2022-2023学年北京市石景山区高三（上）期末数学试卷及答案解析

2022-2023学年北京市石景山区高三(上)期末数学试卷

一、单选题(本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.已知集合4={-1,0,1,2},B={x∖∖x∖≤l},则Ar)B等于()

A.{-l,0,l}B.{0,l,2}C.{0,l}D.{1,2}

2.在复平面内，复数Z=(I+2i)i对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.己知(2+x)5=αt)+a6+&2产++45刀,,则t⅛=()

A.10B.20C.40D.80

4.已知直线心工+2y-3=0与圆C：/+丫2__叔：=0交于力，8两点，则线段AB的垂直平

分线方程为()

A.2x—y-4=0B.2x+y-4=0C.x—2y-2=0D.2%-y—2=0

5.已知直线m,n与平面α,β,y满足aCβ=m,nLa,TlUy,则下列判断一定

正确的是()

A.m∕∕y,alγB.n∕∕β,alγC.β∕∕γ,alγD.mln,alγ

6.已知函数/(x)=sin2x+V5COS2X,则‘卜列命题正确的是()

A.f(x)的图象关于直线X=一a对称

B./(x)的图象关于点吟,0)对称

C./(x)的最小正周期为兀，且在［0,刍上为增函数

D.f(x)的图象向右平移号个单位得到一个偶函数的图象

7.已知数列{αn}是的>0的无穷等比数列，则“{即}为递增数列"是‘'Vk≥2且k∈N*,

'

ak>a1'的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

8.中国茶文化博大精深，茶水口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种绿茶用85。C

的水泡制，再等到茶水温度降至60。C时饮用，可以产生最佳口感，已知室内的温度为25汽，

设茶水温度从85。C开始，经过X分钟后的温度为yOC.y与X的函数关系式近似表示为y=60×

0.923》+25,那么在25。C室温下，由此估计，刚泡好的茶水大约需要放置多少分钟才能达到

最佳口感(参考数据：lnθ.923≈-0.08,∕nl2-ln7≈0.54)()

A.8B.7C.6D.5

9.已知产是抛物线C：y2=2pχ(p>0)的焦点，过点M(2,l)的直线I与抛物线C交于4,B两

点，M为线段4B的中点，若IFAI+∣FB∣=5,则P的值为()

A.ɪB.1C.2D.3

10.在矩形力BCC中，AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若丽=

λAB+μAD,则4+〃的最大值为()

A.3B,2√2C.√5D.2

二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)

11.函数f。)=√∏?+:的定义域为___..

12.首项为1的等比数列｛arι｝中，4α1,2c⅛,c⅛成等差数列，则公比q=.

13.已知双曲线m∕+n3z2=1的一个顶点为P(L0),且渐近线方程为y=±2x,则实数

14.在四棱锥P-ABCD中，尸41面48CD,底面ABCD是正方形，PA=AB=2,则此四棱

锥的外接球的半径为.

X

15.函数f(X)=工丽(XeR),给出下列四个结论

①/(x)的值域是(一1,1)；

②任意.，不6r且久1*%2,都有J(T)>0；

xlx2

x

③任意Xl,X2∈(0.+8)且≠X2,都有>f(l*);

④规定九(χ)=f(χ),Λ+ι(χ)=AA(X)).其中n∈N*,则启&=

其中，所有正确结论的序号是.

三、解答题(本大题共6小题，共85.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16.(本小题13.0分)

在△力BC中，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知.

(I)求H

(II)若α+2b=16,z∖4BC的面积为8/，求的周长.

条件①：2ccosC=acosB+bcosA↑

条件②：IsinAsinBsinC=√3(sin2Λ+Sin2B—sin2C).

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

17.(本小题14.0分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，CDl平面PAD,Z∖P4D为等边三角形，AD∕∕BC,AD=CD=

2BC=2,E,尸分别为棱PD,PB的中点.

(I)求证:AEl平面PCD；

(∏)求平面AEF与平面PAC所成锐二面角的余弦值；

(HI)在棱PC上是否存在点G,使得DG〃平面4EF?若存在，求案的值，若不存在，说明理由.

