4.3 课时2 组合数的应用

.3课时2组合数的应用【学习目标】1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题.(数学运算)2.能解决有限制条件的组合问题.(逻辑推理、数学运算)【自主预习】预学忆思1.组合与排列的异同点是什么?【答案】共同点:排列与组合都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素.不同点:排列与元素的顺序有关,组合与元素的顺序无关.2.组合数的性质有哪些?【答案】(1)Cnm=Cnn-m;(2)Cn自学检测1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)Cm1+Cm2=Cm+13(m≥2且m∈N(2)从4名男生3名女生中任选2人,至少有1名女生的选法共有C21C61种(3)把4本书分成3堆,每堆至少一本,共有C42种不同分法.((4)由三个3和四个4可以组成30个不同的七位数.()【答案】(1)×(2)×(3)√(4)×2.从甲、乙、丙、丁四个人中选取2人参加会议,不同的选取方法有().A.6种 B.8种 C.12种 D.16种【答案】A【解析】按照组合的定义,从甲、乙、丙、丁四个人中选取2人参加会议,有C42=4×32×1=6(种3.某城市街道如图所示,某人要选择最短路程从A地前往B地,则不同的走法有种.

【答案】10【解析】因为从A地到B地的路程最短,我们可以在地面画出模型,实地实验探究一下走法可得出:①要走的路程最短必须走5步,且不能重复;②向东的走法定出后,向南的走法随之确定,所以我们只要确定出向东的三步或向南的两步走法有多少种即可.故不同走法的种数为C52=4.从2位女生,4位男生中选出3人参加垃圾分类宣传活动.(1)共有多少种不同的选择方法?(2)如果至少有1位女生入选,共有多少种不同的选择方法?【解析】(1)从2位女生,4位男生中选出3人参加垃圾分类宣传活动,选择方法数为C63=(2)没有女生入选的选择方法数为C43=4,所以至少有1位女生入选的选择方法数为20-4=【合作探究】探究1：简单的组合问题情境设置平面内有A,B,C,D这4个点.问题1:以其中2个点为端点的有向线段共有多少条?【答案】每2个点为端点的有向线段有2条,故满足条件的有向线段条数为A42=4×3=问题2:以其中2个点为端点的线段共有多少条?【答案】以每2个点为端点的线段只有1条,故满足条件的线段条数为C42=4×32问题3:如何解决简单组合问题?【答案】分析选出的元素是否与顺序有关,若与顺序无关,利用组合、组合数公式求解即可,若与顺序有关,可利用排列求解.新知生成解答简单的组合问题的思考方法:(1)弄清要做的这件事是什么事.(2)选出的元素是否与顺序有关,也就是看看是不是组合问题.(3)结合两个计数原理,利用组合数公式求出结果.特别提醒:要关注将要计的数是分类还是分步,在分类和分步时,一定要注意有无重复或遗漏.新知运用例1在一次数学竞赛中,某学校有12人通过了初试,学校要从中选出5人去参加市级培训,在下列条件下,有多少种不同的选法?(1)任意选5人;(2)甲、乙、丙三人必须参加;(3)甲、乙、丙三人不能参加;(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加.【解析】(1)共有C125=792(种)(2)甲、乙、丙三人必须参加,只需从另外的9人中选2人,共有C92=36(种)(3)甲、乙、丙三人不能参加,只需从另外的9人中选5人,共有C95=126(种)(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加,分两步,先从甲、乙、丙中选1人,有C31种选法,再从另外的9人中选4人,有C94种选法.因此共有C31【方法总结】求解简单组合问题的一般步骤巩固训练现有10名教师,其中男教师6名,女教师4名.(1)现要从中选2名去参加会议,有多少种不同的选法?(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议,有多少种不同的选法?(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议,有多少种不同的选法?【解析】(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数,就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数,即C102=10×92×1(2)可把问题分两类情况:第1类,选出2名男教师,有C62种方法;第2类,选出2名女教师,有C42种方法.根据分类加法计数原理知,共有C62+C42=15(3)从6名男教师中选2名的选法有C62种,从4名女教师中选2名的选法有C42种,根据分步乘法计数原理知,不同的选法共有C62C42探究2：有限制条件的组合问题情境设置问题1:从2,3,4,5,6,7中任取3个不同的数字,组成无重复数字的三位数,要求个位数最大,百位数最小,这样的三位数有多少个?【答案】先从6个数中任意取3个数,有C63=20(种)选法,再把三个数里最大的数排列在个位,有1种排法,把最小的数排在百位,有1种排法,剩下的数排在十位,有1种排法,共有20×1×1×1=20(种)问题2:某天然气公司决定从10名办公室工作人员中裁去4人,要求甲、乙二人不能全部裁去,请问不同的裁员方案有多少种?【答案】甲、乙中裁一人的方案有C21C83种,甲、乙都不裁的方案有C84种,故不同的裁员方案共有C问题3:根据问题1,2,想一想如何解决有限制条件的问题?【答案】解决有限制条件的组合问题,需将特殊元素优先安排,注意含有“至多”“至少”等限制语句,可以此作为分类依据,或采用间接法求解.