高一数学必修一各章知识点总结 例题解析 习题及答案

函数的有关概念

1.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意

一个数X,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AfB为从集合A到集合B的

一个函数.记作：y=f(x),xGA.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x

的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合｛f(x)|xCA｝叫做函数的值域.

经典例题透析

类型一、函数概念

WF1.下列各组函数是否表示同一个函数？

(1,(x)=2A+1与式x)=J4/+4x+l；

~^与g(x)=才一1；

(2)x

/W=|A-l|-^g(X)=]5

(3)□-式x〈l)

(4内外二，_2/与幽=d-21

思路点拨：对于根式、分式、绝对值式，要先化简再判断，在化简时要注意等价变形，否则等

号不成立.

解：(1胃(力=12x+l|,/(x)与g(x)对应关系不同，因此是不同的函数；

/(力与g(x)的定义域不同，因此是不同的函数；

fA-l(A>1)

/W=|，/(x)与g(x)

(3)秋的定义域相同，对应关系相同，因此是相同的函数;

(4)/a)与g«)定义域相同，对应关系相同，自变量用不同字面表示，仍为同一函数.

注意：

1.定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

(1责式的分母不等于零；

(2)(禺次方根的被开方数不小于零；

(3)对数式的真数必须大于零；

(4照数、对数式的底必须大于零且不等于1.

(5旗口果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x

的值组成的集合.

(6脂数为零底不可以等于零，

(7浅际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

相同函数的判断方法：①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关)；②定义域一致(两点

1

必须同时具备）

WT2.求下列函数的定义域狎区间表示）.

/O）=..七3,、（----/（x）=S-x-

（1）--2；（2）/⑴=巧-9；（3）♦十4

思路点拨：由定义域概念可知定义域是使函数有意义的自变量的取值范围.

」/、大一3

解：（1）X-2的定义域为X2-2W0,

：.xR土&：.定义域为《9-企）5-立的。（立+»）.

»

____9「9、

/（x）=缶-9,由2x-9N0得，x2:可一定义域为不,4<o

⑵2L2）.

/（x）=V1-x,由《c侪4X:定乂域为（Y,l]

（3）后W[x+4>0[x>^

总结升华：使解析式有意义的常见形式有①分式分母不为零；②偶次根式中，被开方数非负.

当函数解析式是由多个式子构成时，要使这多个式子对同一个自变量x有意义，必须取使得各式有

意义的各个不等式的解集的交集，因此，要列不等式组求解.

2.值域：（先考虑其定义域）

实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域

就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：

观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的

最高点和最低点，观察求得函数的值域；

配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用

求二次函数的值域方法求函数的值域；

判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些分式

函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；

换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用

基本函数的取值范围来求函数的值域.

求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法

等.总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约.

4.求值域际区间表示）:

5______j.,

⑵蚱3；0")=次

⑴y=x2-2x+4；

思路点拨：求函数的值域必须合理利用旧知识，把现有问题进行转化.

解：（l）y=x2-2x+4=（x-1）2+323,，值域为[3,+°°）；

2

y=—―=-—^―H0:.值域为(@,0)u(0,+CT)

(2)工十3x十3

y=&*-3芯+4=J(x-1)2

⑶丫

x-2-+3-5^1--

y=----

(4)大十3x+3x+3x+3二函数的值域为(e,1)U(1,

+8).

3.函数图象知识归纳

(1淀义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(x《A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x,

y)的集合C,叫做函数y=f(x｝(xeA)的图象.C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反

过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上.

(2)画法

描点法：

图象变换法

常用变换方法有三种

平移变换

伸缩变换

对称变换

4.区间的概念

(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间

(2)无穷区间

(3)区间的数轴表示.

5.映射

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一

个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AlZlB为从集合A到集

合B的一个映射。记作“f(对应关系)：A(原象)DB(象)"

对于映射f：A-B来说，则应满足：

(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；

(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；

(3杯要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

◎^5.下列对应关系中，哪些是从A到B的映射，哪些不是?如果不是映射，如何修改可以使

其成为映射？

(1)A=R,B=R,对应法则f：取倒数；

(2)A=｛平面内的三角形｝,B=｛平面内的圆｝,对应法则f：作三角形的外接圆；

(3)A=｛平面内的圆｝,B=｛平面内的三角形｝,对应法则f：作圆的内接三角形.

