减,,16．设函数(1)讨论的单调性；(2)求在区间的最大值和最小值.答案：（1）函数在上单调递增；在上单调递减（2）在区间上的最大值为，最小值为解析：（1）函数的定义域为，又.令，解得或；令，解得.所以函数在上单调递增；在上单调递减；（2）由（1）可得：函数在区间内单调递减，在内单调递增.所以当时，函数取得最小值，又，，而，所以当时，函数取得最大值为：.即在区间上的最大值为，最小值为.17．已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若恒成立，求实数m的取值范围.答案：（1）（2）解析：（1）因为，所以，当时，，，故，，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）由（1）得，因为，所以由，得，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以，因为恒成立，所以，解得，所以实数m的取值范围为.18．已知函数.（1）若，求a的取值范围；（2）证明：若有两个零点，，则.答案：（1）；（2）证明见解析解析：（1）由题意知函数的定义域为.

由，

可得函数在上单调递减，在上单调递增.

所以.

又，所以，解得，

所以a的取值范围为.（2）解法一：不妨设，则由（1）知，.

令，

则.

令，

则，

所以当时，，

所以当时，，所以当时，，

所以在上单调递增，所以，

即在上.

又，所以，即.

由（1）可知，函数在上单调递增，

所以，即.解法二（同构构造函数化解等式）不妨设，则由（1）知，.

由，得，

即.

因为函数在R上单调递增，所以成立.

构造函数，，

则，

所以函数在上单调递增，

所以当时，，即当时，，

所以，

又，

所以在上单调递减，

所以，即.19．已知函数(其中e为自然对数的底数,).(1)当时,求曲线在点处的切线方程;(2)若,方程有两个不同的实数根,求证：.答案：(1)(2)见解析解析：(1)当时,,则,因此,故曲线在点处的切线方程为.(2)由题意知方程有两个不同的实数根.对于函数,令,解得,令,解得,则函数在区间上单