18.(本小题13.0分)

某学校有初中部和高中部两个学部，其中初中部有1800名学生.为了解全校学生两个月以来

的课外阅读时间，学校采用分层抽样方法，从中抽取了100名学生进行问卷调查，将样本中

的“初中学生”和“高中学生”按学生的课外阅读时间(单位：小时)各分为5组：[0,10),

[10,20),[20,30),[30,40),[40,50],得到初中生组的频率分布直方图和高中生组的频数分

布表.

高中生组

分组区间频数

[0,10)2

[10,20)10

[20,30)14

[30,40)12

[40,50]2

(I)求高中部的学生人数并估计全校学生中课外阅读时间在[30,40)小时内的总人数；

(II)从课外阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，记§为3人中初中生的人数，求

f的分布列和数学期望；

(HI)若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该校高中部抽取10名学生进行调查，其

中有k名学生的阅读时间在[30,40)的概率为七(k=0,1,2,…,10),请直接写出k为何值时Pk取

得最大值.(结论不要求证明)

19.(本小题15.0分)

已知函数/(x)=aex—X,g(x)=x-alnx｛a∈R).

(1)若α=1,求曲线y=/(K)在点(0,/(0))处的切线方程；

(II)求g(x)的单调区间；

(In)若/(%)和g(x)有相同的最小值，求ɑ的值.

20.(本小题15.0分)

已知椭圆C：3+马=l(α>b>0)的一个顶点为(0,√¾,焦距为2.

(I)求椭圆C的方程；

(II)设椭圆C的左、右焦点分别为居，F2,P为椭圆C上一动点，射线PF】，PF2,分别交椭圆C于

点A,B,求证：黑ɪ]+翟”为定值.

I4六111»六2∣

21.(本小题15.0分)

已知项数为k(k∈W*,fc≥3)的有穷数列｛azι｝满足如下两个性质，则称数列｛c⅛｝具有性质产：

①1≤a1<a2<ʤ<<«fc：

②对任意的i,;(1≤i≤j≤k),S与卬心至少有一个是数列｛an｝中的项.

(I)分别判断数列1，2,4,16和2,4,8,16是否具有性质P,并说明理由；

(H)若数列｛αn｝具有性质P,求证：QN=(QIQ2......QQ2；

(In)若数列｛%l｝具有性质P,且｛αn｝不是等比数列，求/c的值.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：集合4={-l,0,1,2),B={x∣∣x∣≤Z}=(x∣-1≤x≤1},

则4CB={-l,0,1}∙

故选：A.

先求出集合B,再结合交集的定义，即可求解.

本题主要考查交集及其运算，属于基础题.

2.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础

题.

根据已知条件，结合复数的乘法原则和复数的几何意义，即可求解.

【解答】

解：∙.∙z=(l+2i)i=-2+i,

二复数Z=(1+2i)i对应的点为位于第二象限.

故选：B.

3.【答案】C

【解析】

【分析】

求出展开式的含项的系数即可求解.

本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算转化能力，属于基础题.

【解答】

解：二项式(2+x)5的展开式中含/的项为Cg-22X3=40χ3,

所以ʤ=40,

故选：C.

4.【答案】A

【解析】解：圆C：X2+y2—4x=0,即(％—2)2+y2=4,圆心C(2,0),半径r=2.

•••线段4B的垂直平分线与直线I垂直且经过圆心C,

••・线段4B的垂直平分线方程为'=-Λ(X-2),化为2χ-y-4=0,

2

故选：A.

根据线段AB的垂直平分线与直线/垂直且经过圆心C即可得出直线方程.

本题考查了直线与圆的位置关系、相互垂直的直线方程之间的关系、转化方法，考查了推理能力

与计算能力，属于中档题.

5.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查线面平行、平面与平面垂直、线面垂直的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于基

础题.

根据空间线面、面面的位置关系对4个选项分别进行判断，即可得出结论.

【解答】

解：对于4选项中的直线巾与平面y的位置关系无法判断，不正确，

B选项中的直线n也可能落在平面夕内，不正确；

C选项中的平面0与平面y也可能相交，不正确

。选项，因为nJLa,HUy,则aJ.y；同时nJ.a,maa,则mJ.n,所以。选项是正确的，

故选：D.

6.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查三角函数的图象与性质，熟练掌握正弦函数的图象与性质是解题的关键，考查逻辑推理

能力和运算能力，属于中档题.