3

思路点拨：根据定义分析是否满足“A中任意”和“B中唯一”.

解：(11是映射，集合A中的元素0在集合B中没有元素与之对应，不满足“A中任意”；

若把A改为

A={x|xWO}或者把对应法则改为“加1”等就可成为映射；

(2溪映射，集合A中的任意一个元素(三角形)，在集合B中都有唯一的元素(该三角形的

外接圆)与

之对应，这是因为不共线的三点可以确定一个圆；

(3正是映射，集合A中的任意一个元素(圆)，在集合B中有无穷多个元素(该圆的内接三

角形有无

数个)与之对应，不满足"B中唯一”的限制；若将对应法则改为：以该圆上某定点为

顶点作正

三角形便可成为映射.

总结升华：将不是映射的对应改为映射可以从出发集A、终止集B和对应法则f三个角度入手.

6.分段函数

(1威定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

(2洛部分的自变量的取值情况.

(3用段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集.

_j2x+3,兀€(0,0)

2X2+1,je[0,+oo)

❾♦9.已n知J"'I1',求f(O),的值.

思路点拨：分段函数求值，必须注意自变量在不同范围内取值时的不同对应关系.

解：f(0)=2X02+1=1

f[f(-l)]=f[2X(-l)+3]=f(l)=2X12+1-3.

举一反三：

,-l(x<0)

/(£)=«=0)

【变式1】已知+作出f(x)的图象，求f(i),f(-i),f(O),f{f[f(-l)+l]}的值.

解：由分段函数特点，作出f(x)图象如下：

如图,可得：f(l)=2；f(-l)=-l；f(0尸死；

f{f[f(-l)+l]}=f{f[-l+l]}=f{f(O)}=f(不)="+L

补充：复合函数

如果y=Ku)(uWM),u=g(x)(x£A),则y=f[g(x)]=F(x)(xeA)称为f、g的复合函数。

学习成果测评

基础达标

4

一、选择题

1.判断下列各组中的两个函数是同一函数的为()

_(x+3)U-5)

(1)用一，当=・5；

⑵当二五+h后,凡=正+帅-1).

⑶」(x)=x,g(A)=7?.

⑷/⑸=刘/_7,E(力=

⑸工W=(j2x-»,/2(x)=2x-5

A.(1)、(2)B.(2)、(3)C.(4)D.(3)、(5)

2.函数尸3一一一】的定义域是()

A.T〈x<lB.xWT或x》lC.OWxWlD.{-1,1}

2五

y=-------

3.函数3x—4的值域是()

4422

A.(e,3)U(3,+oo)B.(3,3)u(3,+oo)

24

C.RD.S3)u(3,+oo)

4.下列从集合A到集合B的对应中：

®A=R,B=(O,+°°),f:x-*y=x2；

A=B=(-co,0)u(0,+oo),f：x—»y=—;

②x

A=(O,l],B=[L+ca),f:x-y=4；

③x

@A=[-2,1],B=[2,5],f:x->y=x24-l；

⑤人33],B=[l,3],f:x->y=|x|

其中，不是从集合A到集合B的映射的个数是()

A.1B.2C.3D.4

5.已知映射f:A-B,在f的作用下，下列说法中不正确的是()

A.A中每个元素必有象，但B中元素不一定有原象B.B中元素可以有两个原象

5

C.A中的任何元素有且只能有唯一的象D.A与B必须是非空的数集

6.点（x,y）在映射f下的象是（2x-y,2x+y）,求点（4,6）在f下的原象（）

5

A.（2,1）B.（1,3）C.（2,6）D.（-L-3）

7.已知集合P={x|0WxW4},Q={y[0Wy<2},下列各表达式中不表示从P到Q的映射的是（）

xx21

A.y=2B.y=3C.y=3xD.y=8x2

8.下列图象能够成为某个函数图象的是（）

9.函数的图象与直线亢=i的公共点数目是（）

A.1B.0C.0或1D.1或2

10.已知集合'={123闱，3=卜,7,",『+3可，且&6犷”4"8,使a中元素

、=3工+1和工中的元素x对应，则出上的值分别为（）

A.2,3B.3,4C.3,5D.2,5

z+2（x<-l）

11.已知归—2），若〃x）=3,则式的值是（）

33

A.1B,1或2C.1,2或±4D.有

12.为了得到函数y=/（-2x）的图象，可以把函数y=/a一2工）的图象适当平移，这个平移

6

是()

1

A.沿X轴向右平移1个单位B.沿式轴向右平移个单位

C.沿X轴向左平移1个单位D.沿或轴向左平移个单位

=<；苟1⑷〉a.