新知生成有限制条件的组合应用题中“含”与“不含”问题的解题策略:(1)这类问题的解题思路是将限制条件视为特殊元素和特殊位置,一般来讲,特殊要先满足,其余则“一视同仁”.(2)若正面入手不易,则从反面入手,寻找问题的突破口,即采用排除法.(3)解题时要注意分清“有且仅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语的确切含义,准确把握分类标准.新知运用例2某课外活动小组共13人,其中男生8人,女生5人,并且男、女生各有一名队长,现从中选5人主持某项活动,在下列不同条件下,各有多少种选法?(1)至少有一名队长当选;(2)至多有两名女生当选;(3)既要有队长,又要有女生当选.【解析】(1)至少有一名队长含有两种情况:有一名队长和有两名队长.故共有C21C114+C22C113=825(种).((2)至多有两名女生含有三种情况:有两名女生,只有一名女生,没有女生.故共有C52C83+C51(3)分两种情况:第一种,女队长当选,有C124种;第二种,女队长不当选,有C41C73+C42C72+C43C71+C【方法总结】有限制条件的抽(选)取问题,主要有两类:一是“含”与“不含”问题,其解法常用直接分步法,即“含”的先取出,“不含”的可把所指元素去掉再取,分步计数.二是“至多”“至少”问题,其解法常有两种解决思路:①直接分类法,但要注意分类要不重不漏;②间接法,注意找准对立面,确保不重不漏.巩固训练在12件产品中,有10件正品,2件次品,从这12件产品中任意抽取3件.(1)共有多少种不同的抽法?(2)抽出的3件中恰有1件次品的抽法有多少种?(3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种?【解析】(1)从这12件产品中任意抽出3件,共有C123=220(种)(2)抽出的3件中恰好有1件次品的抽法,是指2件正品,1件次品,有C102C21=(3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法种数,可以用12件产品中任意抽出3件的抽法种数减去抽出3件产品全是正品的抽法种数,因此,共有C123-C103=220-120=100(探究3：分组、分配问题情境设置问题1:把a,b,c,d平均分成两组,有多少种分法?【答案】把a,b,c,d平均分成两组,有C42C22A问题2:把a,b,c,d分成两组,一组3个元素,一组1个元素,有多少种分法?【答案】共有C43C11=问题3:若把4个不同的苹果分给三个人,每人至少1个,共有几种方法?【答案】先分组1,1,2,有C42种方法,再把这三组分给3个人,共有C42A3新知生成1.一般地,平均分成n堆(组),必须除以n!,如若部分平均分成m堆(组),必须再除以m!,即平均分组问题,一般来说,km个不同的元素分成k组,每组m个,则不同的分法有Ckmm·C2.一般地,如果把不同的元素分配给几个不同对象,并且每个不同对象可接受的元素个数没有限制,那么实际上是先分组后排列的问题,即分组方案数乘不同对象数的全排列数.通过以上分析不难得出解不定向分配题的一般原则:先分组后排列.新知运用例36本不同的书,按下列要求各有多少种不同的选法?(1)分给甲、乙、丙三人,每人两本;(2)分为三份,每份两本;(3)分为三份,一份一本,一份两本,一份三本;(4)分给甲、乙、丙三人,一人一本,一人两本,一人三本;(5)分给甲、乙、丙三人,每人至少一本.【解析】(1)根据分步乘法计数原理,共有C62C42(2)分给甲、乙、丙三人,每人两本有C62C42C22种方法,这个过程可以分两步完成:第一步,分为三份,每份两本,设有x种方法;第二步,再将这三份分给甲、乙、丙三名同学,有A33种方法.根据分步乘法计数原理可得C62C42(3)这是“不均匀分组”问题,一共有C61C52C(4)在(3)的基础上再进行全排列,所以一共有C61C52C(5)可以分为三类情况:①“2、2、2型”,即(1)中的分配情况,有C62C42C22=90(种)方法;②“1、2、3型”,即(4)中的分配情况,有C61C52C33A33=360(种)方法;③“1、1、4型”,有【方法总结】组问题属于“组合”问题,常见的分组问题有三种:(1)完全均匀分组,每组的元素个数均相等;(2)部分均匀分组,应注意不要重复,有n组均匀,最后必须除以n!;(3)完全非均匀分组,这种分组不考虑重复现象.巩固训练将4名大学生分配到3个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,则不同的分配方案有种.

【答案】36【解析】分两步完成:第一步,将4名大学生按2,1,1分成三组,其分法有C42C21C11A22种则满足条件的分配方案有C42C21C1【随堂检测】1.将2名教师、4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,则不同的安排方案共有().A.12种 B.10种 C.9种 D.8种【答案】A【解析】先安排1名教师和2名学生到甲地,再将剩下的1名教师和2名学生安排到乙地,共有C21C42=2.编号为1,2,3,4,5的5个人分别去坐编号为1,2,3,4,5的五个座位,其中有且只有两个人的编号与座位号一致的坐法有().A.10种 B.20种 C.30种 D.60种【答案】B【解析】先选择两个编号与座位号一致的人,方法数有C52=10,另外三个人编号与座位号不一致,方法数有2,所以不同的坐法有10×2=20(种3.为了配合创建全国文明城市的活动,某校现从4名男教师和5名女教师中选取3人,组成创文明志愿者小组.若小组中男女至少各有一人,则不同的选法共有().A.140种 B.84种 C.70种 D.35种【答案】C【解析