利用辅助角公式化筒/(x),再结合正弦函数的图象与性质，逐一判断选项，即可.

【解答】

解：f(x)=sin2x+√3cos2x=2sin(2x+守)，

选项A,/(-∣)=2sin(-2∙∣+∣)=0,不是最值，所以f(x)的图象不关于直线X=Y对称,即

A错误；

选项8,∕φ=2sm(2∙≡+^)=√3≠0,所以f(x)的图象不关于点管,0)对称，即B错误;

选项C,最小正周期7=y=7T,

令2x+∈[2kτt—2kτt+~∙],fc∈Z,

则X∈佐兀一卷兀水兀+工],k&Z,

当k=O时，/0)在[—Q,刍上为增函数，

所以“X)在[0,上为增函数，即C正确；

选项(X)的图象向右平移个单位，得到y=2sin[2(x-⅛)+∣]=2s讥Qx+$,不是偶函数，

即。错误.

故选：C.

7.【答案】C

【解析】解：若｛%l｝为递增的等比数列，

则Vk≥2且keN*,ak>a1,充分性成立，

若Wk≥2且k€N*,ak>a1,即&q"τ>%(q为公比)，

∙.∙01>0,

.∙.qk~1>1,

q>1,

∙∙∙｛arι｝为递增数列，必要性成立，

故"｛ajl｝为递增数列”是“Vk≥2且k∈N*,ak>%”的充分必要条件.

故选：C.

根据已知条件，结合等比数列的性质，以及充分、必要条件的判断，即可求解.

本题主要考查等比数列的性质，以及充分、必要条件的判断，属于基础题.

8.【答案】B

【解析】解：由题意降至60。C时口感最佳，即y=60,带入函数关系式即得60=60×0.923、+25,

即0.923x=ɪ,两边同时取对数，得久仇0.923=∕∏7-∕nl2,

所以“嗡翳普7,

故选：B.

根据题意带入数据，列出等量关系式，利用对数的运算性质化简即可求得.

本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题.

9.【答案】B

【解析】解：设A（XI,yι）,B（X2,丫2），因为AB的中点M（2,l）,

所以空=2,空=1，

即XI+X2=4,%+力=2,

由抛物线的性质可得∣4Fl+BF∖=x1+x2+p=5,

所以P=1,

故选:B.

设4B的坐标，由4B的中点M的坐标，可得4,B的横坐标的和，由抛物线的性质可得∣4F∣+∣B?|

的表达式，由题意可得P的值.

本题考查抛物线的性质的应用及中点的性质的应用，属于基础题.

10.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查了向量的坐标运算，三角函数的图象与性质，考查了学生的运算能力和转化能力，属于

较难题.

以A为原点，以AB,AD所在的直线为％,y轴建立平面直角坐标系，先求出圆的标准方程，再设点

2的坐标为（等£:0$9+1,竿5）。+2），根据而=；1荏+〃而，进行求解即可.

【解答】

解：如图：以A为原点，以AB,4。所在的直线为X,y轴，建立如图所示的坐标系,

则力(0,0),B(l,0),D(0,2),C(l,2),

•••动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，

设圆的半径为r,

VBC=2,CD=1,

：.BD=y]22+I2=V5

-.^BC-CD=^BDr,

2

λr=√5,

二圆的方程为(X-I)2+(y-2)2=ξ,

设点P的坐标为(竽CoSO+1,等sin。+2)>

AP=λAB+μAD>

.∙.(等CoSO+L等Sino+2)=4(1,0)+μ(0,2)=(λ,2μ).

2；CoSO+1=4,J.sinθ+2=2〃，

：■λ+μ=cosθ+ɪsinθ+2=Sin(O+3)+2，其中tanφ=2,

v-l≤sin(0+<p)≤l,

•••1≤Λ+μ≤3,

故;I+〃的最大值为3,

故选A.

11.【答案】[一ι,o)U(0,1]

【解析】解：函数/(X)=VI中+3

.(l-x2≥O

tx≠O

r-1≤%≤1

tχ≠O

・•・—1≤%<O或O<%≤1

即f(%)的定义域为[一LO)U(0,1]

故答案为[-LO)U(0,1]

根据函数解析式的特征，解不等式组∣ιɪM≥0,求出X的范围即可.