-(x<0).

1.设函数Lx则实数&的取值范围是.

y=--x--—--2-

2.函数炉一4的定义域.

3.函数［X尸3x-5在区间【一生6)上的值域是.

4.若二次函数》="?+®+C的图象与X轴交于"(一2,0)田(4,0),且函数的最大值为9,则

这个二次函数的表达式是.

5.函数MY-'的定义域是.

6.函数/(R="+x_］的最小值是.

三、解答题

i.求函数iz+1i的定义域.

2.求函数、=//+才+1的值域.

3.根据下列条件，求函数的解析式：

⑴已知电)是一次函数,且f(f(x))=4x/,求4x)；

(2)已知f(x)是二次函数，且f(2)=-3,f(-2)=-7,f(0)=-3,求f(x)；

⑶已知f(x-3)=x2+2x+l,求f(x+3)；

f(x-l)=x3+-L«求Rx)

(4)已知xx；

(5)已知f(x)的定义域为R,且2f(x)+f(-x)=3x+l,求f(x).

答案与解析：

基础达标

7

一、选择题

1.C.（1）定义域不同；（2淀义域不同；（3）对应法则不同；⑷定义域相同，且对应法则相同;

（5淀义域不同.

2.D.由题意l-x220且x2-l20,-1这且x〈T或x21,/.x=±1,选D.

2」”2

3.B.法一：由y=3x—4,；.x=3y一2二y#3,应选B.

2x-（3X-4）+-28.82

注_.y=3x-4=3x-4~~=3+3（3J-4）?,3（3x-4）*7

4.C.提示：①④⑤不是，均不满足“A中任意”的限制条件.

5.D.提示：映射可以是任何两个非空集合间的对应，而函数是要求非空数集之间.

[2x-y=45

6.A.设（4,6）在f下的原象是（x,y）,则口工+,二%解之得x=^,y=l,应选A.

282

7.C.,.,0Wx<4,...0W3xW3=2?,应选C.

8.C.

9.C.有可能是没有交点的，如果有交点，那么对于了=1仅有一个函数值.

w.D.按照对应法贝严为+1,人｛4内。，37H47AF@

2

而2wM/r10.a3a=10=2y3kA-1=ai—16,=5

11.D,该分段函数的三段各自的值域为（“"[。工）。，*0）,而3W[°,4）

=炉=3,x=±r，而一1<x<2,...芥=£

l-2x=-2（J-—）x-—

12.D.平移前的“2”，平移后的“一2芯”，用“x”代替了“2”，

11

X——+―—>X

即22,左移.

二、填空题

1.ST.

力之0时，/⑷=-1>afa<-2a<0时,7⑷=~>a9a<-1

当2,这是矛盾的；当口.

8

2..1"〜2,且"2)提示：/_4#0

3.[-H13)

4.一=一6+2)(1)

设y=a(x+2)(x_4),对称轴X=1,当X=[时，4狄=-9。=9,°=-1

A-lW0

S,，o1)[ikll]-x>"。<0

•••

51255

--/(x)=x3+x-l=(x+-)

6.4,244.

三、解答题1.解：・.."I"''+]-—]，.•.定义域为{中"1}

「"1=。+打涔,

2.解:

乎器卓”)

...2，:.值域为2

f(x)=2x-1或£(x)=-2x+l

3.解:(1)3.提示：利用待定系数法；

f(x)=-—X3+x-3

(2)2.提示：利用待定系数法；

⑶f(x+3)=x2+14x+49.提示：利用换元法求解，设x-3=t,则x=t+3,

于是g3)=x2+2x+l变为f⑴=(t+3)2+2(t+3)+l=(t+4)2,故f(x+3)=[(x+3)+4]2；

x--=t,x3+：■=(x-—)2+2=t3+2

(4)f(x尸x2+2.提示：整体代换，设xXx；

f(x)=3x+—

(5)3.提示：利用方程，用-x替换2出x)+f(-x)=3x+l中所有的x得到一个新

的式子

■2f(x)+f(-x)=3x+l]

2f(-x)+f(x)=-3x+l,于是有i2f(T)+f(x)=-3x+l,联立得f⑶一五十守

9

偏部性质)

(1)a.增函数

设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量xl,x2,当xl<x2

时，都有f(xl)<f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.

b.减函数

如果对于区间D上的任意两个自变量的值xl,x2,当xl〈x2时，都有f(xl)>f(x2),那么就说Rx)

在这个区间上是减函数.区间D称为尸f(x)的单调减区间.

