高等数学-习题及答案 孙忠民 第3章 一元函数积分及其应用

第3章一元函数积分及其应用

【能力训练3.1】

(基础题)

一、用定积分表示抛物线y=x2+1与直线x=1,x=2以及x轴所围成图形的面积。

由定积分定义面积S=/(l,2)[(x2+1)-0]dx=(x3/3+x)(1,2)=(8/3+2)-(1/3+1)=10/3

二'用曲边梯形的面积说明下列定积分表示的意义:

(1)J20dx;

⑵

(4)/,dx

(3)xdx;

Jo

「Vl-x2dx

(5)sinxcLc;(4)

-7t

答案：略

三、试用定积分的几何意义求出下列定积分的值:

r27r

(1)Isinxdx;⑵1皿;

JoJ

答案：略

【能力训练32】

(基础题)

一'求下列不定积分:

⑴/43⑵//；(3)/x2包;

(5)/炉+2加(6)/(2X3+secx-l)dx

(4)J(sinx+2ex)dx;

答案：略

二、已知函数f(x)的导数为1,且有f(e3)=5,求函数f(x).

X

答案：略

三'计算下列定积分:

(1)工xdx;

(2)、⑶/sinxdx;

(4)/2(3*-x+2)djq

(5)1(2x-sinjt)dx;(6)1|siiu-cosx|<br;

JoJoJn

答案：略

四、用直接积分法或凑微分法求下列不定积分:

⑴/1+X2呢⑵/修+：）加⑶/（立+1）呢

⑷川，金切(5)jcos2|dj：;(6)j三土jt2既

⑺Je3xir;(8)/(2x+1严djq(9)Jilnxdx;

(10)/^eidx;(11)fdx;(12)fdx;

J4+NJ4+x2

/e「cos(2"-l)八八farcsinxfcosx

(13)dx;(14)-==dx;(15)-~-z-dx.

J7xJV1-X2J1+sin2x

答案：略

五、用换元积分法或分部积分法计算下列定积分:

(8)[\]nx\dx;

答案：略

六、定积分的综合计算:

(2)Px6sinxdx;

J-n

答案：略

七、判断下列反常积分的敛散性，若收敛，则计算它的值

(1)「8%；(2)Jsinxdx;(3)f■-1..dx

JixJ_8JoV1—

答案：略

八'一平面曲线过点(1,0),且曲线上任一点(x,y)处的切线斜率为2X-2,求该曲

线方程。

解:知:j，'=2x-2

两边积分，有y=x2-2x+c

Xx=1时,y=0RAT照=1栅斤求曲朝程为y=/_.

(应用题)

一'一辆火车制动后的速度为=1-%(单位:km/s),问火车应在距离站台停靠

点多远的地方开始制动？

答案：略

二'一辆汽车以100km/h的速度行驶，假设司机看到距离前方80m处发生事故，

司机立即刹车，问汽车至少应以多大的加速度行驶才能避免和前方发生事故？

设加速度至少大小为am/sA2100km/h=100/3.6m/s

减速时速度v=100/3.6-at当减速到速度v=0时，所用时间t=100/3.6a(s),则减速到0时汽车

驶过距离恰好为为80m,才能避免事故。

【能力训练3.3】

(基础题)

一、求由直线x-y=0及抛物线y=x2-2x所围平面图形的面积。

【答案】直线x-y=0与曲线y=F-2碾立可得交点坐标为(0,0),(3,3),则

^x-y=0与曲线丫=/一2)<01邮面不肋S=jj[x-(N-2x)]dx=(|x2-1x3)|^=|

二'求由直线y=4x及抛物线y=x3所围平面图形的面积。

直线y=4x与曲线y=大致图像，如图所示,

-8-7-6-5-4-3-2-VD12345678

-5

-6

-7

-S

将y=4xft入g=x»得/=4z»

即I(l2-4)=0,解得x=0或-2或2,

根据题意，可得到第一象限部分，积分上限为2,积分下限为0,

则直线y=4x与曲线g=/在第一象限所围成的平面图形的面积为：

[(4工—x3)dx=(2/-I

=2x4-----x16

4

=4,

由函数y=4x与g=I3图像关于原点对称，

故直线y=4x与曲线V=2；3所围成的平面图形的面积为：

2f(4x—x3)dx=8，

Jo

综上所述，结论是：8.

三、求曲线yr?,y=(x-2)2与x轴所围成的平面图形的面积。

联立丫=乂2与丫=(X-2)2

得交点(1,1)

2

..S=J(0J)xdx+J(1r2)(x-2)2dx

32

=1/3x|(0J)+J(1r2)(x-4x+4)dx

=1/3x3|(0,1)+(1/3x3-2x2+4x)|(0,1)

=1/3+(1/3・2+4)

=8/3.

四、求椭圆!”="""'(0WtW2n)的面积。

Iy=hdnf

【解析】

分析先研究椭圆在第一象限部分的面积，再研究椭圆的面积.

解答如图4-51,楠园的面积等于椭网在第一象限部分的面积P

的4倍.

4P

H4-S1

五、计算心脏线r=a(1+cos6)(a>0)所围成的平面图形的面积。

P(9)=a(l+cos9)的心脏线的面积为：S=3(ica2)/2

六'求由抛物线y=x2-4与直线y=0所围成的平面图形绕x轴旋转而成的旋转体

的体积。

答案：略

七'求由曲线y=sinx与直线x=0,x=n及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转而成

的旋转体的体积。

【解析】【答案】

~2~

【解析】

V=IKsin2xdx=：

Jo2

?r

(1-cos2x)dx=—

o2

xg产2aJ0=y

故答案为：I

八、一个矩阵水闸门，宽20m,高16m,水面与闸门顶齐，求水闸上所受的总压力。

答案：2560(t)

复习题三

一、单项选择题

1-5DCBCA6-10ADAAC

二'填空题

1.略

2.略

3.略

4.略

5.略

6.0

7.略

8.略

9.略

2

101/(^)=X+X.

三'求不定积分.

答案：略

四、求定积分和广义积分.

1.彳小严

Jcos3xsin2xdx;

2.

3.切

f1terdt;

4.

Jo

5.

答案：略

五、用数学软件Matlab计算下列积分

/j^lnxdx;

1.2.

Jexcosxdr;

3.4.Jo1+COSXdx.

答案：略

六、综合题

1.求曲线y=l与直线丫=%丫=4所围成的平面图形的面积；

X

2.求直线y=2x与曲线y=4x-f所围成的平面图形的面积；

3.求曲线y=与直线x=1及x轴所围成的开口平面图形的面积；

4.求曲线xy=4,直线x=l,x=4,y=0绕x轴旋转一周而形成的立体体积.

答案：

1.略

2.

【分折】苜失他毒!偿33!叶小杉，再十邮分果本制f