本题主要考查了函数定义域的求法.解题的关键是要依据函数解析式的特性得出不等关系，同时

要注意定义域要写成集合的形式/

12.【答案】2

【解析】解：设等比数列｛3l｝的公比为q，且％=ι,

∙∙∙4αi,2a2,&成等差数列，

2

ʌ4a2=401+a3,即4q=4∙+q,

[(q—2)2=0,解得q=2,

故答案为：2.

2

由题意得4c⅛=4¾+α3,利用等比数列的通项公式可得4q=4+q,求解即可得出答案.

本题考查等差数列和等比数列的综合,考查转化思想和方程思想,考查逻辑推理能力和运算能力，

属于基础题.

13.【答案】IV

【解析】解：已知双曲线m%2+ny2=1的一个顶点为P(l,0),

χ2y2

将双曲线的方程7∏M+71y2=1化为标准式可得丁-幺=1,

mn

即m=1,

又双曲线的渐近线方程为，记％±∖∣-ny=0,

即X±y∣-ny=0,

又双曲线的渐近线方程为y=±2x,

则ΛΛ不=ɪ,

即n=—I，

故答案为：1；—ɪ.

4

由双曲线的性质，结合双曲线的标准方程求解即可.

本题考查了双曲线的性质，重点考查了双曲线的标准方程，属基础题.

14.【答案】√3

【解析】解：将四棱锥P-ABCC补成正方体如图:

正方体的对角线长为√22+22+22=2√3.

所以四棱锥的外接球的直径为2百，

因此四棱锥的外接球的半径为√5∙

故答案为：√3∙

将四棱锥P-ABCD补成正方体，求出正方体的对角线长，即可得外接球的半径.

本题考查多面体与球体内切外接问题，利用割补法进行求解是解题的关键，属于中档题.

15.【答案】①②④

Y

【解析】解:∙∙∙f(X)=不丽(XeR)

ι⅛=ι-⅛τ(χ≥o)

又∙∙"G)=T⅛=-T⅛i=-/⑶，

.♦•/(*)为奇函数;

当κ》O时，/(x)=l-^-<1,且在[0,+8)上单增，

所以/(x)在(一8,0)上单增，所以/(x)在R上单增，

所以②正确；

又因为当X<°时，/(%)=-l-⅛>-l.

所以/Q)的值域为(-L1)，故①正确；

1

对于③，取Xl=0,X2=-贝U/(XI)=0,∕Q⅛)=

£1+i2__1

2一天

所以/(审)=/©)=/

所以f(x】)；f(X2)=]<[=/(空),

故③错误；

对于④，

Y

因为∕ι(X)=f(x)=可亓

又因为Λ1+ι(χ)=∕"l(χ)),

X

所以似X)=f(/ɪ(X))=/(ɪ)=撬=血，

启(%)=/(似乃)=/(扁)=向，

加X)=∕σ3(χ))=/(ɪ)=向，

AoW=10∣χ∣+r

Aoφ=⅛>故④正确：

故选：①②④.

判断出函数奇偶性和单调性就能判断①②，对小不分别取值代入即可验证③，对④由递推式

得到Zio(X)的表达式即可判断∙

本题考查了对函数奇偶性的判断和递推思想，属于中档题.

16.【答案】解：若选条件①：

(I)因为2ccosC=acosB+bcosA,

所以由正弦定理可得，2s讥CCoSC=SinAcosB+SinBcosA9

］｝∖i2sinCcosC=Sin(A+B),

又sin("+8)=sinC≠0,

所以CoSC=ɪ,

又C为AABC内角,

所以C=5

(∏)依题意，鼠(a+加2.b==186行叫(∏需A-7h，-Λ(>，

解得仁：:，

由余弦定理可得，c=√α2+b2-2abcosC=J64+16-2×8×4×∣=4√3.

所以△ABC的周长为12+4√3∙

若选条件②：

(I)因为2sin4sinBs讥C=V3(sin2Λ+sin2β—sin2C),

所以由正弦定理可得，2absinC=√3(α2+b2—c2),

由余弦定理可得，sinC=√3∙M+",-"=√3cosC>则tcmC=√3.