注意：函数的单调性是函数的局部性质；

(2)图象的特点

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有严格的)单调

性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

(3)函数单调区间与单调性的判定方法

(A)定义法：

①任取xl,x2GD,且xl<x2；

②作差戈xl)-f(x2)；

③变形(通常是因式分解和配方)；

④定号(即判断差f(xl)一出x2)的正负)；

⑤下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).

(B)图象法以图象上看升降)

(C)复合函数的单调性

复合函数flg(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”

注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间，不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

虎>/(x)=在(6十口)

V1.证明函数心上的单调性.

证明：在(0,+8)上任取xl、x2(xlNx2),令△xnxZ-xl〉。

代x)心)__L_L-枢-后-%]f

则"""叫一百后一一“声+向

Vxl>0,x2>0,...6>>0'看-巧《0

上式<0,.,.△y=fl(x2)-f(xl)<0

/(才)=4=在(&+8)

VX上递减.

总结升华：

[1地明函数单调性要求使用定义；

[2刖何比较两个量的大小？(作差)

[3刖何判断一个式子的符号？施差适当变形)

D

举一反三:

f(x)=x+-在区间(0,1]

【变式1]用定义证明函数X上是减函数.

思路点拨：本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径.

证明：设xl,x2是区间(°'U上的任意实数，且X1VX2,则

f(xj-f(xa)=Xj+—-(x3+—)

叼

=(X1-X2)(l----)

V0<xl<x2^1.\xl-x2<0,0<xlx2<l

：.1———<0

V0<xlx2<lxix2

(X1-x2).(l--)>0

故xlx2,即f(xl)-f(x2)>0

.\xl<x2时有f(xl)>f(x2)

f(x)=x+1在区间(0,1]

X上是减函数.

总结升华：可以用同样的方法证明此函数在[L*°)上是增函数；在今后的学习中经常会碰到这

个函数，在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象.

“2.判断下列函数的单调区间；

⑴y=x2-3|x|+2；(2广■'一"+而0

解：(1)由图象对称性，画出草图

11

在L2J上递增.

-2x+30〈1)

y=|x-l|+|x-2|=7(1<z<2)

、2x-3(x>2)

・•.图象为

；.f(x)在(G］上递减，在［2，")上递增.

3,已知函数付在(…)上是减函数，比—)与片)的大小

1□3

■:a2-a+l=(a尸十二>—>0

解：,2，44

/(a2-a+1)<

又f(x)在(0,+8)上是减函数，则

.函数的奇偶性(整体性质)

(1)偶函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个X,都有f(一X尸f(x),那么f(x)就叫做偶函数.

(2).奇函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个X,都有f(一X尸一f(x),那么f(x)就叫做奇函数.

(3)具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称.

利用定义判断函数奇偶性的步骤：

E

1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；

②确定X)与Rx)的关系；

③作出相应结论：若f(一x)=f(x)或f(—X)—f(x)=0,则f(x)是偶函数；若f(—x)=—f(x)或f(—X)

+f(x)=0,则f(x)是奇函数.

注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点

对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1通根据定义判定；⑵由f(-x)±f(x)=0或f(x)/

f(-x尸±1来判定；(成借助函数的图象判定.

.判断下列函数的奇偶性：

⑴小忌

(2/W=

(3)f(x)=x2-4|x|+3(4)f(x)=|x+3|-|x-3|(5)|X+2|-2

-x2+>0)

/(X)=独(另一g(-x)](xeK)

X2+Q<0)

(6)(7)2

思路点拨：根据函数的奇偶性的定义进行判断.

解：(l)：f(x)的定义域为(.」］,不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数;

(2)：x-l20,，f(x)定义域［1'+8)不关于原点对称，；.f(x)为非奇非偶函数;

(3)对任意x£R,都有-x£R,且f(-x)=x2-4|x|+3=f(x),则f(x)=x2-4|x|+3为偶函数；

(4)Vx^R,f(-x)=|-xH-3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x),f(x)为奇函数;

l-x2>0-l<x<1

X€[-l,0)U(0,l]

XH。且X注-4

⑸x+2h±2

J]J?_Jl一」

/w=

(i+2)-2x

rX,・・・f(x)为奇函数；

⑹「xeR,f(x)=-x|x|+x/.f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x),，f(x)为奇函数;

/Gx)=:｛煎口)-gH-x)])=-g。)]=

(7)22，,f(x)为奇函数.

◎^2.设定义在[-33]上的偶函数f(x)在[0,3]上是单调递增，当fl>l)<f(a)时，求a的取值

范围.

解：Vf(a-l)<f(a)；.f(|a-l|)<f(|a|)

而|a|[0,3]

B

-2a+1<0

<-2<«<4-<a<,3

2

-3<a<3-3<a<3

、函数的解析表达式

(1)函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之

间的对应法则，二是要求出函数的定义域.

(2)求函数的解析式的主要方法有：

凑配法

待定系数法

换元法

消参法

1.求函数的解析式

(1睹f(2x-1)=x2,求f(x)；

(2睹f(x+l)=2x2+l,求f(x).

思路点拨：求函数的表达式可由两种途径.

i4-1

X-------

解：(l)Vf(2x-l)=x2,.•.令t=2x-l,贝!12

%)=(?)-以用=(?尸

(2)f(x+l)=2x2+l,由对应法则特征可得：f(x)=2(x-1)2+1

即:f(x)=2x2-4x+3.

举一反三：

【变式1]⑴已知出x+D=x2+4x+2,求f(x)；

*(X>0)

f(x)—，

(2)已知：[2X+6(x<O),求肛(_])]

解：⑴法1)f(x+1)=x2+4x+2=(x+l)2+2(x+l)-l

f(x)=x2+2x-1；

(法2)令x+l=t,/.x=t-l,f(t)=(t-1)2+4(t-1)+2=t2+2t-1

f(x)=x2+2x-1；

(法3)设出x)=ax2+bx+c则

f(x+1)=a(x+1)2+b(x+l)+c

a(x+1)2+b(x+1)+c=x2+4x+2

a=1a=1

2a+b=4=<b=2f(x)=x2+2x-1

a+b+c=2c=-1

(2)V-l<0,Af(-1)=2•(—1)+6=Qf[K-l)]=f(4)=16.

14

.函数最大(小)值

①利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值

②利用图象求函数的最大(小)值

③利用函数单调性的判断函数的最大(小)值：如果函数y=f(x)在区间［a,b］上单调递增，在区间

［b,c］上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间［a,b］上单调递减,

在区间［b,c］上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值Rb)；

基本初等函数

一、指数函数

(~)指数与指数募的运算

1.根式的概念：一般地，如果xn,那么X叫做a的n次方根，其中n>i,且neN*.

负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0,记作V河口0。

当n是奇数时，a?Da,当n是偶数时，JanQa匚］±，甲,

型(aDO)

2.分数指数暴

正数的分数指数早的意义，规定：

a?Dv'am(aQ),m,nDN*,nQ),aEjJ—I_1J(aED,m,nDN*,n口)

m\/am

an

0的正分数指数掠等于0,0的负分数指数早没有意义

3.实数指数早的运算性质

(a>Qrb>0,r,swQ)

(Wa'=a"'⑵⑷)、产⑶(岫)'"沙

(二)指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数yDax(a口0,且a□!)叫做指数函数，其中x是自变量，函数

的定义域为R.

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1.

2、a.指数函数概念

一般地，函数'二不卜,°,且1)叫做指数函数，其中X是自变量，函数的定义域为五.

b.指数函数的图象和性质

a>l0<a<l

1

/

/

...

0

定义域R定义域R

值域y>0值域y>0

在R上单调递增在R上单调递减

非奇非偶函数非奇非偶函数

函数图象都过定点(0,1)函数图象都过定点(0,1)

注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

(1)在［a,b］上，f(X)匚限3□)且aQ)值域是(a)f(b)［f(b)f(a)］；

(2)若xDO,则f&)Dl；f(x)取遍所有正数当且仅当xDR；

(3)对于指数函数fOODaxID)且ad),总有fQ)Da；

二、对数函数

(-)对数

1.对数的定义

(1匿/=收>°，且K1),则x叫做以以为底州的对数，记作其中a叫做底

数，*

叫做真数.

(2项数和零没有对数.