又C为AABC内角，

所以C=全

(ID依题意,［蓝Uh叫第］，6,

解得真：，

2

由余弦定理可得，c=√α2+b-2abcosC=J64+16-2×8×4×∣=4√3.

所以△ABC的周长为12+4√3∙

【解析】条件①：(I)由正弦定理可得2sinCcosC=SinAcosB+s讥BCOS4,结合和角公式进一步

可得COSC=/进而求得C的值；

(∏)联立关于α,b的方程组，求得α,b的值，再由余弦定理求得c,进而得到周长.

条件②：(I)由正弦定理可得2absinC=√5(α2+b2-c2),由余弦定理进一步可得tanC=点，

进而求得C的值；

(H)联立关于α,b的方程组，求得α,b的值，再由余弦定理求得c,进而得到周长.

本题考查正余弦定理以及三角形的面积公式在解三角形中的运用，考查运算求解能力，属于基础

题.

17.【答案】解：(I)证明：因为CZ)I平面PAD,4DU平面R4D,AEu平面PaD

所以CDj.AD,CDIAE.

又因为APAD为等边三角形，E为PD的中点，

所以POJ.4E.

所以AEJ_平面PCD.

(11)取4。的中点0,连结OP,0B,则易知OB〃CD,OBI4。，OB10P.

因为APZD为等边三角形，所以OPLaD.

以。为原点，以。4、OB、OP所在直线分别为x、y、Z轴如图建系,

4(L0,0),F(-∣,0,¾F(0,l,⅞,F(0,2,0)AE=(-∣,O,⅞,EF=(ɪ1,0)

设平面4EF的法向量丘=(X,y,z),贝I]：

3,√3

LLn

[ɪɪ+y=O

令X=2,得平面4EF的一个法向量元=(2,-l,2√3),

易知平面P4D的一个法向量为话=(0,2,0)cos<^OB,n>=

丽五_-2√17

∣OB∣∣n∣-2√4+l+12——'Y7^'

所以平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值为当.

(HI)假设棱PC上存在点G,使得DG〃平面4EF,且

设篇=4,46[0,1],则无=4丽,P(0,0√3),C(-l,2,0),D(-l,0,0)∙PC=(-l,2,-√3),则

G{-λ,2λ,√3-√3A)DG=(1-2,2λ,√3-√3λ),

要使得。G〃平面4EF,则说•元=2-24-24+6—64=0,得4=%

所以线段PC上存在点G,使得DG〃平面AEF,穿=看.

【解析】本题考查二面角的平面角的求法,直线与平面垂直与直线与平面平行的判断定理的应用，

考查转化思想以及计算能力，属于中档题.

(1)证明CD∙L4D,CDIAE,PDlAE.然后证明AE_L平面PCO.

(H)取4。的中点。，连结OP,0B,以。为原点，以。4、OB、OP所在直线分别为X轴、y轴、Z轴，

建立空间直角坐标系，求出平面4EF的法向量记=(X,y,z),平面PZD的一个法向量，然后利用空

间向量的数量积求解即可.

(HI)假设棱PC上存在点G,使得DG〃平面AEF,利用丽•元=2-24-2,+6-62=0，转化求

解线段PC上存在点G,使得。G〃平面4EF.

18.【答案】解：(I)由频数分布表知，样本中高中生的人数为2+10+14+12+2=40名，

所以样本中初中生的人数为IOO-40=60名，

因为初中部有1800名学生，

所以由分层随机抽样知，高中部的学生人数为整X1800=1200名，

oU

由表可知，样本中高中生的课外阅读时间在［30,40)小时内的人数为12名，

由图可知，样本中初中生的课外阅读时间在［30,40)小时内的人数为［1-(0.005×2+0.03+

0.04)X10］×60=12名，

所以IOO名样本中，课外阅读时间在［30,40)小时内的人数为12+12=24名，

故估计全校学生中课外阅读时间在［30,40)小时内的总人数为益X(1800+1200)=720名.

(H)课外阅读时间不足10个小时的样本学生中，高中生有2名，初中生有3名，

所以《的所有可能取值为1,2,3,

==⅛P(f=2)=¾M,P(f=3)W=⅛

所以f的分布列为

123

331

P

10510

数学期望E(f)=1×^+2×∣+3×⅛=∣.