(3)对数式与指数式的互化："=1呜"0/=>°).

2.几个重要的对数恒等式

logl=0®a=llog&/=B

a，，

3.常用对数与自然对数

常用对数：1g",即1°氏。凶；自然对数：InN,即log,"供中e=2.71828…).

4.对数的运算性质

如果儿f>0,N>0,那么

①加法：log&胡■+log&H=loga也助

log。町-log27V'=logg

②减法：西

③数乘：川。ga"=l°g&朋1•（六衣）

④a砥w=N

logflt=今。O.we衣）

logaN=1曜"9>0,且bh1）

⑥换底公式：瓜&“

指数式与对数式的互化

早值真数

ab=N□logN=b

底数

4FI灯数

（二）对数函数

1、对数函数的概念：函数yDogx（a□）,且a□!）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定

a

义域是（0,+8）.

注意：

①对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：yLElogX,DI2L都

2B55

不是对数函数，而只能称其为对数型函数.

②对数函数对底数的限制：（a□）,且a匚1）.

2、对数函数的性质:

函数

对数函数

名称

17

定义函数且叫做对数函数

U产1w、

1厂1P=1呜XyJX=1

尸=1叱户

图象

as

小1,Q)；QL

'1'r

定义域

值域R

过定点图象过定点a°）,即当x=i时，＞=°.

奇偶性非奇非偶

单调性灌鑫喇土是增函数

1限0(x>1)logflX<0o>1)

函数值的icp》=o不=o1丁=n

变化情况

log.L工<0(0<工<1)log.工>0(0<工<1)

a变化对图在第一象限内，从顺时针方向看图象，&逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向

象的影响看图象，&逐渐减小.

3、反函数

1.反函数的概念

设函数的定义域为工，值域为c,从式子中解出x,得式子如

果对于尸在c中的任何一个值，通过式子汗=仪»）,x在工中都有唯一确定的值和它对应，那么

式子为二飙»）表示尤是卜的函数，函数汗=飙»）叫做函数＞=/"）的反函数，记作

习惯上改写成

2.反函数的性质

（D原函数＞=/（月与反函数，=」"（力的图象关于直线〉=x对称.

B

（2）函数尸=/口）的定义域、值域分别是其反函数丁=」"（行的值域、定义域.

（3睹在原函数尸=/口）的图象上，则尸（瓦"）在反函数尸二了"（幻的图象上.

（4尸般地，函数>=/（"）要有反函数则它必须为单调函数.

3.反函数的求法

（1凝定反函数的定义域，即原函数的值域；

（2）从原函数式丁=/（/中反解出矛=丁一13）；

（3潸x=」“00改写成y并注明反函数的定义域.

四、指数函数与对数函数的关系

指数函数沙=­（"°，"1）与对数函数尸=3。&>°#=1）互为反函数.

①广邓③丫^乂@y=dx则：0<b<a<l<d<c

又即：x£(0,+8)时，bx〈ax〈dxvcx(底大幕大)

XG(-00,0)时，bx>ax>dx>cx

(2)

©y=logax(2)y=logbx(3)y=logcx@y=logdx

则有：0<bva<1vd〈c

又即：x£(l,+8)时，logaxvlogbxvO〈logcxvlogdx(底大对数小)

xe(0,1)时，Iogax>logbx>0>logcx>logdx

3

点》/(x)=logl(x-2jr)

W1.已知函数2

（1）求函数的单调增区间;

B

(2球其单调增区间内的反函数.

解：复合函数丫=冗8仪)］的单调性与y=f(t),t=g(x)的单调性的关系：同增异减.

(1)函数的定义域{x|x<0或x>2},又t=x2-2x=(x-1)2-1.

y=bgL依>0)

，xW(e,0),t是X的减函数.而2是减函数，

函数f(X)在(e,0)为增函数.

(2)函数4X)的增区间为(6,0),

>=1福1(一—2力J3—2x=(-')y

令彳，则2.

芯=1±J1+2r

；x<0,...E-屈彳..../Ta)=l-川+2f(xeR)

五、黑函数

1、嘉函数定义：一般地，形如丫小口(aDR)的函数称为募函数，其中□为常数.

2、幕函数性质归纳.

(1)所有的察函数在(0,+8)都有定义并且图象都过点(1,1)；

(2)□□)时，察函数的图象通过原点，并且在区间［0,口［!