(HI)用样本的频率代替概率，抽到一名学生的阅读时间在［30,40)的概率为P=算=急

所以Pk=⅛⅛)fc⅛)10-fc

r∙k/3、k，7、iof、r∙k+l∕3、k+i(7>,g-jc

人JCIo(IU)(茄)≥C10(-)(元)23...33

'I脸扁P扁)10T≥c需谎尸扁)1"寸10-"IO'

因为kWN*,所以k=3,

故当∕c=3时，Pk取得最大值.

【解析】(I)由频数分布表，可得样本中高中生的人数，进而知初中生的人数，再由分层随机抽

样的性质，即可得高中部的学生人数；先计算样本中课外阅读时间在[30,40)小时内的人数，再由

样本估计总体，得解.

(∏*的所有可能取值为1,2,3,利用超几何分布求得每个f的取值所对应的概率，即可得分布列，

再由数学期望的计算方法，得解；

(IU)用样本的频率代替概率，先计算抽到一名学生的阅读时间在[30,40)的概率，再结合独立重复

试验的概率公式，即可得解.

本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望，熟练掌握超几何分布，独立重复试验的概率公式

是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

19.【答案】解：(I)若α=1,f(x)=ex—X,∕z(x)=ex-1,

故/(0)=l,∕,(0)=0,

故/(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1;

(ii)g'(X)=T(X>0)，

当a≤0时，g,(x)>0,g(x)是增函数；

当a>0时,由g'(%)=0得X=a,0<x<a时，g'(x)<0,%>a时，g'(x)>0,

故gQ)的单调递增区间为(a,+8),递减区间为(0,a)；

(In)由(∏)知，a>。时∙g(x)mi∏=g(a)=a-alna,

f'M=aex-l,当a<0时，f,(x)<0,/(x)在R上是减函数，没有最小值，

a>0时，令/(X)=0得X=]n^,[(X)<0=⅛X<lnɪ,f'(x)>0≠>x>lnɪ,

故X=In，是/(%)的极小值，也是最小值，此时/(x)min=∕Qn6=l+"a,

由题意得f(X)min=9Mmin即Q-a1na=1+》

即(a+I)Ina—Q+1=0,令∕ι(Q)=(Q+Y)lna-a+1,(a>0),显然∕ι(l)=0,

又"(a)=Ina+ɪ,h,,(a)=震,0<a<1时∕ι"(a)<0,a>1时，∕ι,,(a)>0,

故"(I)是∕ι'(α)的极小值，也是最小值，而h'(I)=I>0,∕ι,(α)>0,

故∕ι(α)在(0,+8)上单调递增，故α=1是∕ι(α)唯一的零点，

即α=1即为所求.

【解析】(I)求出X=O时的函数值，导数值，利用点斜式求切线方程；

(H)求导数，然后讨论导数的符号即可；

(HI)分别利用导数求出最小值，令最小值相等解出a的值.

本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值情况，进一步解决函数的零点等的

解题思路，属于中档题.

20.【答案】解:(/)由题意可得:h=√3.2c=2,α2

解得b=V3，c=l,a2=4,

椭圆C的方程为［=L

43

(∏)证明:F1(-1,0),F2(1,0),

设P(Xo，%)，A(XI，乃)，B(x2,y2),

直线"的方程为：“*yτ,

22

代入椭圆方程化为：[3(&+I)+4y^]y-6(x0+l)y0y-9羽=0,

y。％=_嬴篝旃，解得力=^3(X°M+4*ɪ-ɪ

直线PB的方程为：X=铝y+l,

ʃo

代入椭圆方程，同理可得了2=一欢为丽=-⅛

ɪ30y09*

为+先=—年鬲,％%=一说就'

...股1+殴I=迎+MI=电业3=型为定值

ISlI形|IyIIly2∣Iyly2∣3〃小恒,

【解析】(1)由题意可得:∂=√3,2c=2,a2=b2+c2,解得b,C,a2,即可得出椭圆C的方程.

(U)设P(XO,ytj),A(x1,y1),B(x2,y2),直线PA的方程为:x=^y-l,代入椭圆方程利用根

与系数的关系可得力.同理可得y2∙把根与系数的关系代入制+耨=器+耨=端*,即

可证明结论.

本题考查了椭圆的标准方程及其性质